III. Semestrální práce

Licenční studium GALILEO STATISTICKÁ ANALÝZA DAT III. Semestrální práce 2.1 TVORBA LINEÁRNÍCH REGRESNÍCH MODELŮ PŘI ANALÝZE DAT Ing. Marek Bilko listopad, 2015

OBSAH 2.1 TVORBA LINEÁRNÍCH REGRESNÍCH MODELŮ PŘI ANALÝZE DAT 3 ÚLOHA 1. POROVNÁNÍ DVOU REGRESNÍCH PŘÍMEK U JEDNODUCHÉHO LINEÁRNÍHO REGRESNÍHO MODELU... 3 1) Zadání... 3 2) Data... 3 3) Výpočet... 4 I. Řešení dat získaných z HRC měřením... 5 4) Návrh lineárního modelu... 5 5) Prvotní statistická analýza dat... 5 6) Regresní diagnostika... 6 7) Analýza ostatních reziduí... 7 8) Grafy vlivných bodů... 8 9) Graf vlivných bodů... 11 10) Konstrukce zpřesněného modelu... 11 11) Zpřesněný model má tedy tvar:... 11 12) Závěr:... 11 II. Řešení dat získaných z HRC_početně... 12 13) Návrh lineárního modelu... 12 14) Prvotní statistická analýza dat... 12 15) Regresní diagnostika... 13 16) Konstrukce zpřesněného modelu... 18 17) Závěr:... 18 III. Řešení dat získaných HRC_měřením a HRC_početně... 19 18) Zpřesněný model má tedy tvar:... 19 19) Řešení... 20 20) Závěr:... 21 ÚLOHA 2. URČENÍ STUPNĚ POLYNOMU METODOU NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ... 22 1) Zadání... 22 2) Data... 22 3) Řešení... 23 4) Dílčí závěr:... 25 5) Závěr:... 26 ÚLOHA 3. VALIDACE NOVÉ ANALYTICKÉ METODY... 27 1) Zadání... 27 2) Data... 27 3) Řešení:... 27 4) Dílčí závěr vysvětlení grafů... 28 5) Odhady parametrů a testování významnosti... 29 6) Závěr:... 30 ÚLOHA 4. VÍCEROZMĚRNÝ LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL... 31 1) Zadání... 31 2) Data... 31 3) Návrh lineárního regresního modelu... 32 4) Model má tvar... 32 5) Závěr:... 33 LITERATURA... 33 Stránka 2 z 35

2.1 TVORBA LINEÁRNÍCH REGRESNÍCH MODELŮ PŘI ANALÝZE DAT ÚLOHA 1. POROVNÁNÍ DVOU REGRESNÍCH PŘÍMEK U JEDNODUCHÉHO LINEÁRNÍHO REGRESNÍHO MODELU (Včetně testování úseku a směrnice, s vyšetřením vlivných bodů a jejich event. odstraněním, posouzením míry spolehlivosti navrženého modelu). Test shodnosti dvou (nebo i více) přímek, test jejich paralelity a spolehlivého úseku. 1) Zadání Úkolem je porovnání dvou regresních křivek u jednoduchého lineárního modelu na hodnotu tvrdosti (HRC - ). Jedná se o lineární modely vytvořené z hodnot uhlíkového ekvivalentu (Ceq) oceli určené na železniční dvojkolí. První křivka regresního modelu byla získaná měřením a druhá výpočtem dle americké normy ASTM A255. Uhlíkový ekvivalent Ceq je ve své podstatě lineární funkcí (lineární transformací) chemického složení, vycházející z hm. obsahů 7 prvků (C, Mn, Cr, Mo, V, Cu, Ni) a počítá se podle vzorce: Ceq = C + Mn + Cr+Mo+V 6 5 + Cu+Ni, odkud lze po úpravě dostat (1) 15 Ceq = 1.00 C + 0.17 Mn + 0.20 (Cr + Mo + V) + 0.067 (Cu + Ni) (2) kde je Ceq - uhlíkový ekvivalent [hm. %], Me - (C, Mn, Cr, Mo, V, Cu, Ni) prvky chemické analýzy v oceli [hm. %]. Ze vztahu (3) lze zjistit, že největší vliv, váhu na Ceq má hm. obsah C a pětinovou váhu pak prvky Cr, Mo, V, a asi šestinovou váhu má Mn. 2) Data V prvním kroku byla data potřebná k analýze setříděná do přehledné tabulky. V dalším kroku, pomocí tabulkového procesoru MS Office Excel, bylo provedeno grafické zpracování dat a základní porovnání dvou lineárních regresních křivek. Cílem bylo odhalit a porovnat případné rozdíly. Analyzováno bylo celkem dat (n = 20) ze dvou parametrů a za níže uvedených kritérií. Stránka 3 z 35

TAVBA CEQ HRC_ MĚŘENÍ HRC_ POČETNĚ T1 0.874 56.8 55.4 T2 0.868 54.0 54.7 T3 0.863 54.9 54.0 T4 0.870 53.4 54.7 T5 0.864 52.9 54.3 T6 0.868 54.6 54.1 T7 0.863 56.5 53.7 T8 0.885 56.8 57.7 T9 0.881 54.1 57.1 T10 0.894 55.2 58.3 T11 0.880 56.9 56.6 T12 0.877 53.9 55.8 T13 0.875 54.0 54.6 T14 0.873 56.1 54.7 T15 0.880 54.9 55.6 T16 0.882 51.9 57.2 T17 0.867 52.4 54.5 T18 0.885 55.3 57.1 T19 0.879 52.4 56.0 T20 0.873 55.0 55.4 Obr. 1: Grafické porovnání dvou lineárních křivek regresních modelů. 3) Výpočet Použitý software : Adstat modul : Lineární regrese Regresní diagnostika MS Office Excel. V Ý S T U P ZVOLENA STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Omezení, P : 1.0000E-34 Transformace : Ne Váhy : Ne Absolutní člen zahrnut : Ano PODMÍNKY A KVANTILY PRO STATISTICKÉ TESTY: Hladina významnosti, alfa : 0.050 Počet bodů, n : 20 Počet parametrů, m : 2 Kvantil Studentova rozdělení t(1-alpha/2,n-m) : 2.101 Kvantil rozd. Chi-kvadrát Chi-square(1-alpha,m) : 5.991 Stránka 4 z 35

I. ŘEŠENÍ DAT ZÍSKANÝCH Z HRC MĚŘENÍM 4) Návrh lineárního modelu Y = β 0 + β 1 x 5) Prvotní statistická analýza dat Poloha a proměnlivost proměnných parametrů se posuzuje vždy z průměrné hodnoty a směrodatné odchylky. PROMĚNNÉ ANALÝZA DAT: Proměnná Průměr Směrodatná odchylka Kor.koef. Významnost y 54.625 1.5461 1.0000 x1 0.87575 0.008732 0.1817 0.443 ODHAD PARAMETRŮ: Parametr Odhad Směrodatná Test H0: B[j] = 0 vs. HA: B[j] <> 0 odchylka t-kritérium hypotéza H0 jehlad. výz. B[ 0] 26.46 35.928 0.73647 Akceptována 0.471 B[ 1] 32.161 41.024 0.78395 Akceptována 0.443 STATISTICKÁ REGRESNÍ ANALÝZA: Vícenásobný korelační koeficient, R : 0.1817 Koeficient determinace, R^2 : 0.033016 Predikovaný korelační koeficient, Rp^2 : 0.0000 Střední kvadratická chyba predikce, MEP : 2.6506 Akaikeho informační kritérium, AIC : 19.732 Hodnota párového korelačního koeficientu má výrazně nízkou hladinu, což ukazuje, navržený regresní model není významný Predikovaný koeficient determinace R 2 p ukazuje na predikční schopnost modelu, vysvětlovací schopnost je však velmi nízká. Kvadratická chyba predikce MPE a Aikaikeho informační kritérium AIC jsou užívany k rozlišení mezi několika navrženými modely, přičemž za optimální se považuje model, pro který je hodnota MPE a AIC minimální hodnoty. Stránka 5 z 35

6) Regresní diagnostika Obr. 2: Graf regresního modelu Obr. 3: Graf predikce reziduí ANALÝZA KLASICKÝCH REZIDUI Bod Měřená Predikovaná Směrodatná Klasické Relativní hodnota hodnota odchylka reziduum reziduum i yexp,i yvyp,i s(yvyp,i) ei eri 1 56.8000 54.5690 0.3566 2.2313 3.9283 2 54.0000 54.3760 0.4723-0.3758-0.6958 3 54.9000 54.2150 0.6290 0.6851 1.2478 4 53.4000 54.4400 0.4215-1.0401-1.9477 5 52.9000 54.2470 0.5953-1.3471-2.5465 6 54.6000 54.3760 0.4723 0.2242 0.4107 7 56.5000 54.2150 0.6290 2.2850 4.0443 8 56.8000 54.9220 0.5158 1.8775 3.3055 9 54.1000 54.7940 0.4103-0.6938-1.2825 10 55.2000 55.2120 0.8262-0.0119-0.0216 11 56.9000 54.7620 0.3904 2.1383 3.7580 12 53.9000 54.6650 0.3530-0.7652-1.4197 13 54.0000 54.6010 0.3506-0.6009-1.1127 14 56.1000 54.5370 0.3670 1.5634 2.7869 15 54.9000 54.7620 0.3904 0.1383 0.2520 16 51.9000 54.8260 0.4333-2.9260-5.6378 17 52.4000 54.3440 0.5009-1.9436-3.7091 18 55.3000 54.9220 0.5158 0.3775 0.6827 19 52.4000 54.7300 0.3739-2.3295-4.4457 20 55.5000 54.9870 0.5788 0.5132 0.9247 Reziduální součet čtverců RSC : 43.9180 Průměr absolutní hodnota reziduí, Me : 1.2034 Průměr relativních reziduí, Mer : 2.2080 Odhad reziduálního rozptylu, s 2 (e) : 2.4399 Odhad směrodatné odchylky reziduí, s(e) : 1.5620 Odhad šikmosti reziduí, g1(e) : -0.0903 Stránka 6 z 35

Odhad špičatosti reziduí, g2(e) : 2.2177 7) Analýza ostatních reziduí INDIKACE VLIVNÝCH BODŮ Bod Standardizované Jackknife Predikované Diagonální reziduum reziduum reziduum prvky i es[i] ej[i] ep[i] H[i,i] 1 1.4672 1.5196 2.3539 0.0521 2-0.2524-0.2457-0.4136 0.0914 3 0.4791 0.4686 0.8176 0.1621 4-0.6915-0.6811-1.1217 0.0728 5-0.9328-0.9293-1.5760 0.1452 6 0.1506 0.1465 0.2468 0.0914 7 1.5982 1.6766 2.7272 0.1621 8 1.2734 1.2973 2.1072 0.1090 9-0.4604-0.4501-0.7453 0.0690 10-0.0090-0.0087-0.0166 0.27974* 11 1.4138 1.4573 2.2808 0.0625 12-0.5029-0.4922-0.8064 0.0511 13-0.3948-0.3853-0.6328 0.0504 14 1.0297 1.0316 1.6548 0.0552 15 0.0915 0.0889 0.1475 0.0625 16-1.9497-2.1334* -3.1699 0.0769 17-1.3136-1.3426-2.1663 0.1028 18 0.2560 0.2493 0.4237 0.1090 19-1.5360-1.6014-2.4711 0.0573 20 0.3537 0.3450 0.5949 0.1373 VĚROHODNOSTI VZDÁLENOSTI: Bod i LD(b)[i] LD(s^2)[i] LD(b,s^2)[i] 1 0.1311 0.0594 0.2013 2 0.0071 0.0224 0.0292 3 0.0493 0.0146 0.0621 4 0.0417 0.0059 0.0466 5 0.1636 0.0000 0.1640 6 0.0025 0.0246 0.0270 7 0.5418 0.1071 0.7151 8 0.2193 0.0189 0.2490 9 0.0174 0.0154 0.0321 10 0.0000 0.0259 0.0259 11 0.1474 0.0451 0.2032 12 0.0151 0.0136 0.0282 13 0.0092 0.0179 0.0267 14 0.0687 0.0009 0.0704 15 0.0006 0.0254 0.0260 16 0.3490 0.3682 0.7923 Stránka 7 z 35

17 0.2185 0.0249 0.2558 18 0.0089 0.0223 0.0308 19 0.1587 0.0820 0.2562 20 0.0221 0.0194 0.0405 8) Grafy vlivných bodů Obr. 4: Graf predikovaných reziduí Obr. 5: Pregibonův graf Obr. 6: Williamsův graf Obr. 7: McCullon-Meeterův graf Obr. 8: L-R graf Stránka 8 z 35

Obr. 9: Indexový graf Andrews Obr. 10: Indexový graf normálního rozdělení Obr. 11: Indexový graf prvky matice Rankitové grafy Obr. 12: Rankitový graf normalizovaná rezidua Obr. 13: Rankitový graf Andrews Stránka 9 z 35

Obr. 14: Rankitový graf predikovaná rezidua Obr. 15: Rankitový grafjackknife rezidua TESTOVÁNÍ REGRESNÍHO TRIPLETU (DATA + MODEL + METODA): Fisherův-Snedocorův test významnosti regrese,f : 0.6146 Tabulkový kvantil, F(1-alpha,m-1,n-m) : 4.4139 Závěr: Navržený model není přijat jako významný Spočtená hladina významnosti : 0.4430 Scottovo kriterium multikolinearity, M : 0.0000 Závěr: Navržený model je korektní. Cook-Weisberg v test heteroskedasticity, Sf : 9.4157 Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,1) : 3.8415 Závěr: Rezidua vykazují heteroskedasticitu. Spočtená hladina významnosti : 0.0020 Jarque-Berraův test normality reziduí, L(e) : 0.5371 Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,2) : 5.9915 Závěr: Normalita je přijata. Spočtená hladina významnosti : 0.7640 Waldův test autokorelace, Wa : 0.1183 Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,1) : 3.8415 Závěr: Rezidua nejsou autokorelována. Spočtená hladina významnosti : 0.7310 Znamenkový test, Dt : 0.6892 Tabulkový kvantil, N(1-alpha/2) : 1.6449 Závěr: Rezidua nevykazují trend. Spočtená hladina významnosti : 0.2450 Stránka 10 z 35

9) Graf vlivných bodů Obr. 16: Autokorelační graf Obr. 17: Graf heteroskedascity 10) Konstrukce zpřesněného modelu Po odstranění vlivných bodů 16 a 7 identifikovaných v grafech byly nalezeny odhady nových parametrů u zpřesněného modelu. Parametr Odhad Směrodatná Test H0: Bj = 0 vs. HA: Bj<> 0 odchylka t-kritérium hypotéza H0 je Hlad. význam. B[ 0] -6.6915 33.0280-0.2026 Akceptována 0.8420 B[ 1] 70.0410 37.6970 1.8580 Akceptována 0.0820 11) Zpřesněný model má tedy tvar: Y = 6.6915 + 70.0410x Vícenásobný korelační koeficient, R : 0.4213 Koeficient determinace, R^2 : 0.1775 Predikovaný korelační koeficient, Rp^2 : 0.0306 Střední kvadratická chyba predikce, MEP : 1.9113 Akaikeho informační kritérium, AIC : 12.1600 12) Závěr: Po odstranění vlivných bodů došlo ke zpřesnění regresního modelu. Koeficient determinace tedy vysvětlovací schopnost modelu se nepatrně zvýšil, nicméně z pohledu statistiky lze konstatovat, že model je sice lepší, ale má malou vysvětlovací schopnost. Stránka 11 z 35

Použitý software: Adstat MS Office Excel. V Ý S T U P II. ŘEŠENÍ DAT ZÍSKANÝCH Z HRC_POČETNĚ 13) Návrh lineárního modelu Y = β 0 + β 1 x 14) Prvotní statistická analýza dat Poloha a proměnlivost proměnných parametrů se posuzuje vždy z průměrné hodnoty a směrodatné odchylky. PROMĚNNÉ ANALÝZA DAT: Proměnná Průměr Směrodatná odchylka Kor.koef. Významnost y 55.5750 1.3529 1.0000 x1 0.8751 0.0083 0.9486 0.0000 ODHAD PARAMETRŮ: Parametr Odhad Směrodatná Test H0: B[j] = 0 vs. HA: B[j] <> 0 odchylka t-kritérium hypotéza H0 jehlad. význam. B[0] -79.1160 10.5880-7.4720 Zamítnuta 0.0000 B[1] 153.9200 12.1000 12.7210 Zamítnuta 0.0000 STATISTICKÁ REGRESNÍ ANALÝZA: Vícenásobný korelační koeficient, R : 0.9486 Koeficient determinace, R^2 : 0.8999 Predikovaný korelační koeficient, Rp^2 : 0.9386 Střední kvadratická chyba predikce, MEP : 0.2075 Akaikeho informační kritérium, AIC : -30.9680 Hodnota párového korelačního koeficientu má výrazně nízkou hladinu, což ukazuje, navržený regresní model není významný Predikovaný koeficient determinace R 2 p ukazuje na predikční schopnost modelu, vysvětlovací schopnost je však velmi nízká. Kvadratická chyba predikce MPE a Aikaikeho informační kritérium AIC jsou užívaný k rozlišení mezi několika navrženými modely, přičemž za optimální se považuje model, pro který je hodnota MPE a AIC minimální hodnoty. Stránka 12 z 35

15) Regresní diagnostika Obr. 18: Regresní model Obr. 19: Graf predikce rezidua ANALÝZA KLASICKÝCH REZIDUI Bod Mřená Predikovaná Směrodatná Klasické Relativní hodnota hodnota odchylka reziduum reziduum i yexp,i yvyp,i s(yvyp,i) ei eri 1 55.4000 55.4130 0.0092-0.0134-0.0242 2 54.7000 54.4900 0.1302 0.2102 0.3842 3 54.0000 53.7200 0.1759 0.2798 0.5181 4 54.7000 54.7980 0.1158-0.0977-0.1786 5 54.3000 53.8740 0.1660 0.4259 0.7843 6 54.1000 54.4900 0.1302-0.3898-0.7206 7 53.7000 53.7200 0.1759-0.0202-0.0377 8 57.7000 57.1070 0.1555 0.5935 1.0285 9 57.1000 56.4910 0.1219 0.6092 1.0668 10 58.3000 58.4920 0.2495-0.1919-0.3291 11 56.6000 56.3370 0.1151 0.2631 0.4648 12 55.8000 55.8750 0.1011-0.0751-0.1347 13 54.6000 55.5670 0.0983-0.9673-1.7716 14 54.7000 55.2590 0.1014-0.5595-1.0228 15 55.6000 56.3370 0.1151-0.7369-1.3254 16 57.2000 56.6450 0.1294 0.5552 0.9707 17 54.5000 54.3360 0.1384 0.1641 0.3011 18 57.1000 57.1070 0.1555-0.0065-0.0114 19 56.0000 56.1830 0.1093-0.1830-0.3268 20 55.4000 55.2590 0.1014 0.1405 0.2537 Reziduální součet čtverců RSC : 3.4810 Průměr absolutní hodnota reziduí, Me : 0.3241 Průměr relativních reziduí, Me,r : 0.5828 Odhad reziduálního rozptylu, s 2 (e) : 0.1934 Odhad směrodatné odchylky reziduí, s(e) : 0.4398 Odhad šikmosti reziduí, g1(e) : -0.5606 Odhad špičatosti reziduí, g2(e) : 2.8020 Stránka 13 z 35

ANALÝZA OSTATNÍCH REZIDUÍ INDIKACE VLIVNÝCH BODŮ Bod Standardizované Jackknife Predikované Diagonální reziduum reziduum reziduum prvky i es[i] ej[i] ep[i] H[i,i] 1-0.0312-0.0304-0.0141 0.0508 2 0.5003 0.4897 0.2304 0.0876 3 0.6941 0.6838 0.3330 0.1599 4-0.2303-0.2241-0.1050 0.0693 5 1.0457 1.0486 0.4966 0.1424 6-0.9281-0.9243-0.4273 0.0876 7-0.0502-0.0488-0.0241 0.1599 8 1.4426 1.4908 0.6782 0.1250 9 1.4417 1.4897 0.6598 0.0768 10-0.5298-0.5189-0.2829 0.3219 11 0.6199 0.6089 0.2824 0.0685 12-0.1756-0.1708-0.0793 0.0529 13-2.2568-2.5900-1.0182 0.0500 14-1.3074-1.3356-0.5909 0.0532 15-1.7363-1.8493-0.7912 0.0685 16 1.3210 1.3510 0.6079 0.0866 17 0.3931 0.3837 0.1821 0.0991 18-0.0159-0.0154-0.0075 0.1250 19-0.4296-0.4197-0.1951 0.0618 20 0.3284 0.3201 0.1484 0.0532 VĚROHODNOSTI VZDÁLENOSTI Bod i LD(b)[i] LD(s^2)[i] LD(b,s^2)[i] 1 0.0001 0.0258 0.0259 2 0.0267 0.0137 0.0395 3 0.1017 0.0058 0.1053 4 0.0044 0.0230 0.0272 5 0.2008 0.0013 0.2054 6 0.0917 0.0001 0.0918 7 0.0005 0.0257 0.0262 8 0.3275 0.0525 0.4072 9 0.1912 0.0522 0.2586 10 0.1474 0.0125 0.1553 11 0.0314 0.0087 0.0392 12 0.0019 0.0242 0.0260 13 0.2957 0.8710 1.2656 14 0.1064 0.0239 0.1359 15 0.2450 0.1822 0.4635 16 0.1829 0.0261 0.2195 17 0.0189 0.0180 0.0360 18 0.0000 0.0259 0.0259 Stránka 14 z 35

19 0.0135 0.0166 0.0295 20 0.0067 0.0202 0.0266 Grafy vlivných bodů Obr. 20: Graf predikovaných reziduí Obr. 21: Pregibonův graf Obr. 22: Williamsův graf Obr. 23: McCulloh-Meetergův graf Obr. 24: L-R graf Stránka 15 z 35

Obr. 25: Graf index-anderews Obr. 26:Graf index normalizovaná rezidua Obr. 27: Graf index prvky hat-matice Rankitové grafy Obr. 28:Rankitový graf normalizovaná rezidua Obr. 29: Rankitový graf Andrews Stránka 16 z 35

Obr. 30: Rankitový graf predikovaná rezidua Obr. 31: Rankitový graf Jacknife rezidua TESTOVÁNÍ REGRESNÍHO TRIPLETU (DATA + MODEL + METODA): Fisherův-Snedocorův test významnosti regrese,f : 161.8300 Tabulkový kvantil, F(1-alpha,m-1,n-m) : 4.4139 Závěr: Navržený model není přijat jako významný Spočtená hladina významnosti : 0.0000 Scottovo kriterium multikolinearity, M : 0.0000 Závěr: Navržený model je korektní. Cook-Weisbergův test heteroskedasticity, Sf : 157.4000 Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,1) : 3.8415 Závěr: Rezidua vykazujˇ heteroskedasticitu. Spočtená hladina významnosti : 0.0020 Jarque-Berraův test normality reziduí, L(e) : 1.0802 Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,2) : 5.9915 Závěr: Normalita je přijata. Spočtená hladina významnosti : 0.5830 Waldův test autokorelace, Wa : 0.7878 Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,1) : 3.8415 Závěr: Rezidua nejsou autokorelována. Spočtená hladina významnosti : 0.3750 Znaménkový test, Dt : 0.2786 Tabulkový kvantil, N(1-alpha/2) : 1.6449 Závěr: Rezidua nevykazují trend. Spočtená hladina významnosti : 0.3900 Stránka 17 z 35

Graf vlivných bodů Obr. 32: Autokorelační graf Obr. 33: Graf heteroskedasticity 16) Konstrukce zpřesněného modelu Důkladnou analýzou grafů byly identifikovány dva vlivné body. Jednalo se o jeden extrém bod č. 13 (bude odstraněn) a druhý bod s charakterem odlehlé hodnoty je bod č. 10. Po odstranění vlivného bodu, který byl v grafech identifikovaný, byly nalezeny odhady nových parametrů u zpřesněného modelu. Parametr Odhad Směrodatná Test H0: Bj = 0 vs. HA: Bj<> 0 odchylka t-kriterium hypotéza H0 je Hlad. význam. B[ 0] -79.031 9.2261-8.5660 Zamítnuta 0.0000 B[ 1] 153.880 0.10543 14.5960 Zamítnuta 0.0000 Zpřesněný model má tedy tvar: Y = 79.031 ( 9.2261) + 153.880 ( 0.10543) STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY REGRESE Vícenásobný korelační koeficient, R : 0.9623 Koeficient determinace, R^2 : 0.92610 Predikovaný korelační koeficient, Rp^2 : 0.95365 Střední kvadratická chyba predikce, MEP : 0.16098 Akaikeho informační kritérium, AIC : -34.560 17) Závěr: Po odstranění vlivných bodů došlo ke zpřesnění regresního modelu. Koeficient determinace, tedy vysvětlovací schopnost modelu, se nepatrně zvýšil a nyní je navržený model přesnější. Stránka 18 z 35

III. ŘEŠENÍ DAT ZÍSKANÝCH HRC_MĚŘENÍM A HRC_POČETNĚ Použitý software : Adstat modul : Lineární regrese Regresní diagnostika MS Office Excel. 18) Zpřesněný model má tedy tvar: Y = β 0 + β 1 x PŘEDBĚŽNÁ ANALÝZA DAT ZVOLENÁ STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Omezení, P : 1.0000E-34 Transformace : Ne Váhy : Ne Absolutní člen zahrnut : Ano PODMÍNKY A KVANTILY PRO STATISTICKÉ TESTY: Hladina významnosti, alfa : 0.050 Počet bodů, n : 20 Počet parametrů, m : 2 Kvantil Studentova rozdělení t(1-alpha/2,n-m) : 2.101 Kvantil rozd. Chí-kvadrát Chi-square(1-alpha,m) : 5.991 Navržený model: Y=β0+ β1 x ODHADY PARAMETRŮ A TESTY VÝZNAMNOSTI Parametr Odhad Směrodatná Test H0: Bj = 0 vs. HA: Bj<> 0 odchylka t-kriterium hypotéza H0 je Hlad. význam. B[ 0] 50.400 11.205 4.4982 Zamítnuta 0.0000 B[ 1] 0.09473 0.2050 0.46202 Akceptována 0.650 Stránka 19 z 35

Obr. 34: Graf regresního modelu HRC_M Obr. 35: Graf regresního modelu HRC_P Obr. 36: Graf regresního modelu HRC_M+ HRC_P Obr. 37: Graf predikce rezidua pro HRC_M+ HRC_P 19) Řešení K testování shody přímek se nyní použije kritérium Fch ANALÝZA KLASICKÝCH REZIDUÍ Reziduální součet čtverců, RSC : 0.3437 Průměr absolutních hodnot reziduí, Me : 1.1247 Průměr relativních reziduí, Mer : 2.0158 Odhad reziduálního rozptylu, s 2 (e) : 1.9094 Odhad směrodatné odchylky reziduií, g1(e) : 0.43937 Odhad špičatosti reziduí, g2(e) : 2.0652 Počet bodů, n : 40 Počet parametrů, m : 2 HRC_M : 43.9180 HRC_P : 3.4810 HRC_M + RHC_P : 0.3431 Stránka 20 z 35

F CH = F CH = (RSC1,2 RSCR2 RSC2) (N 2m) (RSC1 + RSCR2) (m) (0.3431 43.4180 3.4810) (20 2 2) (43.9180 + 3.4810) (2) F CH = -31.4308 20) Závěr: V hodnocení výsledku regresní analýzy lze vyjádřit závěr, že mezi oběma metodami je rozdíl statisticky významný. Je zřejmé, že metoda početní tedy na základě chemického složení není přesná, a proto lze výsledky získané právě touto metodou brát jen velmi opatrně. Stránka 21 z 35

ÚLOHA 2. URČENÍ STUPNĚ POLYNOMU METODOU NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ Metodou MNČ a RH křivky závislosti (porovnání obou metod vede k odstranění multikolinearity, testování statistické významnosti nalezených parametrů, vyšetření regresního tripletu metodou regresní diagnostiky, zdůvodnění a výklad všech užitých diagnostik a statistik). 1) Zadání K analýze byla vybrána data z měření meteo-stanice dvou dnů 48-hodinového cyklu v Třineckých železárnách, a.s. z měsíce září 2015. K testování byla vybrána data teploty a tlaku nasycené páry, tyto proměnné faktory můžou mít jistou souvislost s průběhem ochlazování ocelových odlitků. Pro testování statistické významnosti nalezených parametrů a porovnání obou metod MNČ a RH křivkové závislosti. Úkolem daného postupu je odstranění multikolinearity, testování vyšetření regresního tripletu metodou regresní diagnostiky, zdůvodnění a výklad všech užitých diagnostik a statistik. 2) Data X = teplota [ C] Y = tlak vodní páry X Y X Y X Y X Y 17.7 20.2 17.2 19.5 25.1 31.8 24.7 34.5 20.0 23.4 17.4 19.7 24.2 30.1 22.3 33.8 21.0 27.9 17.2 19.5 23.3 28.4 24.4 30.4 21.3 28.2 17.0 19.3 21.6 25.7 23.2 28.3 23.7 29.3 17.4 19.7 19.6 22.7 22.0 26.3 24.4 30.4 18.2 20.8 18.2 20.7 20.5 24.0 24.3 30.2 19.3 22.2 17.4 19.7 19.2 22.1 23.4 31.7 20.9 24.6 17.2 19.6 17.7 20.1 24.9 32.7 23.4 28.8 17.2 19.5 15.0 17.0 25.8 33.2 25.0 31.7 17.1 19.4 12.2 14.1 Použitý software : Adstat modul : Lineární regrese Regresní diagnostika Stránka 22 z 35

3) Řešení V Ý S T U P ZVOLENA STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Analýza vlivných bodů pomocí diagnostiky grafů. V dalším kroku určit stupeň polynomu s odhalením nejlepších odhadů, následované odhadem parametrů metodou racionálních hodností. V posledním kroku diagnostika vlivných bodů pomocí diagnostických grafů. ZVOLENÁ STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Omezení, P : 1.0000E-34 Transformace : Ne Váhy : Ne Absolutní člen zahrnut : Ano PODMÍNKY A KVANTILY PRO STATISTICKÉ TESTY: Hladina významnosti, alfa : 0.050 Počet bodů, n : 40 Počet parametrů, m : 2 Kvantil Studentova rozdělení t(1-alpha/2,n-m) : 2.024 Kvantil rozd. Chí-kvadrát Chi-square(1-alpha,m) : 5.991 Obr. 38: Williamsův graf Obr. 39: Pregibonův graf Stránka 23 z 35

Obr. 40:L-R graf Studiem výše uvedených grafů byl identifikován jako vlivný bod číslo 31, 32, 40. Proto budou tyto vlivné body z datového souboru odstraněny a následně provedena analýza. Určení stupně polynomu a nalezení nejlepších odhadů ZVOLENÁ STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Omezení, P : 1.0000E-34 Transformace : polynom stupeň polynomu :1-6 Váhy : Ne Absolutní člen zahrnut : Ano PODMÍNKY A KVANTILY PRO STATISTICKÉ TESTY: Hladina významnosti, alfa : 0.050 Počet bodů, n : 40 Počet parametrů, m : 2 Kvantil Studentova rozdělení t(1-alpha/2,n-m) : 2.024 Kvantil rozd. Chí-kvadrát Chi-square(1-alpha,m) : 5.991 K určení stupně polynomu porovnáváme v tabulce uvedené statistické charakteristiky pro stupně Stupeň polynomu (m) MEP R 2 p AIC 1 0.73 0.98-0.08 2 0.78 0.98-9.16 3 0.77 0.98-8.33 4 1.55 0.97-6.91 5 0.16 0.97-6.10 6-5.00 0.93-5.00 7 250.04 0.00 187.50 Stránka 24 z 35

Obr. 41: Graf průběhu změn hodnot MEP, R 2 p a AIC 4) Dílčí závěr: Testováním byly odhaleny dvě možná řešení. Minimální stupeň polynomu pro nejjednodušší model je pro polynom m = 1, nejtěsnějšího proložení bylo dosaženo u polynomu m = 5-tého stupně. Tabulka stupně polynomu m = 1 Parametr Odhad Směrodatná Test H0: B[j] = 0 vs. HA: B[j] <> 0 odchylka t-kritérium hypotéza H0 jehlad. výz. B[0] -7.4076 1.4005-5.2893 Zamítnuta 0.000 B[1] 1.5801 0.0673 0.2347 Zamítnuta 0.000 Y = 7.4076 ( 1.4005) + 1.5801 ( 0.0673) Obr. 42:Regresní graf V tabulkách jsou uvedeny hodnoty odhadů parametrů j a testů významnosti. Lze tedy konstatovat, že tyto nalezené hodnoty parametrů jsou statistický významné. Proto, není nutné hledat hodnotu omezení P. Je, tedy žádoucí použít metodu nejmenších čtverců. Stránka 25 z 35

Tabulka stupně polynomu m = 5 Parametr Odhad Směrodatná Test H0: B[j] = 0 vs. HA: B[j] <> 0 odchylka t-kritérium hypotéza H0 je Hlad. výz. B[ 0] -24374.00000 25423.00000-0.95876 Akceptována 0.345 B[ 1] 7230.20000 7638.70000 0.94652 Akceptována 0.351 B[ 2] -885.37000 949.63000-0.93233 Akceptována 0.359 B[ 3] 57.32900 62.53600 0.91672 Akceptována 0.367 B[ 4] -2.07050 2.30130-0.89971 Akceptována 0.375 B[ 5] 0.03956 0.04488 0.88151 Akceptována 0.385 Y = 2589.8 ( 2843.6) + 672.4300 ( 718.6900) 68.8370 ( 72.0040) +3.4895 ( 3.5754) 0.0874 ( 0.0880) + Obr. 43:L-R graf 5) Závěr: Zvolením stupně polynomu m = 1 je získán základní jednoduchý model. Ale podstatou této úlohy je získat model s co možná nejtěsnějším proložením, které je dosažitelné. Bylo zapotřebí provést celkem pět stupňů polynomů m = 5. Stránka 26 z 35

ÚLOHA 3. VALIDACE NOVÉ ANALYTICKÉ METODY (Vyšetření regresního tripletu testujte a diskutujte statistickou významnost jednotlivých parametrů v modelu stejně jako i jejich fyzikální smysl, zdůvodnění a výklad všech užitých diagnostik a statistik). 1) Zadání V metalurgii při výrobě oceli dochází ve výrobním toku k jejímu znečištění nekovovými vměstky. Tyto nekovové částice velmi malých rozměrů způsobují zhoršení kvalitativních vlastností, které mohou být zdrojem vad materiálu. Pro lepší a kvalitnější materiál s eliminací těchto nedostatků slouží normované metodiky odhalující tyto vměstky, čímž se zajistí garance kvality. Úkolem, je vyšetřit, která ze dvou metod stanovování mikročistoty oceli je účinnější. Jedná se o normovanou metodiku DIN 50602 a metodiku EN 10247 aplikované na cementačních ocelích. 2) Data X = DIN 50602 Y = EN 10247 X y 12,4 3,7 0,12 0,3 0,53 1.00 1.00 0,8 1,38 0,3 0,45 0,3 0,46 0,5 2,42 11.00 1,2 0,03 0.5 0,03 Použitý software : Adstat modul : Lineární regrese Regresní diagnostika MS Office Excel. 3) Řešení: V Ý S T U P ZVOLENA STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Analýza vlivných bodů pomocí diagnostiky grafů. V dalším kroku určit stupeň polynomu s odhalením nejlepších odhadů, následované odhadem parametrů metodou racionálních hodností. V posledním kroku diagnostika vlivných bodů pomocí diagnostických grafů. Stránka 27 z 35

ZVOLENÁ STRATEGIE REGRESNÍ ANALÝZY: Omezení, P : 1.0000E-34 Transformace : Ne Váhy : Ne Absolutní člen zahrnut : Ano PODMÍNKY A KVANTILY PRO STATISTICKÉ TESTY: Hladina významnosti, alfa : 0.050 Počet bodů, n : 11 Počet parametrů, m : 2 Kvantil Studentova rozdělení t(1-alpha/2,n-m) : 2.262 Kvantil rozd. Chí-kvadrát Chi-square(1-alpha,m) : 5.991 Obr. 44: Graf predikovaných reziduí Obr. 45: McCulloh-Meterův graf Obr. 46:L-R graf 4) Dílčí závěr vysvětlení grafů V grafech byl identifikován jeden vlivný bod (4), který ovšem odstraňovat nebudeme pro malý počet dat. Dále byl pomocí grafu odhalen jeden odlehlý bod (1). Stránka 28 z 35

5) Odhady parametrů a testování významnosti Tabulka stupně polynomu m = 1 Parametr Odhad Směrodatná Test H0: B[j] = 0 vs. HA: B[j] <> 0 odchylka t-kritérium hypotéza H0 je Hlad. výz. B[0] 0.1807 0.6618 2.7306 Zamítnuta 0.023 B[1] 0.28322 0.0673 16.218 Zamítnuta 0.000 Navržený model bude ve tvaru: Y = 0.1807 ( 0.6618) + 0.28322 ( 0.0673) Testování úseku Jestliže interval spolehlivosti úseku obsahuje nulu, lze úsek považovat za nulový. b 0 t 1 α 2(n m) D(b 0 ) β0 b 0 + t α 1 D(b 0 ) 2(n m) 0.1807 2.262 0.6618 β0 0.1807 + 2.262 0.6618 1. 3163 β0 1. 6777 Závěr testování úseku: Interval spolehlivosti úseku obsahuje 0, lze úsek považovat za nulový. Testování směrnice Jestliže interval spolehlivosti směrnice obsahuje jedničku, lze úsek považovat za jednotkovou b 1 t α 1 D(b 1 ) β1 b 1 + t α 1 D(b 1 ) 2(n m) 2(n m) 0.28322 2.262 0.0673 β0 0.1807 + 2.262 0.0673 0. 1310 β0 0. 3329 Závěr testování směrnice: Interval spolehlivosti směrnice neobsahuje 1, směrnici považujeme za nulovou. STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY REGRESE Vícenásobný korelační koeficient, R : 0.98332 Koeficient determinace, R^2 : 0.96691 Predikovaný korelační koeficient, Rp^2 : 0.95208 Střední kvadratická chyba predikce, MEP : 0.091284 Akaikeho informační kritérium, AIC : -33.764 Interval spolehlivosti směrnice D = R 2 = 96.7 %, což je vysoká vysvětlovací schopnost modelu. MEP a AIC jsou kritériem pro rozhodování se mezi několika modely. Přičemž za optimální model lze považovat takový, který má minimální hodnoty MEP a AIC, ale maximální hodnotu R 2 p. Stránka 29 z 35

Obr. 47: Graf regresního modelu 6) Závěr: Závěrem lze konstatovat, že interval spolehlivosti obsahuje 0, metoda je zatížená systematickou chybou. Interval spolehlivosti směrnice neobsahuje jedničku, metoda podhodnocuje a také nadhodnocuje. Nová metoda stanovení nekovových vměstků v oceli je neúspěšně validována. Stránka 30 z 35

ÚLOHA 4. VÍCEROZMĚRNÝ LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL (Vyšetřením regresního tripletu nalezněte nejlepší model, využijte regresní diagnostiku a pomocí parciálních regresních a parciálních grafů diskutujte významnost jednotlivých parametrů v modelu stejně jako i jejich fyzikální smysl).(vyšetření regresního tripletu testujte a diskutujte statistickou významnost jednotlivých parametrů v modelu stejně jako i jejich fyzikální smysl, zdůvodnění a výklad všech užitých diagnostik a statistik). 1) Zadání Při zavádění nových prvků technologie výroby oceli je nutno tyto změny otestovat v praxi. Následně z výsledků různých analytických metod rozhodnout, zda změna technologie má pozitivní nebo negativní dopad na čistotu oceli, která je úzce spojená s kvalitativními vlastnostmi konečných výrobku. Výběr několika taveb, kde bylo aplikováno testování nového vápníkem plněného profilu vstřelovaného do lázně oceli v závěru jejího zpracování. Bude testována signifikace množství profilu, rychlost podáváni, obsah Ca v oceli a obsah Al v oceli na sumární hustotu nekovových vměstků. Cílem testování je zjistit míru jejich významnosti a navrhovaného vícerozměrného lineárního modelu. 2) Data TAVBA PROF_CA RYCH_PROF m/s HUST_INC 1/cm 2 INC_O INC_Al INC_Ca OC_AL OC_CA T1 13 2.5 6187 12.98 22.02 11.34 0,027 0,0012 T2 12 2.5 6453 11.02 18.24 9.99 0,03 0,0014 T3 14 2.5 5178 13.09 21.96 13.02 0,024 0,0012 T4 9 2 6240 9.40 13.77 16.41 0,036 0,0021 T5 18 2 4978 13.12 22.88 12.59 0,024 0,0018 T6 16 1 4409 10.27 16.18 18.13 0,028 0,0012 T7 20 2 5156 18.75 30.37 31.10 0,038 0,0021 T8 15 2 5227 20.56 35.00 26.60 0,033 0,0017 T9 15 2 5796 17.77 27.04 28.57 0,027 0,0021 T10 15 2 5938 17.44 26.71 29.71 0,031 0,0024 T11 15 2 6596 19.61 32.40 22.07 0,033 0,0017 T12 15 2 5120 16.53 24.72 30.41 0,034 0,0024 Stránka 31 z 35

3) Návrh lineárního regresního modelu Y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 ZÁKLADNÍ ANALÝZY Item Value Rows Value Dependent Variable HUST_INC_1_cm2 Rows Processed 12 Number Ind. Variables 4 Rows Filtered Out 0 Weight Variable None Rows with X's Missing 0 R² 0,5766 Rows with Weight Missing 0 Adj R² 0,3346 Rows with Y Missing 0 Coefficient of Variation 0,0998 Rows Used in Estimation 12 Mean Square Error 313145,3 Sum of Weights 12,000 Square Root of MSE 559,5939 Ave Abs Pct Error 5,945 Completion Status Normal Completion REGRESSION COEFFICIENTS T-TESTS Regression Standard Standard- T-Statistic Reject Power Independent Coefficient Error ized to Test Prob H0 at of Test Variable b(i) Sb(i) Coefficient H0: β(i)=0 Level 5,0%? at 5,0% Intercept 4468,361 2044,757 0,0000 2,185 0,0651 No 0,4701 OC_Al 33101,71 45345,33 0,2192 0,730 0,4891 No 0,0973 OC_Ca 93947,66 456383,3 0,0618 0,206 0,8428 No 0,0537 PROF_CA -112,0661 65,75193-0,4521-1,704 0,1321 No 0,3140 RYCH_PROF_m_s 792,137 454,9425 0,4578 1,741 0,1252 No 0,3252 Standard Variable Count Mean Deviation Minimum Maximum OC_Al 12 0,03041667 0,004541893 0,024 0,038 OC_Ca 12 0,001775 0,0004515126 0,0012 0,0024 PROF_CA 12 14,75 2,767506 9 20 RYCH_PROF_m_s 12 2,041667 0,3964807 1 2,5 HUST_INC_1_cm2 12 5606,267 686,005 4408,875 6595,556 4) Model má tvar HUST_INC_1_cm2 = 4468,36108465494 + 33101,7063429568 * OC_Al + 93947,6612264075 * OC_Ca - 112,066100382197 * PROF_CA + 792,137044860106 * RYCH_PROF_m_s Stránka 32 z 35

Obr. 48:Pravděpodobnostní graf Obr. 49: Bodový graf 5) Závěr: Aplikaci vícerozměrné lineární regrese na datech experimentálního charakteru zkoumající vliv čtyř parametrů (hliníku v oceli, vápníku v oceli, množství vstřelovaného vápníku do taveniny a rychlost jeho vstřelování) nemají ze statistického pohledu významnost) na regresand. Hustota vměstků je tedy ovlivněna jinou/jinými proměnnými které zde nejsou uvedeny. LITERATURA [1] Meloun, M., Militký, J., Hill, M., Statistická analýza vícerozměrných dat v příkladech, Academia, Praha, 2012, ISBN 978 80-200-2071-0. [2] Kupka, K., Statistické řízení jakosti, TriloByte, Pardubice, 1997. [3] Meloun, M., Militký, J., Kompendium statistického zpracování dat, Academia, Praha, 2012, ISBN 978-80-246-2196-8. [4] Adstat 2.0 uživatelský manuál, Trilobite statistical software, TRILOBYTE, s.r.o., Pardubice, 1992-1993 Stránka 33 z 35

SEZNAM OBRÁZKŮ Obr. 1: Grafické porovnání dvou lineárních křivek regresních modelů.... 4 Obr. 2: Graf regresního modelu... 6 Obr. 3: Graf predikce reziduí... 6 Obr. 4: Graf predikovaných reziduí... 8 Obr. 5: Pregibonův graf... 8 Obr. 6: Williamsův graf... 8 Obr. 7: McCullon-Meeterův graf... 8 Obr. 8: L-R graf... 8 Obr. 9: Indexový graf Andrews... 9 Obr. 10: Indexový graf normálního rozdělení... 9 Obr. 11: Indexový graf prvky matice... 9 Obr. 12: Rankitový graf normalizovaná rezidua... 9 Obr. 13: Rankitový graf Andrews... 9 Obr. 14: Rankitový graf predikovaná rezidua... 10 Obr. 15: Rankitový grafjackknife rezidua... 10 Obr. 16: Autokorelační graf... 11 Obr. 17: Graf heteroskedascity... 11 Obr. 18: Regresní model... 13 Obr. 19: Graf predikce rezidua... 13 Obr. 20: Graf predikovaných reziduí... 15 Obr. 21: Pregibonův graf... 15 Obr. 22: Williamsův graf... 15 Obr. 23: McCulloh-Meetergův graf... 15 Obr. 24: L-R graf... 15 Obr. 25: Graf index-anderews... 16 Obr. 26:Graf index normalizovaná rezidua... 16 Obr. 27: Graf index prvky hat-matice... 16 Obr. 28:Rankitový graf normalizovaná rezidua... 16 Obr. 29: Rankitový graf Andrews... 16 Obr. 30: Rankitový graf predikovaná rezidua... 17 Obr. 31: Rankitový graf Jacknife rezidua... 17 Obr. 32: Autokorelační graf... 18 Obr. 33: Graf heteroskedasticity... 18 Obr. 34: Graf regresního modelu HRC_M... 20 Obr. 35: Graf regresního modelu HRC_P... 20 Obr. 36: Graf regresního modelu HRC_M+ HRC_P... 20 Obr. 37: Graf predikce rezidua pro HRC_M+ HRC_P... 20 Obr. 38: Williamsův graf... 23 Obr. 39: Pregibonův graf... 23 Obr. 40:L-R graf... 24 Obr. 41: Graf průběhu změn hodnot MEP, R 2 p a AIC... 25 Obr. 42:Regresní graf... 25 Obr. 43:L-R graf... 26 Obr. 44: Graf predikovaných reziduí... 28 Obr. 45: McCulloh-Meterův graf... 28 Obr. 46:L-R graf... 28 Obr. 47: Graf regresního modelu... 30 Obr. 48:Pravděpodobnostní graf... 33 Stránka 34 z 35

Obr. 49: Bodový graf... 33 Stránka 35 z 35