Téma 2 Napětí a přetvoření

Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia Téma 2 Napětí a přetvoření Deformace a posun v tělese Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi, Hookeův zákon, fzikální konstant a pracovní diagram stavebních materiálů Deformace od změn teplot Katedra stavební mechanik Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Deformace a posun Vlivem zatížení nebo změn teplot se tělesa deformují, což lze popsat pomocí poměrných deformací nebo složek posunutí. Poměrné deformace: - délkové d d d dz z d dz (poměrné prodloužení nebo zkrácení) Deformace a posun v tělese 2 / 37

Deformace a posun Poměrné deformace: - úhlové (zkosení) d z dz z z d Teorie malých deformací: 1 Zjednodušení: 1 tan Deformace a posun v tělese 3 / 37

Poměrné deformace délkové d d d d z dz dz úhlové d z dz z z d prostý tah N N + +z + kroucení dz T + d d Deformace a posun v tělese 4 / 37

Stav přetvoření tělesa Stav přetvoření tělesa: tenzor, definovaný v pravoúhlé soustavě Tenzor deformace: Vektor deformace: Pouze 6 složek přetvoření T sm. z z z Geometrii deformovatelného tělesa lze popsat jednoznačně pomocí složek posunů libovolného bodu: u(,, z) v(,, z) z z z z z w(,, z) Deformace a posun v tělese 5 / 37

6 / 37 Geometrické rovnice u u u a u b u d ), ( ), d ( d d ) ( ) ( d d d d Deformace a posun v tělese

7 / 37 Geometrické rovnice Deformace a posun v tělese v u v v u u a v b v a u c u d ), ( ), d ( d ), ( ) d, ( d ) ( ) ( d ) ( ) ( 1 2

8 / 37 Geometrické rovnice u v z w z u v z v w z w z u z Vjadřují vztah mezi složkami poměrných deformací v tělese a složkami posunů libovolných bodů v tělese. Deformace a posun v tělese

Pracovní diagram Vztah napětí - deformace vjadřuje pracovní diagram. Závisí na fzikálních a mechanických vlastnostech materiálů. lim A 0 N A N A TAH l l Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 9 / 37

Pracovní diagram Osové namáhání - tah N N Téma č.1 Tahová zkouška oceli Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 10 / 37

Pracovní diagram Osové namáhání - tah Téma č.1 Přetržený vzorek oceli po tahové zkoušce Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 13 / 37

Pracovní diagram Osové namáhání - tah Téma č.1 Přetržený vzorek oceli po tahové zkoušce Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 14 / 37

Pracovní diagram Téma č.1 Tahová zkouška oceli, pracovní diagram Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 15 / 37

Pracovní diagram Pracovní diagram oceli, získaný tahovou zkouškou Normálové napětí Lineárně pružný materiál Téma č.1 Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi Poměrné přetvoření 18 / 37

Pracovní diagram Pracovní diagram oceli, získaný tahovou zkouškou Normálové napětí Plastické chování materiálu Téma č.1 Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi Poměrné přetvoření 19 / 37

Pracovní diagram Pracovní diagram oceli, získaný tahovou zkouškou Normálové napětí Trvalá deformace Téma č.1 Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi Poměrné přetvoření 20 / 37

Lineárně pružný materiál, Hookeův zákon E tan E TAH l l N A... poměrné prodloužení [-]... normálové napětí [Pa] E... modul pružnosti v tahu a tlaku (Youngův) [Pa] Hookeův zákon l l N A E l N. l E. A Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 21 / 37

22 / 37 Lineárně pružný materiál, Hookeův zákon (dříve )... Poissonův součinitel příčné deformace [-] E z.. 0,5 Při současném působení, a z z z E E E E.. 1.. obdobně z E.. 1 z z E.. 1 Fzikální rovnice -1.část Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi

Historické osobnosti Robert Hooke (1635-1703) Anglický fzik, přírodovědec a architekt, který jako první vslovil v roce 1676 zákon o úměrnosti mezi napětím a přetvořením. Thomas Young (1773-1829) Anglický učenec, v roce 1807 definoval matematick Hookeův zákon (modul pružnosti E). Simeon Denis Poisson (1781-1840) Francouzský matematik, zabývající se chováním materiálu a matematickou teorií pružnosti. Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 23 / 37

Smk, smková napětí d d Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 24 / 37

Lineárně pružný materiál, Hookeův zákon ve smku = G... modul pružnosti ve smku [Pa]... smkové napětí [Pa]... zkosení [-] Hookeův zákon ve smku G tan G = arctan G obdobně z G z z z G Fzikální rovnice -2.část Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 25 / 37

26 / 37 Fzikální rovnice Vjadřují vztah mezi složkami poměrných deformací a složkami napětí v tělese. G z z G z z G z E.. 1 z z E.. 1 z E.. 1 Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi

Fzikální konstant U izotropní látk není E, G a vzájemně nezávislé. E G 2. 1 0 0,5 E 3 G E 2 Orientační hodnot fzikálních konstant některých látek: E G Ocel 210 000 MPa 81 000 MPa 0,3 Sklo 70 000 MPa 28 000 MPa 0,25 Žula 40 000 až 100 000 MPa - 0,2 Dřevo jehličnaté E = 10 000 MPa E = 300 MPa 600 MPa - Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 27 / 37

Pracovní diagram betonu v tlaku Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 28 / 37

Fzikální konstant betonu Třída betonu E cm sečnový modul pružnosti G C12/15 27 000 MPa 0,42.E 0,2 C16/20 29 000 MPa C20/25 30 000 MPa C25/30 31 000 MPa C30/37 33 000 MPa C35/45 34 000 MPa C40/50 35 000 MPa C45/55 36 000 MPa C50/60 37 000 MPa Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 29 / 37

Návrhový pracovní diagram betonu v tlaku Parabolicko-rektangulární Bilineární Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 30 / 37

Pracovní diagram oceli Plasticita: schopnost materiálu deformovat se trvale bez porušení. Tažnost: plastické protažení přetržené tče, ocel 15%. Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 31 / 37

Pracovní diagram dřeva Pracovní diagram dřeva Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 32 / 37

Ideálně pružno-plastický materiál Pracovní diagram ideálně pružnoplastického materiálu Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 33 / 37

Přetvárná energie, ideálně pružno-plastický materiál Plocha 1. : přetvárná energie pružného materiálu E n,e Plocha 2. : přetvárná energie plastického materiálu E n,p Y A f 2. 0 1. Namáhání nárazem Kinetická energie nárazu: W m. v 2 2 W En Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 34 / 37

Omezené vužití plastických vlastností materiálu pracovní diagram každého materiálu závisí na rchlosti zatěžování a teplotě porušení ztráta pevnosti je mnohotvárný jev, někd vznikají tvárné-plastické deformace, jind je povah křehkého lomu (při nízkých teplotách, koncentrací napětí), který vzniká náhle při proměnném napětí opakujícím se v mnoha cklech se uplatní tzv. únava materiálu při napětích podstatně nižších než je f Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 35 / 37

Deformace od změn teplot. T, T, T z, T T t součinitel tepelné roztažnosti [ o C -1 ] z z 0 Ocel t =12.10-6 o C -1 Dřevo t =3.10-6 o C -1 Beton t =10.10-6 o C -1 Zdivo t =5.10-6 o C -1 Deformace od změn teplot 36 / 37

Okruh problémů k ústní části zkoušk 1. Deformace a posun v tělese, geometrické rovnice 2. Hookeův zákon, lineárně pružný materiál, fzikální konstant stavebních materiálů 3. Pracovní diagram stavebních materiálů 4. Nepružný a ideálně pružno-plastický materiál, tažnost 5. Deformace od změn teplot Podklad ke zkoušce 37 / 37