Těleso na podporách. Obsah přednášky : uvolňování jako jeden ze základních postupů mechaniky, statická určitost a neurčitost, vazby a jejich vlastnosti, řešení staticky neurčitých úloh Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : Seznámit studenty s metodikou uvolňování vazeb.
V 1. a 2. přednášce jsme zevrubně probrali sílu jakožto fyzikální veličinu, a to v širších souvislostech. Především jsme se zabývali nikoliv pouze jedinou silou, ale soustavou více sil. Seznámili jsme se se dvěma účinky síly - silovým a momentovým. Seznámili jsme se rovněžse dvěma typy úloh - úlohou ekvivalentního nahrazení (výslednice) a úlohou silové rovnováhy. Zatím jsme však nebrali v úvahu zřejmou skutečnost, že síla má svůj význam teprve působí-li na těleso. Síla je abstraktní pojem, nikoliv fyzicky existující objekt. Správnější, avšak poněkud komplikované označení by asi bylo silové působení mezi tělesy. Zaměříme se nyní na to, co nám v mechanice přináší skutečnost, že síly působí na těleso jistých rozměrů a jisté hmotnosti. Působí-li na těleso soustava sil, těleso bude měnit svůj pohybový stav podle výsledných účinků (silového a momentového) silové soustavy. Silový účinek způsobí urychlování (zpomalování) posuvu tělesa, momentový účinek způsobí urychlování (zpomalování) rotace tělesa. Vztah mezi působícími silami a změnou pohybu tělesa je předmětem dynamiky.
Uvolňování, řešení reakcí. Ve statice se zabýváme působením sil na tělesa, která jsou v klidu. Tento klid je nejčastěji způsoben vnějšími příčinami - uložením tělesa. Uložením tělesa myslíme jeho spojení se zvláštním tělesem, jež obvykle nazýváme rámem. Těleso leží na podporách (na obrázku, a C). Rám pak je těleso pevně spojené se Zemí. Ve schematických náčrtech, doprovázejících popis jednotlivých úloh mechaniky, znázorňujeme rám šrafováním. Těleso je dále vystaveno vnějšímu zatížení - působí na něj síly. Tyto síly se přenášejí na podpory - podpory jsou rovněž vystaveny působení sil. C C Určení těchto sil (působících na podpory, obrázek vpravo) je jednou ze základních úloh statiky. Je zřejmé, že síly, působící na podpory, jsou přímo závislé na zatížení tělesa. Stanovení velikosti těchto sil však není triviální úlohou. Jak bylo popsáno na 1. a 2. přednášce, soustavu sil, působících na těleso, lze ekvivalentně nahradit jedinou silou - výslednicí. Výslednici pak lze rozložit na síly, zatěžující podpory. Tento postup však není právě jednoduchý. Ukážeme si zde postup jiný - univerzálnější.
Uvolňování, řešení reakcí. Připomeňme si na tomto místě jedno ze základních pravidel mechaniky -třetí Newtonův zákon, zákon akce a reakce. Dvě tělesa, která jsou ve vzájemné interakci (v kontaktu), na sebe navzájem působí silami stejně velkými, stejného směru ale opačné orientace. Jestliže tedy těleso působí na podpory jistými silami (obrázek vlevo), působí také podpory na těleso silami stejně velkými, opačně orientovanými (obrázek vpravo). těleso na podpory C C podpory na těleso Na těleso tedy působí soustava sil. Tyto síly můžeme rozdělit do dvou skupin: kce - prvotní síly tvořící vnější zatížení (na obrázku vpravo jsou bílé). (Z hlediska kauzality jde o příčinu zatížení podpor.) Reakce - druhotné síly, jimiž na těleso působí podpory (na obrázku vpravo jsou šedé). (Představují následek vnějšího zatížení, odezvu na vnější zatížení.)
Uvolňování, řešení reakcí. Jestliže sílu jsme definovali jako příčinu změny pohybového stavu tělesa, zde můžeme s jistotou konstatovat, že pohybový stav tělesa se nemění -těleso zůstává stále v klidu. Z toho vyplývá, že výše zmíněná soustava sil, působících na těleso, je v rovnováze, má jak nulový silový účinek (nenulový by způsobil posuv tělesa), tak nulový momentový účinek (nenulový by způsobil otáčení tělesa). Síly, působící na těleso, tvoří rovinnou soustavu sil s různými působišti. Jak bylo ukázáno na 2. přednášce, rovnováha takové silové soustavy je vyjádřena třemi rovnicemi rovnováhy. Fxi = 0 Fyi = 0 M i = 0 i i i Tedy součet sil ve dvou (libovolných) k sobě kolmých směrech je roven nule a součet momentů ke zvolenému (libovolnému) momentovému bodu je rovněž roven nule. Z těchto tří rovnic lze vypočíst velikost tří neznámých reakcí. Síly, zatěžující podpory, pak jsou stejně velké, jako tyto reakce, ale opačně orientované. Ukázali jsme dva základní postupy mechaniky. Uvolnění tělesa - znamená (pomyslné) odstranění podpor a jejich nahrazení přenášenými silami. Silová rovnováha - umožňuje sestavit rovnice rovnováhy a z nich řešit neznámé reakce.
Uvolňování, řešení reakcí. Připomeňme na tomto místě, že počet rovnic rovnováhy je jednoznačně dán (viz 2. přednáška) : rovinná silová soustava se společným působištěm - 2 rovnice rovnováhy (silové), rovinná silová soustava s různými působišti - 3 rovnice rovnováhy (dvě silové a jedna momentová), prostorová silová soustava se společným působištěm - 3 rovnice rovnováhy (silové), prostorová silová soustava s různými působišti - 6 rovnic rovnováhy (tři silové a tři momentové). Po prostudování předchozího textu se naskýtají dvě otázky. - Jak budeme postupovat, jestliže počet podpor, a tedy počet neznámých reakcí, bude jiný (větší nebo menší) než počet rovnic rovnováhy? - Jak jsme poznali směr sil, přenášených mezi tělesem a podporou? Na tyto otázky se nyní zaměříme a v následujícím textu přineseme jednoznačné odpovědi.
Statická určitost a neurčitost. Jestliže odstraníme jednu podporu (např. podporu na obrázku), těleso se stane pohyblivým. S Zbývající dvě podpory a C umožňují natáčení okolo bodu S. Těleso pak již není nehybné a neřešíme problém statiky ale dynamiky. C Ptáme se jaký je moment sil k bodu S a jaký pohyb způsobuje. D C Jestliže naopak přidáme jednu podporu (podporu D na obrázku), těleso zůstává nehybné. V soustavě rovnovážných rovnic však je více neznámých reakcí (4), než je počet rovnic (3). O takovém tělese řekneme, že je staticky neurčitě uloženo, zatímco je-li počet rovnic roven počtu neznámých, hovoříme o staticky určitém uložení. Statická neurčitost může být i vyššího řádu. Je-li počet neznámých reakcí o j větší než počet rovnic rovnováhy řekneme, že těleso je j-krát staticky neurčitě uloženo (např. na obrázku je těleso uloženo jednou staticky neurčitě; kdyby však leželo na šesti podporách, bylo by uloženo třikrát staticky neurčitě). Řešení úloh staticky neurčitých (více neznámých reakcí než rovnic rovnováhy) bude stručně popsáno v dalším textu.
Statická určitost a neurčitost. Shrnutí : Je-li počet neznámých reakcí menší, než je počet rovnic rovnováhy, těleso je uloženo pohyblivě a úlohu vůbec nelze řešit z rovnic rovnováhy na poli statiky. (Z pohybové rovnice řešíme pohyb tělesa - viz výklad v kapitole Dynamika.) Je-li počet neznámých reakcí právě roven počtu rovnic rovnováhy, těleso je uloženo staticky určitě a reakce v podporách vypočítáme z rovnic rovnováhy. Je-li počet neznámých reakcí větší než počet rovnic rovnováhy, těleso je uloženo staticky neurčitě a reakce v podporách vypočítáme z rovnic rovnováhy, doplněných o deformační rovnice (popřípadě pouze z deformačních rovnic). Postup bude dále uveden.
Vazby. Odpověď na druhou, výše položenou otázku bude obsáhlejší. Směr sil, přenášených z tělesa na podpory a naopak z podpor na těleso, obecněji pak charakter přenášených silových a momentových účinků, závisí na konkrétní podobě spojení dvou těles. Tomuto spojení říkáme v mechanice vazba. Vazba je spojení dvou těles, umožňující určitý vzájemný pohyb. Různé typy vazeb mají různé vlastnosti z hlediska přenosu sil, rovněž pak z hlediska omezování pohybu vázaných těles vůči sobě navzájem. Tato dvě hlediska spolu úzce souvisí a z toho je zřejmé, že charakteristika vazeb je problematika, spojující statiku a kinematiku. Vazby rozdělujeme na rovinné a prostorové. Rovinná vazba spojuje dvě tělesa, konající rovinný pohyb v navzájem rovnoběžných rovinách. Tato formulace bude srozumitelnější po vysvětlení pojmu rovinný pohyb. Prozatím se spokojíme s intuitivním porozuměním pojmu rovinná vazba.
Vazby. Rovinných vazeb existuje celkem šest typů a v dalším textu budou podrobně popsány jejich vlastnosti jak z hlediska statiky, tak kinematiky. Při prostorovém pohybu je více možností různých pohybů, a tedy podstatně více kombinací pohybů, které vazba umožňuje a které naopak znemožňuje. Prostorových vazeb je proto velké množství a nelze je beze zbytku vyjmenovat. V tomto textu se zaměříme na vazby rovinné, kromě toho bude uvedeno jen několik ilustrativních příkladů vazeb prostorových. Rozlišujeme též idealizované vazby, u nichž nepočítáme s třením, a reálné vazby, u nichž se tření projevuje. V tomto textu budeme popisovat pouze idealizované vazby.
Rovinné vazby. Kloubová vazba nebo též rotační vazba umožňuje vzájemné natáčení těles vůči sobě, neumožňuje posuv ani v jednom směru. Přenáší síly ve dvou k sobě kolmých směrech, nepřenáší moment. Vazba se realizuje čepem, ložisky, panty (u dveří) apod. neumožňuje posuv přenáší síly umožňuje rotaci nepřenáší moment Kloubová vazba Symbolické značení vazby na kinematických schématech je samozřejmě zjednodušeno. těleso těleso těleso rám Kloubová vazba - schematické značení
Rovinné vazby. Posuvná vazba umožňuje posuv v jistém specifikovaném směru, neumožňuje posuv ve směru kolmém a neumožňuje rotaci. Přenáší sílu ve směru kolmém k posuvu a přenáší moment, nepřenáší sílu ve směru posuvu. Vazba může být realizována například vyfrézovanou drážkou. Skleněná tabule prosklené skříňky má rovněž posuvnou vazbu ke skříňce. znemožňuje posuv a rotaci přenáší sílu a moment umožňuje posuv nepřenáší sílu Symbolické značení vazby na kinematických schématech je samozřejmě zjednodušeno. Posuvná vazba - schematické značení
Rovinné vazby. Valivá vazba je tvořena dvěma povrchy ve vzájemném kontaktu (dotyku), přičemž nedochází k prokluzu mezi povrchy. (Povrchy samozřejmě nemusí být rovinné a válcové, jak je tomu na obrázku; mohou mít libovolný tvar.) Samotný termín valivý pohyb - valení znamená vzájemný pohyb bez prokluzu. Dotykový bod valivé vazby lze označit za okamžitý kloub. valení bez prokluzu neumožňuje posuv umožňuje rotaci nepřenáší moment přenáší síly valivá vazba, valivý pohyb Rotace okolo okamžitého kloubu Valivá vazba Rozdíl mezi valením a rotací je ten, že při valení se okamžitý kloub mění (v každém okamžiku je to jiný bod). Základní vlastnosti obou vazeb, jak z hlediska kinematiky, tak statiky, jsou však shodné. Obě umožňují rotaci a neumožňují posuv, přenáší síly a nepřenášejí moment. Valivá vazba tedy znemožňuje dva posuvy a umožňuje rotaci; přenáší dvě, k sobě kolmé síly a nepřenáší moment.
Rovinné vazby. Posuvný kloub je kombinací kloubové a posuvné vazby. Umožňuje rotaci a umožňuje posuv v jistém specifikovaném směru, znemožňuje posuv v kolmém směru. Přenáší pouze sílu ve směru kolmém k posuvu. nepřenáší sílu ani moment umožňuje posuv a rotaci neumožňuje posuv přenáší sílu Posuvná kloubová vazba Posuvná kloubová vazba Symbolické značení vazby na kinematických schématech je samozřejmě zjednodušeno. Posuvná kloubová vazba - schematické značení
Rovinné vazby. Obecná vazba (obecná kinematická dvojice) je tvořena dvěma dotýkajícími se povrchy, pohybujícími se vůči sobě tak, že v bodě dotyku dochází k vzájemnému prokluzu. Obecná kinematická dvojice z umožňuje nezávislý posuv a rotaci prokluz v bodě dotyku přenáší sílu nepřenáší sílu ani moment neumožňuje posuv Obecná vazba Vazba znemožňuje posuv kolmo ke společné tečně obou povrchů, umožňuje rotaci a posuv ve směru společné tečny. Tyto pohyby jsou na sobě nezávislé. Vazba přenáší pouze sílu kolmou ke společné tečně, nepřenáší moment ani sílu ve směru společné tečny.
Rovinné vazby. Dokonalé vetknutí je pevné spojení dvou těles. Neumožňuje žádný vzájemný pohyb. Přenáší sílu obecného směru (dvě síly ve dvou specifikovaných, k sobě kolmých směrech) a moment síly. Vazba je mimořádná tím, že dvě tělesa, spojená navzájem dokonalým vetknutím, stávají se tělesem jedním. neumožňuje posuv ani rotaci přenáší síly a moment Dokonalé vetknutí Dokonalé vetknutí Vazbu lze realizovat svařením, slepením, zabetonováním, nebo třeba pevným sešroubováním. těleso těleso rám těleso Cedulky pevně přibité na stojan Dokonalé vetknutí - schematické značení
Rovinné vazby. Porovnáme-li u všech vazeb jejich vlastnosti z hlediska statiky (které síly a momenty přenáší nebo nepřenáší) a z hlediska kinematiky (které pohyby umožňuje nebo znemožňuje), můžeme formulovat obecné pravidlo. Každá vazba přenáší takové síly (momenty), jakým vzájemným pohybům zabraňuje. Jestliže vazba neumožňuje vzájemný posuv v určitém směru, přenáší sílu v tomto směru. Jestliže vazba neumožňuje vzájemnou rotaci okolo určité osy, přenáší moment k této ose. Naopak jestliže vazba určitý pohyb umožňuje, pak nepřenáší příslušnou sílu nebo moment. Toto jednoduché pravidlo neplatí zcela pro reálné vazby. Počítáme-li s třením, musíme konstatovat, že pokud vazba umožňuje určitý pohyb, přenáší sílu v tomto směru, ale ne libovolně velkou, pouze do hodnoty, dané třením.
Prostorové vazby. Dále pouze pro ilustraci uvedeme dva příklady prostorových vazeb. Šroubová vazba umožňuje posuv a rotaci, avšak tyto pohyby jsou na sobě závislé prostřednictvím stoupání závitu. Vazba tedy umožňuje jeden nezávislý pohyb (např. rotaci), druhý pohyb (posuv) je odvozen od rotace v závislosti na stoupání závitu. Vazba neumožňuje posuvy ve směrech kolmých k ose vazby, rovněž neumožňuje rotace okolo os kolmých k ose vazby. umožňuje posuv a rotaci Sférický kloub umožňuje všechny tři rotace, znemožňuje tři posuvy. Přenáší sílu libovolného směru (tři složky síly), nepřenáší momenty. Šroubová vazba umožňuje tři rotace Sférický kloub
Řešení reakcí. Poté co jsme se seznámili se základními typy vazeb můžeme na příkladu demonstrovat výpočet reakcí staticky určitě uloženého tělesa. Těleso o hmotnosti m, tíhy G, je zavěšeno na kloubové vazbě v bodě. Kromě toho je obecnou vazbou podepřeno v bodě. Vzdálenost vazeb a je b (vodorovný směr) a h (svislý směr). h Vodorovná vzdálenost těžiště tělesa T od kloubu je c. Určete reakce v uložení tělesa. T G b Řešení spočívá ve dvou krocích -uvolnění tělesa (uvolnění vazeb) - rovnice rovnováhy. T G c R y b c R x h β R Uvolnění tělesa úzce souvisí s typem použitých vazeb. Kloubová vazba v bodě přenáší dvě, k sobě kolmé reakce R x a R y. Není nutnou podmínkou aby to byly směry svislý a vodorovný, naopak v některých případech může být užitečné volit si jiné dva směry. V tomto případě však je jedna reakce vodorovná, druhá svislá. Obecná vazba v bodě přenáší reakci R kolmo ke společné tečně dotýkajících se povrchů, pod úhlem β vůči vodorovnému směru. (Směr úsečky zde nehraje žádnou roli.) Orientaci reakcí (doprava nebo doleva, nahoru nebo dolů) si volíme. Kladný výsledek pak znamená správný odhad, záporný výsledek signalizuje opačnou orientaci, než byla zvolená.
Řešení reakcí. Poté co jsme se seznámili se základními typy vazeb můžeme na příkladu demonstrovat výpočet reakcí staticky určitě uloženého tělesa. Síly G, R x, R y a R tvoří rovinnou silovou soustavu s různým působištěm, jejíž rovnováha je vyjádřena třemi rovnicemi rovnováhy, např. : h F = R R cosβ = 0 T T G G c b R y c b β R R x h M F xi yi i = = R R = R x y = G R + R sinβ G = 0 cosβ h + R Z rovnic je zřejmé, že : c R = G h cosβ + b sinβ R R x y sinβ = G 1 sinβ b G c = 0 c cosβ cosβ = G h cosβ + b sinβ c sinβ h cosβ + b sinβ Celková reakce v kloubu a zmíněný úhel α (sklon reakce vůči vodorovnému směru) pak samozřejmě jsou : 2 2 R y R = R x + R y α = arctan R x
Řešení staticky neurčitých úloh. Pro úplnost uvedeme i řešení reakcí tělesa, uloženého staticky neurčitě, přestože této oblasti statiky se v tomto textu nebudeme systematicky věnovat. Těleso, zatížené dvěma silami, je v bodě dokonale vetknuto, v bodě podepřeno obecnou vazbou. Dokonalé vetknutí samo o sobě představuje staticky určité uložení, podpora přináší další neznámou reakci a těleso je tedy uloženo jednou staticky neurčitě. M R x R y R Uvolnění tělesa nepřináší žádný problém. V bodě zavádíme reakce R x a R y a reakční moment M, v bodě normálovou reakci R. Je třeba zdůraznit, že i v tomto případě máme k dispozici pouze tři rovnice rovnováhy! F xi = 0 F yi = 0 M i = 0 Chybějící rovnici (máme čtyři neznámé) hledáme v oblasti deformace. Je zřejmé, že nosník se v bodě nemůže prohnout, neboť je podepřen. Platí tedy : Δy = K = 0 R Řešení staticky neurčitých úloh se tedy neobejde bez řešení deformace tělesa.
Řešení staticky neurčitých úloh. Obsah přednášky : uvolňování jako jeden ze základních postupů mechaniky, statická určitost a neurčitost, vazby a jejich vlastnosti, řešení staticky neurčitých úloh