POROVNÁNÍ MATEMATICKÝCH MODELŮ PRO VÝPOČET SMRŠŤOVÁNÍ A DOTVAROVÁNÍ BETONU COMPARISON OF THE MATHEMATICAL MODELS FOR PREDICTION OF CREEP AND SHRINKAGE OF CONCRETE Jan Soška, Lukáš Vráblík Příspěvek se zabývá porovnáním maemaických modelů pro výpoče paramerů reologického chování beonu, keré jsou sanoveny v normách ČSN 73 627, ČSN EN 992--, ČSN EN 992-2 a dle Modelu B3. Dále jsou sudovány účinky vsupních časových paramerů na výpoče charakerisik dovarování a smršťování dle Modelu B3. The paper compares he mahemaical models for predicion of creep and shrinkage of concree, which are implemened in he sandards ČSN 73 627, ČSN EN 992--, ČSN EN 992-2 and he Model B3 on a sandard simple example. Furher, he paper noices some inaccuracies and mahemaical disagreemens in he Model B3, which are associaed mainly wih shor curing imes. V ČR již od dubna. r. plaí nová sousava norem ČSN EN, keré nahradily původní české normy. Projevy reologických vlasnosí beonu (dovarování a smršťování) nebyly v původních českých normách správně zohledněny, a docházelo ak časo k jinému chování reálných konsrukcí, než se předpokládalo dle výpočení predikce (nárůs deformací, omezení použielnosi, porušení konsrukcí). V současnosi jsou yo jevy daleko více prozkoumány na vědecké úrovni založené na výsledcích mnoha měření a k jejich zpřesňování sále dochází. Je oiž zřejmé, že jen s odpovídající predikcí chování konsrukce můžeme zabráni nežádoucím jevům, keré by mohly znamena omezení používání konsrukcí, popřípadě vés až ke zráě jejich únosnosi. Účinky smršťování a dovarování beonových konsrukcí se nejvíce projevují zejména na velkorozponových konsrukcích, keré jsou po celou dobu své živonosi zaíženy dlouhodobě působícím zaížením (především vlasní íha konsrukce), nebo u konsrukcí, u kerých v čase se zvěšující deformace může výrazně sníži jejich provozuschopnos či použielnos, popřípadě redukova jejich únosnos (šíhlé konsrukční prvky, oblouky s nízkým vzepěím a skořepinové konsrukce). Problémy pak nenasávají pouze v podobě nadměrného nárůsu deformací, ale aké v přerozdělení vniřních sil u konsrukcí, keré během výsavby mění saický sysém (zejména lemo beonované mosy). Dovarování a smršťování beonu jsou velmi složié a komplikované jevy, jejichž časový vývoj, sejně jako jejich konečná hodnoa, jsou závislé na množsví fakorů a vsupních paramerů. Pro jejich popis je možné použí mnoho více či méně spolehlivých maemaických modelů, časo normově závislých, keré dovarování a smršťování popisují z hlediska jejich časového průběhu, kvanifikují jejich velikos a zohledňují vlivy vsupních paramerů. Tyo modely se zásadním způsobem liší ve své komplexnosi, neboli jak jsou schopny správně (a zda vůbec) posihnou velké množsví jednolivých vlivů na dovarování a smršťování. Všechny modely by však měly splňova základní předpoklady chování beonu jako maeriálu. Too je možné shrnou do několika zásad, keré musí modely respekova: modul pružnosi limině narůsá se sářím beonu (sárnuí beonu), čím později je beonový prvek zaížen, ím méně bude dovarova, součiniel dovarování musí nabýva vždy kladných hodno, po odížení prvku dochází k zoavování dlouhodobé poměrné převoření čásečně vymizí, věší délka doby ošeřování beonu se projeví snížením dovarování a smršťování, vyšší řída (pevnos) beonu nižší dovarování a smršťování, vyšší vodní součiniel se projeví inenzivnějším dovarováním a smršťováním, v prosředí s nižší relaivní vlhkosí prvky dovarují a smršťují více, enké prvky vykazují inenzivnější dovarování a smršťování oproi masivním. Byla provedena rozsáhlá analyická sudie porovnávající někeré používané maemaické modely pro výpoče reologického chování beonu (ČSN 73 627, ČSN EN 992--, ČSN EN 992-2 a Model B3). Během porovnávání modelů byla zjišěna celá řada nesrovnalosí a více než zajímavých přísupů a výsledků u někerých modelů. Jedná se především o různé odlišnosi samoné srukury modelů, kdy vliv změny určié vsupní hodnoy způsobuje jejich zásadně rozdílné chování. Vzhledem k současné siuaci planosi echnických norem se přímo nabízí porovna yo modely: model použiý v normě ČSN 73 627 [5], model použiý v normě ČSN EN 992-- Příloha B [6], model použiý v normě ČSN EN 992-2 Příloha B [7], model B3 []. Norma ČSN 73 627 sice již není v současné době planá pro nově započaé projeky, ale byla vybrána z důvodu názorného ukázání změny v přísupu k výpoču reologických účinků, maemaické jednoduchosi a názornosi použiých výpočeních vzahů, a zejména vzhledem k faku, že je sále používaná pro dokončení dříve započaých projeků (před započeím planosí souboru norem ČSN EN). Proože akuální a plané modely použié pro výpočy podle EN umožňují použí pro výpoče i jiné meody, je do porovnání přidán Model B3. V současné době se pravděpodobně jedná o nejuznávanější model, ale zároveň aké o jeden z nejdiskuovanějších modelů, keré pro výpoče reologických vlasnosí beonu exisují. Model je založen na obrovském poču experimenálních ověřování, resp. vychází z daných měření a svými maemaickými posupy se snaží co nejpřesněji vysihnou chování zkoušených konsrukcí. Pro pořeby ohoo příspěvku jsou použiy dvě variany Modelu B3. Model B3 I jedná se o čásečně upravený model dle [], kerý odsraňuje problémy se záporným součinielem dovarování. Tyo problémy jsou spojeny s krákými časy ošeřování beonu. Byla proo navržena úprava, konkréně úprava vzorce pro výpoče vývoje modulu pružnosi v čase, resp. jeho velikosi v čase aplikace zaížení. Vývoj modulu pružnosi v čase je ak sanoven dle vzorce: E, () J, ; kde J je funkce poddajnosi pro časový inerval (+,;), je sledovaný okamžik, kdy zjišťujeme velikos modulu pružnosi. 58 BETON echnologie konsrukce sanace 6/2
Teno vzorec pro výpoče modulu pružnosi beonu v libovolném čase nahrazuje původní vzah: E E28. (2) 4, 85 Tímo způsobem se podařilo odsrani problémy s případy, kdy vycházel záporný součiniel dovarování, zároveň však eno výpoče způsobuje jiné komplikace, keré budou diskuovány dále. s ímo označením je analyzován Model B3 dle jeho definice v [] bez jakýchkoli dalších úprav. V prováděných analýzách bylo dodržováno značení ak, jak je definováno pro jednolivé modely. Dochází ak k určiým nejasnosem zejména při označování zásadních časových údajů z hlediska popisu dovarování a smršťování. Použié značení je shrnuo v ab.. VISKOELASTICKÉ CHOVÁNÍ BETONU Beon je ypickým příkladem maeriálu, jehož chování z hlediska odezvy na dlouhodobé zaížení lze charakerizova jako viskoelasické. Samoné dovarování beonu jako nárůs deformace při konsanním napěí je ypickým příkladem viskoelasiciy. Při porovnání jednolivých maemaických modelů dovarování byl právě základní model viskoelasického chování zvolen jako referenční, kerý vysihuje reálné ermodynamické chování beonu. Závislos mezi převořením (odezva na působící zaížení) a napěím v čase je na základě zvoleného reologického modelu maeriálu popsána diferenciální rovnicí. Typický reologický model je sousavou pružin a lumičů, jejichž paramery je popsáno výše uvedené chování. Pro účely prováděné analýzy byl zvolen jednoduchý reologický Kelvinův model (obr. ), kerý se skládá z pružiny a sériově ( za sebou ) připojeného Kelvinova článku. Vývoj deformace ε, resp. napěí σ při dané hisorii napěí, resp. deformace při použií ohoo reologického modelu jsou uvedeny na obr. 2. Tab. Tabulka značení časových paramerů Tab. parameers specificaion Time Symbol Popis, význam sledovaný okamžik, analyzovaný čas sáří beonu při vnesení zaížení (ČSN 73 627, ČSN EN, Kelvinův model) doba ošeřování Model B3 sáří beonu při vnesení zaížení Model B3 sáří beonu při odížení Při uvážení napěí σ v pružině ➂ (uhos E) a napěí σ 2 v pružině ➀ (uhos E 2 ) Kelvinova článku (obr. ) vychází celková deformace sysému: E 2. (3) E2 Z podmínek rovnováhy je zřejmé, že velikos napěí v lumiči ➁ (paramer lumení η) je (σ σ 2 ). Závislos mezi časovou změnou deformace a vývojem napěí v čase je popsána diferenciální rovnicí: d d 2. (3) d d Po dosazení za σ 2 z rovnice (3) do rovnice (4) dosáváme diferenciální rovnici ve varu: d d. (5) d E d E E E E 2 2 2 Při uvážení r a, kde paramerem E E E E 2 2 τ r je popsáno zpoždění vývoje deformace, je finální podoba diferenciální rovnice: d d r. (6) r d d E E Pro danou hisorii zaěžování konsanní napěí σ aplikované v čase (obr. 3) je řešením diferenciální rovnice (6) funkce: e r. (7) E E E Funkce (7) popisuje vývoj deformace v čase jako odezvu na danou hisorii zaěžování. V rovnici (7), sejně jako v celém použiém reologickém modelu se vyskyují ři neznámé paramery. Paramer E má podsau modulu pružnosi be- 2 Obr. Kelvinův model reologického chování beonu Fig. Kelvin model of concree rheological behaviour Obr. 2 Časově závislé chování beonu podle Kelvinova modelu, a) vývoj deformace v čase při konsanním napěí, b) relaxace napěí při neměnné deformaci; c) vývoj napěí při konsanní změně deformace v čase Fig. 2 Time-dependen behaviour of concree according o Kelvin model, a) ime developmen of deformaion a consan sress, b) sress relaxaion a consan deformaion; c) ime developmen of sress a consan deformaion change Obr. 3 Analyzovaná hisorie napěí Fig. 3 Analyzed sress hisory 3 6/2 echnologie konsrukce sanace BETON 59
6 MODUL PRUŽNOSTI E c () 5 E c () [MPa] 4 3 2 5 ČSN 73 627 ČSN 73 627 (růs podle f c ) ČSN EN 992 ČSN EN 992 (sárnuí beonu) Model B3 I 4 Obr. 4 Porovnání měření a výsledků z Kelvinova modelu Fig. 4 Comparison of measuremens and resuls of he Kelvin model Obr. 5 Porovnání vývoje modulu pružnosi beonu v čase Fig. 5 Comparison of modulus of elasiciy ime developmen Obr. 6 Porovnání průběhu součiniele dovarování φ v čase; čas vnesení zaížení = 28 dní Fig. 6 Comparison of creep coefficien φ ime developmen; loading ime = 28 days Obr. 7 Porovnání průběhu funkce poměrného převoření od smršťování v čase Fig. 7 Comparison of shrinkage ime developmen funcions onu v čase aplikace zaížení a popisuje okamžiou pružnou deformaci. Paramer E má charaker efekivního modulu pružnosi, kerým lze zjednodušeně sanovi konečnou dlouhodobou deformaci. Posledním maeriálovým paramerem je τ r, kerým je popsáno zpoždění nárůsu deformace v čase. Zcela obecně mohou bý yo neznámé maeriálové paramery sanoveny například na základě prováděných měření a jejich vyhodnocení. Pokud je známa hodnoa pružné deformace jako okamžié reakce maeriálu na aplikované zaížení a známe konečnou hodnou nárůsu deformace v čase, je vzhledem k maemaickému vyjádření funkce posačující sanovi velikos parameru τ r, neboť velikos E, resp. E je dána právě ze známé okamžié, resp. konečné deformace. Pro nalezení hodnoy parameru τ r při známé hisorii vývoje deformace je možné využí řadu maemaických meod. Reologické maeriálové modely vycházející z principů viskoelasiciy znamenají jednoduše použielnou alernaivu k časo maemaicky velmi složiým komplexním modelům. Při jejich důslednějším použií, například ve formě zv. Kelvinova řeězce (pružina a sériově zapojené Kelvinovy články), se jejich výsižnos popisu vzhledem k výsledkům měření velice zvěšuje. Výhodou je jejich ryzí analyická forma, ze keré lze usuzova o zkoumaných projevech reologického chování beonu. V prováděném porovnání jednolivých maemaických modelů dovarování byl eno analyický model použi zejména s ohledem na vyvoření úsudku o vývoji a průběhu jednolivých veličin. Teno model vychází z maemaických formulací posavených na základních fyzikálních maeriálových vlasnosech a vysihuje ak reálné reologické chování beonu, zejména dovarování. VÝPOČETNÍ ANALÝZA VZOROVÝ PŘÍKLAD Pro snadné porovnání jednolivých výpočeních modelů pro výpoče smršťování a dovarování a následně i pro porovnání vlivů jednolivých vsupů byl zvolen vzorový příklad: cenricky lačený sloup z beonu C35/45 obdélníkového průřezu s délkou sran,8 a,2 m. Na prvek působí normálová laková síla o velikosi 3 5 kn. Zaížení je na prvek aplikováno v čase sedmi dní, doba ošeřování je uvažována ři dny, vlhkos okolního prosředí 7 %, řída cemenu N, bez vlivu eploy. POROVNÁNÍ MATEMATICKÝCH MODELŮ Předem je nuné upozorni na skuečnos, že cílem prováděných analýz nebylo porovnáva absoluní hodnoy sledovaných veličin. To (vzhledem k zásadní odlišnosi v přísupu jednolivých modelů k jejich výpoču) není prakicky ani možné a relevanní. Zejména se o projevuje pro hodnoy reologických paramerů vypočené podle obou modelů ČSN EN a Modelu B3. Významnou roli zde oiž hraje složení beonové směsi, keré může způsobi velké rozdíly ve výsledcích. Je edy vhodné a zásadní zaměři se především na vývoj a průběhy funkcí popisujících jednolivé paramery zejména s ohledem na rychlos nárůsu ěcho veličin v čase. Modul pružnosi beonu E c () Z grafu (obr. 5) je parné, že křivky dle obou modelů ČSN EN mají sejný průběh, zobrazena je ak pouze jedna z nich. Proože původní ČSN neobsahuje vývoj modulu pružnosi v čase do 28 dní, byl použi vývoj pro pevnos beonu a aplikován na vývoj modulu pružnosi. Dvě variany průběhu jsou zobrazeny i pro ČSN EN. Jedna uvažuje se sárnuím beonu i po 28 dnech, druhá pouze v čase do 28 dní. Absoluní hodnou modulu pružnosi podle ČSN 73 627 a podle ČSN EN nelze mezi sebou porovnáva, proože ČSN udává sřední hodnou, zaímco EN zv. hodnou zaručenou. Zajímavý je aké rozdíl mezi ČSN EN a původním neupraveným Modelem B3 v absoluní velikosi v čase do 28 dní, kdy neupravený Model B3 udává výrazně nižší hodnoy. Na grafu Modelu B3I (upravený Model B3) je parný problém, kerý je způsoben výše popsanou upravenou meodikou výpoču. Tao úprava sice odsranila problém se zápor- 6 BETON echnologie konsrukce sanace 6/2
6 3, SOUČINITEL DOTVAROVÁNÍ = 28 dní POMĚRNÉ PŘETVOŘENÍ OD SMRŠŤOVÁNÍ, -,5 5 5 2 25 3 35 4 -, 2, -,5 -,2,5 -,25 φ SH -,3, -,35,5 -,4 -,45, ČSN 73 627 ČSN EN 992-- ČSN EN 992-2 Model B3 I 7 -,5 Čas [den] ČSN 73 627 ČSN EN 992-- ČSN EN 992-2 Model B3 I nými hodnoami součiniele dovarování, ale zároveň způsobila jiné nesrovnalosi z hlediska popisu chování beonového prvku. Nárůs modulu pružnosi vůbec neodpovídá hodnoám, keré se u beonu běžně vyskyují. Rozdíl mezi neupraveným a upraveným Modelem B3 se na předpokládaném konci živonosi beonového prvku ( le) pohybuje kolem cca 4 %. Součiniel dovarování φ Na grafu porovnání velikosi součiniele dovarování (obr. 6) je parné, že rozdíl mezi hodnoou ve leech u obou modelů B3 je již mnohem menší (oproi rozdílu u modulu pružnosi). Nejvěší rozdíl mezi přísupem v minulosi (ČSN) a v současné době je parný v časech kolem dní (cca 3 le). Je však zajímavé, že ČSN EN 992-- dává výrazně nižší hodnou než ČSN a zároveň mají obě křivky velice podobný var. Odlišný přísup k výpoču je vidielný v průběhu křivek podle ČSN EN 992-2 a Modelů B3, kde křivky zobrazují, že i v čase po 3 leech sále dochází ke zvěšování součiniele dovarování mnohem více než podle ČSN EN 992-- nebo ČSN. Dokazují ak, že původní česká norma skuečně podhodnocuje dovarování sarých beonů a obecně celý vývoj dovarování. Poměrné převoření od smršťování ε SH V případě poměrného převoření od smršťování (obr. 7) se opě povrzuje výrazné podcenění jeho velikosi dle dříve plané a používané normy ČSN 73 627. Sejně ak se povrzuje, že model použiý v EN 992-- je svým průběhem velice podobný modelu ČSN (var křivky) a že osaní modely používají odlišný přísup, kerý se projevuje jak v nižší rychlosi nárůsu poměrného převoření od smršťování, ak zejména v mnohem vyšších hodnoách na konci živonosi konsrukce. Analýza prvku při dané hisorii zaížení modelování odížení Jednou z možnosí, jak poukáza na zásadní rozdíly mezi jednolivými maemaickými modely, je analýza chování (vývoje deformací) beonového prvku při odížení v konkréním čase. Na grafu na obr. 8 je zobrazeno chování beonu (poměrné převoření od zaížení) podle jednolivých modelů. Vsupní časové údaje byly v analýze uváženy následující sáří beonového prvku při zaížení = 7 dní, při následném odížení = dní. Uváženo je lakové namáhání beonového prvku, sledován je ak vývoj slačení prvku v čase (bez uvážení smršťování). Při použií modelu dovarování dle normy ČSN 73 627 zůsává po odížení deformace (převoření) konsanní, což je ypickým projevem použié eorie sárnuí pro popis dovarování. Vzhledem k jednoduchosi maemaického modelu je oo velice jasně doložielné. Vývoj deformace v čase po odížení je popsán výrazem: ; ;. (8) E E Po dosazení základních vzahů pro výpoče součiniele dovarování dle meodiky ČSN 73 627 do rovnice (8) a její úpravě dosáváme vzah popisující opě vývoj deformace po odížení, enokrá ale konsanní v čase, nezávislý na proměnné : u Ec e e, (9) kde se zároveň předpokládá E( ) = E( ) = E c. Na křivce popisující vývoj deformace po odížení dle modelu ČSN EN 992-- je již parný rozdíl mezi okamžiými deformacemi v čase vnesení zaížení (slačení prvku) a v čase odížení (fikivní proažení) díky odlišné hodnoě modulu pružnosi v daných časech (vliv sárnuí beonu). Ani eno model však sále neodpovídá předpokládanému průběhu, kerý by respekoval základní principy viskoelasiciy a zoavování beonu podpořené experimenálními výsledky. Poměrné převoření s narůsajícím časem po odížení mírně rose. V časech ihned po odížení sice dochází na určiou dobu k poklesu křivky poměrného převoření (dočasné zoavování), avšak následně dojde opě k nárůsu. V omo ohledu edy eno model nevysihuje správně chování beonu jako maeriálu a jeho fyzikální vlasnosi. Vývoj deformace v čase je možné popsa jednoduše upravenou rovnicí (8) ve varu: E E E E ; ;. () V rovnici () je vývoj deformace možné rozčleni do jednolivých čásí dle následujícího schémau. Z hlediska vývoje deformace po odížení je pro další analýzy zásadní čás účinek dovarování. V případě modelu dle ČSN EN 992-- je účinek dovarování (s použiím paramerů obsažených v omo modelu) popsán výrazem (): 6/2 echnologie konsrukce sanace BETON 6
8 E E E ; ; E NÁRŮST DEFORMACE REDUKCE DEFORMACE ZOTAVENÍ Poměrné převoření odížení ve dnech = 7 dní 5 5 2 25 3 35 4-5 - PRUŽNÁ DEFORMACE ÚČINEK DOTVAROVÁNÍ Obr. 8 Schéma jednolivých složek deformace prvku po odížení Fig. 8 Scheme of deformaion componens of elemen afer unloading Obr. 9 Vývoj poměrného převoření ε při odížení v čase dní Fig. 9 Srain ε ime developmen for unloading ime of days [ -6 ] -5-2 -25-3 -35 9 ČSN 73 627 EC 992-- EC 992-2 Model B3 creep f RH cm E E, 2, H 2,, H 3, 3,. () Lze ukáza, že eno výraz jako funkce proměnné má pro určiou hodnou éo proměnné nulovou první derivaci, neboli má v omo bodě svůj exrém. Tomuo odpovídá průběh grafu (obr. 9), kde je funkce popisující vývoj deformace po odížení dle ČSN EN 992-- nejprve klesající (dochází k zoavování beonu) a následně rosoucí. Takovéo chování je zcela v rozporu s předpoklady. V případě modelu použiého v ČSN EN 992-2 je siuace jiná průběh deformace po odížení odpovídá chování pozorovanému na měřených prvcích při experimenech, keré je v souladu se základními fyzikálními předpoklady maeriálového chování beonu. Po odížení dochází k relaivně rychlému poklesu poměrného převoření, křivka se pak limině přibližuje k určié hodnoě. Důležié je, že charaker křivky popisující vývoj poměrného převoření od dovarování je sále klesající. Too chování je možné jednoduše popsa např. ak, že k poměrnému převoření od dovarování dochází i po odížení konsrukce, avšak směr převoření je opačný (způsobený viruálním opačným zaížením aplikovaným v čase odížení). Klesající endence křivky je způsobena věší rychlosí nárůsu součiniele dovarování od zaížení definujícího odížení (zaížení opačného znaménka aplikované na zaíženou konsrukci), než jakou má v čase odížení křivka, kerá popisuje vývoj součiniele dovarování pro původní zaížení. Křivka popisující vývoj deformace po odížení však ze samoné podsay viskoelasického chování nikdy nemůže dosáhnou nuly (deformace nevymizí), vždy zůsává určiá čás deformace jako zpožděná, dlouhodobá. V případě sledování chování prvku při odížení podle Modelu B3 je siuace velice podobná. Na první pohled je parný výrazný rozdíl mezi velikosí okamžiých deformací, kerý je způsoben nižší hodnoou modulu pružnosi v čase vnesení zaížení. Křivka poměrného převoření opě limině klesá. Při analýze odížení prvku dle základních referenčních principů viskoleasiciy s použiím Kelvinova modelu je vývoj převoření po čase odížení popsán výrazem (v souladu s rovnicí (7)): e E E r e r. (2) Z charakeru funkce je parné, že se jedná o funkci klesající pro rosoucí proměnnou čas. Výraz je odvozen za zjednodušeného předpokladu, že modul pružnosi beonu E je sejný v čase aplikace zaížení a v čase odížení. ANALÝZA VLIVU ZMĚNY VSTUPNÍCH HODNOT V další čási analýzy byla provedena porovnání vlivu změn jednolivých vsupních hodno ovlivňujících velikos a vývoj dovarování a smršťování. V éo čási již nebyl analyzován model dle ČSN 73 627 a upravený Model B3 I. Pevnos beonu Jako vsup byly do ohoo porovnání použiy různé řídy beonů podle oho, pro keré řídy je daný model definován. V případě ČSN EN 992-- je parný přísup, že čím vyšší řída beonu je použia, ím menší je výsledný součiniel dovarování a o po celou sledovanou dobu (obr. ). Zajímavý je především rozdíl mezi jednolivými řídami, kerý je v porovnání s ČSN EN 992-2 podsaně věší, i když rozsah použiých vsupů nedosahuje akových hodno. Podle ČSN EN 992-2 nižší řídy beonu aké více dovarují (na konci živonosi ve leech), což je způsobeno rychlejším nárůsem součiniele dovarování při vysychání (obr. ). Avšak v časech cca do 5 dnů je omu naopak vyšší řídy beonů edy mají v nižších časech rychlejší nárůs dovarování vlivem základního dovarování. nabízí zcela odlišný přísup a o, že v časech cca do dní nejvíce dovarují nižší řídy beonů, v čase le je siuace přesně opačná (obr. 2). Je zajímavé, že se v případě éo vsupní hodnoy modely ako rozcházejí. Na grafu je zobrazena nejen celková hodnoa součiniele dovarování, ale aké jeho čás od vysychání, kerá byla dopočíána jako rozdíl mezi hodnoou celkovou a základní složkou dovarování. Proože Model B3 neumožňuje srikně odděli základní složku dovarování a složku dovarování od vysychání, muselo dojí k následující úpravě. Základní složka dovarování byla vypočíána z upraveného vzahu pro výpoče funkce poddajnosi J ze vzahu byl vypušěn člen funkce dovarování vysycháním C d (,, ) a vzorec pro výpoče funkce poddajnosi pouze od základního dovarování má edy var J(, ) = 62 BETON echnologie konsrukce sanace 6/2
ČSN EN 992-- vliv pevnosi beonu f cm 3, 3, vliv pevnosi beonu f c 2, 2,,5,5,,,5,5,, C25/3 celkový C35/45 celkový C45/55 celkový C55/67 celkový C25/3 při vysych. C35/45 při vysych. C45/55 při vysych. C55/67 při vysych. C25/3 C35/45 C45/55 2 2,,5,,5 ČSN EN 992-2 vliv pevnosi beonu f cm SH -,5 -, -,5 -,2 ČSN EN 992-2 vliv pevnosi beonu f cm,, -,25 -,3 -,5 C55/67 celkový C7/85 celkový C9/5 celkový C55/67 při vysychání C7/85 při vysychání C9/5 při vysychání 3 C55/67 celkové C7/85 celkové C9/5 celkové C55/67 auogenní C7/85 auogenní C9/5 auogenní C55/67 od vysychynání C7/85 od vysychynání C9/5 od vysychynání Obr. Vliv změny pevnosi beonu na velikos součiniele dovarování φ; ČSN EN 992-- Fig. Influence of concree srengh on he creep coefficien φ; ČSN EN 992-- Obr. Vliv změny pevnosi beonu na velikos součiniele dovarování φ; ČSN EN 992-2 Fig. Influence of concree srengh on he creep coefficien φ; ČSN EN 992-2 Obr. 2 Vliv změny pevnosi beonu na velikos součiniele dovarování φ; Fig. 2 Influence of concree srengh on he creep coefficien φ; Obr. 3 Vliv změny pevnosi beonu na poměrné převoření od smršťování ε SH ; ČSN EN 992-2 Fig. 3 Influence of concree srengh on he shrinkage ε SH ; ČSN EN 992-2 Obr. 4 Vliv změny pevnosi beonu na poměrné převoření od smršťování ε SH ; Fig. 4 Influence of concree srengh on he shrinkage ε SH ; SH 4 vliv pevnosi beonu f cm, -,5 -, -,5 -,2 -,25 -,3 -,35 -,4 -,45 -,5 C25/3 C35/45 C45/55 C55/67 q + C (, ), kde q je maeriálový paramer závislý na modulu pružnosi beonu ve 28 dnech a C (, ) je základní funkce dovarování. Výsledné absoluní hodnoy si jsou velice podobné. Ze zobrazených grafů je parné, že čás, ve keré se yo dva modely liší, je edy základní dovarování. Samoný přísup k dovarování při vysychání je sejný (beony s nižší pevnosí více dovarují), ale zajímavý je rozdíl v absoluních hodnoách, kdy rozdíly mezi jednolivými řídami beonu u Modelu B3 jsou minimální oproi ČSN EN 992-2. Zajímavé je porovnání ěcho dvou modelů aké z pohledu poměrného převoření od smršťování (obr. 3). Odlišný var křivky pro řídu C55/67 je pravděpodobně způsoben aké součinielem zohledňujícím pevnos beonu K(f ck ). Ten je oiž definován konsanou pro řídu C55/67 (a nižší řídy) a odlišným vzahem pro vyšší řídy beonů. Na grafu jsou zobrazeny kromě výsledné hodnoy celkového smršťování i její jednolivé složky, edy auogenní smršťování a smršťování od vysychání. Opě (jako u součiniele dovarování) je parné, že v nižších časech se projevuje jen auogenní složka, naopak ve vyšších časech se ke slovu dosává smršťování od vysychání a auogenní složka je již konsanní (její vliv na přírůsek poměrné deformace je edy nulový). Vyhodnocení podle Modelu B3 II je zcela odlišné (obr. 4). Všechny použié řídy beonů smršťují cca do dní éměř sejně a od ohoo času je parné věší smršťování beonů nižších říd. Výsledné hodnoy jsou si však v absoluní hodnoě velice podobné a rozdíly jsou edy minimální. Ale v porovnání s modelem ČSN EN 992-2 jsou rozdíly absoluních hodno veliké. 6/2 echnologie konsrukce sanace BETON 63
Druh cemenu Vliv druhu cemenu nelze dobře porovna mezi ČS EN a Modelem B3 II, proože oba modely používají odlišné rozdělení cemenů s různými vlasnosmi. Proo je uvedeno pouze porovnání norem ČSN EN. Rozdíly mezi oběma modely jsou překvapivé zaímco ČSN EN 992-- nabízí éměř dvojnásobný rozdíl mezi řídou S a R (obr. 5), v modelu ČSN EN 992-2 mají řídy cemenu pouze minimální vliv, navíc jen v čase do 28 dní. SH 5 6 7 -, -,5 -,2 -,25 -,3 -,35 -,4 -,45 ČSN EN 992-- vliv řídy cemenu, -,5 3 2,5,5 3 2,5,5 řída S řída N řída R Součiniel dovarování; = 3 dny čas vnesení zaížení [den] Součiniel dovarování; = 8 dní čas vnesení zaížení [den] VLIV STÁŘÍ BETONU V OKAMŽIKU VNESENÍ ZATÍŽENÍ MODEL B3 II Předpokládané chování je, že čím později je beonový prvek zaížen, ím méně bude dovarova (což se projeví nižším součinielem dovarování) a o především z důvodu, že u sarších (vyzrálejších) beonů je výrazně nižší proceno objemu nezavrdlé cemenové pasy, kerá svým přesunem z prosoru mezi zrny kameniva způsobuje nárůs deformace prvku dovarování. Na grafu (obr. 6) je zobrazena hodnoa součiniele dovarování v čase le (na ose x je zobrazen čas vnesení zaížení). Podle definice Modelu B3 je doba ošeřování označena. Na začáku zobrazené křivky (mezi 3 a dny) je parný rozpor s výše uvedenými předpoklady a o, že čím později je prvek zaížen, ím více dovaruje. Tao nesrovnalos úzce souvisí s dobou ošeřování. V omo případě je doba ošeřování ři dny. Pokud však délku ošeřování zvýšíme na osm dní, chyba se již neprojeví (obr. 7). Uvedené grafy analyzovaly velikos součiniele dovarování v čase le v závislosi na čase vnesení zaížení. Pro každou hodnou analyzovaného času lze nají kriickou hodnou délky ošeřování, od keré se chyba již neprojevuje (např. pro sledovaný čas le = 8 dní, pro sledovaný čas dní = 2 dny). Význam ohoo fenoménu je možné vhodně popsa na příkladu lemé beonáže, kdy dochází k posupnému přiěžování dříve vybeonovaných lamel. Teno posup se dá přirovna k posupně a rychle přiěžované konsrukci velmi nízkého sáří beonu, kerá by pak musela dovarova od nového zaížení sále víc a až od určié doby by se velikos dovarování od nového zaížení snižovala. Neplailo by edy, že čím je konsrukce sarší v době vnesení zaížení, ím méně dovaruje. A čím je chyba způsobena? Součiniel dovarování φ(, ) je dle Modelu B3 počíán ze vzahu:, E J,, (3) kde E( ) je modul pružnosi beonu v čase aplikace zaížení a J (, ) je funkce poddajnosi mezi časy a. Pokud provedeme derivaci funkce φ(, ), neboli součinu EJ, podle času, pak problém převedeme na souče dvou součinů následovně: (EJ) = E J + EJ (kde operáor značí derivaci funkce E, resp. J podle času). Obě funkce jsou zobrazené na grafu na obr. 8. Zde je jasně parné, že v čase do osmi dní první funkce dosahuje vyšších hodno a klesá mnohem rychleji než druhá, což má při jejich sčíání za následek rosoucí var výsledné křivky průběhu součiniele dovarování (obr. 6). V časech od osmi dnů dále už má první funkce nižší hodnoy a výsledná křivka součiniele dovarování pak posupně klesá. Pro úplnos je ješě uveden graf souču obou funkcí, edy graf derivace křivky součiniele dovarování podle času (obr. 9). V mísě, kde je derivace věší než, je výsledná křivka součiniele dovarování rosoucí (obr. 6), v časech od devíi dnů jsou hodnoy menší než a křivka součiniele dovarování je proo klesající. ZÁVĚR Při porovnání jednolivých modelů se věšinou povrzuje fak, že sará norma ČSN reologické chování beonu podceňovala. ČSN EN 992-- je v omo ohledu sice přesnější, avšak je zde veliká podobnos výsledků s původní normou ČSN. Naopak výsledky podle ČSN EN 992-2 se časo přibližují k hodnoám sanoveným dle Modelu B3 i když absoluní hodnoy zůsávají sále nižší, průběh zobrazených křivek je věšinou varově shodný. Je edy oázkou, jak se konsrukce opravdu chová a keré výsledky ak více odpovídají realiě, proože oba modely vznikly na základě mnoha experimenů a měření. Z porovnání vlivů změn jednolivých vsupních hodno je především parné, že modelu použiému v ČSN EN 992-- cielně chybí čás dovarování při vysychání a čás smršťování od vysychání a dává nepřesné (podhodnocené) hodnoy éo složky poměrného převoření od smršťování. Parně lepší model použiý v ČSN EN 992-2 se mnohem více přibližuje chování podle Modelu B3 II i skuečnému chování be- 64 BETON echnologie konsrukce sanace 6/2
Obr. 5 Vliv změny druhu cemenu na ε SH ; ČSN EN 992-- Fig. 5 Influence of cemen ype on he shrinkage ε SH ; ČSN EN 992-- Obr. 6 Velikos součiniele dovarování φ (ve leech) v závislosi na čase vnesení zaížení; doba ošeřování = 3 dny; Fig. 6 Creep coefficien φ (in years) ime developmen depending on he loading ime; curing ime = 3 days; Obr. 7 Velikos součiniele dovarování φ (ve leech) v závislosi na čase vnesení zaížení; doba ošeřování = 8 dní; Fig. 7 Creep coefficien φ (in years) ime developmen depending on he loading ime; curing ime = 8 days; Obr. 8 Rozdělení derivace součinu (EJ) na souče dvou součinů podle pravidla per pares Fig. 8 Derivaion of he produc (EJ) like sum of he wo producs under rule per pares Obr. 9 Průběh derivace funkce φ( ) popisující velikos součiniele dovarování v závislosi na čase aplikace zaížení Fig. 9 Derivaion of funcion φ( ) depending on he loading ime 8 Derivace součinu (E J)' = E' J + E J' 4 35 3 25 2 E' J 5 (-)*(E J') 5 čas vnesení zaížení [den] 8 7 6 5 4 3 2 - -2 9 Derivace (') onu. To vše samozřejmě pouze za předpokladu, že modely EN 992-2 a Model B3 vysihují reálné chování konsrukcí nejvíce. Pro porovnávané modely obecně plaí, že někeré vsupní hodnoy mají oproi očekávání zanedbaelný vliv na absoluní hodnou analyzovaných veličin. U dovarování jsou o např. doba ošeřování, rozměry průřezu, vodní součiniel, způsob ošeřování, yp varu průřezu a u smršťování např. doba ošeřování. Naopak jiné vsupní hodnoy dokáží změni výsledky někdy až o sovky procen. U dovarování jsou o např. relaivní vlhkos, obsah křemičiého úleu, poměr kameniva ku cemenu a u smršťování např. relaivní vlhkos, vodní součiniel, poměr kameniva ku cemenu a způsob ošeřování. Exisují však aké veličiny, u kerých má každý model úplně odlišný přísup. Plaí o zejména pro vliv pevnosi (resp. řídy) beonu nebo druhu cemenu. Je aké škoda, že model B3 neumožňuje do výpoču zahrnou vliv přísad a příměsí jako např. křemičiý úle respekovaný v ČSN EN 992-2, proože yo složky mají na výsledné chování beonu velice významný vliv a dají se s nimi relaivně jednoduše příznivě ovlivni jeho vlasnosi. Lieraura: [] Bažan Z. P., Baweja S.: Creep and Shrinkage Predicion Model for Analysis ad Design of Concree Srucures : Model B3, ACI Special Publicaion Creep and Shrinkage of Concree, A. Al-Manaseer, Edior, 2 [2] Vráblík L.: Manuál k programu C&S, Praha 26 [3] Teplý B., Rovnaník P.: Účinky dovarování a smršťování v singulárních oblasech beonových prvků Sochasická analýza modelu B3 Popis varian a příklady analýz [4] ČSN EN 97- Cemen Čás : Složení, specifikace a kriéria shody cemenů pro obecné použií 6/2, vč. Změny Z 9/23, Změny A /24, Změny A3 /28 [5] ČSN 73 627 Navrhování mosních konsrukcí z předpjaého beonu /993, vč. Změny Z /998, Změny Z2 /26 [6] ČSN EN 992-- Eurokód 2: Navrhování beonových konsrukcí Čás -: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní savby /26, vč. Opravy 7/29, Změny Z 3/2 [7] ČSN EN 992-2 Eurokód 2: Navrhování beonových konsrukcí Čás 2: Beonové mosy Navrhování a konsrukční zásady 5/27, vč. Opravy /29, Změny Z 3/2 Je více než zajímavé, že i když všechny modely jsou založeny na experimenálních měřeních a pokusech, i přeso vykazují veliké odlišnosi, rozdílné přísupy a někdy až překvapivé závěry. V případě Modelu B3 II se pak sekáváme s chováním, keré nuí uživaele pochybova o věrohodnosi výsledků, keré poskyuje. Ne vždy yo výsledky odpovídají předsavám o chování konsrukce z beonu. Exisuje zde zjevný problém s krákými časy ošeřování beonu. Nemělo by se aké zapomína na fak, že vsupní hodnoy použié pro výpoče paramerů smršťování a dovarování jsou ve skuečnosi náhodné proměnné. V současné době exisují účinné násroje (výpočení sofware), keré jsou schopny počía účinky smršťování a dovarování s využiím sochasické analýzy [3]. Hodnoy paramerů reologického chování beonu sanovené s uvážením náhodnosi vsupních da pomocí ohoo programu vykazují u součiniele dovarování rozpyl cca 2 % a u smršťování dokonce cca 34 %. Z výše uvedeného vyplývá, že by projekan měl během realizace savby vyžadova měření vlasnosí beonu v čase a podle jejich skuečných velikosí akualizova výpoče a případně včas zasáhnou, kdyby nepředvídané, a edy nevhodné chování beonu mohlo způsobi různé problémy nebo dokonce ovlivni mezní únosnos konsrukce. Pro jednoduché a rychlé použií všech uvedených maemaických modelů byl vyvořen výpočení program, kerý je volně k dispozici na inerneových sránkách pracovišě auorů. Uvedené výsledky byly získány v rámci řešení granového projeku č. 4//3 uděleného GA ČR, projeků č. TA 392 a č. TA 3733 podporovaných TA ČR a v rámci řešení projeku SGS/38OHK/2T/. Ing. Jan Soška e-mail: jan.soska@fsv.cvu.cz Ing. Lukáš Vráblík, Ph.D. e-mail: lukas.vrablik@fsv.cvu.cz oba: Kaedra beonových a zděných konsrukcí Fakula savební ČVUT v Praze Thákurova 7, 66 29 Praha 6 el.: 224 354 627 6/2 echnologie konsrukce sanace BETON 65