OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan Nejstarší známý početní systém založený na čísle 10 zavedli před 5 000 lety v Egyptě. Egypťané používali skupinu čar pro vyjádření čísel do devítky. Vypadala asi takhle: Jejich nový symbol pro desítku byl a větší čísla vyjadřovali kombinací symbolů a. Takže 22 zapsali:. Stovku označovali, tisíc a milion. Milion se Egypťanům zdál natolik obrovský, že tímto symbolem označovali i jakékoliv jiné hrozně vysoké číslo. 10 âíslice, které nestárnou Římané také počítali pomocí desítkové soustavy a číslice zapisovali písmeny: I (1), V (5), X (10), L (50) a C (100). Později přidali D (500) a M (1 000). Čísla se z nich skládají tak, že se písmena zapíšou vedle sebe a pak se přičítají nebo odčítají podle toho, kde stojí. Například pokud I umístíme před písmeno označující vyšší číslo, znamená o jednu méně. IX je 9, tedy o jednu méně než deset. Písmena CL označují 150, tedy 100 plus 50. Takže seřadíme-li za sebou písmena CCLVII, dostaneme 257. Římské číslice často vídáme na hodinách nebo na konci televizních pořadů, v jejichž případě označují, kdy pořad vznikl.
CHYTRÁ âísla MNOHO POVYKU PRO NIC Lidé už staletí počítali, když si konečně uvědomili, že něco chybí. Nula! Ačkoliv už s ní jeden starý Řek jménem Ptolemaios experimentoval, nula se začala běžně používat až od konce 9. století. Poãítej se mnou Neznáme-li nulu, nemůžeme například nikdy poznat rozdíl mezi čísly 166, 1 066 a 166 000. Také je to dobrý počáteční bod pro měření pomocí stopek, pravítka nebo teploměru. BĚŽTE. TADY JE K VIDĚNÍ AKORÁT TAK NIC! Abychom ten rozdíl poznali, byla vynalezena poziční číselná soustava, ve které hodnota číslice odpovídá její pozici. Tato soustava dělí čísla do sloupců, které napravo začínají jedničkami, tedy jednotkami, posouvají se doleva k 10, pak ke 100, k 1 000 atd. Například číslo 3 975 díky tomu jednoduše uvidíme jako tři 1 000, devět 100, sedm 10 a pět 1. Pokud v této soustavě dojdeme k 9, do desítkového sloupce dosadíme 1 a vrátíme se zpět k nule v jednotkovém sloupci. Za 19 do desítkového sloupce dosadíme 2 a jednotky se znovu vrátí k nule. Tak pokračujeme pořád dál, dokud se nedostaneme k 99. Potom je 1 umístěna do stovkového sloupce a jednotky a desítky se vracejí k nule. 11
OD NULY K NEKONEâNU JAK SI POPOVÍDAT S POâÍTAâEM Desítkové soustavě se také říká soustava dekadická. Existují ovšem i jiné soustavy. Nejjednodušší je dvojková neboli binární soustava. Používá pouze dvě číslice 1 a 0. V binární soustavě, místo abychom jako obvykle napsali 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 atd., napíšeme 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, abychom tak vyjádřili tatáž čísla. Stejně jako v desítkové soustavě, i v té binární si můžeme jednotlivá čísla představit ve sloupcích. Na rozdíl od desítkové soustavy ale nepracujeme se sloupci 1, 10, 100 a 1 000, které rostou zprava s každým dalším násobkem 10, ale hodnotu sloupce pokaždé vynásobíme dvěma. První sloupec zprava má tedy hodnotu 1, další doleva 2, další 4, pak 8, 16 atd. Například číslo 17 zapíšeme jako 10001, což znamená: jedna 16, nula 8, nula 4, nula 2 a jedna 1 : 16 8 4 2 1 1 0 0 0 1 242? A TEĎ TO ŘEKNI BINÁRNĚ Možná se ti to nezdá jako nejužitečnější způsob, kterým lze počítat, ale dokonale vyhovuje počítačům. Každý počítač je plný malinkatých elektronických přepínačů, které jsou buď zapnuté, nebo vypnuté. V počítači odpovídá každý zapnutý přepínač 1, každý vypnutý přepínač 0. 12
CHYTRÁ âísla Skupina přepínačů může v počítači uložit binární číslo. Například číslo 5 by uložil takhle tedy pokud by uvnitř počítačů pracovali elfové: Počítače používají binární kód, aby uložily a zpracovaly nejrůznější data, nejen čísla. Tedy cokoliv od dopisů a zvukových záznamů až k obrázkům může být, zrovna jako čísla, převedeno do binárního kódu. Jestlipak ví? Existuje celá řada soustav, nejen 10 a 2. Například 8 neboli oktální soustava a 64 soustava se také používají ve výpočetní technice, stejně jako 16 neboli hexadecimální, se kterou se pracuje na poli počítačových pamětí. Používá číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 a písmena A, B, C, D, E a F. 13
OD NULY K NEKONEâNU O EMETNÉ OPERACE Pokud počítáme, přičítáme nebo odečítáme, provádíme matematickou operaci. Ne takovou jako skuteční doktoři, ale takovou jakou provádějí matematici, když dělají aritmetiku. Slovo aritmetika pochází ze starořečtiny a znamená umění čísla. Patří do ní sčítání, odečítání, násobení a dělení, což jsou takzvaně čtyři základní operace. Sefiaì je! Pokud uvažuješ o číslech a početních operacích, dobře ti poslouží číselná osa. Osa níže ukazuje sčítání 2 + 2. Odpověď, tedy součet, je samozřejmě 4: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Odečítání je stejně tak snadné. Abychom vypočítali 10-4, budeme na číselné ose počítat do čtyř, a to pozpátku, od prvního čísla, tedy od 10. 14
CHYTRÁ âísla Odpovědí je rozdíl mezi těmito dvěma čísly. V tomto případě je 6: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Násobení je opakované sčítání. Například abychom vypočítali 3 4 na číselné ose níže, jednoduše začneme počítat od 0 hodnotu prvního čísla, tedy činitele, a to tolikrát, kolikrát uvádí druhý činitel. Tak dostaneme správnou odpověď. V násobení se jí říká součin. V tomto případě je součin 12. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Dělení je opakované odečítání. Příklad níže ukazuje 6 : 3. Na přímce je nejdále ve směru od nuly vyznačený dělenec, tedy první číslo, který je následně rozdělen na stejně velké části, které počtem odpovídají číslu druhému, tedy děliteli. Délka jedné části je podíl, tedy správná odpověď v případě dělení. Tady je výsledek 2: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U sčítání a násobení je jedno, v jakém pořadí jednotlivá čísla příkladu zapíšeme. 2 + 3 je stejné jako 3 + 2. Na druhou stranu je radno si zapamatovat, že totéž neplatí pro odečítání a dělení. 7 2 není totéž jako 2 7 a 12 : 3 není totéž jako 3 : 12. 15
OD NULY K NEKONEâNU 16 JMÉNA âísel Jak už víme, číslům se často dávají velkolepě znějící jména. Ohrom svého učitele matematiky tím, že budeš umět vysvětlit rozdíl mezi celým a iracionálním číslem. Jen čti dál, ať se dozvíš víc. Co myslí tím cel m ãíslem? Zatím jsme se v této knize zaměřovali na celá čísla začali jsme 0 a po číselné ose jsme se dostali k 1, 2, 3 a dál. Mezi celá čísla patří i čísla záporná, která si můžeme představit na číselné ose vlevo od 0. Čísla, která si představíme vpravo od nuly, jsou čísla kladná. Tvary ãísel Je ti možná známo, že existují takzvaná čtvercová čísla. To jsou čísla, která vznikají, když se celé číslo vynásobí samo sebou. Třeba 4 se rovná 2 2 nebo 9 odpovídá 3 3. Ale jestlipak je ti známo, že existují také čísla trojúhelníková? Sem patří čísla z řady 1, 3, 6, 10 atd. (viz str. 20). Iracionální ãísla Čísla jsou racionální, pokud je získáme tím, že jedno celé číslo vydělíme druhým celým číslem. Tedy například 1 2, 8, 4 2 3 lze zapsat jako 1 : 2, 64 : 8, 14 : 3, takže jsou všechna tato čísla racionální. Iracionální čísla, jako je druhá odmocnina ze 2 či 47* (viz str. 22), která vypadá takhle: 2 a takhle: 47, stejným způsobem zapsat nemůžeme. * Druhá odmocnina z čísla a, je číslo b, pro které platí, že b b = a. Například 4 je druhá odmocnina ze 16, protože 4 4 = 16
CHYTRÁ âísla NEDùLITELNÁ âísla Většinu čísel můžeme rozdělit na menší celá čísla neboli činitele (viz str. 15). Například číslo 4 můžeme rozdělit na 2 a 2. Ne všechna čísla ale můžeme takhle dělit. Některá jsou dělitelná pouze sebou samým nebo 1. Například neexistují jiná čísla, kterými bychom mohli dělit 13, mimo 1 a 13. Taková jinak nedělitelná čísla nazýváme prvočísla. První z řady těchto čísel jsou 2, 3, 5, 7, 11 a 13, ale existují i mnohem vyšší prvočísla, která mohou být překvapivě také dělena jedině sebou samým nebo 1. Jestlipak ví? Matematici milují prvočísla, protože i když je tak snadné jim porozumět, zůstávají velice záhadná. Nedá se na ně totiž uplatnit žádné pravidlo, a tak je možné je objevit jedině metodou pokus-omyl. Někteří matematici soutěží v tom, kdo dokáže najít další nejvyšší prvočíslo. To nejnovější, které objevili, je dlouhé 12,9 milionu číslic. Je tak dlouhé, že by ho rukou na papír člověk zapisoval dva měsíce. 17