1. Za jaký čas a jakou konečnou rychlostí (v km/hod.) dorazí automobil na dolní konec svahu dlouhého 25 m a skloněného o 7 0 proti vodorovné rovině, jestliže na horním okraji začal brzdit na hranici možností daných smykovým třením z počáteční rychlosti 18 km/h? Součinitel smykového tření je 0,1. (g 10 ms -2 ) v = 21,7 km/hod. 2. Hmotný bod koná pohyb po kružnici s poloměrem 0,2 m se stálým úhlovým zrychlením = 2 s -2. Určete hodnotu tangenciálního, normálového a celkového zrychlení na konci 4 s pohybu, jestliže v čase t = 0 s byl bod v klidu. a t = 0,4 ms -2, a n = 12,8 ms -2, a c = 12,806 ms -2 3. Jaká práce se vykoná při stlačení nárazníkové pružiny vagónu o x 0 = 5 cm, jestliže na její stlačení o 1 cm je třeba síla 30 kn a potřebná síla je úměrná zkrácení pružiny (tj. F= -kx). A = 3750 J 4. Z jaké výšky h o volně padalo těleso hmotnosti 3 kg (g 10 ms -2 ), jestliže v posledních dvou sekundách svého pohybu urazilo dráhu 30 m? Odpor vzduchu neuvažujte. Určete hybnost tělesa těsně před dopadem. h o = 31,25 m, p = 75 kgms -1 5. Kolo průměru 0,6 m, které bylo původně v klidu, se začalo v okamžiku t = 0 s otáčet s konstantním úhlovým rychlením = 0,2 s -2. Určete, kolikrát se otočilo během prvních 20 s a jaká byla v tom okamžiku jeho obvodová rychlost a normálové zrychlení? n = 20, v = 1,2 ms -1, a n = 4,8 ms -2 6. Určete práci vykonanou silou F = 3t 2 i + 2j + 4k N působící po křivce r = ti - 5/2t 2 j + tk m, v době mezi okamžiky 1 s a 5 s. Jak velký je průměrný výkon P pr v udaném časovém intervalu a jak velký je okamžitý výkon P 4 na konci čtvrté sekundy? A = 20 J, P pr = 5 W, P 4 = 12 W 7. Dva automobily pohybující se proti sobě mají při vzájemné vzdálenosti l = 747,5 m počáteční rychlosti v 01 = 10 ms -1 a v 02 = 15 ms -1. Od tohoto okamžiku se pohybují se zrychleními a 1 = 3 ms -2, a 2 = 2 ms -2. Určete, za jak dlouho se potkají, jak daleko od výchozích bodů (zanedbáte-li jejich délky) a jaká bude jejich vstřícná rychlost (v km/hod). t = 13 s, s 1 = 383,5 m, s 2 = 364 m, v = 324 km/hod. 8. Hmotný bod o hmotnosti 2 kg se pohybuje po kružnici o poloměru 2 m tak, že s = t 2 + 2t - 1. Určete absolutní hodnotu jeho zrychlení v čase 4 s a odstředivou sílu v tomto okamžiku. a = 50,04 ms -2, F o = 100 N 9. Těleso je přitahováno k počátku souřadnic silou, která je dána vztahem F = - 6 x (N,m). Jaké síly je potřeba k udržení tělesa v bodě A ve vzdálenosti 0,3 m od počátku a v bodě B ve vzdálenosti 0,6 m od počátku? Jakou práci je třeba vykonat při přesunutí tělesa z bodu A do bodu B? F 0,3 = 1,8 N, F 0,6 = 3,6 N, A = 0,81 J
10. Cyklista a automobil se ze vzdálenosti l = 100 m pohybují proti sobě tak, že cyklista jede rovnoměrně rychlostí v 1 = 3 ms -1 a automobil zrychluje z počáteční rychlosti v 0 = 7 ms -1 se zrychlením a = 4 ms -2. Určete, za jak dlouho se setkají, vzdálenost místa setkání od výchozích pozic a vzájemnou rychlost při míjení (v km/hod.), zanedbáte-li jejich délky. t = 5 s, l 1 = 15 m, l 2 = 85 m, v = 108 km/hod. 11. Určete normálové a tečné zrychlení na obvodu cirkulárky s poloměrem 20 cm po 3 s od zapnutí, jestliže se rozjíždí rovnoměrně z nuly na 10 4-1 otáček/min po dobu 5 s. a t = 13,3 ms -2, a n = 8000 ms -2 12. Těleso hmotnosti m = 5 kg se pohybuje svisle dolů se zrychlením a = 12 ms -2. Jak velká síla kromě tíhy na těleso ještě působí? Určete hybnost tělesa v okamžiku dopadu, byla-li jeho počáteční rychlost ve výšce 2 m nad dopadovou plochou 6 ms -1. (g 10 ms -2 ) F = 10 N, p = 45,826 kgms -1 13. Kulička hmotnosti 5 g upevněná na niti se pohybuje po kružnici o poloměru r = 0,1 m tak, že úhlová souřadnice je dána vztahem = 2 + 4t 3. Určete absolutní hodnotu jejího zrychlení v čase 2 s a její okamžitou hybnost v čase t = 4 s. a = 230,45 ms -2, p = 0,096 kgms -1 14. Jaká je hmotnost automobilu, jestliže se při výkonu motoru P = 14 kw pohybuje rychlostí 72 km/h se součinitelem tření 0,07. Určete, jaké teplo (přeměněná práce resp. energie) je nutno odvést z brzd během zastavení uvedeného automobilu z dané rychlosti.(g 10 ms -2 ) m = 10 3 kg, Q = 2.10 5 J 15. Rychlost hmotného bodu o hmotnosti 0,5 kg je dána rovnicemi: v x = 6t 2 + 1 (ms -1 ; s); v y = t 2 + 1 (ms -1 ; s); v z = t 3-1 (ms -1 ; s). Určete polohový vektor tohoto bodu v čase t = 2 s a sílu, která na něj v tomto okamžiku působí. V čase t 0 = 0 s byl polohový vektor bodu r = i + j + k (m). r = (19;17/3;3) m, F = (12;2;6) N 16. Kotouč o poloměru R = 0,5 m je uveden do rotačního pohybu stanoveného rovnicí =.t 2,5 (rad,s). Určete úhlovou rychlost, úhlové zrychlení, tečné, normálové a celkové zrychlení na okraji kotouče a frekvenci po prvních 4 s pohybu. = 62,83 s -1, = 23,56 s -2, a t = 11,781 ms -2, a n = 1973,8 ms -2, a c = 1973,84 ms -2, f = 10 Hz 17. Střela hmotnosti 20 g zasáhne rychlostí 400 ms -1 strom. Do jaké hloubky pronikne, je-li průměrný odpor dřeva R = 10 4 N? h = 0,16 m 18. Těleso hmotnosti m = 1000 kg se pohybuje rychlostí v 0 = 27 km/h. Chceme ho zastavit na dráze 20 m. Jakou konstantní silou musíme pohyb brzdit a jaké teplo (přeměněná práce resp. energie) se při tom uvolní? F = 1406,25 N, Q = 28125 J
19. Kolikrát se otočí disk setrvačníku o poloměru 30 cm a tloušťce 2 cm, který během dvou minut dosáhne frekvence otáčení 2 Hz? Setrvačník se roztáčel z klidu s konstantním úhlovým zrychlením. Určete obvodovou rychlost ve dvou třetinách vzdálenosti mezi středem a okrajem disku po 1 minutě. n = 120, v = 1,257 ms -1 20. Dráha tělesa o hmotnosti 2 kg, které se pohybuje po ose x, je dána vztahem x = (10t 3-5t) (m;s). Vypočtěte, jakou práci vykoná síla působící tento pohyb v době mezi okamžiky 1 s a 5 s. Jaký je průměrný výkon během tohoto časového intervalu, jaký je okamžitý výkon síly na konci 4 s? A = 554,4 kj, P pr = 138,6 kw, P 4 = 228 kw 21. Celková tíha parašutisty s padákem je G = 10 3 N. Otevřený padák je bržděn odporem vzduchu přímo úměrným v 2 a ploše S průmětu padáku do vodorovné roviny (tj. F R = ksv 2 ). Při rychlosti 3 ms -1 je brzdící síla rovna 100 N na jednotku plochy průmětu padáku do vodorovné roviny. Jak velký musí být průmět padáku do vodorovné roviny, aby rychlost dopadu parašutisty byla bezpečná (v m 1,2 ms -1 )? Sp 62,5 m 2 22. Vypočítejte obvodovou a úhlovou rychlost setrvačníku, který má průměr d = 2 m a koná 90 otáček za minutu. Určete obvodovou rychlost v jedné třetině vzdálenosti od středu směrem k obvodu setrvačníku? = 3 s -1, v o = 3 ms -1, v = ms -1 23. Střela hmotnosti 20 g opouští ústí pušky rychlostí 264 ms -1. Vypočtěte délku hlavně, jestliže výslednice sil působících na střelu v hlavni je dána vztahem F = 1600-3200x/9 N. l = 0,46 m 24. Vlak jedoucí rychlostí v = 60 km/h dokážeme použitím brzd zastavit na dráze s 1 = 400 m. Jakou nejvyšší rychlost může mít vlak, abychom ho stejným bržděním dokázali zastavit na dráze 100 m. v 30 km/hod. 25. Po kružnici o poloměru R = 2 m se pohybuje těleso hmotnosti m = 0,2 kg tak, že jeho dráha je dána rovnicí s = 2 t 3 (m,s). Určete sílu, působící na těleso v čase t = 2 s. F = 57,8 N 26. Jakou práci vykoná během prvních 5 s motor výtahu, který má i s materiálem celkovou hmotnost m = 1 t, jestliže zvedá plošinu od země s konstantním zrychlením a = 2 ms -2? Za jak dlouho zvedne výtah plošinu o 20 m z výšky 10 m? (g 10 ms -2 ) A = 3.10 5 J, t = 2,315 s 27. Motor automobilu o hmotnosti m = 1 t má tažnou sílu 1600 N. Za kolik sekund může auto dosáhnout rychlost v = 54 km/h? Určete hybnost automobilu při této rychlosti. t = 9,375 s, p = 15 kns
28. Cyklista o hmotnosti 100 kg i s kolem jede po obloukovém mostě rychlostí v = 18 km/h. Poloměr křivosti ve středu mostu je r = 100 m. Jakým tlakem působí kolo na most v okamžiku průchodu středem mostu, je-li na každém kole styčná plocha tvaru elipsy o poloosách 2 cm a 3 cm? (g 10 ms -2 ) p = 258,6 kpa 29. Jak velkou práci vykoná síla F = 6t 2 i + j N, jejíž působiště se pohybuje po dráze s = 3t 2 j m mezi koncem druhé a čtvrté sekundy? Jaký impuls za tu dobu udělí tělesu o hmotnosti 2 kg, na které působí? Jaká bude výsledná hybnost tělesa, mělo-li na konci druhé sekundy rychlost v = 3i +4j ms -1. A = 36 J, I = 112i + 2j Ns, p = 118i + 10j kgms -1 30. Jaká je počáteční rychlost, kterou vrháme těleso hmotnosti 0,25 kg v horizontálním směru, jestliže po 2 s pohybu má těleso rychlost rovnající se dvojnásobku počáteční rychlosti? Určete hybnost tělesa při dopadu na zemský povrch, je-li vrženo z věže vysoké 80 m (g 10 ms -2 ). v o = 11,55 ms -1, p = 10,41 kgms -1 31. Na podlaze železničního vagónu jedoucího konstantní rychlostí po vodorovné přímé trati je volně uložená kulička hmotnosti 20 g vzdálená 6 m od stěny ve směru jízdy. V určitém okamžiku vlak začne brzdit s konstantním zpožděním a = -2 ms -2. Určete hybnost kuličky v okamžiku nárazu na stěnu vagónu. Valivé tření kuličky při kutálení má součinitel 0,08. (g 10 ms -2 ) p = 0,076 kgms -1 32. Jakou minimální rychlost (v km/hod) musí vyvinout automobil o hmotnosti 1,26 t na obloukovém mostě s poloměrem křivosti ve středu mostu r = 100 m, aby alespoň na okamžik kola vozu ztratila kontakt s vozovkou (prověšení kol neuvažujte)? Jaká bude hybnost automobilu při této rychlosti? (g 10 ms -2 ) v > 114 km/hod., p = 39,9 kgms -1 33. Nájezdová rampa v autorodeu svírá se zemským povrchem úhel 20 0. Určete, jakou minimální rychlostí (v km/hod) musí najet motocyklista na rampu, aby přeskočil vzdálenost 50 m (g 10 ms -2 ). Je-li hmotnost jezdce i s motocyklem 450 kg určete hybnost tohoto tělesa v okamžiku opuštění rampy. v 100,5 km/hod., p = 12,55.10 3 kgms -1 34. Jak daleko od mola může být bližší okraj pramice, aby na ni doletěl automobil o rozvoru 2,5 m a hmotnosti 1250 kg, který opouští molo rovnoběžné se zemským povrchem rychlostí 81 km/hod při svislé vzdálenosti mezi povrchem mola a povrchem pramice 5 m (g 10 ms -2 )? Určete hybnost automobilu v okamžiku opuštění mola. l = 20 m, p = 28125 kgms -1 35. Kaskadér s automobilem o rozvoru 2,5 m opouští molo rovnoběžné se zemským povrchem rychlostí 108 km/hod a bezpečně dosedá na bližší konec pramice dlouhé 43,5 m tak, že zadní kola sedají na okraj. Okamžitě brzdí na hranici určené součinitelem smykového tření 0,8. Jakou rychlostí narazí do bariéry připevněné na vzdálenějším okraji pramice, je-li vzdálenost od čela vozu po přední osu 1 m? (g 10 ms -2 ) v = 58 km/hod.
36. Na podlaze železničního vagónu je volně uložená kulička hmotnosti 20 g. Valivé tření kuličky při kutálení má součinitel 0,08 (g 10 ms -2 ). Určete, zda při průjezdu vlaku zatáčkou o poloměru 1 km konstantní rychlostí 100 km/hod. dojde k pohybu kuličky (neuvažujete-li nerovnosti kolejnic a jejich spojů) a doložte výpočtem svoje tvrzení. F o < F t, ne 37. Nájezdová rampa v autorodeu svírá se zemským povrchem úhel 15 0. Určete, jakou vzdálenost přeskočí automobil, který na rampu najíždí rychlostí 72 km/hod. (g 10 ms -2 ) l = 20 m 38. Kaskadér s automobilem o hmotnosti 1250 kg a rozvorem 2,5 m opouští molo rovnoběžné se zemským povrchem rychlostí 108 km/hod a bezpečně dosedá na bližší konec pramice dlouhé 43 m tak, že zadní kola sedají na okraj. Okamžitě brzdí na hranici určené součinitelem smykového tření 0,8. Při nárazu na bariéru připevněnou na vzdálenějším okraji pramice (vzdálenost od čela vozu po přední osu je 0,5 m) se hybnost vozu z 20% spotřebuje na deformaci vozidla a ze 80% na impuls síly předaný bariéře. Celý děj nárazu trvá 0,12 s. Kolik hřebíků spotřebují kaskadéři na připevnění bariéry, když průměrná síla potřebná na vytažení hřebíku je 1680 N? (g 10 ms -2 ) n = 80 39. Jakou rychlostí by se vzdalovala původně stojící pramice o hmotnosti 6250 kg od mola, kdyby na ni dosedl a zabrzdil automobil o hmotnosti 1250 kg, který přiletěl z mola rychlostí 81 km/hod rovnoběžnou se zemským povrchem, nebudeme-li uvažovat tření pramice ve vodě? Uveďte v km/hod. v = 13,5 km/hod. 40. Při výpočtu deformace vozidla předpokládáme, že průměrná konstantní síla, která působí deformaci vyplývá ze skutečnosti, že 90% hybnosti vozidla se přenáší do impulzu této síly. Dále předpokládáme, že deformací je třeba pohltit pouze 60% původní pohybové energie a zbytek se spotřebuje jiným způsobem. Určete, o kolik se zkrátí přední část automobilu o hmotnosti 1500 kg deformací při nárazu do pevné překážky (zdi) z původní rychlosti 90 km/hod., trvala-li deformační část děje nárazu 0,175 s. l = 1,46 m