Statistika I 1 Popisná statistika 1.1 Základní pojmy Statistický soubor konečná množina prvků, které jsou nositeli určitého hromadného jevu Rozsah s.s. počet prvků množiny Statistické jednotky prvky s.s. Statistické znaky vlastnosti s.j. Rozdělení znaků Kvantitativní reálná čísla: o Diskrétní nabude konečného počtu hodnot (známky ve škole) o Spojité může nabýt libovolné hodnoty z nějakého intervalu (výška dětí) Kvalitativní slovní popis o Alternativní dichotomický znaky: ano/ne Značení znaků: X,Y a jejich hodnoty x 1, x 2 a y 1, y 2 1.2 Třídění dat Výsledkem statistického zjišťování je neuspořádaná posloupnost údajů. Je vhodné ji upravit: o Uspořádat vzestupně podle velikosti, rozdělit do skupin a zjistit četnosti dat ve skupinách. Jednodstupňové - podle jednoho znaku Vícestupňové podle více znaků Četnosti Absolutní, kumulativní absolutní Relativní, kumulativní relativní Jednoduché třídění Pro diskrétní znaky uspořádat vzestupně a pokud se hodnoty opakují, udělat: Tabulka rozdělení četností - napíšeme vzestupně hodnoty znaku a vedle nich četnosti Skupinové třídění vždy pro spojité znaky, pro diskrétní pokud je počet úrovní příliš vysoký postup: počet tříd, šířka intervalu, sestrojit tabulku intervalového rozdělení četností Grafické znázornění Polygon četností, histogram, výsečový graf
1.3 Charakteristiky polohy Poskytují představu o celém st. souboru ve formě st. charakteristik (čísel) - úroveň hodnoty znaku. Modus - nejčastější hodnota znaku Jednoduché t. jednoduše spočítám co je nejčastější Skupinové t. parabolická interpolace o vzorec d m dolní hranice modální třídy (ta s největší četností) Kvantil hodnota, která rozděluje variační řadu v určitém poměru četností Jednoduché t.: o Y je celé: o Y není celé: n=počet prvků (kolikátý člen je x y zjistím přímo nebo z kumulativní četnosti) (y zakrouhlit nahoru) Skupinové t.: o Dle vzorce d ip dolní hranice třídy, která obsahuje ten kvantil z kp i medián hodnota která rozděluje uspořádaný statistický soubor na dvě poloviny Průměr Je ovlivněn všemi hodnotami znaku v souboru. Zjišťuje se jím střední hodnota souboru. Aritmetický Má smysl to sčítat objemová data - těžiště hodnot znaku; součet všech hodnot děleno počet hodnot Dána tabulka rozdělení četností vážený průměr - abs. četnost fi je váha hodnoty znaku xi Intervalové t. xi je střed intervalu (součet mezí děleno dvěma) Vážený ar. průměr z více souborů: průměry je potřeba zvážit rozsahem souboru Příklad: Harmonický Když hodnota znaku zabírá různou část součtu. Úrovňové veličiny s různou váhou, rychlost, výkonové limity: napouštění vody, jízda autem, atd. je dobré si to uspořádat do tabulky Nebo jako ar. vážený mám spočítat rychlost: produkce děleno čas: o nachystat si to do zlomku a spočítat Geometrický Když se v souboru vyskytuje odlehlá vysoká hodnota Má smysl to násobit - růstové, časově provázané veličiny - Koeficient růstu = běžný růst / předcházející růst
1.4 Charakteristiky variability Popisují variabilitu hodnot pozorovaného znaku míra rozptýlení. Variační rozpětí R - rozdíl mezi největší a nejmenší hodnotou závislost na extrémních hodnotách Kvartilové rozpětí: Q = Průměrná odchylka Aritmetický průměr absolutních hodnot odchylek hodnot znaku od nějaké charakteristiky polohy Nejčastějí od průměru nebo mediánu: e, d Rozptyl Ar. průměr čtverců odchylek hodnot od ar. průměru (také vážená forma) Společný rozptyl = vnitroskupinová + meziskupinová variabilita: Jeho použitím namísto průměrné odchylky zvýrazníme extrémní hodnoty. Je zadána relativní četnost: Směrodatná odchylka Variabilita znaku se charakterizuje pomocí ní, protože směrodatná odchylka má stejný rozměr jako pozorovaný znak. Variační koeficient podíl sm. odchylky a ar. průměru Používá se pro srovnávání variability souborů, které mají různé charakteristiky úrovně nebo nesrovnatelné jednotky. Uvádí se většinou v procentech. Poznámky: Transformace a multiplikativní konstanta, b aditivní konstanta Průměr reaguje na oboje konstanty: a=3 z je 3x větší Rozptyl reaguje jen na multiplikativní k: Tvar rozdělení Šikmost K 3 třetí normovaný moment a=3 s je 3 2 větší Číslo, které charakterizuje nesouměrnost rozdělení četností. Poskytuje představu o tvaru rozdělení co do sešikmení, resp. nesouměrnosti. Míra šikmosti symetrického rozdělení je nulová. 0 symetrické rozdělení, >0 levostranná asymetrie, <0 pravostranná asymetrie Je-li dolní kvartil blíže k mediánu než horní, hovoříme o levostranném sešikmení. Špičatost K 4 čtvrtý centrovaný moment Číslo, které charakterizuje zkoncentrování prvků souboru v blízkosti určité hodnoty znaku. Poskytuje představu o tvaru rozdělení četnosti co do špičatosti nebo plochosti. 0 normální špičatost, >0 nadnormální špičatost, <0 podnormální špičatost
Vztahy pro šikmost Pokud jsou průměr, medián a modus stejné souměrné rozdělení. pravostranné rozdělení záporná asymetrie levostranné rozdělení kladná asymetrie Pozitivní šikmost: negativní šikmost: Normální špičatost: nadnormální: podnormální: 2 Pravděpodobnost 2.1 Základní pojmy Pokus činnost, jejíž výsledek je jednoznačně určený realizací určitého komplexu podmínek. Výsledek pokusu - jedna z možností, které mohou nastat - se nazývá jev (událost). o Jistý I - při splnění určitých podmínek neodvratně nastane o Nemožný V - při splnění určitých podmínek nikdy nenastane o Náhodný A při splnění určitých pomínek může, ale nemusí nastat Náhodný pokus činnost, jejíž výsledkem je náhodný jev. Zajímají nás hromadné n.p. daný pokus je možné za stejných podmínek neomezeně opakovat. Relativní četnost události A: k/n kde k značí kolikrát jev nastal a n značí počet pokusů P(A) statistická pravděpodobnost události A o číslo, okolo kterého kolísá relativní četnost dané události o Je to hodnota, ke které se přibližuje k/n při roustoucím počtu pokusů Terminologie Elementární událost Prostor elementárních událostí - výsledek náhodného pokusu (každý možný) - množina všech možných výsledků pokusu Náhodná událost (jev) podmnožina množiny, značíme ji velkými písmeny: A, B, C,
Říkáme, že nastala událost A, když nastal výsledek výsledek ω je příznivý události A. Lze používat standardní množinové operace: Opačná událost: A = A 2.2 Klasická pravděpodobnost Definice Pravděpodobnost P(A) náhodné události A je definována rovností, kde m je počet výsledků příznivých události A a n je počet všech možných výsledků. Velikost množiny A / Ω. Tuto definici můžeme použít pouze v případě, že: o všechny výsledky náhodného pokusu jsou stejně možné a o množina Ω má konečně mnoho prvků. Příklad: událost A na hrací kostce padne sudé číslo: { }; { } o P(A)=3/6=0,5 Pokud potřebujeme pracovat s událostmi s různou pstí, jde to nějak upravit: o Psti určíme experimentálně, suma musí být 1. Operace - sjednocení událostí: o nezávislé o závislé počet unikátních prvků/počet všech možných Riziko Událost je: o Praktický nemožná, pokud je její pst menší než určitá zvolená pst α (blízká nule). o Prakticky jistá, pokud je její pst větší, než určitá zvolená pst 1 α (blízká jedné). Riziko číslo 100 α udává stonásobek psti, že jev nemožný přece jen nastane 2.3 Různé pravděpodobnosti Podmíněná Číslo je podmíněná pst události A za podmínky, že nastala událost H. Pro nezávislé jevy platí, že podmíněná a nepodmíněná pst je stejná. Úplná Vážený průměr podmíněných pstí : P(A)=P(H 1 )*P(A H 1 )+ P(H 2 )*P(A H 2 ) Je dáno více podm. p. a toto udává pst pro náhodně vybraný prvek. Aposteriorní Také Bayesova pst upravená na základě zjištěného výsledku náhodného pokusu Bayesův vzorec:
Příklad: A stromek se ujme P(H 1 )=0,7 P(A H 1 )=0,9 P(H 2 )=0,3 P(A H 2 )=0,8 a) Pst že se náhodně vybraný stromek ujme: P(A)=0,7*0,9+0,3*0,8=0,87 b) Pst že se náhodně vybraný stromek ujme a pochází od 2. pěstitele: P(A H 2 ) = P(H 2 )*P(A H 2 )=0,3*0,8=0,24 c) Stromek se ujal. Jaká je pst že byl od 2.p.? P(H 2 A)=P(A H 2 ) / P(A)=0,24/0,87=0,276 2.4 Opakované pokusy Příklady: střelba do terče, hody kostkou, opakovaná měření, sériová výroba Jev nastane aspoň x-krát: součet pstí pro každé x Nezávislé pokusy Jevy jsou na sobě nezávislé pravděpodobnost že nastane A je pořád stejná. Vracím zpět. Používá se Bernoulliho vzorec : n počet pokusů, p konstantní pst Nejpravděpodobnější počet výskytů jevu A v n nez. op. p : nerovnice s Nejmenší počet pokusů, které je třeba vykonat, aby jev A nastal alespoň jednou: n Závislé pokusy Jevy jsou na sobě závislé pst že nastane A je v určitém pokusu proměnlivá. Nevracím zpět. Používá se hypergeometrický vzorec: o (počet možností příznivých jevu A * zbytek možností) / počet všech možností 2.5 Kombinatorika Slouží k určení počtu možností. n počet všech prvků, r počet vybíraných prvků Variace Záleží na pořadí prvků Bez opakování: S opakováním: Kombinace Nezáleží na pořadí prvků Bez opakování: ( ) S opakováním: to se moc nepoužívá Příklad: 6 žen a 9 mužů. Kolika způsoby může vybrat 5 pracovníků, když chce navhrnout: a) právě dvě ženy: N=15 6 Ž a 9 M, r=5 2 Ž a 3 M: ( ) ( ) b) alespoň 4 ženy: r=4ž a 1 M nebo r= 5Ž a 0 M: ( ) ( ) ( ) ( )
3 Náhodná proměnná a její rozdělení 3.1 Definice Náhodná proměnná Na množině výsledků náhodného pokusu definujeme reálnou funkci X - náhodná proměnná. NP velké písmeno, hodnota funkce malé písmeno Hodnota NP je určená výsledkem náhodného pokusu. NP charakterizují hodnoty, kterých může nabývat, a také pravděpodobnosti, se kterými těchto hodnota nabývá. Distribuční funkce Určuje rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné: F(x) = P(X<x) Udává pst, že NP nabude hodnoty menší než x. Diskrétní NP Nabývá konečně mnoha hodnot přirozená čísla. Pravděpodobnostní funkce: p(x)=p(x=x) F(x)= Součet pstí je 1. Rozdělení lze zapsat do pstní tabulky. Spojitá NP Nekonečně mnoho hodnot v intervalu p(x=x) není definována Existuje f(x) pro kterou platí f(x) hustota psti Pst, že proměnná nabude hodnoty z intervalu: Plocha pod křivkou f(x) je pst jistého jevu (1) Číselné charakteristiky Střední hodnota: E(X) (Nemusí se dělit n, protože suma p je 1) Rozptyl: D 2 (X) Kvantil 100*p procentní kvantil je číslo x p pro které platí: F(x p )= Zápis rozdělení Proměnná X má rozdělení G: Pst pro určité x: P(X) nebo P(X a) Graf: osa y hodnoty f(x) nebo F(x); osa x hodnoty X Výpočet psti 1. P(X a) = F(a) 2. P(X>a) = 1 F(a) 3. P(a X b) = F(b) F(a)
3.2 Diskrétní rozdělení Binomické Bi(n,p) bernouliho vzorec: počet výskytů určitého jevu v n nezávislých opakovaných pokusech Alternativní rozdělení: n=1: E(X)=n*p a D 2 (X)=n*p*(1-p) Poissonovo P o (λ) počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu Používá se pro projektování hromadné obsluhy opravy, zmetky. V zadání slovo průměrně. E(X)=D 2 (X)= λ λ střední počet událostí: nutné spočítat pro konkrétní časový úsek Příklad: K automatu přijde průměrně 30 zákazníků za 60 minut. a) Jaká je pst že během příští minuty nepřijde k automatu ani jeden zákazník? b) Jaká je pst že za 10 minut, kdy se automat doplňuje, přijdou minimálně 4 zákazníci? X počet zákazníků a) X úsek: 1 minuta: P(x=0) b) úsek: 10 min: [ ] 3.3 Spojitá rozdělení Rovnoměrné [ ] - X může nabývat libovolné hodnoty z <a,b>; výskyt stejně možný F(x) = 0 pro ; pro a<x<b; 1 pro x a f(x) = pro a x b; 0 pro jiná x E(X)=(a+b)/2; D 2 (X)=(b-a) 2 /12 Normální f(x) je hodně složitá hodnoty F(x) jsou tabelované, a to pro normovaný případ µ=0 a σ 2 =1 ostatní případy se upraví na normovaný tvar pomocí vztahu: ( ) pro záporné hodnoty x: zvolíme např: ; NR se používá velmi často mnohé NP jej mají (např. chyby měření) nebo se rozdělení aproximuje
Tvar křivky je to tzv. Gaussova křivka maximum v bodě x=µ hodnota okolo které jsou soustředěny hodnoty X; nepřímo úměrné σ σ sm. odchylka určuje nakolik je plocha určená křivkou rozptýlená okolo hodnoty µ inflexní body: µ - σ, µ + σ Příklady 1. obyčejná pst: X výše IQ; Jaké procento lidí by získalo více než 105 bodů? P(X>105)=1-P(X 105)= ( ) ( ) 37% 2. více hodnot a pst průměru: X max. nosnost tašky; Stanovte pst, že po testování 16 náhodně vybraných tašek bude průměr menší než 4,5. n=16: ( 3. Celková suma pro více pokusů X hmotnot masa v jedné porci: Jaká je pst, že na přípravu 10 obědů bude stačit 0,97 kg masa? X jsou nezávislé. Nové rozdělení: ) ( ) 4. Výpočet minimální hodnoty pro určitou pravděpodobnost X váha člověka Do letadla nastoupí 64 lidí. Jaká musí být minimální nosnost letadla, aby s pstí 99% udrželo ty lidi. Nové rozdělení: a = ( ) - najdu hodnotu tohoto kvantilu v tabulce 3: 2,326 kg nebo to jde počítat nejdřív jako průměr pro jednoho a pak to vynásobit počtem lidí
4 Teorie odhadu 4.1 Soubory Základní soubor všechny statistické jednotky Výběrový soubor vybrané jednotky ze základního s., které jej vhodně reprezentují Náhodný v.s. o umístění určité jednotky do v.s. rozhoduje pouze náhoda St. analýza Jejím cílem je dospět na základě údajů o výběrovém souboru ke všeobecným závěrům o základním souboru. Reálně neznáme parametry základního souboru. Podle výsledků pozorování v.s. vyvodíme závěry o rozdělení psti z.s. resp. o jeho neznámých parametrech. Teorie odhadu získávání co nejlepších odhadů o neznámých parametrech Testování st. hypotéz ověřování správnosti předpokladů o rozdělení psti z.s. resp hodnotě n.p. 4.2 Kvantily Normované normální rozdělení u p : tabulka 3: u p =-u 1-p Studentovo rozdělení tabulka 4: t p (v) p kvantil, v stupeň volnosti Pearsonovo rozdělení chí-kvadrát rozdělení: tabulka 6: F-rozdělení tabulka 7: má dva stupně volnosti: n-1 pro každý soubor: 4.3 Bodový odhad t p (v)=-t 1-p (v) Předpokládejme, že pozorovaný znak X má pstní rozdělení se střední hodnotou µ a disperzí σ 2, přičemž hodboty těchto parametrů neznáme. V popisné statistice jsme z naměřených údajů vypočítali aritmetický průměr a rozptyl (výběrový průměr a výběrový rozptyl). realizace bodového odhadu střední hodnoty µ realizace bodového odhadu disperze σ 2 často nestranný odhad kde se suma dělí 1/(n-1) Realizace proto, že jsou vyjádřené jediným číslem. 4.4 Intervalový odhad Cílem int. odhadu je najít realizaci takového intervalu, ve kterém by se hledaný parametr nacházel s dostatečně velkou (předem danou) pstí. Realizace dvě čísla, pstní model dvě statistiky. Předpokládáme, že základní soubor má normální rozdělení a budeme odhadovat jeho parametry. Odhad - interval spolehlivosti XXX norm. r. N rozsah souboru, výběrový průměr, u 1-α/2 kvantil, α riziko, 1-α spolehlivost Pro střední hodnotu Podoba: přípustná chyba Pravostranný : hodnota nesmí překročit hranici maximálně - menší než horní Levostranný : hodnota nesmí klesnout pod hranici minimálně - větší než spodní
Minimální rozsah souboru k dané přípustné chybě: 1. známý rozptyl z.s. Použíjeme normální rozdělení; odhad µ ar. průměr, σ 2 známe Statistika U má N(0,1). Hodnotu u α náhodné proměnné U s rozdělením N(0,1) nazýváme kritickou hodnotou N(0,1) rozdělení, jestliže platí P( U > u α ). Platí rovnost P( U u α )=1-α. Po dosazení a upravení dostaneme interval, ve kterém se neznámá střední hodnota µ nachází s pravděpodobností 1-α. Je to 100*(1-α)%-ní oboustranný interval spolehlivosti. 2. neznámý rozptyl z.s. Toto je častější situace. Použijeme statistiku, která má Studentovo t-rozdělení o n-1 stupních volnosti. Dále použijeme kritické hodnoty tohoto rozdělení. Pokud je n>30 můžeme použít norm. rozdělení. Pozor!!! Jednostranný interval místo α/2 je pouze α Pro rozptyl Použijeme Paersonovo rozdělení s n-1 stupni volnosti. Pro relativní četnost Normální rozdělení; rel.č. v základním souboru; p rel.č. ve výběrovém souboru 5 Testování st. hypotéz 5.1 Obecné principy St. hypotéza je tvrzení, které se týká rozdělení psti pozorovaného znaku, případně jeho parametrů. Prověřování správnosti tohoto vrzení se nazývá testování hypotézy. Klademe proti sobě dvě odporující si hypotézy: o h. kterou ověřujeme nulová h. - H 0 o alternativní h. H 1 Hypotézy a) jednoduchá testovaný parametr může nabývat jen jednu hodnotu Příklad: Testujeme h., že náhodný výběr pochází z 1. souboru oproti tomu, že pochází z 2. Zápis problému: H 0 : µ =µ 0 oproti H 1 : µ=µ 1 b) složená H 0 : µ =µ 0 oproti H 1 : µ µ 0 H 0 : µ µ 0 oproti H 1 : µ < µ 0 H 0 : µ µ 0 oproti H 1 : µ > µ 0 Princip testování Na testování H 0 oproti H 1 použijeme vhodné testovací kritérium (tzv. testovací statistiku). Množinu hodnot, kterých může test. st. nabývat rozdělíme na dvě disjunktní oblasti: o kritický (W α ) a doplňkový obor. Z naměřených hodnot vypočítáme hodnotu test. st. g. Pokud tak zamítáme H 0 a za správnou příjímáme H 1. Pokud tam g není, H 0 nezamítáme to ale neznamená, že je h. správná.
Chyby 1. Druhu H 0 je správná, ale vlivem náhody hodnota g padne do W α neprávem zamítneme H 0 o Pst této chyby hladina významnosti testu α 2. Druhu H 1 je správná, ale vlivem náhody se může stát, že neprávem přijmeme H 0 o Pst této chyby síla testu β Kritický obor musíme určit tak, aby obě chyby byly co nejmenší. Ovšem zmenšením α roste β a naopak. Postupujeme tak, že zvolíme a hledáme v této třídě test s nejmenší β. Shrnutí postupu testování 1. Zformulujeme testovaný problém, tj. zvolíme nulovou a alternativní hypotézu. 2. Zvolíme hladinu významnosti α. Obvykle se volí 0,05 případně 0,01. 3. Z naměřených údajů vypočítáme hodnotu testovacího kritéria g. Jaké t.k. je potřeba použít pro daný t. problém viz dále. 4. Určíme kritický obor W α vyhledáním příslušných kritických hodnot v tabulkách. Tvar viz dále. 5. Vyhodnotíme test: a. Když tak zamítáme nulovou hypotézu H 0 na hladině významnosti α. b. Když tak nulovou hypotézu H 0 nemůžeme zamítnout. Druhy testů Parametrické vázané na určité předpoklady o rozdělení resp. parametrech st. souborů Neparametrické použijeme jej pokud nejsou splněné předpoklady 5.2 Testy normality Testují hypotézu, zda náhodný výběr pochází z normálního rozdělení: H 0 : F = F 0 H 1 :F F 0 Test podle Shapira-Wilka Pro rozsah náhodného výběru Hodnoty uspořádáme podle velikosti. Testovací kritérium W. Kritický obor v tabulce. Pokud je zamítáme H 0. D Agostinův test Pro rozsah. Uspořádáme dle velikosti, test. kriterium D, obor složitý - test dobré shody Pro rozsah n > 100. Naměřené hodnoty rozdělíme do r disjunktních intervalů a zjistíme jejich četnosti. Potom musíme porovnat naměřené a teoretické četnosti spočítat pst pro každou třídu. Testovací kritérium: vzorec, n*p teoretické četnosti, n*p musí být všude > 5 Počet stupňů volnosti: známé parametry: r-1; s odhadnutých parametrů: r-s-1 Kritický obor:
5.3 Parametrické testy Předpokládáme, že znaky mají normální rozdělení. 1. Jednovýběrové Znak X pozorujeme na prvcích jednoho výběrového souboru. Poznámka: Kraje intervalů asi patří do W ve cvičeních to takhle je, ve skriptech ale ne. Test o střední hodnotě Testovaný problém: H 0 : µ =µ 0 oproti H 1 : µ µ 0 Testovací kritérium: podle toho jestli známe rozptyl z.s. nebo ne o Známe: U normální rozdělení; neznáme: t studentovo rozdělení Kritický obor: Pro levostrannou alternativní hypotézu je obor Test o rozptylu Problém: H 0 : σ 2 = σ 2 0 oproti H 1 : σ 2 σ 2 0 Kritérium: =(n-1) Obor: nebo místo toho t Test o relativní četnosti Problém: H 0 : π = π 0 oproti H 1 : π π 0 Kritérium: U = p-c/ Obor: : 2. Dvouvýběrové Znak X pozorujeme na prvcích více výběrových souborů a potřebujeme ověřit, zda se rozdělení hodnot pozorovaného znaku na těchto souborech shoduje. Test o dvou středních hodnotách Známé rozptyly: U=x-x/ Neznámé rozptyly: o stejné rozptyly: t=x-x/to velký o nestejné: t=x-x/mensi Test o shodě dvou rozptylů problem: H0: µ1-µ2=0; kriterium F=S1/S2 obor: větší lomeno menší Párový test srovnává znak u dvou souborů: H 0 : µ 1 =µ 2 oproti H 1 : µ 1 µ2 například střední hodnoty, lze také jednostranné: o jestli se to změnilo: H0:E(D)=0 H1: E(D) 0 o případně zlepšilo: H0:E(D) 0 H1: E(D)>0 kritérium: t= /Sd =ar. průměr rozdílů X-Y Sd=to velké obor:
5.4 Neparametrické testy Při použití neparametrického testu vystačíme s menším počtem informací než při odpovídajícím parametrickém testu, tím je ale síla nep. testu nižší než síla odpovídajícího par. testu. Znaménkový test Používá se místo testu střední hodnoty nebo párového t-testu v případě, že není splněný předpoklad o normálním rozdělení základního souboru a rozdělení z.s. je výrazně zešikmené. Je založen na principu, že jednotlivé hodnoty byly nahrazeny znaménky odchylek jednotlivých hodnot od mediánu. Počet kladných odchylek v souboru o rozsahu n - náhodná veličina m +. Problém: H 0 : 1 = 2 proti H 1 : 1 2 Kritérium: m+ Postup Vytvoříme rozdíly x1 y 1, x2 y 2,..., xn y n. m+ počet kladných rozdílů Může se stát, že některé rozdíly jsou rovné 0. Tyto rozdíly nebudeme uvažovat a za n budeme brát počet nenulových rozdílů. Kritický obor Pro n<20: čísla k1 a k2 jsou tabelována 2m n Pro n 20: kritérium bude U =, m min( m, m ), m je počet záporných rozdílů. n Wilcoxonův jednovýběrový test Wilcoxonův test na rozdíl od znaménkového testu nebere do úvahy pouze znaménka rozdílů, ale také velikost a pořadí těchto rozdílů, a proto je jeho síla větší než síla znaménkového testu. Dvouvýběrový: neparametrická analogie dvouvýběrového t-testu Kruskalův-Wallisův test Obdoba jednoduchého třídění analýzy rozptylu. Friedmanův test Analogií analýzy rozptylu dvojného třídění s jedním pozorováním v každé podtřídě.