..4 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu Předpoklady: 3 Pedagogická poznámka: Stejně jako u předchozí hodiny je i v této hodině potřeba potupovat tak, aby tudenti měli minimálně minut na řešení příkladů 6, 7, 8. Snažím e kvůli tomu neobětovat příklad (ten e tudentům bude hodit), píše odvození vzorců pomocí plochy pod grafem jenom ukážu tím, že i ho tudenti nemají pát (v případě potřeby ho najdou v učebnici). Co zatím víme o rovnoměrně zrychleném pohybu (rovnání rovnoměrným pohybem): rovnoměrný pohyb v = kontanta = + vt rovnoměrně zrychlený pohyb a = kontanta v = v + at =? Chybí rovnice pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu, tato rovnice nebude mít obdobu u rovnoměrného pohybu. Nejdříve zkuíme zíkat rovnici dráhy pro jednodušší případ = pohyb nulovou počáteční rychlotí Nápad: Při výpočtu zrychlení jme dvakrát dělili dráhu čaem při výpočtu dráhy ze zrychlení muíme dvakrát čaem náobit možný vzorec = at Pedagogická poznámka: Snažím e, aby návrh na vzorec podal někdo ze tudentů. Zatím e pokaždé někdo našel, mezi zajímavé zdůvodnění druhé mocniny patři nápad, že tejně jako u rovnoměrného pohybu muíme vynáobit rychlot čaem. Př. : Proveď jednotkovou kontrolu vzorce = at. m Doadíme za veličiny jednotky: ( ) m = at = = = m Rozměrově je náš vzorec právný. Př. : Ověř vzorec pro výpočet dráhy z údajů naměřených při pádu míče. ča [],,,,,,3 dráha [m],,,,3,74,8,96 rychlot [m/],,,,48,78,8,36 zrychlení [m/ ],,4 3,6,6 6, 6,,6 Zkuíme podle našeho vzorce vypočítat dráhu míče za,3 a rovnáme ji dráhou v tabulce. Jakou hodnotu zrychlení pro výpočet použít? Předpokládáme, že e míč pohyboval e tále tejným zrychlením použijeme průměrné zrychlení za prvních,3 ekundy:
v,36 a = = m/ = 4,3m/ t,3 žádnou olnivou hodu. Zkuíme ještě prvních, : v,78 a = = m/ = 3,9m/ t, = at = 4,3,3 m =,477 m hodnota v tabulce je přibližně poloviční nejde o = at = 3,9, m =,6m hodnota v tabulce je opět přibližně poloviční právný vzorec má zřejmě tvar = at Pedagogická poznámka: Ještě než tudenti začnou příklad řešit je dobré i popovídat, jaké zrychlení by měli do vzorce použít. Pro porovnání počtené a naměřené dráhy je lepší i hodnoty zaokrouhlit (tejně nejou přené). Jak jinak odvodit vzorec pro dráhu? Víme, že dráhu libovolného pohybu můžeme určit jako plochu pod grafem rychloti. Př. 3: Nakreli graf rychloti libovolného rovnoměrně zrychleného pohybu nulovou počáteční rychlotí. Rychlot je přímo úměrná čau jde o přímku procházející počátkem. 3 4 t[] Do grafu vyznačíme libovolný ča t. 3 t 4 t[] Př. 4: Zakreli do grafu dráhu uraženou od začátku pohybu do čau t. Urči tuto dráhu. Předpokládej rovnoměrně zrychlený pohyb e zrychlením a. Dráha odpovídá ploše pod grafem rychloti
3 t 4 t[] Vyznačená plocha tvoří pravoúhlý trojúhelník ab S = v=at 3 t 4 t Velikoti tran: vodorovná a = t (od počátku pohybu uplynul právě vyznačený ča t) vilá b = v = at (od počátku pohybu zíkal předmět okamžitou rychlot v = at ) Doadíme do vzorce: ab vt ( at) t S = = = = at = t[] Dodatek: Z obrázku je velmi dobře vidět, proč vzorec = vt = ( at) t = at dává dvoj náobné hodnoty. Za rychlot do vzorce, který je jinak vzorcem pro dráhu rovnoměrného pohybu doazujeme rychlot, kterou při zrychlování předmět doáhne až na konci ledovaného intervalu a tak dráha vyjde větší než jaká ve kutečnoti je. Správnější by bylo doadit průměr z počáteční a koncové rychlot + v v at = =, čímž dojdeme opět ke právnému vzorci = at. Zíkali jme tejný vzorec jiným potupem ai máme pravdu. Jak e vzorec změní, když počáteční rychlot nebude nulová? 3
Př. : Předtavíme i vlak jedoucí rovnoměrně po kolejích rychlotí v. Uvnitř vlaku e začne průvodčí rozbíhat za černým paažérem rovnoměrně zrychleně nulovou počáteční rychlotí a zrychlením a. Urči: a) Jakou dráhu urazí vlak za ča t vzhledem k nádraží. b) Jakou dráhu urazí za ča t vzhledem k vlaku průvodčí c) Jakým způobem e pohybuje průvodčí vzhledem k nádraží. d) Jakou dráhu urazí za ča t průvodčí vzhledem k nádraží. a) Jakou dráhu urazí vlak za ča t vzhledem k nádraží. Vlak e vzhledem k nádraží pohybuje rovnoměrně = vt b) Jakou dráhu urazí za ča t vzhledem k vlaku průvodčí Průvodčí e vzhledem k vlaku pohybuje rovnoměrně zrychleně nulovou počáteční rychlotí = at c) Jakým způobem e pohybuje průvodčí vzhledem k nádraží. Vzhledem k nádraží e průvodčí pohybuje rovnoměrně zrychleně nenulovou počáteční rychlotí. d) Jakou dráhu urazí za ča t průvodčí vzhledem k nádraží. průvodní urazí jednak dráhu, kterou uběhne a jednak dráhu, kterou ujede vlakem = at + vt Pedagogická poznámka: Ačkoliv jme doud neřešili problém vztažných outav nemají tudenti předchozím příkladem problémy a pokud ano, tak hned v bodě a), kde e bojí napat = vt. Správnot výledku opět můžeme potvrdit pomocí grafu rychloti nenulovou počáteční rychlotí a plochy pod ním S S v=at v 3 t 4 t[] t S = S + S = vt + a ( at) = vt + at = Můžeme doplnit naši tabulku: rovnoměrný pohyb rovnoměrně zrychlený pohyb v = kontanta a = kontanta 4
= + vt v = v + at = + vt + at Pedagogická poznámka: Náledující příklady muí tudenti řešit zcela ami. Nejde o nic těžkého, jde o jeden z rozhodujících okamžiků (polu náledujícími dvěma hodinami) v tom, zda budou dále chopni počítat příklady ami nebo budou už navždy odkázáni na opiování z tabule. Trvám na tom, že řešení muí obahovat vzorec, do kterého doazují, doazení konkrétních (v případě potřeby převedených) hodnot (zdroj největšího množtví chyb v náledujících příkladech) a výledek. Mezivýpočty e nažím potlačovat, vedou k nepřenotem a omylům (Ve třídách, kde učím i matematiku, mají tudenti za ebou dvě hodiny cvičení práce kalkulátorem, takže pro ně nemí být problém počítat všechny výledky ve fyzice na kalkulátoru naráz.) Př. 6: Urči dráhu, kterou urazí za kámen puštěný z věže padající e zrychlením m/. v =, a = m/, t =, =? = + vt + at = + + m = m Kámen urazí během první ekundy volného pádu m. Př. 7: Řidič po projetí venice rychlotí km/h šlápne na plyn a začne zrychlovat e zrychlením,m/. Urči jeho rychlot po pěti ekundách. Kolik metrů od cedule při tom ujel? Muíme převét rychlot na m/ v = km/h = 3,9m/, a =,m/, t =, v =? =? v = v + at = 3,9 +, m/ = 4, 4 m/ = 87,8 km/h = vt + at = 3,9 +, m = 9,7 m Řidič zrychlil na 87,8 km/h a ujel při tom 9,7 m. Př. 8: Urči za jak dlouho padne z výšky,6 m nafukovací míč, pokud padá e zrychlením,8m/. v =, a =,8 m/, =,6m, t =? Z rovnice pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu vyjádříme ča. = vt + at = t + at = at = at t = a
,6 t = = =,73 a,8 Míč padne za,73 (což přeně odpovídá naměřeným hodnotám). Shrnutí: Pro rovnoměrně zrychlený pohyb platí tyto rovnice v t at = + +. a = kontanta, v = v + at, 6