POSUDEK SPOLEHLIVOSTI OCELOVÉ OBLOUKOVÉ VÝZTUŽE DLOUHÝCH DŮLNÍCH DĚL PŘÍMÝM DETERMINOVANÝM PRAVDĚPODOBNOSTNÍM VÝPOČTEM Doc. Ing. Petr Janas, CSc. 1, Ing. Martin Krejsa, Ph.D. 2 1 Katedra stavební mechaniky, Fakulta stavební, VŠB TU Ostrava, Ludvíka Podéště 1875, 708 33 Ostrava Poruba,tel.: (+420) 59 699 1308, e-mail: petr.janas@vsb.cz 2 Katedra stavební mechaniky, Fakulta stavební, VŠB TU Ostrava, Ludvíka Podéště 1875, 708 33 Ostrava Poruba,tel.: (+420) 59 699 1303, e-mail: martin.krejsa@vsb.cz Abstract: The paper briefly reviews one of the proposed methods of solution of a statically indeterminate steel arches, used in mining industry [1]. SBRA method was used in series of problems. In application of this method are input random variables (load, geometric and material properties, imperfections etc.) expressed by histograms. A transformation model derived from the analyses was employed to determine the response of the structure to the load. This transformation model and Monte Carlo were used to calculate the probability of defects in the support structures. The final reliability resulted from the comparison of such defect and designed value of the defect probability. This paper is based on the alternative solution using direct determined probabilistic calculation. The procedure of the calculation above was published first in [2] and more developed in [3] and is based on probability theory methods. 1. Úvod Ocelová oblouková výztuž je stále nejpoužívanějším typem výztuže v hornictví při zajišťování dlouhých důlních děl. Deterministický výpočet její únosnosti dle teorie II. řádu byl prezentován např. v [1]. Předložený příspěvek poukazuje na možnost pravděpodobnostního přístupu k posudku spolehlivosti této výztuže, při němž se předpokládá, že veličiny vstupující do výpočtu mají náhodný charakter vyjádřený histogramy. Posudek spolehlivosti je proveden v případě nepoddajné i poddajné výztuže s předpokládaným odporem proti prokluzu mezi kruhovými segmenty analýzou funkce spolehlivosti, ve které figurují dvě veličiny účinek zatížení a odpor konstrukce. Jestliže účinek zatížení nezávisí na použití poddajné či nepoddajné ocelové obloukové výztuže při stejných geometrických rozměrech, pak odolnost konstrukce, kterou je v daném případě únosnost výztuže, je dána dosažením mezního stavu ve výztuži, ale v případě poddajné výztuže také odporem proti prokluzu, který její únosnost limituje. Úroveň spolehlivosti ocelové obloukové výztuže je přímo vyjádřena pravděpodobností poruchy Pf, která je získána výpočtem s využitím metody SBRA s alternativním nahrazením simulační techniky Monte Carlo přímým determinovaným pravděpodobnostním výpočtem. Uvedený postup výpočtu byl poprvé publikován v [2] a dále rozpracován v několika dalších publikacích např. [3].
Součástí příspěvku je ukázka posudku spolehlivosti konkrétní poddajné a nepoddajné obloukové výztuže. 2. Pravděpodobnostní posudek spolehlivosti nepoddajné ocelové obloukové výztuže Posudek spolehlivosti je založen na analýze funkcí spolehlivosti. SF = R Q (1) kde R... je odolnost konstrukce únosnost ocelové obloukové výztuže Q... je účinek zatížení důlního díla Kritérium spolehlivosti je vyjádřeno P f < P d, kde P f je pravděpodobnost poruchy a P d je návrhová pravděpodobnost, obsažená např. v [5]. Posudek spolehlivosti dle mezního stavu únosnosti, založený na analýze funkce spolehlivosti, byl proveden aplikačním programem, vytvořeném v programovacím prostředí Borland Delphi v kritickém průřezu ocelového oblouku. 2.1 Účinek zatížení důlního díla Do výpočtu vstupují veličiny variabilní a veličiny deterministické vyjádřené konstantní hodnotou. Charakteristická hodnota zatížení q n se určí dle vztahu: q n 0,033. σ 0,6 0,715.( e R 1) ( 19,83 A 0,7932. C) [1 e ] = ρ. (2) kde šířka díla A [m] se měří ve výšce 1,7 m nad úrovní upravené počvy. Hodnota C je empiricky součinitel popisující soudržnost horniny po porušení, příp. samonosnost nadloží. σ R [MPa] je redukována pevnost nadložních hornin a je dána pevnostními vlastnostmi hornin v nadloží a počtem vrstev. Je dána vztahem: σ Di M i σ R i= 1 = β 2 A (3) kde β je součinitel vlivu vrstevnatosti, σ Di je pevnost v tlaku i-té vrstvy [MPa] M i je mocnost i-té vrstvy Pro výpočet se uvažují vrstvy v nadloží kolmo k vrstevnatosti do vzdálenosti 2.A. H ef je efektivní hloubka pod povrchem je dána vztahem: H ef = 2 Hef k1 k H (4) H je přitom skutečná geometrická hloubka daného díla pod povrchem. Součinitel k 2 je závislý na úklonu vrstev. Lze jej volit v souladu s citovanou směrnicí. Poněkud složitější je určení součinitele k 1. Charakterizuje ovlivnění díla dobývacími pracemi. Určuje se jako poměr skutečného svislého napětí v daném místě ke svislému napětí odpovídajícímu hloubce daného místa pod povrchem. Nejvhodnější je stanovit jeho hodnotu dle výsledků matematického modelování. K tomuto účelu lze např. využít modelování tzv. triparametrickou metodou. Pro výpočet účinku zatížení důlního díla určovaného dle vztahu (2) vstupují do výpočtu deterministické hodnoty: mocnost jednotlivých vrstev hornin, šířka světlého profilu důlního
díla A ve výšce 1,7 m nad počvou, efektivní hloubka pod povrchem H ef a typ nadloží. K variabilním hodnotám patří: a) pevnosti jednotlivých hornin v prostém tlaku v nadloží důlního díla Maximální počet vrstev je 10. Pokud nejsou k dispozici přesnější údaje, lze k výpočtu použít dále uvedené histogramy petrografických typů hornin, které byly zpracovány z podkladů uvedených v [8] a [9]. Jednotlivé pevnosti jsou udány v MPa. Jedná se o následující petrografické typy hornin: jílovec, prachovec, pískovec jemnozrný, pískovec střednězrný, pískovec hrubozrný, slepenec, uhlí s obsahem popela do 10%, uhlí s obsahem popela od 10 do 20%. b) objemová hmotnost horniny Udává se v [t.m -3 ] a je pro všechny typy hornin uváděna jediným histogramem. 2.2 Odolnost nepoddajné ocelové obloukové výztuže Pro výpočet odolnosti ocelové obloukové výztuže vstupují do výpočtu deterministicky zadané hodnoty: parametry charakterizující geometrii oblouku, typ průřezu, vzdálenost mezi výztužními ocelovými oblouky a velikost vnitřních sil v kritickém průřezu, které jsou importovány z programu Výpočet únosnosti ocelové obloukové výztuže (viz např. [1]). K proměnlivým veličinám, vstupujících do výpočtu, patří: a) průřezové charakteristiky Veškeré průřezové charakteristiky - průřezová plocha, moment setrvačnosti, průřezový modul atd. jsou přesnou funkcí geometrických rozměrů. Jsou funkčně závislé na geometrických rozměrech. Průřezové charakteristiky mají tedy náhodný charakter odpovídající náhodnému charakteru geometrických rozměrů, vzájemně jsou však závislé. Pravděpodobnosti geometrických rozměrů profilu odpovídají pravděpodobnosti pro plochu, moment setrvačnosti a průřezový modul. Takovéto náhodné veličiny by do pravděpodobnostního výpočtu měly vstupovat vzájemně vázaně a ne jako nezávislé vzájemně izolované náhodné veličiny. Lze-li nepřesnost profilu charakterizovat jedinou relativní délkovou chybou profilu ε (viz [4]), pak přibližně platí: l var = l N (1- ε), A var = A N (1- ε) 2 = A N (1-2 ε), (5) a (6) W var = W N (1-3 ε), I var = I N (1-4 ε) (7) a (8) kde l var, A var, W var, I var jsou proměnné variabilní hodnoty délkového rozměru, průřezové plochy, průřezového modulu a momentu setrvačnosti, l N, A N, W N, a I N jsou charakteristické hodnoty těchto veličin. Má-li každá v úvahu přicházející hodnota ε svou pravděpodobnost, mají stejnou pravděpodobnost hodnoty l varo, A var, W var, I var určené s touto relativní chybou. Vstupují-li do pravděpodobnostního výpočtu všechny tyto hodnoty, pak se (odpovídající vzájemně funkčně závislé hodnoty) volí se stejnou pravděpodobností. Tento postup je správný a přitom snižuje počet operací při pravděpodobnostním výpočtu, neboť funkčně závislé hodnoty se volí vždy současně. Tento postup se volil i v dané úloze. b) pevnostní charakteristiky oceli Pevnostní charakteristiky oceli tj. mez kluzu a mez pevnosti jsou vyjádřeny v histogramech. Opírají se o výsledky analýzy vlastnosti oceli, ze kterých byla v létech 2002 a 2003 vyráběna ocelová výztuž z profilů K24 a P28 (ocel 11500) a výztuž TH 29 (ocel 31Mn4). Použité histogramy byly zpracovány z podkladů uvedených v [6] a [7].
2.3 Algoritmus výpočtu Vlastní výpočet se opírá o vztahy (2) a (3) pro určení zatížení důlní výztuže a (9) pro určení únosnosti výztuže. 2 M pl N c1i 2 1+ ( ) 1 M c1i A f yd κ i = (9) 2 M pl Nc 1i 2 ( ) M A f c1i kde κ charakterizuje únosnost výztuže. Výpočetní modul pro pravděpodobnostní posudek spolehlivosti důlního díla Posudek výztuže byl vytvořen v prostředí Borland Delphi a navazuje na program pro výpočet vnitřních sil v programech Výpočet únosnosti ocelové obloukové výztuže, který pracuje v prostředí Microsoft Excel s využitím programovacího jazyka Visual Basic (viz např.[1]). Programem Posudek výztuže lze získat useknuté histogramy tří výsledných veličin - Zatížení důlního dílo, Únosnost výztuže a Funkce spolehlivosti SF. 2.3.1 Výstupní veličiny, vyjádřené useknutým histogramem - velikost zatížení Pravděpodobnostní výpočet zatížení byl proveden pro následující horninové poměry nad důlním dílem: Vrstva č. Hornina Mocnost vrstvy 1 Prachovec 0,530 m 2 Jílovec 6 m 3 Uhlí s obsahem popela do 10% 0,7 m 4 Pískovec hrubozrný 2,5 m 5 Pískovec jemnozrný 2 m 6 Jílovec 1 m Tabulka č.1 Efektivní hloubka pod povrchem H ef byla zvolena 800 m, typ nadloží pravidelně zavalující (C=38.00). Výsledný histogram zatížení q n [kn.m -2 ] je zobrazen na obr.1. yd Obr.1: Histogram zatížení důlní Obr.2: Analýza histogramu únosnosti výztuže q n [kn.m -2 ] oblouku pro ε = 0
Hodnota variabilního zatížení q n se v daném případě pohybuje v rozmezí od 63,37 do 131,64 kn.m -2. 2.3.2 Výstupní veličiny, vyjádřené useknutým histogramem únosnost nepoddajné výztuže Výpočet ukázkového příkladu byl proveden na obloukové výztuži v nepoddajném provedení, složené ze 4 kruhových segmentů s přeplátováním 400 mm (výztuž 00-0-16). Oblouková výztuž je symetrická s délkami jednotlivých segmentů l 1 = 3890 mm, l 2 = 2880 mm, l 3 = 2880 mm a l 4 = 3890 mm a s poloměry r 1 = 3450 mm, r 2 = 3080 mm, r 3 = 3080 mm a r 4 = 3450 mm. Šířka světlého profilu ve výšce 1,7 m nad počvou A je 6.226 m. U příkladu byl použit válcovaný profil HK-24. Poměr bočního a svislého zatížení ε byl zvolen 0.0 a 1.0. Vzdálenost mezi oblouky je 1.0 m. 3.3.3 Funkce spolehlivosti, pravděpodobnost poruchy, úroveň spolehlivosti S uvažováním analýzy funkce spolehlivosti SF ze vztahu (1) byly posouzeny veškeré kombinace posuzovaného příkladu. Jednotlivé výsledné histogramy funkce spolehlivosti, pravděpodobnosti poruchy a úroveň spolehlivosti pro jednotlivé případy je na následujících obrázcích. Na obr.4 je funkce spolehlivosti pro výztuž 00-0-16 v nepoddajném provedení z profilu K24 při poměru bočního a svislého zatížení ε = 0. Obr.3: Analýza histogramu únosnosti Obr.4: Funkce spolehlivosti, profil K-24, oblouku pro ε = 1 ε = 0, mez kluzu oceli f y. Výztuž pro dané zatížení nevyhovuje. Stejná výztuž pro ε = 1 vyhoví pro úroveň spolehlivosti zvýšenou (viz obr.5). 3. Pravděpodobnostní posudek spolehlivosti poddajné ocelové obloukové výztuže Posudek spolehlivosti poddajné ocelové výztuže je založen opět na analýze funkce spolehlivosti (1). Jestliže účinek zatížení Q nezávisí na použití poddajné či nepoddajné ocelové obloukové výztuže, pokud má stejné geometrické rozměry, pak odolnost konstrukce, kterou je v daném případě únosnost výztuže, se musí určovat poněkud jinak. Je totiž dána
nejen dosažením mezního stavu ve výztuži, ale také odporem proti prokluzu, který její únosnost limituje. Ve srovnání s pravděpodobnostním výpočtem nepoddajné výztuže je nutno v případě výztuže poddajné zadat některé další vstupní veličiny charakterizující únosnost výztuže při dané hodnotě odporu proti prokluzu. Je-li hodnota odporu proti prokluzu, kterou musíme zadat, T [kn], pak jí odpovídající únosnost q v [kn.m -2 ] při vzdálenosti výztužních oblouků V o [m] je dána výrazem: q100 1 q = T.. (10) 100 V o kde q 100 je únosnost obloukové poddajné výztuže v [kn.m -1 ] s odporem proti prokluzu T = 100 kn (tato hodnota je importována z programu Únosnost ocelové obloukové výztuže). Obr.5: Funkce spolehlivosti, profil K-24, Obr.6: Histogram zatížení důlní ocelové ε = 1, mez kluzu oceli f y. obloukové výztuže 00-014/K24 q n [kn.m -2 ]. 3.1 Příklad aplikace programu Posudek spolehlivosti výztuže pro poddajnou výztuž. Ocelová oblouková výztuž 00-0-14, je složená ze 3 kruhových segmentů s přeplátováním 400 mm, je symetrická s délkami jednotlivých segmentů l 1 = 3522 mm, l 2 = 4330 mm a l 3 = 3522 mm a s poloměry r 1 = 3050 mm, r 2 = 2480 mm a r 3 = 3050 mm. Šířka světlého profilu ve výšce 1,7 m nad počvou je A = 5,070 m. Byl použit válcovaný profil K- 24, poměr bočního a svislého zatížení ε = 0.5 a pevnost oceli zadaná napětím na mezi kluzu f y. Vzdálenost mezi oblouky je 0.5 m. Příklad byl pro srovnání zpracován pro odpor proti prokluzu ve spojích kruhových segmentů T = 100 kn, T = 150 kn a T = 200 kn a pro případ nepoddajné výztuže. Pravděpodobnostní výpočet zatížení byl proveden pro následující horninové poměry nad důlním dílem: Vrstva č. Hornina Mocnost vrstvy 1 Prachovec 1,450 m 2 Jílovec 2,5 m 3 Uhlí s obsahem popela do 10% 0,7 m 4 Pískovec hrubozrný 2,5 m 5 Pískovec jemnozrný 2 m 6 Jílovec 1 m Tabulka č.2
Efektivní hloubka pod povrchem H ef byla zvolena 800 m, typ nadloží pravidelně zavalující (C=38.00). Výsledný histogram zatížení q n [kn.m -2 ] je zobrazen na obr.6. Obr.7: Histogram únosnosti poddajné ocelové obloukové výztuže 00-014/K24 s odporem proti prokluzu T = 200 kn. Obr. 8: Funkce spolehlivosti a pravděpodobnost poruchy P f poddajné ocelové obloukové výztuže 00-014/K24 s odporem proti prokluzu T = 200 kn.
Bylo zjištěno, že pro odpor proti prokluzu T = 100 kn únosnost výztuže nevyhovuje pro úroveň spolehlivosti požadovanou [5]. Pravděpodobnost poruchy je P f = 9,923. 10-5, když požadovaná pravděpodobnost poruchy pro sníženou úroveň spolehlivosti je P f = 5.10-5. Je jistě diskutabilní, je-li uvedená úroveň pravděpodobnosti poruchy oprávněná uvědomíme-li si, že při počtu 1300 smrtelných úrazů na silnicích ČR v roce 2002 a v roce 2003 a při počtu obyvatel 10 7 je pravděpodobnost smrtelného úrazu obyvatele ČR na silnici za rok 1,3. 10-4, což je podstatně více, než se požaduje pro stavení konstrukce. Tyto mají jistě životnost delší- cca 50 let, a pak by byla úroveň přibližně srovnatelná. Nicméně důlní díla mají životnost podstatně kratší a ukazuje se tedy, že by bylo velmi vhodné se úrovní požadované spolehlivosti nejen stavebních a důlních konstrukcí ale i jiných zařízení a činností permanentně zabývat. Únosnost výztuže je při odporu proti prokluzu determinována čistě odporem proti prokluzu. Je tomu tak i při odporu proti prokluzu T = 150 kn. V tomto případě je však již únosnost výztuže dostatečná. Pro hodnotu T = 200 kn již není únosnost výztuže limitována jen odporem proti prokluzu, ale také již mezním stavem průřezu (obr.7). Mění se také histogram funkce spolehlivosti důlního díla (obr.8). Pro nepoddajnou výztuž je únosnost výztuže limitována pouze dosažením mezního stavu výztuže v určitém průřezu. Této skutečnosti pak odpovídá také funkce spolehlivosti a pravděpodobnost poruchy, která je zcela vyloučená. Oznámení Příspěvek byl vypracován v rámci řešení projektu 105/04/0458 realizovaných za finanční podpory ze státních prostředků prostřednictvím GA ČR. Reference [1] Janas, P., Krejsa, M., Janas, K.: Výpočet únosnosti ocelové obloukové výztuže podle teorie II.řádu, sborník IV. konference se zahraniční účastí: Staticko-konštrukčné a stavebnofyzikálne problémy stavebných konštrukcií, Vysoké Tatry, 27.-29.11.2002. [2] Janas-P, Krejsa-M: Numerický výpočet pravděpodobnosti užitím useknutých histogramů, III. ročník celostátní konference Spolehlivost konstrukcí. 2002; str.33-38, ISBN 80-02-01489-8 [3] Janas-P; Krejsa-M, Numerický výpočet pravděpodobnosti užitím useknutých histogramů při posuzování spolehlivosti konstrukcí, Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava. 2002; II.(1): str.47-58, ISBN: 80-248-0397-6, ISSN 1213-1962 [4] Vokoun, S., Rozptyl geometrických parametrů otevřených válcovaných profilů, VŠB-TU Ostrava, Sborník studentských prací 2002, sekce IV - Stavební mechanika, str. 127-142, ISBN 80-248-0139-6. [5] ČSN 73 1401, Navrhování ocelových konstrukcí, Český normalizační institut, Praha,1998. [6] Zkušební protokoly INH Ostrava, 2000, 2001, 2002. [7] VVUÚ Ostrava-Radvanice: Odborné posudky a zkušební protokoly. [8] Aldorf, J.a kol., Výzkum stochastických metod určování zatížení a únosnosti výztuže, Závěrečná zpráva grantu 103/99/1494 VŠB TU Ostrava, leden 2002. [9] Fialová, V., Kožušníková, A., Základní fyzikálně-mechanické vlastnosti sedimentů hornoslezské pánve s ohledem na jejich vznik a vývoj, Hornický ústav ČSAV Ostrava, 1987. [10] Janas, P., Krejsa, M.: Pravděpodobnostní posudek spolehlivosti obloukové výztuže dlouhých důlních děl, sborník příspěvků mezinárodní konference Modelování v mechanice 2004, 28. ledna 2004, Fast VŠB TU Ostrava, ISBN 80-248-0546-4.