Základy oceňování evropských opcí na akcie pomocí multinomického a BlackScholesova modelu. (Pomocný materiál)

Základy oceňování evropských opcí na akcie pomocí multinomického a BlackScholesova modelu (Pomocný materiál) Evropský sociální fond, Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Jaroslav Brada, 2011 2010

3 Základy oceňování evropských opcí na akcie Obsah I. Stručný přehled opcí a jejich terminologie........................ 5 II. Teorie oceňování opcí...................................... II.1. TERMINOLOGIE A POUŽITÉ ZNAČENÍ II.2. BINOMICKÝ MODEL OCEŇOVÁNÍ OPCÍ II.2.1. JEDNOPERIODICKÝ BINOMICKÝ MODEL II.2.2. MULTIPERIODICKÝ BINOMICKÝ MODEL II.3. RANDOM WALK II.4. BLACK-SCHOLESŮV MODEL OCEŇOVÁNÍ EVROPSKÉ CALL OPCE II.4.1. MODEL POHYBU CENY PODKLADOVÉ AKCIE II.4.2. VOLBA (VÝPOČET) PARAMETRŮ u, d A p II.4.3. LIMITNÍ PŘECHODY II.5. DODATKY II.5.1. PUT-CALL PARITY II.5.2. CITLIVOSTNÍ ANALÝZA BLACK-SCHOLESOVA 11 11 14 14 17 20 23 23 26 28 35 35 VZORCE PRO OCENĚNÍ EVROPSKÝCH OPCÍ 36 II.5.3. OCEŇOVÁNÍ EVROPSKÝCH OPCÍ NA AKCII VYPLÁCEJÍCÍ DIVIDENDY 37 II.5.5. STARŠÍ OBCHODŮ ČESKÁ TERMINOLOGIE V OBLASTI TERMÍNOVÝCH 39 III. Literatura................................................ 40

4 Teoria a praxe řízení aktiv

5 Základy oceňování evropských opcí na akcie I. Stručný přehled opcí a jejich terminologie Opce je právo (ne povinnost!) koupit nebo1) prodat určité množství podkladového aktiva za předem stanovenou cenu během (před) stanoveným dnem vypršení opce. Přehled základních typů opčních kontraktů SPOTOVÝ INSTRUMENT komodity OPČNÍ KONTRAKT commodity options kovy (měď, zlato), ropa, zemní plyn, el. energie, čpavek, obilí, lněné semeno, rýže, sojové maso, pomerančový džus, mražené vepřové, živá prasata akcie stock options opce obvykle na 100 ks akcií vysoce bonitních firem obchodovaných na hlavních trzích burzy dluhopisy bond options opce na vládní dluhopisy (či dluhopisy, které mají charakter vládních dluhopisů municipální dluhopisy) depozita (úvěry) futures FRA "deposits" options opce obvykle na 3měsíční vklad uskutečněný v budoucnu za předem pevně dohodnutou sazbu euro-("currency") options opce obvykle na 3měsíční vklad uskutečněný v budoucnu za předem pevně dohodnutou sazbu v cizí měně FRA interest rate futures option opce, jejíž podkladovým předmětem je stejný futures na FRA měnový kurz (měny) currency options opce, které dává možnost vyměnit v předem dohodnutém kurzu určité množství jedné měny (zpravidla měny domácí) za měnu zahraniční futures na velikost úrody corn yield insurance options je opce na futures, jehož předmětem je uzavření futures na výnos obilí z jednoho akru (CBOT) (neexistuje) index option opce jehíž předmětem obchodu je obvykle 100 násobek velikosti příslušného (zpravidla akciového) burzovního indexu (neexistuje) options on yield curve (či něco jiného) spread futures opce, jejímž podkladovým instrumentejm je futures na spread úrokových měr, kde je předmětem obchodu určitý násobek rozdílu mezi krátkodobou a dlouhodobou úrokovou sazbou v ekonomice "index katastrof" Opce na index katastrof opce, jejímž podkladovým aktivem je násobek velikosti indexu ztrát vzniklých z pojistných událostí (CBOT) SWAP Option Zpravidla nestandardizované, obchodované na OTC trzích. Futures Poznámky: "deposits" a bond options bývají nazývány rovněž interest rate options (opce na úrokovou míru), "euro-("currency") a currency options bývají nazývány i pouze currency options (měnovými opcemi). 1) Neznamená to, že s opcí je spojeno právo koupit a současně právo prodat. S opcí je spojeno pouze jedno z těchto práv!

6 Teoria a praxe řízení aktiv Poznámka: Opět si povšimněme, že je řeč o podkladovém aktivu. V případě, že jde například o opci na burzovní index, je burzovní index tím, co je v angličtině nazýváno underlying, zatímco pokladovým aktivem underlying asset je peněžní částka odvozená od velikosti burzovního indexu! Podobně je tomu u exotičtějších předmětů typu měnové kurzy, úrokové sazby, futures, swapy či opce. Angličtina pro námi zavedený pojem "podkladové aktivum" používá používá termín securities2), což by správně do češtiny mělo být překládáno pojmem jistoty, nicméně česká literatura - ke škodě odborné veřejnosti - tento pojem ve finanční oblasti vůbec nepoužívá. Terminologická poznámka: Anglické slovo option (pl. options) je do současné češtiny standardně překládáno slovem opce, jehož budeme používat nadále. Jako synonyma pojmu opce používáme též opční kontrakt. V textu se budeme přidržovat mezinárodně rozšířené anglické terminologie, neboť moderní česká není dosud zcela ustálena a ani používání archaické terminologie z dob před druhou světovou válkou není příliš vhodné kvůli určitým významovým posunům mezi tím, co bylo s některými pojmy spojováno kdysi a co je s nimi spojováno dnes. Za příslušným anglickým kurzívou uvedeme v hranatých závorkách výraz či výrazy, kterými bývá pojem předkládán do češtiny. Rovněž dále se budeme částečně této české terminologie přidržovat. Option holder [držitel opce, majitel opce, kupující (opce)] je ekonomický subjekt, který vlastní opci (ekvivalentně: má opční právo, je oprávněnou stranou v opčním kontraktu). Option writer [vypisovatel opce, prodávající (opce)] je ekonomický subjekt, který opci vypsal (ekvivalentně: je povinným z opčního kontraktu, je stranou, která je opčním kontraktem zavázána k plnění). Exercise price (též strike price) [realizační cena] je cena, za kterou má držitel opce právo prodat (koupit) podkladový instrument. Tuto cenu si určuje vypisovatel opce Poznámka: Nezaměňujme exercise price s cenou opce (premium)!. Standard specification [specifikace kontraktu] je přesný popis toho, co je jeho předmětem opčního kontraktu (opce). Type option [typ opce] Call option je opce, která dává majiteli právo koupit za předem stanovenou cenu podkladový instrument. Put option je opce, která dává majiteli právo prodat za předem stanovenou cenu podkladový instrument. Exercise [realizace] je situace, kdy majitel uplatní práva daná mu opčním kotraktem u vypisovatele tohoto opčního kontraktu. Např. Majitel kupní opce na akcii si přeje tuto akcii obdržet za předem stanovenou cenu, majitel prodejní opce na 5000 uncí zlata si přeje toto množství zlata za předem danou strike price prodat a pod.3). Uncovered option [nezajištěná opce] je opce na podkladový instrument, který vypisovatel opce nemá ve svém vlastnictví. (O uncovered option se hovoří především v případě opcí akcie a obligace. Svým charakterem jsou vždy nezajištěné například opce na burzovní index.) 2) Securities do sebe zahrnují rovněž všechny typy cenných papírů. 3) Pokud je opce dohodnutá přímo mezi dvěma obchodními stranami, pak musí majitel opce informovat vypisovatele opce o tom, že chce opci realizovat. Tato realizace např. v případě komoditních trhů znamená, že např. majitel kupní opce chce komoditu za cenu dohodnutou v kontraktu koupit. Pokud je opce obchodovaná prostřednictvím veřejných trhů, potom majitel opce musí informovat (obvykle prostřednictvím svého brokera) zúčtovací centrum o skutečnosti, že chce realizovat opci.

Základy oceňování evropských opcí na akcie 7 Option premium [opční prémie, cena opce, tržní cena opce] je částka, za kterou je opce obchodována na trhu (ať organizovaném nebo neorganizovaném). Poznámka: Připomeňme, že velikost tržní ceny opce závisí na realizační ceně opčního kontraktu. Podle toho, zda jsou nebo nejsou obce obchodovány formou organizovaných obchodů, tj. obchodovány na termínových (opčních) burzách, klasifikujeme opce na: a) Opce obchodovatelné na termínových burzách a b) opce obchodovatelné pouze na Over The Counter trzích, tj. obchodovatelné výhradně na mimoburzovních trzích. Pro účel našeho výkladu se omezme na opce obchodované na burzách, neboť opční kontrakty zde obchodované jsou nejen vysoce standardizované a "do určité míry" jsou si "podobné" i na různých opčních burzách, ale tyto standardizované kontrakty jsou i jakýmsi univerzálním "paradigmatem", kterým se inspirují vypisovatelé nejrůznějších nestandardních opcí. Tyto nestandardní opce jsou pochopitelně obchodovány pouze individuálně mezi vypisovatelem a kupujícím opce. Chceme-li tedy vědět, co je to opce, musíme se podívat, jak je opce na kapitálovém trhu vymezena. Toto vymezení se provádí prostřednictvím tzv. specifikace opčního kontraktu. Specifikace opčního kontraktu není ničím jiným, nežli přesným písemným popisem toho, co to vlastně je konkrétní opční kontrakt. V praktickém životě bývá specifikace opčního kontraktu poměrně rozsáhlý text (od několika stran, až do několika desítek a stovek stran formátu A4), jenž exaktním šroubovaným právnickým jazykem přináší investorovi informace, které specifikují kontrakt a právně zabezpečují případnou vynutitelnost jeho plnění. Jsou-li opce veřejně obchodovatelné na kapitálových trzích, potom pro účely informování investora a pro potřeby praktického investování bývají z těchto specifikací pořizovány, jakési kratičké "výtahy" (obvykle kratší nežli jedna stránka formátu A4), které obsahují "vše podstatné". Níže si ukážeme, jak je opce specifikací opčního kontraktu vymezena a vysvětlíme si, co konkrétní pojmy znamenají. Obsah specifikace opčních kontraktů Každý opční kontrakt obsahuje mj. následující údaje: Exchange Jméno burzy, na níž je opce obchodována. Např. NYSE, CBOE, LIFFE a pod.. Každá burza obchoduje výhradně svoje vlastní opční kontrakty! Style option (též Exercise style option) styl opce, ale lze se setkat i s termínem: typ opce] je způsob, jakým může být opce uplatněna: American-style option [americká opce, opce amerického typu] je opce, která může být uplatněna kdykoliv před datem vypršení. European-style option [evropská opce, opce evropského typu] je opce, která může být uplatněna pouze během předem specifikované doby přede dnem vypršení opce. Capped option je opce, která bude automaticky (tj. nezávisle na vůli vypisovatele nebo majitele) uplatněna, jestliže opční burza rozhodne, že cena podkladového aktiva dosáhla předem stanovené cap price dané opce. Jinak může být capped option uplatněna výhradně jako opce evropského typu. Description [popis kontraktu, popis předmětu kontraktu] Popis, který vymezuje jaký je podkladový instrument opčního kontraktu a udává způsob, jakým se stanoví množství předmětu plnění!. a) opce na akcie a obligace Předmětem plnění kontraktu bývá obvykle dodání (odebrání) 100 ks určité akcie. V případě

8 Teoria a praxe řízení aktiv obligací jde o dodání (odebrání) určitého typu obligací4) v určité nominální částce. b) opce na burzovní index Předmět plnění opčního kontraktu bývá5) dán součinem (m. I), kde m je pevně daný multiplikátor a I je velikost podkladového burzovního indexu. Například: 100 USD. velikost burzovního indexu S&P 500. c) opce na měnu (měnový kurz)6) Rozlišme dva případy, a sice 1. Opční kontrakt je denominován v domácí měně Předmětem opčního kontraktu je prodat (koupit) podkladovou cizí měnu (koš měn ECU) za měnu domácí za daný měnový kurz, tj. exercise price = exchange rate (měnový kurz). 2. Opční kontrakt je denominován v cizí měně (crooss-rate foreign currency options) d) opce na úrokovou míru Podkladovým aktivem je obvykle částka odvozená od výnosu do doby splatnosti (tj. od míry výnosnosti) státních dluhopisů (v USA Treasury notes a Treasury bonds). Předmětem jednoho opčního kontraktu je částka ve výši (m. M), kde m je pevně stanovený multiplikátor a M je výnos do doby splatnosti odpovídajících státních dluhopisů. Například: Na NYSE pro T-bonds 100 USD. relativní výnos do doby splatnosti u kontraktu (tj. nejde o výnos do doby splatnosti vyjádřený v procentech). U podkladového instrumentu v krátkodobých dluhopisech, tj. u dluhopisů s dobou splatnosti kratší nežli 1 rok, které jsou emitovány jako diskontované dluhopisy, se obvykle přemětem kontraktu rozumí: diskontní míra (v relativním vyjádření). 10 USD. Unit of trading (též contract size) [nejmenší obchodovatelná jednotka, obchodovaný lot] je nejmenší množství podkladového instrumentu, na který lze vypsat opci. Velikost obchodovaného lotu je vymezena specifikací opčního kontraktu. (V našem přehledu jsme implicitně tuto kategorii zahrnuli do popisu kontraktu.) Premium quotation [způsob kótování ceny] je vymezení, způsobu, jakým se při obchodování (a v důsledku toho i v kurzovním lístku) uvádí tržní cena (opční prémie). Například na burzách v USA je obvyklé uvádět tržní cenu ve zlomcích, tedy a, c 3c a pod. V tomto oddíle specifikace kontraktu je uveden nejmenší minimální krok kotace. Např.: 1/16 či 1/8, může být uveden i v %, nebo jako číslo 100 - %. c) opce na měnu (měnový kurz) Například: Na NYSE se uvádí obvykle v centech (0.01 USD) podkladového aktiva pro všechny měny, s výjimkou FRF, kde je 0.002 USD a JPY 0.0001 USD, tj. opce denominovaná (= vydávaná) domácí měně (USD) znějící na GBP s exercise price 125, znamená, že majitel opce má právo nakoupit (prodat) 1 GBP za 1,25 USD. Expiration date [datum vypršení, den vypršení] je vymezení data, jehož nastátím už nelze uplatnit práva z opce vyplývající. Vymezení nebývá obvykle dané fyzickým datem (2. 5. 1999), ale vymezeními typu "třetí středa v měsíci lednu příslušného roku", "sobota bezprostředně následující po třetím pátku v měsíci vypršení (expiration month)" a pod.. 4) Jde například o státní dluhopisy s dobou splatnosti 5-8 let, přičemž roční výnos do doby splatnosti takto dodaných státních dluhopisů musí být minimální 8 %. 5) Teoreticky by bylo správným dodávat vějíř akcií, ze kterých jsou burzovní indexy počítány, ale patrně žádná burza takovýto způsob plnění neumožňuje, a dovoluje pouze plnění v penězích. 6) Měnový kurz je cena jedné jednotky cizíí měny vyjádřena v domácí měně.

9 Základy oceňování evropských opcí na akcie Zisk z jednotlivých pozic u opčních kontraktů Pozice Typ opce Popis pozice účastníka v opčním kontraktu Držitel pozice v opčním kontraktu je vůči zisku ztrátě CALL Účastník obchodu koupil Neomezen. kupní opci. Omezen, neboť jeho ztráta je nejvýše rovna zaplacené opční prémii. PUT Slabě omezen, neboť jeho zisk je nejvýše: Účastník obchodu koupil "TC podkladového prodejní opci. aktiva - zaplacená opční prémie". Omezen, neboť jeho ztráta je nejvýše rovna zaplacené opční prémii. CALL Omezen, neboť jeho Účastník zisk je maximálně obchodu vypsal roven přijaté opční kupní opci. prémii. Neomezen. PUT Omezen, neboť jeho Účastník zisk je maximálně obchodu vypsal roven obdržené opční prodejní opci. prémii. Slabě omezen, neboť jeho ztráta je rovna nejvýše: "přijatá opční prémie - TC podkladového instrumentu". LONG SHORT Legenda k obrázkům: TC je tržní cena podkladového aktiva (v případě obcí obchodovaných na burzách je zde settlement price). 5 je velikost opční prémie Position limits jsou limity, které určují, jaký maximální počet opčních kontraktů daného typu (typu call, či put) smí být maximálně současně otevřen. Dokonce je možné, aby pro každý typ účastníka (velké penzijní fondy, banky) byl tento počet odlišný. Například na NYSE to bývá nejvýše 10 500 kontraktů na akcii. Trading hours mají smysl pouze na burzách s kontinuální kotací a označují, kdy v průběhu dne je daná opce obchodována. Exercise settlement price je podrobnější určení ceny, za kterou se bude vypořádávat opční kontrakt. (Podrobněji viz. téma Určení vypořádací ceny.) Exercise settlement time je vyznačení obchodního dne do kdy bude provedeno dodání podkladového instrumentu (např. v čase T+3, kde T je exercise date). Strike price interval [interval nastavení realizační ceny]

10 Teoria a praxe řízení aktiv je vymezení, o kolik se nejvýše může odlišovat realizační cena opce (= tzv. strike price) na nějaký podkladový instrument od současné tržní "velikosti" podkladového instrumentu (např. od hodnoty burzovního indexu, nebo od tržní ceny akcie) v okamžiku vypsání opce, tj. jde o podrobnější vymezení toho jak vysoko nebo nízko může být na opční burze nastavena realizační cena opce. Rozpětí bývají vymezována podílem (v %) z velikosti podkladového instrumentu, tj. například: a) opce na akcie a obligace Např. maximálně ± 2.5 % z aktuální tržní ceny akcie nebo obligace. b) opce na burzovní index Rozpětí bývá obvykle dáno procentem z aktuální tržní ceny podkladového burzovního indexu. Např. maximálně ± 5 % z aktuální velikosti burzovního indexu, na který se obchodují opce a maximálně ± 2,5 % za poslední 2 měsíce. Opce na futures [angl. Option on futures, futures option] Jde o poněkud "netradičnější" typ opce (nicméně tento typ opce je obchodován na opčních a termínových burzách), a proto jej zmiňujeme samostatně. Opce na futures je zavazuje subjekty v kontraktu, vstoupit v budoucnu do futures kontraktu takto: Pozice v opčních kontraktech na futures Call option (kupní opce) Put option (prodejní opce) Vypisovatel opce má POVINNOST zaujmout ve futures kontraktu pozici SHORT vyžádá-li si to majitel opce POVINNOST zaujmout ve futures kontraktu pozici LONG vyžádá-li si to majitel opce Majitel (= držitel) opce má PRÁVO zaujmout ve kontraktu pozici LONG PRÁVO futures zaujmout ve kontraktu pozici SHORT futures Důležitá poznámka: Podkladovým instrumentem tohoto kontraktu není dodávka podkladového instrumentu (tedy majitel opce nemá právo na dodávku podkladového instrumentu), ale uzavření futures kontraktu na tento podkladový instrument.

11 Základy oceňování evropských opcí na akcie II. Teorie oceňování opcí Cílem je ukázat způsob, jak souvisí ocenění evropských opcí pomocí multinomického modelu s modelem Black-Scholesovým. Ocenění opcí bude demonstrováno na ocenění evropské opce na akcii, která nevyplácí dividendy. II.1. TERMINOLOGIE A POUŽITÉ ZNAČENÍ Terminologie: Premium Exercise day - (též option premium, opční prémie) je cena opce7). (též den splatnosti) je období (obvykle 1-2 dny nebo třeba i jenom 15 minut před koncem obchodního dne na burze), kdy může majitel evropské opce tuto opci uplatnit, tj. kdy může požadovat plnění dané specifikací opce. Expiration day - je den, jehož nastáním zaniká možnost uplatnit práva vyplývajících majiteli opce z jejího držení. Settlement day - (někdy též exercise day) je den, kdy dochází k vypořádání nároků vyplývajících z uplatněné opce. Exercise price - (též bazická cena) je cena, za kterou lze požadovat plnění vyplývající z opce. Poznámka: Terminologie používána v oblasti "opcí" velmi kolísá, a ani v češtině není dosud terminologie ustálena. Historickou českou terminologii takřka dnes již nelze použít. Označme: X je exercise price, tj. cena, za níž má držitel opce právo akcii v časovém okamžiku 1 nakoupit. C(c) je současná tržní cena kupní opce evropského (amerického) typu. P(p) je současná tržní cena prodejní opce evropského (amerického) typu. je současná (= spotová) tržní cena podkladové akcie. S0 je termínová (tj. nyní neznámá) cena podkladové akcie v okamžiku realizace (exercise date) ST opce. V situaci, kdy platí níže uvedená možnost říkáme, že (viz. vpravo) X < S0, (X - S0 < 0) X > S0, (X - S0 > 0) X = S0, (X - S0 = 0) kupní opce je prodejní opce je in the money out of the money at the money out of the money (mimo peníze) in the money (v penězích) at the money (na penězích) Poznámka: Je-li opce "in the money", pak je to vždy výhoda pro majitele opce. Lze-li opci uplatnit a je-li opce "in the money", bude majitelem tato opce uplatněna. Teoretická cena opce = intrinsic value + time value Intrinsic value (též vnitřní cena (hodnota)) = max{0,x - S0} pro prodejní (put) opci, = max{0,s0 - X} pro kupní (call) opci. Time value je tzv. časová cena (hodnota). Časovou cenu můžeme chápat jako "prémii za riziko změny ceny podkladového instrumentu v období zbývajícím do vypršení opce". Proto časová cena klesá spolu s krátící se dobou do dne vypršení opce, tj. do expiration day. Po tomto dni je časová cena už nulová! 7) Připomeňme, že prémie kupní opce a prémie prodejní opce se od sebe odlišují.

12 Teoria a praxe řízení aktiv Triviálně platí: 1. Cena (= opční prémie) americké kupní opce $ cena evropské kupní opce. 2. Liší-li se americké kupní opce jen v exercise price, pak opce s nižší exercise price se prodává za cenu $ opce s vyšší exercise price. 3. Kdykoliv přede dnem vypršení (expiration day) je cena americké kupní opce > cena evropské kupní opce. Zisk z jednotlivých pozic u opčních kontraktů Pozice v kontraktu Typ opce Popis pozice účastníka v opčním kontraktu Držitel pozice v opčním kontraktu je vůči zisku ztrátě CALL Účastník obchodu koupil kupní opci. Neomezen. Omezen, neboť jeho ztráta je nejvýše rovna zaplacené opční prémii. PUT Účastník obchodu koupil prodejní opci. Slabě omezen, neboť jeho zisk je nejvýše: "TC podkladového aktiva - zaplacená opční prémie". Omezen, neboť jeho ztráta je nejvýše rovna zaplacené opční prémii. CALL Účastník obchodu vypsal kupní opci. Omezen, neboť jeho zisk je maximálně roven přijaté opční prémii. Neomezena. Účastník obchodu vypsal prodejní opci. Omezen, neboť jeho zisk je maximálně roven obdržené opční prémii. Omezen (ale "málo"), neboť zisk je roven nejvýše: "přijatá opční prémie - TC podkladového aktiva". Legenda: TC je tržní cena podkladového aktiva. 5 je velikost opční prémie LONG SHORT PUT 4. Když se dvě americké opce liší v čase plnění, pak opce s delší dobou splatnosti se prodává alespoň za cenu opce s kratší dobou splatnosti. [Tato teze je obvykle uváděna i pro evropské opce, ale u evropských opcí mohou (jen teoreticky) nastat problémy typu "sezónnost zemědělské výroby".] 5. Cena podkladového aktiva (např. akcie) je vždy $ cena kupní opce, která má neomezenou dobu splatnosti, tj. jde o jakousi "věčnou kupní opci". 6. Prodejní opce amerického typu na akcii, která nevynáší dividendu, bude realizována bez

13 Základy oceňování evropských opcí na akcie zbytečného odkladu. (Zdůvodnění je analogické jako v tvrzení 7.) 7. Kupní opce amerického typu na akcii, která nevynáší dividendu, nebude uplatněna (realizována) přede dnem vypršení (expiration day). Do doby vypršení opce zbývá T dní. [Odvození je provedeno ve formě tabulky dále.] Předpokládejme, že investor se rozhoduje, zda uplatnit americkou kupní opci a nakoupit podkladovou akcii t-tý den ode dneška a předpokládejme, že ekonomický subjekt má zájem držet akcii, na kterou je vypsána kupní opce. Označme r jako jednodenní bezrizikovou úrokovou míru v relativním vyjádření (r > 0). Tržní cena majetku v portfoliu investora v čase t (akcie na níž je vypsána opce stojí v čase t na trhu St) Investor vlastní následující dvousložkové portfolio obsahující následující položky: A: 1 nakoupenou americkou call opci na akcii s exercise price X B: Částku hotovosti, která dosáhne v okamžiku vypršení opce (T) z ad A: velikosti X, tj. v současnosti je v portfoliu částka (Poznámka: Hotovost není vypůjčená!) neuplatní call opci (tj. St # X) uplatní call opci (tj. St > X) a získanou akcii na trhu prodá -c - c + (- X + St) +X +X. Celková tržní cena majetku (A+B) investora t-tého dne po případném nákupu akcie a jejím prodeji. (Poznámka: Opční prémie americké kupní opce (c) není diskontována vzhledem k čase t.) -c + X -c + (- X + St) +X Pokud: a) t < T a opce je smysluplně uplatněna,tj. St > X, bude cena majetku v portfoliu: -c + (- X + St)+ X = -c + X( )+ St < St (protože ), tj. majetek v portfoliu investora je menší, nežli kdyby si investor koupil akcii na trhu nakoupil přímo bez předchozího nákupu kupní opce. t < T a opce není uplatněna, bude cena majetkového portfolia investora menší, nežli by byla v případě, že by investor byl býval nenakoupil americkou kupní opci. b) t = T může být opce uplatněna, pokud X < ST a dokonce může být z nákupu opce dosažen kladný příjem, pokud nastane situace, kdy (-c + (-X + ST) > 0). Shrnuto: Americkou kupní opci na akcii nevyplácející dividendu není nikdy výhodné uplatnit před dobou vypršením opce. Z tabulky je triviálně vidět, že při neuplatnění opce získá investor vždy alespoň tolik, jako při jejím uplatnění, z čehož triviálně plyne uvedené tvrzení 7. Poznámka: Předchozí teze 6. a 7 o amerických opcích neplatí obecně o opcích evropských.

14 Teoria a praxe řízení aktiv II.2. BINOMICKÝ MODEL OCEŇOVÁNÍ OPCÍ Úmluva: Jednotkové období je nejmenší časový interval, kdy může cena cenného papíru (podkladového aktiva) pouze vzrůst či pouze poklesnou. II.2.1. JEDNOPERIODICKÝ BINOMICKÝ MODEL Předpoklady použité pro oceňování opce pomocí jednoperiodického binomického modelu 1. Pracujeme pouze v jednom jednotkovém období, tj. pouze se 2 časovými okamžiky (časový okamžik 0 a časový okamžik 1), v nichž uvažujeme ceny akcie a kupní opce na tuto akcii. 2. Oceňujeme výhradně evropskou kupní (call) opci8) na akcii nevyplácející dividendu, jejíž okamžik uplatnění (exercise date) je totožný s časovým okamžikem 1. 3. Cena akcie může oproti 0-tému čas. okamžiku pouze jednorázově vzrůst nebo pouze poklesnout. 4. Neuvažujeme žádné zprostředkovatelské (brokerské) poplatky. 5. Akcie nevyplácí žádnou dividendu. Označme: X je exercise price (tj. cena, za níž má držitel opce právo akcii v časovém okamžiku 1 nakoupit). je tržní cena akcie v časovém okamžiku 0 (= v okamžiku oceňování opce). S0 u je výraz (1 + relativní míra vzrůstu tržní ceny akcie v jednom jednotkovém období, tj. v časovém okamžiku 1 oproti časovému okamžiku 0). d je výraz (1 + relativní míra poklesu9) tržní ceny akcie v jednom jednotkovém období, tj. v časovém okamžiku 1 oproti časovému okamžiku 0). S0u je velikost tržní ceny akcie na konci jednoho jednotkového intervalu, tj. v časovém okamžiku 1, za předpokladu, že došlo k růstu tržní ceny akcie. S0d je velikost tržní ceny akcie na konci jednoho jednotkového intervalu, tj. v časovém okamžiku 1, za předpokladu, že došlo k poklesu tržní ceny akcie. je velikost částky při níž je evropská kupní opce in the money (včetně možnosti že uvedená Cu částka je nulová ) v okamžiku možné realizace opce, což je ekvivalentní velikosti tržní ceny kupní (call) opce v časovém okamžiku 1. za předpokladu, že se tržní cena akcie zvýší oproti Cu = max{0, S0u - X}. časovému okamžiku 0 na úroveň S0u, triviálně: je velikost částky při níž je evropská kupní opce in the money (včetně možnosti, že uvedená Cd částka je nulová ) v okamžiku možné realizace opce, což je ekvivalentní velikosti tržní ceny evropské kupní (call) opce v časovém okamžiku 1. za předpokladu, že tržní cena akcie Cd = max{0, S0d - X}. poklesne oproti časovému okamžiku 0 na S0u, triviálně: R je (1 + bezriziková úroková sazba v ekonomice), tj. jde o úrokovou sazbu, za níž můžeme bezrizikově investovat po dobu jednoho jednotkového intervalu. (Triviálně vklad 1 Kč v časovém okamžiku 0 vzroste v časovém okamžiku 1. na částku R Kč.) Implicitně předpokládejme, že uvedená bezriziková úroková sazba v ekonomice je nezáporná! (Výpočet zajišťovacího poměru) Při oceňování kupní opce evropského typu je velmi důležité stanovit tržní cenu (= opční prémii) tak, aby se vypisovatel (= prodávající = writer) kupní opce na akcii chránil před možností provádět spekulace na růst nebo pokles tržní ceny podkladového instrumentu na který je vypsána opce, tj. nechceme vydělat nebo prodělat při růstu nebo poklesu ceny. Toto se provádí pomocí určení tzv. 8) Pokud bychom chtěli odvodit vztah pro evropskou prodejní opci, musíme využít vztahu mezi kupní a prodejní opcí evropského typu (viz. put-call parity opcí evropského typu na str. 35.) 9) Relativní míra vzrůstu a relativní míra poklesu nemusí být v absolutní velikosti stejně velké.

15 Základy oceňování evropských opcí na akcie zajišťovacího poměru (viz. tabulka Výpočet tzv. zajišťovacího poměru (hedge ratio)). Výpočet tzv. zajišťovacího poměru (hedge ratio) Časový okamžik: 0. (= teď) je okamžik vzniku portfolia tvořeného akciemi a 1 kupní opcí na akcii 1. je okamžik realizace portfolia10) Růst tržní ceny akcie na S0u Popis akce sestavovatele portfolia Pokles tržní ceny akcie na S0d Příjem, který má sestavovatel z vlevo uvedené akce Vypsat pouze 1 kupní opci na jednu akcii C - Cu11) - Cd Koupit H akcií (= akcií na jednu z nichž je vypsána právě jedna kupní opce) - HS0 HS0u HS0d C - HS0 HS0u - Cu HS0d - Cd Celkový zisk z držby portfolia vypsané call opce a H akcií Sestavovatel portfolia se vyhýbá tomu, aby bylo možno spekulovat na růst nebo pokles tržní ceny portfolia tvořeného 1 kupní opcí a určitým počtem (H) nakoupených akcií. Proto bude: HS0u - Cu = HS0d - Cd, tj. Poznámka: Pokud by bylo H zvoleno tak, aby HS0u - Cu < HS0d - Cd, pak by investor vždy dosáhl většího zisku při poklesu tržních cen akcie. Situace HS0u - Cu > HS0d - Cd je jasná. Připomenutí: Cu = max{0, S0u - X} a Cd = max{0, S0d - X}. Označme: h je konkrétní velikost vypočteného zajišťovacího poměru. (Ocenění evropské kupní opce) Díky tomu, že zisk vypisovatele evropské kupní opce závisí na tom, zda je opce in the money (v tomto případě dosáhne vypisovatel opce ztrátu), je nutno sestavit portfolio, které bude chránit jeho sestavovatele před růstem nebo poklesem tržní ceny podkladové akcie. Takovéto portfolio bylo sestaveno v předchozí tabulce Výpočet tzv. zajišťovacího poměru (hedge ratio). Navíc je nutno při sestavování portfolia zohlednit fakt, že vypisovatel kupní opce musí za určitých okolností plnit a na toto plnění si musí vypůjčit peněžní prostředky za bezrizikovou úrokovou míru. Proto tržní cena opce (= opční prémie) musí být stanovena tak, aby platilo, že při změně ceny podkladové akcie na úroveň S0u či S0d bude zaručeno, že nedojde ani ke vzniku zisku či ztráty. Mějme tedy na paměti, že zisk z vypsání opce = ztrátě z nákupu opce = 0. Názornější způsob sestavení portfolia je dán tabulkou Výpočet tržní ceny evropské kupní opce, která je uvedena na následující straně. 10) Okamžikem realizace portfolia tvořeného akciemi a jednou evropskou call opcí na jednu akcii rozumíme časový okamžik 1., kdy můžeme získat hotovost prodejem H akcií, ale část hotovosti můžee ztratit kvůli nutnosti plnit jakožto vypisovatel kupní opce, tj. kvůli povinnosti koupit si na trhu akcii za tržní cenu (S0u či S0d) a prodat za (nižší) exercise price (X). [Pouze pro informaci si můžeme porovnat problém delta hedgingu na str. 38.] 11) Jestliže -Cu < 0, pak je v okamžiku realizace portfolia evropská kupní opce in the money, tj. sestavovatel portfolia, který vypsal kupní opci musí prodat za exercise price podkladovou akcii subjektu, který si od něj opci odkoupil.

16 Teoria a praxe řízení aktiv Výpočet tržní ceny evropské kupní opce Časový okamžik: 0. (= teď) 1. Růst ceny na S0u Popis akce sestavovatele portfolia 1. Vypsat pouze 1 kupní opci pouze na jednu akcii Pokles ceny na S0d Zisk, který má sestavovatel z vlevo uvedené akce C - Cu - Cd - hs0 hs0u hs0d 3. Vypůjčit si v čase 0. tolik, aby sestavovatel v čase 1. mohl splatit částku ve výši hs0u - Cu (= hs0d - Cd). -(hs0u - Cu) -(hs0d - Cd) Celkový zisk, který sestavovateli plyne z předchozích 3 činností: 0 0 2. Koupit h akcií (= akcií na jednu z nichž je vypsána 1 kupní opce) Poznámka: h je výsledek výpočtu zajišťovacího poměru H zjištěného metodou popsanou v tabulce Výpočet tzv. zajišťovacího poměru (hedge ratio). R je diskontní faktor (= 1 + úroková sazba uložení si peněžních prostředků na jedno období ) Protože při ocenění opce chceme, aby zisk z vypsání opce = ztrátě z držení opce = 0, musí platit (R1) a díky tomu, že rovněž platí hs0u - Cu = hs0d - Cd, je zajišťovací poměr h dán číslem, a proto po dosazení do předchozí rovnice dostáváme vztah a odtud po příslušných úpravách tzv. jednoperiodický model pro ocenění kupní opce na akcii nevynášející dividendu evropského typu (R2). SHRNUTÍ: Jednoperiodický model pro výpočet ceny (C) kupní opce evropského typu na akcii nevynášející dividendu (R2) Důležitá poznámka: Díky známé velikosti zajišťovacího poměru (h) není nutné uvažovat pravděpodobnost toho, že

17 Základy oceňování evropských opcí na akcie cena podkladové akcie během jednoho pevného časového okamžiku vzroste nebo poklesne. II.2.2. M ULTIPERIODICKÝ BINOMICKÝ MODEL Obr. 9. Schéma vývoje tržní ceny pokladové akcie v multiperiodickém modelu oceňování opcí Multiperiodický binomický model oceňování evropské kupní (call) opce je výsledkem pouhé opakované aplikace jednoperiodického binomického modelu na posloupnost na sebe bezprotředně navazujících jednotkových období. To znamená, že pohyb podkladové ceny akcie můžeme popsat schématem, které je názorně zachyceno na Obr. 9.. Provedeme-li v rovnici (R2) substituci ve tvaru (R3) přejde (R2) triviálně do vztahu N (R4) a konci druhého jednotkového období je kupní opce na akcii in the money ve výši Cuu = max{0,s0uu X}, Cud = Cdu = max{0,s0ud - X} a Cdd = max{0,s0dd - X}. Odtud můžeme díky předpokladům o pohybu ceny podkladové akcie a s využitím již dříve odvozeného zajišťovacího poměru (h), stanovit velikost Cu a Cd a odtud potom cenu opce C na konci druhého jednotkového období (= na konci dvou jednotkových období). Postupujeme takto: Dosazením Cuu místo Cu a Cud místo Cd do (R4) vypočteme Cu, tj. v časovém okamžiku 1. zjistíme předpokládanou velikost částky kdy je opce in the money Cu, při níž nelze "v budoucnu" spekulovat na růst či pokles ceny podkladové akcie na úroveň S0uu nebo S0dd. Analogicky je tomu i pro známé Cd atd.. Tím dostáváme: atd.. Například pro cenu opce, kde předpokládáme její uplatnění v časovém okamžiku 2., dostáváme vztah: Poznámka: Je zřejmé, že Cuud je stejné jako Cudu atd.. Pro zjednodušení můžeme rovněž použít značení, a pod..

18 Teoria a praxe řízení aktiv Obr. 10. Schéma vývoje ceny opce v multiperiodickém modelu oceňování opcí pro uvedený počet period Postupným dosazováním tak dostáváme tzv. binomický model oceňování evropských kupních opcí, které mohou být realizovány nastáním n-tého časového okamžiku. Tj. mohou být realizovány na konci n-tého z na sebe navazujících jednotkových období. Zde konkrétně odvozený model pro oceňování evropských kupních opcí je rovněž nazýván n-periodický binomický model oceňování evropských kupních opcí, zkráceně multiperiodický binomický model (R5). Pokud potřebujeme odvodit vztah pro ocenění evropské prodejní opce, využijeme opět dobře známou put-call parity evropských opcí, o které bude pojednáno podrobněji na str. 35. (R5)!!! Buď k nejmenší přirozené číslo takové, že výraz, tj. k označuje nejmenší počet vzrůstů tržní ceny podkladové akcie, kdy je kupní opce evropského typu je kladně in the money, tj.. Pak vzorec (R5) lze přepsat ve tvaru (R6). (Pozor na sumační index!) (R6) (R7) Díky předchozím vztahům vzorec (R6) pro cenu evropské kupní opce lze vyjádřit jako (R7). Proveďme v (R7) substituci substituce byla zavedena vztahem (R3), tj. vztahem. (Připomeňme, že uvedená ze kterého rovněž vyplývá oprávněnost uvedeného výrazu 1 - b a díky předpokladu d < R < u platí b 0 (0,1)). Tím (R7) přejde

19 Základy oceňování evropských opcí na akcie v (R8). SHRNUTÍ: Multiperiodický model pro výpočet ceny (C) kupní opce evropského typu (R8) k je nejmenší počet vzrůstů tržní ceny podkladové akcie, kdy je evropská opce kladně in the money, tj.. Pro přehlednost zápisu proveďme ve výrazu pro tržní cenu evropské kupní opce (R8) následující substituce:. Tím se zjednoduší zápis vzorce pro tržní cenu evropské kupní opce (R8) takto: (R9) Poznámka: Pokud použijeme ekonomicky odůvodněný předpoklad, že pro velikost R platí, že d < R < u, tedy, že míra bezrizikového zhodnocení peněžního vkladu během jednotkového období je menší, nežli míra maximálního vzrůstu ceny akcie a větší, nežli míra minimálního vzrůstu (poklesu) ceny akcie v rámci jednotkového období. Díky předpokladu d < R < u platí v (R8), že parametry b,q 0 (0,1). Proto je z hlediska teorie pravděpodobnosti zřejmé, že zavedeme-li náhodnou veličinu Xb s binomickým rozdělením popsaným parametry (n,b) a náhodnou veličinu Xq s binomickým rozdělením s parametry (n,q), potom dostáváme následující interpretace:.

20 Teoria a praxe řízení aktiv II.3. RANDOM WALK D: Stochastický proces Buď dána indexovaná třída pravděpodobnostních prostorů {(Ω,A,P(.))}j 0 J, kde J je indexová množina a buď dána třída indexovaných náhodných veličin X(.,j): Ω J 6 R. Uspořádanou posloupnost náhodných veličin {X(.,j), j 0 J} nazýváme stochastickým procesem (vzhledem k třídě pravděpodobnostních prostorů). Poznámky: 1. Další obvyklá značení stochastického procesu bývají {Xj}j 0 J, Xj (j 0 J) či jenom {Xj}, pokud je jasné, o jakou indexovou množinu se jedná. 2. Množina J bývá v praktických ekonomických aplikacích výhradně ztotožňována s množinou přirozených čísel, nicméně v obecném případě může být J i například množina čísel reálných. 3. V námi uváděných typech stochastických procesů se omezíme téměř výhradně na předpoklad, že indexová množina je množinou přirozených čísel, tj. na situaci kdy uvažujeme posloupnost náhodných veličin X1, X2, X3,.... 4. Je-li indexová množina "souvislá" (např. úsečka), potom hovoříme o tzv. spojitých stochastických procesech. 5. V případech, kdy je indexová množina totožná s reálnou osou, bývá obvyklé tuto reálnou osu chápat jako čas! D: Diskrétní stochastický proces Je stochastický proces {Xj}j 0 J, Xj (j 0 J), kde indexová množina je tvořena přirozenými čísly, tj. J = {1, 2, 3,...}, popřípadě J = {0, 1, 2, 3,...}. D: Spojitý stochastický proces Je stochastický proces {Xj}j 0 J, Xj (j 0 J), kde indexová množina je tvořena reálnými čísly, tj. J = R, popřípadě souvislou podmnožinou R (např. kladnou polopřímku, nebo úsečku). Názorný popis diskrétního stochastického procesu random walk (Definice je na str. 21.) Budeme předpokládat, že v rovině jsou dány dvě osy. Vodorovná osa představuje čas a svislá hodnota zachycuje aktuální velikost náhodné veličiny, která je jsoučástí stochastického procesu. Opakovaně budeme provádět náhodný pokus (například hod mincí), který může mít pouze dva možné výsledky, které nemusí nutně nastat se stejnou pravděpodobností, tj. při opakovaných pokusech bude nastávat jeden z možných výsledků častěji. Náhodné pokusy probíhají za těchže identických podmínek. Budeme předpokládat, že pokus provádíme v čase. Vlastní popis : 1. Nastavíme čas na okamžik nula a určíme pevnou velikost časového kroku. 2. Posuneme čas o velikost časového kroku dopředu. 3. Provedeme náhodný pokus. 4. Nastane-li první (druhý) výsledek náhodného pokusu, posuneme se nahoru (dolů)12). 5. Přejdeme na krok č. 2. 12) Posun nahoru či dolů nemusí být nutně stejně velký, ale u random walk se stejně velké posuny často uvažují. V dalším textu se spokojíme pouze se stejnou velikostí posunů.

Základy oceňování evropských opcí na akcie 21 D: Diskrétní stochastický proces random walk [též i jen diskrétní r. w. či r. w. v diskrétním čase] Buď dána posloupnost náhodných veličin X1, X2, X3,... tímto předpisem: = Xn-1 + εn, kde εn ~ iid(0,σ2) 13) Xn = 0 (X0 je pevně zvolené reálné číslo14)), přičemž rozdělení pravděpodobnosti X0 náhodných veličin εn (k = 1, 2,... ) je dáno takto: P[εn = +D] = p, kde volíme p = 0,5. P[εn = - D] = 1 - p, D > 0, tj. D je kladné reálné číslo a díky εn ~ iid(0,σ2) platí: E(εn) = p.d + (1-p).(-D) = D.(2p - 1) = 0, Var(εn) = p.(d - E(εn))2 + (1 - p).(d - E(εn))2 = 4 D2p(1 - p) = D2 = σ2. D: Diskrétní stochastický proces random walk with drift Buď dána posloupnost náhodných veličin X1, X2, X3,... předpisem: = Xn-1 + μ + εn, kde εn ~ iid(0,σ2) Xn = 0 (X0 je pevně zvolené reálné číslo), přičemž rozdělení pravděpodobnosti X0 náhodných veličin εn (k = 1, 2,... ) je dáno takto: P[εn = +D] = p, P[εn = - D] = 1 - p, D > 0, tj. D je kladné reálné číslo, a díky εn ~ iid(0,σ2) platí: E(εn) = p.d + (1-p).(-D) =D.(2p - 1) = μ, Var(εn) = p.(d - E(εn))2 + (1 - p).(-d - E(εn))2 = 4 D2p(1 - p) = = p.(d - μ)2 + (1 - p).(-d - μ)2 = (D + μ)2 = σ2. Terminologická poznámka: Do češtiny překládáme random walk jako náhodná procházka (lépe: stochastický proces typu náhodná procházka) Poznámka: 1. Je zřejné, že stochastický proces random walk with drift můžeme rovněž definovat předpisem: = Xn-1 + εn, kde εn ~ iid(μ,σ2). Xn = 0 (X0 je pevně zvolené reálné číslo), přičemž rozdělení pravděpodobnosti X0 náhodných veličin εn (k = 1, 2,... ) je dáno takto: E(εn) = p.d + (1-p).D = μ, Var(εn) = p.(d - E(εn))2 + (1 - p).(d - E(εn))2 = σ2. 2. Charakteristiky E(εk) a Var(εk) lze triviálně vypočíst přímo z definice střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny, tj. 3. Pamatujme, že X0, X1, X2,... a ε1, ε2,... jsou náhodné veličiny, tj. měřitelné funkce! Dosazováním do vztahu = Xn-1 + εn, kde εn ~ iid(μ,σ2) Xn X0 = 0 (0 R) 13) εn ~ iid(μ,σ2) označuje, že náhodné veličiny εn, kde n = 1, 2,... jsou navzájem nezávislé a identicky rozdělené (iid z angl. independent and identically distributed) náhodné veličiny se střední hodnotou μ a rozptylem σ2. Z nezávislosti náhodných veličin εn plyne, že pro k m je Cov(εk,εm) = 0 a odtud plyne i Cor(εk,εm) = 0. 14) Korektně vzato, X0 není reálné číslo, ale degenerovaná náhodná veličina, tj. konstantní funkce. Často bývá v této souvislosti používáno (rovněž matematický ne zcela korektní tvrzení), že stochastický proces prochází počátkem (tj. "nulou"). [Obsah této poznámky se vztahuje i na další definici a na Poznámka. ]

22 Teoria a praxe řízení aktiv dostáváme postupně: = 0, X0 = 0 + ε1, X1 = X1 + ε2 = 0 + ε1 + ε2 = ε1 + ε2, X2 = X2 + ε3 = X1 + ε2 + ε3 = 0 + ε1 + ε2 + ε3 = ε1 + ε2 + ε3,..., X3 Xn =,.... Díky tomu, že je, k = 1, 2,... a Cov(εk,εm) = 0 pro všechna k m. (Nekorelovanost náhodných veličin εk a εm pro k m vyplývá z předpokladu εn ~ iid(μ,σ2).) Proto:

23 Základy oceňování evropských opcí na akcie II.4. BLACK-SCHOLESŮV MODEL OCEŇOVÁNÍ EVROPSKÉ CALL OPCE II.4.1. MODEL POHYBU CENY PODKLADOVÉ AKCIE Nejprve popíšeme schéma pohybu ceny podkladové akcie pomocí stochastického (= pravděpodobnostního) modelu, kde Sn je náhodná veličina, která popisuje cenu podkladové akcie v časovém okamžiku n (= na konci n-tého jednotkového období). u je výraz (1 + relativní míra vzrůstu tržní ceny akcie v jednom jednotkovém období, tj. v časovém okamžiku 1 oproti časovému okamžiku 0). d je výraz (1 + relativní míra poklesu tržní ceny akcie v jednom jednotkovém období, tj. v časovém okamžiku 1 oproti časovému okamžiku 0). Model pohybu ceny podkladového aktiva je formalizovaně zachycen takto: Obr. 11. Schéma vývoje tržní ceny pokladové akcie v multiperiodickém modelu oceňování opcí (R10) kde náhodná veličina ξn popisuje "velikost změny podkladové akcie" během n-tého jednotkového období. ξn = u s pravděpodobností p = d s pravděpodobností (1 - p). Zřejmě platí. Zlogaritmováním rovnice (R10) dostaneme (R11) Zaveďme náhodnou veličinu: εn = ln(ξn) = ln(u) s pravděpodobností p = ln(d) s pravděpodobností (1 - p) Vedle dříve provedené substituce εn = ln(ξn) zaveďme další, kdy Xn = ln(sn), Xn-1 = ln(sn-1) a přidejme předpoklad εn ~ iid(μ,σ2), což umožní rovnici (R11) přepsat ve tvaru (R12) (R12) Rovnice (R12) je rovnice popisující pohyb ceny podkladové akcie. Z formálního hlediska se jedná o stochastický proces random walk with drift.

24 Teoria a praxe řízení aktiv Black-Scholesův model oceňování evropských opcí vychází z předpokladu, že cena podkladové akcie se pohybuje stejným způsobem, jako v případě multiperiodického binomického modelu, tj. podle schématu uvedeného na Obr. 11.. Pro odvození Black-Scholesova modelu bude potřeba přijmout ještě některé další předpoklady, spíše technického charakteru. Nicméně základem, ze kterého může být odvozen Black-Scholesův model je dobře známý multiperiodický (multinomický) model oceňování evropských opcí, který je dán vztahem (R9). Připomeňme si proto tento vztah: (R13) Čas v multinomickém modelu R je označení zavedené pro (1 + úrok. sazba během jednotkového období). Jednotkovým obdobím je období, během něhož může dojít pouze k jednorázovému růstu či poklesu ceny. r je (1 + bezriziková úrok. sazba během jednoho úrokovacího období15)) t je počet úrokovacích období, rt je celková částka uspořená z 1 peněžní jednotky (např. 1 Kč) během t úrokovacích období, n je celkový počet intervalů, na které bylo rozděleno období délky t. Zřejmě platí, že R = rt/n. Z předchozí tabulky plyne, a proto (R13) přejde v: (R14) Idea: Přirozeně vznikne otázka, co když počet period v předchozím multiperiodickém modelu (R14) budeme nekonečněkrát zvětšovat. Korektněji vyjádřeno, chceme zjistit, jak vypadá "limitní případ" vzorce, přičemž velikost (R14), kde počet period zvyšujeme nade všechny meze16), tj. případ, kdy parametru k je dána velikostí počtu period n, tj. symbolicky zapsáno k =k(n). Názorněji hledáme řešení rovnice (R15). (R15) 15) 16) Úrokovacím obdobím nejčastěji chápeme jeden kalendářní rok. Odlišný přístup není předmětem dalšího popisu.

25 Základy oceňování evropských opcí na akcie (Zavedení náhodné veličiny popisující počet vzrůstů tržní ceny do multinomického modelu oceňování evropské call opce) Připomeňme značení: Sn je tržní cena akcie na konci n-tého období (ekvivalentně: v n-tém časovém okamžiku). (V okamžiku oceňování, tj. v 0.-tém okamžiku, je tato cena neznámá.) Zaveďme další symbol: Jn je náhodná veličina popisující kolikrát během n jednotkových období vzrostla tržní cena podkladové akcie. (Realizaci - tj.funkční hodnotu - této náhodné veličiny budeme značit malým symbolem jn.), kde Jn 0 {0,1,2,...,n}, tj. během n jednotkových období Potom můžeme psát: cena Jn-krát vzrostla a (n-jn)-krát klesla. Je zřejmé, že náhodná veličina Jn má binomické rozdělení s parametry (n,p) [Zkráceně: Jn ~ Bi(n,p)]. Binomické rozdělení Náhodná veličina Y má binomické rozdělení s parametry (n,p), zkráceně Y ~ Bi(n,p), právě tehdy když Věta: Buď dána náhodná veličina βj ~ iid(0,1) pro j = 1, 2,..., kde βj = 1 s pravděpodobností p a βj = 0 s pravděpodobností 1 - p. Pak. Můžeme psát: (R16) Z Věty uvedené v tabulce Binomické rozdělení a z předchozí rovnice vyplývá, že platí: (R17)

26 Teoria a praxe řízení aktiv Odtud triviálně díky tomu, že náhodná veličina Jn má binomické rozdělení, kde (R18) dostáváme vztah: (R19) II.4.2. VOLBA (VÝPOČET) PARAMETRŮ u, d A p Hlavním cílem této části je určit, jak velké musí být parametry u, d a p z rovnice (R12). Z předchozího použití symbolů již víme, že parametr: u je (1 + rel. míra vzrůstu tržní ceny podkladové akcie během jednoho jednotkového období) a d je (1 + rel. míra poklesu tržní ceny podkladové akcie během jednoho jednotkového období). (Hledání vhodných parametrů u,d a p - variace parametrů) V limitním případu oceňování multiperiodického binomického modelu(r8) jsme pracovali s parametry u a d. V případě rovnice (R12) s parametry p, u a d. Zaveďme tyto "determinující" proměnné: t je čas, po jehož uplynutí může být (evropská) opce realizována, tj. čas do exercise date. n je počet dělení intervalu o délce t. Potom je zřejmě: t/n je délka intervalu (v kalendářních jednotkách - např. letech), během nichž dojde pouze k růstu či poklesu tržní ceny podkladové akcie. Symbolicky tedy můžeme zapsat p = p(n,t), u = u(n,t) a d = d(n,t). (Připomeňme opět, že symboly p, u a d v následující rovnici označují funkce proměnných n a t.) Nyní hledejme odpověď na otázku, jak musí být uvedené parametry u,d a p jakožto funkce proměnných t a n smysluplně zvoleny, aby multiperiodický model oceňování evropské kupní opce na akcii "fungoval" pro charakteristiky a a navíc ještě ve skutečném kalendářním čase, kdy dnešek (= den 0.) je dnem ocenění opce a t-tý den je exercise day, tj. dnem, kdy opce může být uplatněna. Zasazení do kalendářního času provedeme pomocí řešení soustavy (R20), ve kterém chceme, aby současně byly splněny obě rovnice. Připomeňme, že se jedná o soustavu 2 nelineárních limitních rovnic o neznámých t a n. Chceme, aby byl při výpočtech eliminován vliv četnosti dělení (n) intervalu do vypršení opce (t) a aby popisoval rozptyl výnosnosti podkladové akcie v okamžiku vypršení opce.

27 Základy oceňování evropských opcí na akcie (R20) (R21) Soustavu dvou limitních rovnic o dvou neznámých do předchozí soustavy rovnic lze řešit17) volbou: Dosazením z (R21) do (R20) a výpočtem příslušných limit lehko zjistíme, že: (R22) Zároveň je vidět, že volba u a d zabezpečuje, že ln (u) = -ln(d), tj. že ve vzorci pro random walk (R12) bude "velikost pohybu náhodné odchylky od logaritmu tržní ceny podkladové akcie nahoru a dolů stejná". Rovněž platí. Velmi důležitá poznámka k praktickému odhadu velikosti parametrů σ a μ z tržních dat: TCn je cena akcie n-tého obchodního dne (připomeňme si problémy s volbou ceny v případě kontinuální kotace a problém dopadu práv spojených s držbou akcič na její tržní cenu), N je počet po sobě jdoucích obchodních dní, které použijeme pro výpočet volatility (směrodatné odchylky) napozorovaných tržních cen akcií. t je doba po jejímž uplynutí (= jejímž nastáním) může být evropská opce uplatněna. (R23) 17) Uvedená soustava nemá jednoznačné řešení. Jiným řešením je například volba u a d jsou jako v (R21) a p = 0,5 a rovněž připomeňme, že v binomickém modelu oceňování opcí nezáleželo na velikosti pravděpodobnosti p.

28 Teoria a praxe řízení aktiv II.4.3. LIMITNÍ PŘECHODY 1. (Centrální limitní věta) Centrální limitní věta Nechť náhodné veličiny Xn mají binomické rozdělení s parametry n a p, kde 0 < p < 1. Pak pro n 6 4 platí. [Říkáme, že hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny (uvedená na levé straně, tj. před šipkou) konverguje k hustotě pravděpodobnosti náhodné veličiny (uvedené na pravé straně výrazu), která má normované normální rozdělení.] Důkaz: Viz např. Anděl, J.: Matematická statistika, SNTL, 1985, str. 188. Víme, že náhodná veličina Jn má binomické rozdělení s parametry a proto podle věty uvedené v tabulce Centrální limitní věta dostáváme vztah daný vztahem (R24). (R24) Pro B[n,k,p] = P[Jn $ k] a odtud i 1 - B[n,k,p] = P[Jn # k - 1] můžeme obě strany nerovnosti Jn # k - 1 modifikovat ekvivalentními úpravami a tím dostat. Odtud triviálně vyplyne vztah (R25): (R25) 2. (Svázání velikosti parametru k s velikostí proměnné n) Z předchozího víme, že vlastnosti parametru k (= nejmenší počet vzrůstů tržní ceny podkladové akcie, kdy dojde k tomu, že evropská kupní opce je in the money) souvisí s velikostí počtu dělení (n), tj.víme, že parametr k lze potom chápat jako funkci parametru n (symbolicky zapsáno k = k(n)).

29 Základy oceňování evropských opcí na akcie Úpravou vztahu dostaneme. Poznámka: 1. Když pro 2 reálná čísla x,y platí x > y, pak existuje α > 0 takové, že x > y + α. Buď α = 1 - ε, kde ε 0 (0,1). To ospravedlňuje dále uvedený vztah:. 2. Velikost parametru k závisí na počtu dělení intervalu do doby splatnosti (t) na n period, tj. symbolicky k=k(n). Označme: (R26) Potom rovnici (R25) můžeme zapsat jako (R27) [Pozor: V Kn(p) je neznámou n!]: (R27) Vzhledem k předchozímu je přirozené definovat: Proto hledejme dvě následující limity: ad A) [Pozn.: Jde o limitu funkcí.] Dle Centrální limitní věty platí, kde M ~ N(0,1). ad B) [Pozn.: Jde o bodovou limitu.] Existuje-li vlastní (= konečná) limita výrazu