Statika 1. Reakce na rovinných staticky určitých konstrukcích. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury.

Transkript

1 reálných 3. přednáška Reakce na rovinných staticky určitých konstrukcích Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury 21. března 2016

2 Dřevěný trámový strop - Anežský klášter reálných trám - 1x stat. neurčitá kce průvlak - stat. určitá kce

3 Lávka přes Kunratický potok u soutoku s Vltavou reálných staticky určitá

4 Železniční most na Výtoni reálných staticky určitá Z tvaru ocelových ložisek vznikly značky pro pevný a posuvný kloub. Konstrukce je prostě podepřená, tzn. staticky určitá, proto reakce určíme z podmínek rovnováhy. Samotná příhradová soustava je násobná soustava, která je staticky neurčitá. Osové síly v prutech lze určit z podmínek rovnováhy doplněné o tzv. přetvárné podmínky.

5 Pevný a posuvný kloub prostý a spojitý nosník reálných Detail uložení závisí na velikosti posunu a natočení, tj. závisí na rozpětí.

6 Hlávkův most západní pohled reálných staticky určitá

7 Hlávkův most východní pohled reálných 3x staticky neurčitá

8 Čechův most reálných 1x staticky neurčitá

9 Oblouk s táhlem - Letohrádek královny Anny reálných staticky určitá

10 Železniční most v Holešovicích reálných 1x staticky neurčitá

11 Štefánikův most reálných Výrazně štíhlé stěny působí jako kyvné stojky. Staticky neurčitá soustava.

12 Obloukový most s dolní mostovkou reálných Staticky neurčitá soustava prostě podepřená.

13 Tuhé těleso je hmotný útvar, který se nedeformuje. V rovině je hmotným tuhým objektem: Hmotný bod Tuhá deska Hmotné objekty mohou být: Volné nejsou ve svém pohybu omezovány Vedené pohyb je částečně omezen Pevně podepřené pohyb je zcela znemožněn reálných Stupeň volnosti - vyjadřuje možnost objektu v daném směru se posunout nebo pootočit. Volný objekt má tolik stupňů volnosti, kolika nezávislými parametry je určena jeho poloha.

14 reálných Hmotný bod y u v x Přemístění hmotného bodu lze popsat pomocí 2 parametrů: Posun ve směru osy x: u Posun ve směru osy y: v Proto má hmotný bod 2 volnosti.

15 Tuhá deska y ϕ Přemístění tuhé desky lze popsat pomocí 3 parametrů: Posun ve směru osy x: u Posun ve směru osy y: v reálných v Natočením kolem osy z: ϕ Proto má tuhá deska 3 volnosti. u x Tyto 3 parametry pro popis přemístění je možné jednoznačně určit pro libovolný bod na desce, např. pro její těžiště.

16 reálných Stavební jsou ke svému okolí fixovány vnějšími vazbami, aby bylo zabráněno jejich přemístění. Vazby omezují volnost pohybu objektu, čímž odebírají objektu jeho stupně volnosti. Podle počtu stupňů volnosti, které odebírají hmotnému objektu, se vazby rozdělují na jednoduché, dvojné, trojné... Ve vazbách vznikají síly, které nazýváme reakce.

17 Pevný kloub - dvojná vazba - odebírá 2 volnosti reálných A x A x A y V pevném kloubu je zabráněno svislému i vodorovnému posunu (u = 0, v = 0). Natočení v pevném kloubu je umožněno. V pevném kloubu vzniká vodorovná složka A x i svislá složka A y reakce A. A y

18 Posuvný kloub - jednoduchá vazba - odebírá 1 volnosti reálných B Značka vnikla zjednodušením tvaru válečkového ložiska: V posuvném kloubu je zabráněno posunu kolmo na podtržení značky posuvného kloubu. Je umožněn posun ve směru podtržení značky posuvného kloubu. Natočení v posuvném kloubu je umožněno. V posuvném kloubu vzniká reakce B, která má směr kolmý na podtržení značky posuvného kloubu. Je ve směru posunu, kterému je zabráněno.

19 reálných Kyvný prut - jednoduchá vazba - odebírá 1 volnosti Kyvný prut znemožní posun ve směru jeho střednice (osy). Natočení je umožněno. V kyvném prutu vzniká jedna reakce C, která leží v ose kyvného prutu. C

20 reálných Vetknutí - trojná vazba - odebírá 3 volnosti D x M D Ve vetknutí je zabráněno posunu ve vodorovném i svislém směru (u = 0, v = 0). Ve vetknutí je zabráněno pootočení (ϕ = 0). D y Ve vetknutí vzniká vodorovná složka reakce D x i svislá složka reakce D y a moment M D.

21 Určení statické určitosti ze stupňů volnosti n počet stupňů volnosti volného hmotného objektu v počet stupňů volnosti, které ruší připojené vazby s stupeň tvarové variability vázaného objektu Potom rozlišujeme : s = n v jestliže s = 0. Staticky neurčité jestliže s < 0. Podle s rozlišujeme 1krát, 2krát, 3krát,... staticky neurčité. Staticky přeurčité jestliže s > 0 (jedná se o objekt vedený nebo volný, který se může pohybovat) V případě staticky určitých i neurčitých konstrukcí se nesmí jednat o výjimkový případ. reálných

22 reálných Výpočet reakcí u staticky určité Pro tuhou desku je možné sestavit 3 lineárně nezávislé podmínky rovnováhy, např.,, a nebo a, b, c. Pro hmotný bod je možné sestavit 2 lineárně nezávislé podmínky rovnováhy, např., nebo ve dvou jiných směrech ր, ց. Počet neznámých reakcí odpovídá počtu lineárně nezávislých rovnic podmínek rovnováhy. Proto u konstrukcí staticky určitých je možné stanovit velikost reakcí ze statických podmínek rovnováhy. Výpočet reakcí lze zkontrolovat ověřením podmínek rovnováhy, které nebyly použity pro jejich výpočet.

23 reálných ϕ u vznikají, jestliže soustava rovnic má lineárně závislé řádky, tzn. jedna rovnice je lineární kombinací ostatních rovnic. Hmotné těleso může konat zobecněný posun. u Reakce z podmínek rovnováhy nelze stanovit.

24 Spojité zatížení na nosníku Základní jednotka: N/m q reálných 1m w 1 (sání větru) g 1m 1m g V g N w 2 (tlak větru) 1m Stálé zatížení g působí svisle na jednotku délky nosníku. Užitné zatížení q působí svisle na jednotku půdorysného průmětu nosníku. Tlak nebo sání větru w působí kolmo na konstrukci na jednotku její délky.

25 Příklad staticky určité reálných Konzola (krakorec) F = 5kN A x A y a M A 2m n = 3 v = 3 s = 3 3 = 0 Jedná se o staticky určitou konstrukci. : A y F = 0 a : MA + F.2 = 0 : A x = 0

26 Příklad staticky určité Prostý nosník A x a A y Q = 2.q q = 4kN/m 2m 1m 1m F = 4kN α F = 80 b s = = 0 Jedná se o staticky určitou konstrukci. : A x F cosα F = 0 Q.1 {}}{ 1 a : 2 q F sinα F B.4 = 0 b : Ay.4+ Q {}}{ q f sinα F = 0 B reálných

27 Příklad staticky určité F = 6kN A x : A y a A y Q {}}{ q.1 = 0 q = 2kN/m 1m Q = 1.q a : F.0,5 Q.0,5 {}}{ 1 2 q.12 +B.1 = 0 : F B + A x = 0 b 0,5m 0,5m B n = 3 v = = 3 s = 3 3 = 0 Jedná se o staticky určitou konstrukci. reálných

28 reálných deska 1 deska 2 deska 1 deska 2 Hmotná tělesa mohou být navzájem spojena vnitřními vazbami. Ve vnitřních vazbách vznikají vnitřní reakce. Reakce ve vnitřních vazbách jsou vždy párovou veličinou na hmotné těleso 1 působí stejně velká síla jako na těleso 2, ale opačného směru. Takto spojená hmotná tělesa nazýváme soustavou staticky určitou, neurčitou nebo přeurčitou.

29 Vnitřní kloub - odebírá 2 volnosti deska 1 deska 2 reálných A y A x Je zabráněno vzájemnému vodorovnému i svislému posunu. Ve vnitřním kloubu působí vodorovná složka reakce A x i svislá složka A y. A x A y

30 Dvojnásobný kloub - odebírá 4 volnosti deska 1 deska 2 reálných deska 1 deska 3 B 1y B 1x B 2y deska 2 B 2x B 1y +B 2y Dvojnásobný kloub spojuje 3 tuhé desky. Je zabráněno vzájemnému vodorovnému i svislému posunu. Ve dvojnásobném kloubu působí 2 vodorovné složky reakce B 1x, B 2x a 2 svislé složky B 1y, B 2y. B 1x +B 2x deska 3

31 N-násobný kloub - odebírá 2N volnosti deska 2 reálných deska 1 deska 1 deska N deska N+1 C 1y C 1x C 2y deska 2 C 2x C Ny deska N C Nx C 1y +C 2y +...+C Ny N-násobný kloub spojuje tuhé desky v počtu N+1. Je zabráněno vzájemnému vodorovnému i svislému posunu. V N-násobmém kloubu působí N vodorovných složek C 1x, C 2x,..., C Nx a N svislých složek C 1y, C 2y,..., C Ny. C 1x +C 2x +...+C Nx deska N+1

32 Vnitřní kyvný prut (táhlo) - odebírá 1 volnosti reálných deska 1 deska 2 D D Vnitřní kyvný prut spojuje 2 hmotné objekty. Na vnitřní kyvný prut nepůsobí žádné síly kromě vnitřních reakcích na jeho koncích. Je zabráněno vzájemnému posunu ve směru střednice táhla. V kyvném prutu vzniká jediná reakce, síla v ose kyvného prutu D. Pokud je kyvný prut namáhán jen v tahu, nazýváme takový prut táhlo.

33 Určení statické určitosti n počet stupňů volnosti všech volných hmotných objektů v soustavě v počet stupňů volnosti, které ruší připojené vazby vnitřní i vnější s stupeň tvarové variability Potom rozlišujeme : s = n v jestliže s = 0. reálných Staticky neurčité jestliže s < 0. Staticky přeurčité jestliže s > 0. U staticky určitých i neurčitých soustav musí zároveň platit, že každý hmotný objekt, celá soustava nebo její samostatná část je staticky určitě podepřená a nejedná se o výjimkový případ.

34 příklady reálných

35 reálných Výpočet reakcí staticky určitých soustav Na každé samostatné tuhé desce jsou k dispozici 3 lineárně nezávislé podmínky rovnováhy, např.,, a. Pro každý samostatný hmotný bod jsou k dispozici 2 lineárně nezávislé podmínky rovnováhy a. Na celé soustavě jsou rovněž k dispozici 3 lineárně nezávislé podmínky rovnováhy. Počet neznámých reakcí odpovídá počtu lineárně nezávislých rovnic. Proto u staticky určitých soustav je možné stanovit velikost reakcí ze statických podmínek rovnováhy. Výpočet reakcí lze zkontrolovat ověřením podmínek rovnováhy, které nebyly použity pro jejich výpočet.

36 staticky určitých soustav Trojkloubový oblouk (trojkloubový rám) q = 3kN/m c deska 1 deska 2 3m q = 3kN/m deska 1 c C y C x C x c C y deska 2 reálných A x a b B x A x a b B x 2m 1m A y B y A y B y Celek: a: 1 2 q.22 B y.3 = 0 Deska 2: c : B y.1+b x.3 = 0 : C x B x = 0 : B y C y = 0 Celek: : A y + B y q.2 = 0 : A x B x = 0

37 staticky určitých soustav Oblouk s táhlem F = 10kN deska 1 c deska 2 2m F = 10kN c deska 1 C y C x C x c C y deska 2 reálných A x a táhlo b 1m A x a D D b A y 2m 1m B A y B Celek: : A x = 0 a: F.2 B.3 = 0 : A y + B F = 0 Deska 2: c : B.1+D.2 = 0 : B C y = 0 : D + C x = 0

38 staticky určitých soustav 3 desky F = 10kN F = 10kN reálných deska 1 c deska 2 deska 1 c C x C x c deska 2 A x A y d a q = 6kN/m deska 3 e b 2m 1m B 2m 1m d a A x A y D y D x D x C y q = 6kN/m d deska 3 D y E y e C y E y E x E x e b B Celek: :, a:, : Deska 3: d :, : Deska 2: c :, :, : Deska 3: : Kontrola: Podmínky rovnováhy na desce 1: :, :, c :

39 staticky určitých soustav Kloubové nosníky (Gerberovy nosníky) q F reálných deska 5 F deska 1 q deska 2 deska 3 deska 4 Vodorovné reakce se určí z : na deskách v pořadí deska 5, 4, 3, 2, 1 Ostatní reakce se určí z : a : na deskách v pořadí deska 5, (4 a 2), (1 a 3)

40 Kontrolní otázka Určete, zda se jedná o konstrukci: a) staticky určitou b) staticky neurčitou c) staticky přeurčitou nebo výjimkový případ reálných

41 Kontrolní otázka Určete, zda se jedná o konstrukci: a) staticky určitou b) staticky neurčitou c) staticky přeurčitou nebo výjimkový případ reálných

42 Konec přednášky reálných Děkuji za pozornost. Vysázeno systémem L A T E X. Obrázky vytvořeny v systému.