Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy 1. přednáška BI-ZMA ZS 2009/2010 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 1 / 14
Výrok Definice V logice je výrok tvrzení, u kterého má smysl otázka, zda je či není pravdivý. Definice Výroková funkce je předpis P(x), který každému prvku x přiřazuje výrok. (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 2 / 14
Logické spojky A B platí A a zároveň platí B, platí oba dva výroky A, B, (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 3 / 14
Logické spojky A B platí A a zároveň platí B, platí oba dva výroky A, B, A B platí A nebo platí B, tedy platí alespoň jeden z výroků A, B, (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 3 / 14
Logické spojky A B platí A a zároveň platí B, platí oba dva výroky A, B, A B platí A nebo platí B, tedy platí alespoň jeden z výroků A, B, A B, B A platí B, A implikuje B, z A plyne B, pokud platí A, pak (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 3 / 14
Logické spojky A B platí A a zároveň platí B, platí oba dva výroky A, B, A B platí A nebo platí B, tedy platí alespoň jeden z výroků A, B, A B, B A platí B, A implikuje B, z A plyne B, pokud platí A, pak A B A je ekvivalentní s B; A platí právě tehdy, když platí B; A platí tehdy a jen tehdy, když platí B; platí-li A, platí B, neplatí-li A, neplatí B, (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 3 / 14
Logické kvantifikátory Logické kvantifikátory identicky rovno (např. dvě funkce mají všude na dané množině stejné hodnoty), (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 4 / 14
Logické kvantifikátory Logické kvantifikátory identicky rovno (např. dvě funkce mají všude na dané množině stejné hodnoty), df = definitoricky rovno (při definici nového pojmu), (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 4 / 14
Logické kvantifikátory Logické kvantifikátory identicky rovno (např. dvě funkce mají všude na dané množině stejné hodnoty), df = definitoricky rovno (při definici nového pojmu), obecný kvantifikátor, tj. všechna, pro všechna, pro každé..., (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 4 / 14
Logické kvantifikátory Logické kvantifikátory identicky rovno (např. dvě funkce mají všude na dané množině stejné hodnoty), df = definitoricky rovno (při definici nového pojmu), obecný kvantifikátor, tj. všechna, pro všechna, pro každé..., existenční kvantifikátor, tj. existuje, pro nějaké..., (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 4 / 14
Logické kvantifikátory Logické kvantifikátory identicky rovno (např. dvě funkce mají všude na dané množině stejné hodnoty), df = definitoricky rovno (při definici nového pojmu), obecný kvantifikátor, tj. všechna, pro všechna, pro každé..., existenční kvantifikátor, tj. existuje, pro nějaké...,! existuje právě jedno, (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 4 / 14
Množina Definice M = {...} množina zadaná výčtem prvků nebo charakteristickou vlastností svých prvků, x M čteme x (je) prvkem M Obecně budeme množiny všech prvů x M, pro které je pravdivá výroková forma A(x), zapisovat ve tvaru {x M P(x)}. V případě, že M značí množinu všech x, která lze do výrokové formy dosazovat, budeme používat i značení {x P(x)}. (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 5 / 14
Operace s množinami Dvě množiny A a B jsou stejné, zapsáno A = B, když A a B mají stejné prvky. (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 6 / 14
Operace s množinami Dvě množiny A a B jsou stejné, zapsáno A = B, když A a B mají stejné prvky. Množina A se nazývá podmnožina množiny B, zapsáno A B, když každý prvek množiny A je obsažen v množině B. (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 6 / 14
Operace s množinami Dvě množiny A a B jsou stejné, zapsáno A = B, když A a B mají stejné prvky. Množina A se nazývá podmnožina množiny B, zapsáno A B, když každý prvek množiny A je obsažen v množině B. Zřejmě, A = B, když současně platí A B a B A. (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 6 / 14
Operace s množinami Dvě množiny A a B jsou stejné, zapsáno A = B, když A a B mají stejné prvky. Množina A se nazývá podmnožina množiny B, zapsáno A B, když každý prvek množiny A je obsažen v množině B. Zřejmě, A = B, když současně platí A B a B A. Když A B a A B, nazýváme A vlastní podmnožinou množiny B. (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 6 / 14
Operace s množinami Dvě množiny A a B jsou stejné, zapsáno A = B, když A a B mají stejné prvky. Množina A se nazývá podmnožina množiny B, zapsáno A B, když každý prvek množiny A je obsažen v množině B. Zřejmě, A = B, když současně platí A B a B A. Když A B a A B, nazýváme A vlastní podmnožinou množiny B. Důležitá je množina neobsahující žádný prvek. Taková množina existuje pouze jedna a je zvykem ji značit a nazývat prázdná množina. Prázdná množina je podmnožinou každé množiny. (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 6 / 14
Operace s množinami Když A a B jsou dvě množiny, definujeme sjednocení A B množin A a B A B = { x x A nebo x B}; Množiny A a B nazývame disjunktní, když A B =. (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 7 / 14
Operace s množinami Když A a B jsou dvě množiny, definujeme sjednocení A B množin A a B A B = { x x A nebo x B}; průnik A B množin A a B A B = { x x A a x B}; Množiny A a B nazývame disjunktní, když A B =. (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 7 / 14
Operace s množinami Když A a B jsou dvě množiny, definujeme sjednocení A B množin A a B A B = { x x A nebo x B}; průnik A B množin A a B A B = { x x A a x B}; rozdíl A\B množin A a B A\B = { x x A a x / B}. Množiny A a B nazývame disjunktní, když A B =. (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 7 / 14
Uspořádaná n-tice Definice Jestliže x a y jsou prvky (nějakých množin), zavedeme symbol (x, y) pro uspořádanou dvojici prvků x a y. Definujeme: (x, y) = (z, t) právě když x = z a y = t. Podobně definujeme i uspořádanou n-tici prvků x 1, x 2,..., x n, již označujeme (x 1, x 2,..., x n ). (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 8 / 14
Kartézský součin Definice Necht A a B jsou množiny. Symbolem A B označujeme množinu všech uspořádaných dvojic tvaru (x, y), kde x A a y B. Formálně zapsáno A B = { (x, y) x A, y B }. A B se nazývá kartézský součin množin A a B. (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 9 / 14
Relace Definice Relace mezi množinami A a B je libovolná podmnožina R kartézského součinu A B. Je-li A = B, mluvíme o relaci na A. Náleži-li dvojice (x, y) relaci R, t.j., (x, y) R, říkáme také, že x a y jsou v relaci R, a zapisujeme též xry. (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 10 / 14
Množina všech podmnožin Příklad 1 Množinu všech podmnožin množiny A označíme P(A). Této množině se také říká potenční množina, proto písmeno P v označení. Na P(A) zavedeme relaci R 1 takto X R 1 Y X Y (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 11 / 14
Další příklady. Příklad 2 Řekneme, že přímky p a q v rovině jsou v relaci R 2, když p a q jsou rovnoběžné. (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 12 / 14
Další příklady. Příklad 2 Řekneme, že přímky p a q v rovině jsou v relaci R 2, když p a q jsou rovnoběžné. Příklad 3 Řekneme, že přímky p a q v rovině jsou v relaci R 3, když p a q jsou na sebe kolmé. (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 12 / 14
Další příklady. Příklad 2 Řekneme, že přímky p a q v rovině jsou v relaci R 2, když p a q jsou rovnoběžné. Příklad 3 Řekneme, že přímky p a q v rovině jsou v relaci R 3, když p a q jsou na sebe kolmé. Příklad 4 Na množině studentů FIT zavedeme relaci podle data jejich narození. Řekneme, že dva studenti jsou v relaci R 4, jestliže mají narozeniny ve stejný den. (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 12 / 14
Další příklady. Příklad 2 Řekneme, že přímky p a q v rovině jsou v relaci R 2, když p a q jsou rovnoběžné. Příklad 3 Řekneme, že přímky p a q v rovině jsou v relaci R 3, když p a q jsou na sebe kolmé. Příklad 4 Na množině studentů FIT zavedeme relaci podle data jejich narození. Řekneme, že dva studenti jsou v relaci R 4, jestliže mají narozeniny ve stejný den. Příklad 5 Na množině N definujeme relaci mr 5 n, když m děĺı n. (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 12 / 14
Ekvivalence Definice Řekneme, že relace R na množině M je ekvivalence, když má následující tři vlastnosti pro každé x M platí xrx kdykoliv xry, pak i yrx (reflexivita) (symetrie) ze vztahů xry a y Rz plyne xrz (tranzitivita) (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 13 / 14
Uspořádání Definice Relace na množině M se nazývá uspořádání, když má následující tři vlastnosti: pro každé x M platí x x jestliže x y a y x, pak x = y jestliže x y a y z, pak x z (reflexivita) (antisymetrie) (tranzitivita) (FIT) Základní pojmy BI-ZMA ZS 2009/2010 14 / 14