Pasivní odpory. Obsah přednášky : smykové tření, tření v klínové drážce, čepové tření, vláknové tření, valivý odpor Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty se základním typy pasivních odporů a se způsobem řešení úloh s třením
Smykové tření je nejběžnějším a nejjednodušším případem pasivního odporu. Jeho mechanismus spočívá v tom, že drobné (mikroskopické) nerovnosti na tělese zapadají do drobných nerovností na podložce. Aby se těleso ovalo, musí být na překonání těchto nerovností vyvozena ve směru u jistá tažná síla. ato situace se vnějšímu pozorovateli jeví jako by proti směru u působil jakýsi odpor - třecí síla Smykové tření se projevuje tak, že proti směru u působí třecí síla. Velikost této třecí síly je : = př kde je bezrozměrný koeicient tření, př je přítlačná síla. Poslední pojem vyžaduje podrobnější vysvětlení.
výslednice př Přítlačná síla př je složka výslednice všech sil, působících na těleso, mající směr kolmý ke směru u (složka ve směru u tento urychluje nebo zpomaluje, tření však neovlivňuje). Podle zákona akce a reakce je tato přítlačná síla rovna normálové reakci, působící opačným směrem řecí síla pak je : = př = Velikost koeicientu tření závisí zásadním způsobem na kvalitě (drsnosti) dotýkajících se povrchů. U hladkých leštěných povrchů může být =0,05 nebo i méně. U běžných povrchů typicky =0,2, u drsných povrchů např. =0,7. Speciálně vyvinuté materiály pak mohou mít koeicient tření >1. Kromě toho koeicient tření závisí na řadě dalších aktorů - rychlosti u, měrném tlaku na dotykových plochách, teplotě povrchů atd. Vliv těchto aktorů nelze jednoduše vyjádřit, není však zdaleka tak významný, jako vliv drsnosti povrchů. Proto se koeicient tření uvádí většinou pouze v závislosti na dotýkajících se materiálech resp. jejich drsnosti.
Z popsaného mechanismu smykového tření je zřejmé, že existence třecí síly (= ) je bytostně spjata s em. (Máme na mysli relativní jednoho tělesa vůči druhém, s nímž je v kontaktu.) Rozebereme nyní opačnou situaci, kdy k u nedochází. R y x Jestliže se těleso po podložce neuje, je vazba mezi nimi pevná (chová se stejně, jako kdyby těleso bylo přilepeno). Jako taková přenáší jak reakci ve směru kolmém k podložce (), tak reakci ve směru rovnoběžném s podložkou (R). Velikost těchto reakcí se vypočítá z rovnic rovnováhy : R = xi = yi Jak je zřejmé, velikost obou reakcí ( ani R) nijak nesouvisí s koeicientem tření. R není třecí síla ale reakce. Protože však těleso není přilepené, nýbrž volně leží, nemůže být reakce R libovolně velká. Aby nedošlo k prokluzu, musí být splněna podmínka neproklouznutí : R Je-li tato podmínka splněna, k prokluzu nedojde. ení-li splněna, začne těleso po podložce klouzat. Proti směru u pak působí třecí síla : =
ato dvojakost projevu tření se týká všech případů pasivních odporů, jež budou popsány níže. Shrňme ještě jednou. Zabýváme-li se třením, musíme vždy uvažovat dvě situace : těleso prokluzuje po podložce těleso leží na podložce bez prokluzu y x y x R Proti směru u působí třecí síla, jež brzdí. Rovnoběžně s podložkou působí reakce, jejíž velikost se vypočte z rovnice rovnováhy. = R = xi Kolmo k podložce působí normálová reakce, jejíž velikost je dána silovou rovnováhou. = yi Aby nedošlo k prokluzu, musí být splněna podmínka neproklouznutí : R
Řešení úloh se smykovým třením demonstrujeme na příkladu. ěleso o hmotnosti m=1 kg leží na šikmé podložce, skloněné o úhel =22º. Koeicient tření mezi tělesem a podložkou je =0,3. a těleso dále působí vodorovná síla. Určete velikost této síly aby : a) těleso klouzalo konstantní rychlostí dolů; b) těleso zůstalo v klidu (bez u) na podložce; c) těleso se ovalo konstantní rychlostí vzhůru. a) Pohybuje-li se těleso rovnoměrně dolů, působí proti směru u třecí síla : = Velikost normálové reakce je dána rovnicí rovnováhy ve směru kolmém k podložce : = cos + sin Má-li se těleso ovat rovnoměrně (konstantní rychlostí), musí nastat rovněž rovnováha sil ve směru podélném - ve směru nakloněné roviny : sin cos = 0 Z uvedených rovnic vyplývá brzdná síla : sin cos = = 0. 91 cos + sin a dále : = 9. 44 = 2. 83
Řešení úloh se smykovým třením demonstrujeme na příkladu. ěleso o hmotnosti m=1 kg leží na šikmé podložce, skloněné o úhel =22º. Koeicient tření mezi tělesem a podložkou je =0,3. a těleso dále působí vodorovná síla. Určete velikost této síly aby : a) těleso klouzalo konstantní rychlostí dolů; b) těleso zůstalo v klidu (bez u) na podložce; c) těleso se ovalo konstantní rychlostí vzhůru. b) ebude-li se těleso ovat, bude se vazba mezi ním a podložkou jevit jako pevná, přenášející kromě normálové reakce též podélnou reakci R (rovnoběžnou s podložkou). Velikost obou reakcí (není přímo závislá na koeicientu tření!) je dána rovnicemi rovnováhy : = cos + sin R = sin cos emá-li dojít k prokluzu tělesa po podložce, musí být splněna podmínka neproklouznutí : sin cos R neboli : = 0. 91 cos + sin Pokud by však síla byla příliš velká, nastal by směrem vzhůru. R bez u
Řešení úloh se smykovým třením demonstrujeme na příkladu. ěleso o hmotnosti m=1 kg leží na šikmé podložce, skloněné o úhel =22º. Koeicient tření mezi tělesem a podložkou je =0,3. a těleso dále působí vodorovná síla. Určete velikost této síly aby : a) těleso klouzalo konstantní rychlostí dolů; b) těleso zůstalo v klidu (bez u) na podložce; c) těleso se ovalo konstantní rychlostí vzhůru. c) Pohybuje-li se těleso rovnoměrně vzhůru, působí opět proti směru u třecí síla : = ormálová reakce je stále beze změny : = cos + sin Rovnice rovnováhy ve směru podélném (ve směru nakloněné roviny) však má tvar : sin cos + = 0 lačná síla pak je : sin + cos = = 7. 86 cos sin
Řešení úloh se smykovým třením demonstrujeme na příkladu. ěleso o hmotnosti m=1 kg leží na šikmé podložce, skloněné o úhel =22º. Koeicient tření mezi tělesem a podložkou je =0,3. a těleso dále působí vodorovná síla. Určete velikost této síly aby : a) těleso klouzalo konstantní rychlostí dolů; b) těleso zůstalo v klidu (bez u) na podložce; c) těleso se ovalo konstantní rychlostí vzhůru. Zjištěné výsledky lze vyjádřit graicky : těleso klesá těleso se neuje těleso se uje vzhůru 0,91 7,86
V souvislosti se smykovým třením je třeba deinovat ještě jeden pojem. Uvažujme těleso, ležící na vodorovné podložce (s koeicientem tření ). a těleso působí šikmá síla, skloněná od svislice pod úhlem. (íhovou sílu v tomto idealizovaném případě neuvažujeme.) Jednoduchým rozborem dospějeme k závěru, že je-li : těleso se nebude ovat. o nás vede k tomu, že deinujeme tzv. třecí úhel φ : Pak platí, že je-li : Je-li naopak : tan tan φ = φ = arctan () φ těleso se nebude ovat. > φ těleso se dá do u.
ření v klínové drážce Se smykovým třením se kromě základní ormy, popsané na předchozí přednášce, setkáváme v různých modiikacích. Jednou z těchto modiikací je klínové těleso, uložené v klínové drážce. Vrcholový úhel tělesa i drážky je 2. ěleso je do drážky vtlačováno přítlačnou silou př, př kolmo k dotykovému povrchu tělesa a drážky působí tah normálové reakce (po jedné z každé strany). Vlivem tažné síly tah se těleso uje ve směru drážky. Z rovnice rovnováhy pro svislý směr vyplývá vztah pro normálovou reakci : př 2 sin = př = 2 sin Proti směru u působí na dvou dotykových plochách dvě třecí síly : Má-li se těleso ovat rovnoměrně, musí být tyto dvě třecí síly vyrovnány tažnou silou : = tah = = 2 = Srovnání tohoto výrazu s řešením smykového tření v základní podobě nás vede k tomu, že deinujeme tzv. koeicient tření v klínové drážce : Zavedením této substituce (v níž vyjadřuje skutečné tření, úhel pak vliv geometrie) převádíme tření v klínové drážce na základní model smykového tření - proti směru u působí třecí síla : př 2 sin sin kl př = sin = kl př
Čepové tření Uvažujeme těleso, uložené čepem v třecím ložisku (kruhový otvor), otáčející se jistým směrem. ěleso je zatíženo přítlačnou silou př, proti směru u působí třecí síla. př př φ r č Dotykový bod čepu v ložisku se rotací posune mimo nositelku přítlačné síly (čep se po kruhové podložce vyšplhá poněkud vzhůru). Vlivem toho jak normálová reakce, tak třecí síla působí šikmo pod úhlem φ. Rovnice rovnováhy pro směr normály a tečny jsou : cosφ = 0 Kromě toho samozřejmě : = př př sinφ = 0 Dosazením rovnic rovnováhy do vztahu pro třecí sílu dostáváme velmi logický výsledek tan φ = protože přítlačná síla samozřejmě působí vůči normále v dotykovém bodě pod třecím úhlem.
Čepové tření Uvážíme-li dále vztahy mezi goniometrickými unkcemi : tanφ 1 sin φ = cos φ = 2 2 př 1+ tan φ 1+ tan φ M č je třecí síla : Proti směru rotace tedy působí moment čepového tření : kde r č je poloměr čepu. M č = = př př 1+ 1+ 2 2 r č Poznámka : Při malých hodnotách koeicientu tření se jmenovatel ve výrazu pro moment čepového třeníblížíjedničce. Zjednodušíme-li jej na prosté M č = př r č, dopouštíme se při = 0,1 chyby 0,5 %. Při = 0,2je chyba již 2 % a při = 0,5 chyba narůstá na 12 %. Připomeňme dvojakost projevu tření : Má-li těleso zůstat v klidu (bez otáčení), musí být splněna podmínka neproklouznutí - - moment všech sil ke středu rotace musí splňovat nerovnost : M př rč 2 1+
Vláknové tření Přes pevnou zaoblenou podložku je přehozeno vlákno, lano, popruh nebo jiný druh ohebného materiálu. a obou stranách je popruh napínán tažnými silami velká a malá. ažná síla velká, působící ve směru u, však musí být větší, protože překonává tření. Bez odvození (jež spočívá v integraci třecích sil na elementárních obloucích) uvedeme : velká = malá e malá velká kde je koeicient tření mezi popruhem (vláknem, lanem) a podložkou, je tzv. úhel opásání, jež se dosazuje v obloukové míře (radiány). Přes trámec kruhového průřezu je přehozeno lano, na jehož konci je zavěšeno břemeno o hmotnosti m = 0,102 kg (tíha = m g = 1 ). Koeicient tření mezi lanem a trámcem je = 0,1. Má-li být břemeno rovnoměrně (konstantní rychlostí) zvedáno, musí být lano taženo silou, jež překonává jak tíhu břemene, tak tření : = e π = 1. 37 protože úhel opásání je = 180º = π = 3,14 rad.
Vláknové tření Má-li být břemeno naopak rovnoměrně spouštěno dolů, musí být silou přibrzďováno. ření, které má vždy brzdný účinek, v tomto případě spolupracuje se silou : = e = e π π = 0. 73 Bude li velikost síly v uvedeném rozmezí : 0. 73, K, 1. 37 zůstane soustava v klidu. Pro zajímavost ještě uvedeme stejné výsledky za situace, kdy lano je otočeno 1,5 dokola. Úhel opásání pak je = 540º = 3 π = 9,43 rad. = e = 3 e π 3 π = 0. 39 = e 3 π Bude li velikost síly v rozmezí : 0. 39, K, 2. 57 zůstane soustava v klidu. = 2. 57 Jak je zřejmé, síla, potřebná k překonání tíhy a tření (při u břemene vzhůru), resp. k ubrzdění tíhy (při u dolů) je podstatně větší, resp. menší, než bylo-li lano prostě přehozeno.
r Valivý odpor S valivým odporem se setkáme všude tam, kde se povrch (obvod) tělesa valí po podložce. valení V důsledku poddajnosti materiálů dochází k tomu, že materiál př valení podložky je jistým způsobem hrnut v jakési vlně před tělesem. Rovněž těleso se poněkud zploští. ásledkem těchto deormací je skutečnost, že normálová reakce (jež je v silové rovnováze se zatížením přítlačnou silou př ) nepůsobí na stejné nositelce jako tato přítlačná síla, nýbrž o rameno δ před ní. Vyvolává tedy brzdný moment, jenž působí proti směru valení. M B = δ tah Má-li být těleso udrženo v u, musí být taženo silou tah, jež na rameni r vyrovnává brzdný moment : δ M B tah r = M B = δ δ Velikost této tažné síly tedy je : tah = r kde r je poloměr kruhového obvodu a δ je tzv. rameno valivého odporu. Jak je zřejmé, mechanismus valivého odporu je zcela jiný, než mechanismus smykového tření. Přesto se často uvádí v literatuře jako valivé tření. Zavedeme-li totiž substituci δ kde v nazveme koeicientem valivého odporu (valivého tření), v = bude se valivý odpor navenek projevovat stejně jako smykové tření - r - abychom těleso udrželi v u, musíme jej táhnout silou : = tah v
Obsah přednášky : smykové tření, tření v klínové drážce, čepové tření, vláknové tření, valivý odpor