XXVIII. ASR '2003 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, May 6, 2003 239 Vybrané meody saisické regulace procesu pro auokorelovaná daa NOSKIEVIČOVÁ, Darja Doc., Ing., CSc. Kaedra konroly a řízení jakosi, FMMI, Vysoká škola báňská- Technická univerzia Osrava, 17. Lisopadu 15, 708 33 Osrava-Poruba, Czech Republic darja.noskievicova@vsb.cz Absrak: V posledních leech se můžeme sále časěji seka s kriikou klasických Shewharových regulačních diagramů, ať už ze srany uživaelů či v odborných publikacích. Kriikové poukazují na o, že exisuje velké množsví procesů, kde je aplikace klasických meod nesprávná či nerealizovaelná. Prakikové na základě svých zkušenosí časo docházejí k závěru, že saisickou regulaci procesu (dále SPC) nelze v podmínkách jejich procesů aplikova. Teno mylný závěr plyne z neznalosi předpokladů efekivní aplikace klasických Shewharových regulačních diagramů, v lepším případě z absence ověřování splnění ěcho předpokladů a z neznalosi neradičních meod SPC, keré umožňují regulova i procesy, u nichž nejsou uvedené předpoklady objekivně splněny. Dalším závažným problémem je nedosaečná znalos charakeru variabiliy procesu. V první čási příspěvku jsou definovány předpoklady efekivního prakického uplanění klasických meod SPC a věší pozornos je věnována porušení předpokladu o vzájemné nezávislosi da. Ve druhé čási jsou pak diskuovány čyři možnosi, jak problemaiku auokorelace da v rámci SPC řeši. Klíčová slova: auokorelovaná daa, prodloužený konrolní inerval, saisika EWMA, ARIMA modely, dynamický diagram EWMA. 1 Předpoklady o daech a SPC Kromě obecného předpokladu efekivního využívání klasických meod SPC, j. vyhovující způsobilosi měřicího sysému, musí bý splněna řada dalších předpokladů. Tyo další předpoklady lze rozděli na dvě skupiny A) základní saisické předpoklady; B) osaní. Mezi základní saisické předpoklady se řadí: 1. normální rozdělení znaku jakosi s konsanní sřední hodnoou a konsanním rozpylem; 2. vzájemná saisická nezávislos hodno znaku jakosi. Do osaních předpokladů lze zařadi: 3. dosaečný poče da; 4. cilivos na věší změny procesu; 5. sledování pouze 1 znaku jakosi na jednoce produku. 2 Analýza předpokladu vzájemné nezávislosi da Hlavním předpokladem efekivní aplikace klasických Shewharových regulačních diagramů je vzájemná nezávislos hodno sledovaného znaku jakosi. I velmi nízký supeň vzájemné
XXVIII. ASR '2003 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, May 6, 2003 240 závislosi hodno sledovaného znaku jakosi (auokorelace) vyvolává selhání klasických Shewharových regulačních diagramů. Selhání má podobu vysokého poču zbyečných signálů. Teno jev není vůbec výjimečnou záležiosí v případě spojiých procesů, kde je auokorelace vyvolána velkou servačnosí procesu v čase. Sále časějším fenoménem se však vzájemná závislos da sává i v podmínkách diskréních procesů. Důvody lze spařova v auomaizaci výrobních, zkušebních a konrolních posupů, což umožňuje získa daa z každého produku (a je-li o pořebné, nejen jednoho znaku jakosi), edy nejen z výběru n produků odebraných z procesu po uplynuí určié doby T v (konrolního inervalu) od předchozího výběru, jak je obvyklé při realizaci sběru a záznamu da při aplikaci klasických Shewharových diagramů a jejich modifikací. (Pro konrolní inerval T v nuno doplni podmínku, že T v» v, kde v je doba mezi 2 za sebou odebranými jednokami ve výběru - viz obr. 1.) v T V Obr. 1 Zobrazení principu vorby logických podskupin při klasických regulačních diagramech Uvedený problém vzájemné se vyskyuje zejména u diskréních procesů v krákými výrobními cykly a s vysokou výrobní rychlosí, obecně řečeno u procesů s velmi krákým inervalem mezi měřením a záznamem dvou po sobě jdoucích hodno sledované veličiny. Exisuje několik posupů, keré vedou k odsranění auokorelace da a umožňují využií SPC i v podmínkách vzájemné závislosi hodno sledovaného znaku jakosi. Čyři možnosi řešení uvedeného problému jsou diskuovány v další kapiole příspěvku. 3 SPC pro auokorelovaná daa V následujících podkapiolách jsou podrobně rozebrány 4 variany řešení nesplnění předpokladu o nezávislosi da: 1. meoda prodloužení konrolního inervalu; 2. posup s využiím aparáu modelování časových řad pomocí ARIMA modelování; 3. aproximační posup založený na využií saisiky EWMA; 4. dynamický EWMA diagram. První ři variany mají společný základ, kerý lze zobrazi následovně:
XXVIII. ASR '2003 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, May 6, 2003 241 Vsup i-á čás Výsup Vsup Senzor (i+1)-á čás procesu procesu Výsup Původní auokorelovaná daa x 1, x 2,...x... FILTR Nekorelovaná daa x k,x 2k,x 3k.. nebo e 1,e 2,..e x, e Regulační diagram (klasický Shewharův, EWMA, CUSUM) UCL CL LCL 1 2 3... k Číslo výběru (podskupiny) Obr. 2 Zobrazení principu 1.-3. variany odsranění auokorelace da V případě 1. variany předsavuje filr (j. prvek, kerý odsraní z da korelační srukuru ) změna konrolního schémau. Klasický Shewharův regulační diagram pro individuální hodnoy je pak aplikován na každou k-ou hodnou. U druhé variany je filrem vhodný sochasický model časové řady a regulační diagram se aplikuje na rezidua použiého modelu. Ve řeí varianě hraje úlohu filru saisika EWMA. Vybraný regulační diagram se aplikuje na chyby éo jednokrokové predikce. 3.1 Meoda prodloužení konrolního inervalu Jak již bylo diskuováno, možnos získa údaje o sledovaném znaku či několika znacích jakosi z každé jednoky produku přináší ze saisického hlediska překážku v podobě auokorelace da. Nejjednodušším řešením je snížení frekvence saisicky zpracovávaných údajů. Bylo dokázáno, že s prodlužováním inervalu mezi 2 hodnoami sledované veličiny, keré jsou saisicky zpracovávány, klesá míra korelace hodno éo sledované veličiny. V praxi o znamená, že zahrneme-li do zpracování da hodnou sledované veličiny z každé jednoky produku, jsou yo hodnoy za určiých podmínek vzájemně závislé. Zahrneme-li do zpracování da každou k-ou hodnou, pak s rosoucím k se snižuje míra korelace mezi day, až do určié hodnoy k, kdy lze říci, že hodnoy sledované veličiny již spolu nekorelují. To lze posupně pro různé hodnoy k ověřova pomocí grafu kolerace nebo pomocí auokorelační funkce. Uvedené řešení je velmi jednoduché, avšak jeho aplikace znamená, že není využia celá informace, získaná o procesu ze všech naměřených hodno. Jesliže např. zpracujeme každou 10. hodnou, nevyužijeme 90% informace, kerá je k dispozici. Další variany řešení auokorelace předsavují složiější, ale vhodnější řešení.
XXVIII. ASR '2003 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, May 6, 2003 242 3.2 SPC s využiím ARIMA modelů Posaou ohoo řešení je nalezení vhodného modelu časové řady a aplikace regulačního diagramu na rezidua modelu (odchylky skuečně naměřené hodnoy od hodnoy vypočené dle modelu). Jako nejvhodnější se jeví Box-Jenkinsovy sochasické ARIMA modely (Auoregressive Inegraed Moving Average) [8]. Box-Jenkinsonova meodika předsavuje moderní koncepci analýzy sacionárních a nesacionárních časových řad, založenou na eorii pravděpodobnosi. Obecný var modelu ARIMA(p,d,q) je následující: Φ p (B) d x = Θ q (Β) ε (1) kde Φ p (B) = (1- φ 1 Β - φ 2 Β 2 -... - φ p Β p ) je auoregresní polynom p-ého řádu, Θ q (Β) = (1 - θ 1 Β - θ 2 Β 2 -... - θ q Β q ) je polynom klouzavých průměrů q-ého řádu, je operáor zpěné diference (eno prvek se zavádí v případě, že modelovaný proces vykazuje nesacionariu), d je řád diference, B je operáor zpěného posunu ( B.x = x -1 ), φ 1, φ 2,..., φ p jsou paramery auoregresního modelu, θ 1, θ 2,...θ q jsou paramery modelu klouzavých průměrů. ε je proměnná, keré se říká bílý šum a předsavuje nepredikovaelnou flukuaci v daech. Má normální rozdělení se sřední hodnoou rovnou nule a konsanním rozpylem σ 2 p a její hodnoy jsou nekorelované. Je-li xˆ odhad empirické hodnoy x získaný pomocí vhodně zvoleného ARIMA modelu, pak rezidua ohoo modelu e = x -xˆ se budou chova jako nezávislé náhodné proměnné pocházející z normálního rozdělení. Nejčasěji se v praxi používají následující ARIMA modely. Uvažujme model x = ξ + φ + ε (2) x kde ξ a ϕ(-1< φ<1) jsou neznámé konsany a ε je normálně rozdělená a nezávislá veličina se sřední hodnoou rovnou nule a směrodanou odchylkou σ. Teno model se nazývá auoregresní model 1. řádu a označuje se AR(1). Hodnoy sledovaného znaku jakosi, keré jsou navzájem posunué o k časových period (x a x -k ), mají korelační koeficien φ k. To znamená, že auokorelační funkce ACF by měla exponenciálně klesa. Rozšíříme-li rovnici (2) do varu x 1 = ξ + φ1x 1 + φ2 x 2 + ε, (3) dosáváme rovnici auoregresního modelu druhého řádu AR(2). Obecně je v auoregresních modelech AR(p) proměnná x přímo závislá na předchozích hodnoách x -1, x -2, ad. Jesliže modelujeme závislos da pomocí náhodné složky ε, pak dosáváme modely klouzavých průměrů MA(q). Model klouzavých průměrů 1. řádu má rovnici: x = µ + ε θε (4) V omo modelu je nenulová korelace pouze mezi dvěma po sobě jdoucími hodnoami x a x -1 2 a lze ji vyjádři následovně: ρ 1 = θ /( 1 + θ ). Tomu odpovídá var auokorelační funkce ACF (Arl, 1999). 1
XXVIII. ASR '2003 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, May 6, 2003 243 Pro modelování prakických úloh se časo hodí složený model obsahující jak auoregresní složku, ak složku klouzavých průměrů. Teno model se obecně označuje ARMA(p,q). Model ARMA 1. řádu, j. ARMA(1,1) má rovnici: x = ξ + φx 1 + ε -θε -1 (5) Teno model je časo vhodný pro chemické a jiné spojié procesy, kde modelem AR(1) lze velmi dobře modelova mnohé znaky jakosi. Náhodnou složkou modelu jsou pak popsány chyby měření, o kerých předpokládáme, že jsou náhodné a nekorelované. V ARMA modelech se předpokládá sacionaria procesu, zn., že hodnoy sledovaného znaku jakosi se pohybují kolem sabilní sřední hodnoy. Avšak časo se v praxi objevují procesy ( např. v chemickém průmyslu, kde sledovaný znak jakosi x je výsupní veličinou, kerý není žádnou regulací udržován na cílové hodnoě), kde hodnoy sledované veličiny uíkají. Pak je vhodné modelova procesy pomocí vhodného modelu s operáorem zpěné diference, např. modelem ARIMA (0,1,1), jehož rovnice je: x = x 1 + ε θε 1. (6) Modely ARIMA vyhlížejí odlišně od Shewharova modelu ( x = µ + ε pro =1,2 ). Jesliže však do rovnice (2) dosadíme za ϕ = 0 nebo v rovnici (4) za θ = 0, dosaneme Shewharův model procesu. Dalším důležiým krokem při využií ARIMA modelů pro SPC je volba vhodného regulačního diagramu. Je-li esováním reziduí zvoleného ARIMA modelu prokázáno, že jsou nekorelovaná a pocházejí z normálního rozdělení, je možné ověři pomocí reziduí, zda proces je či není saisicky zvládnuý (zda působí nebo nepůsobí vymezielné příčiny). Proože rozsah výběru n = 1 (původní empirické hodnoy x byly zjišěny u každé vyráběné jednoky), nabízí se na prvním mísě dvojice regulačních diagramů pro individuální hodnoy a klouzavé rozpěí. Sřední přímka CL a horní a dolní regulační meze UCL a LCL se u diagramu pro individuální hodnoy sanoví ze vzahů: CL = e( 0), (7) UCL = 3 e + Rkl, 1.128 3 (9) LCL = e Rkl, 1.128 kde e je průměrná hodnoa reziduí, R je průměrné klouzavé rozpěí. kl Sřední přímka CL a regulační meze UCL a LCL v diagramu pro klouzavé rozpěí se určí ako: CL = R, kl (10) UCL = 3.267 R, (11) LCL = 0. (12) Chceme-li zvýši cilivos regulačních diagramů reziduí z ARIMA modelů na menší odchylky, doporučuje se použí obousranný regulační diagram CUSUM (Cumulaive Sums) s rozhodovacím inervalem ±H nebo klasický diagram EWMA, oba aplikované na rezidua (Mongomery, Friedman, 1989). Návrh obousranného diagramu CUSUM spočívá ve sanovení rozhodovacího inervalu ±H a parameru K. Do obousranného regulačního diagramu CUSUM s rozhodovacími mezemi kl (8)
XXVIII. ASR '2003 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, May 6, 2003 244 +H a H, aplikovaného na rezidua, se zaznamenávají hodnoy kumulovaných součů vypočených dle vzorců: S + = max [0, S + -1 + (e - e - K)], (13) S - = min [0, S - -1 + (e - e + K)]. (14) Alernaivním diagramem k výše uvedenému diagramu CUSUM je EWMA diagram pro rezidua. CL, UCL a LCL v omo diagramu vypočeme dle vzahů: CL = e ( 0), (15) R UCL = e + kl λ 2 1 (1 λ ) 1. 128 ( 2 λ ), (16) R LCL = e - kl λ 2 1 (1 λ ) 1. 128 ( 2 λ ) λ (0 < λ < 1) je paramer zapomínání a je vzdálenos regulačních mezí od sřední přímky v poču směrodaných odchylek. Obvykle se doporučuje voli malé hodnoy λ (např. (0.05 λ 0.2) a buď = 2.5 nebo 3 (Mongomery, 2001). Sleduje-li se na jednom produku m znaků jakosi najednou, je možné aplikova na rezidua z m ARIMA modelů Hoellingův T 2 diagram nebo CUSUM či EWMA diagram pro vícerozměrné proměnné (Mongomery, Friedman, 1989). Ukázky regulačního diagramu pro individuální hodnoy a klasického EWMA diagramu, aplikovaných na rezidua ARIMA modelu, jsou na obr. 3a a 3b.. (17) E Obr. 3a Regulační diagram pro individuální hodnoy aplikovaný na rezidua zvoleného ARIMA modelu Obr. 3b EWMA regulační diagram pro rezidua zvoleného ARIMA modelu 3.3 Aproximační posup založený na využií saisiky EWMA Modelování procesu pomocí ARIMA modelů není z prakického hlediska příliš jednoduchou záležiosí, i když dnes každý kvaliní saisický sofwarový balík ARIMA modely obsahuje. Mongomery a Masrangelo (1991) vyvořili návrh posupu, kerý je aproximací přesnějšího ARIMA modelování. Teno aproximační posup je založen na použií saisiky EWMA. V posupu je využio faku, že EWMA může bý za určiých podmínek použio i pro
XXVIII. ASR '2003 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, May 6, 2003 245 auokorelovaná daa. Předpokládejme, že proces můžeme modelova pomocí modelu ARIMA(0,1,1), popsaného rovnicí x = + ε θε. (18) x 1 EWMA s paramerem λ = 1 θ je opimální jednokrokovou predikcí pro modelovaný proces. Konkréně, jesliže xˆ + 1 je předpovědí hodnoy sledované veličiny pro časový okamžik +1, zrealizovanou v časovém okamžiku, pak xˆ 1 + 1 EWMA =.x + ( 1 = λ λ ) EWMA. (19) 1 Chyba éo predikce v časovém okamžiku se sanoví ze vzahu: e = x xˆ, (20) kde x.je hodnoa sledované veličiny v časovém okamžiku, xˆ je odhad hodnoy sledované veličiny v časovém okamžiku provedený v časovém okamžiku -1. Hodnoy chyby predikce mají normální rozdělení s nulovou sřední hodnoou a nejsou korelovány. Saisická regulace procesu je pak realizována ak, že se regulační diagram pro individuální hodnoy aplikuje na chyby jednokrokové predikce e (j. na rezidua modelu EWMA). Paramer λ by měl bý sanoven meodou nejmenších čverců chyb e. Uvedený posup lze použí i na procesy, pro keré by byl vhodnější jiný model než diskuovaný model ARIMA(0,1,1). Obecně plaí, že jesliže hodnoy sledovaného znaku jakosi jsou poziivně korelovány a sřední hodnoa procesu se mění pomalu ( Slow Drif ), pak EWMA s vhodnou hodnoou parameru λ poskyuje výbornou jednokrokovou predikci. (Mongomery, 2001). Společně s regulačním diagramem reziduí by měl bý veden graf jednolivých skuečně naměřených hodno, kam by se souběžně měly zaznamenáva hodnoy EWMA (Mongomery, 2001).Tímo způsobem je informace o saisické zvládnuosi procesu obsažená v diagramu reziduí doplněna o vizualizaci dynamiky procesu a přesnosi odhadů. 3.4 Dynamický EWMA diagram V omo případě obsahuje informaci o saisické zvládnuosi procesu i o dynamice procesu jediný diagram (na rozdíl od předchozí variany, kde je doporučeno vés jak regulační diagram pro rezidua EWMA modelu, ak grafy skuečně naměřených hodno sledované veličiny a odhadů hodno éo veličiny - Mongomery & Masrangelo, 1991) Uvedený dynamický diagram EWMA je vhodný pro jmenované procesy ehdy, když hodnoy sledované veličiny vykazují poziivní auokorelaci a proces má nekonsanní sřední hodnou s pomalými změnami. Překročení regulačních mezí způsobí v omo diagramu pouze náhlá změna sřední hodnoy, malé změny procesu diagram oleruje. Dynamický diagram EWMA poskyuje edy jak informaci o saisické zvládnuosi procesu, ak o jeho dynamice. Princip dynamického EWMA diagramu lze popsa následovně: Je-li saisika EWMA vhodnou jednokrokovou predikcí, pak lze hodnoy EWMA použí jako hodnoy sřední čáry CL v časovém okamžiku +1. Horní a dolní regulační mez lze pak sanovi ze vzahů UCL+ 1 = EWMA + 3σ p, (21) LCL+ 1 = EWMA 3σ p. (22)
XXVIII. ASR '2003 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, May 6, 2003 246 S ěmio regulačními mezemi jsou poom pro posouzení saisické zvládnuosi procesu porovnávány naměřené hodnoy sledovaného znaku jakosi x +1. V dynamickém diagramu EWMA jsou jak sřední čára (nejde o přímku jako u klasických diagramů), ak obě regulační meze dynamické. Určíme je dle vzahů CL + = EWMA, (23) 1 = ŷ + 1 LCL+ 1 = ŷ+ 1 u1 α / 2.ˆ σ p = EWMA u1 α / 2. ˆ σ p, (24) UCL+ 1 = ŷ+ 1 + u1 α / 2.ˆ σ p = EWMA + u1 α / 2. σˆ p, (25) kde u1 α / 2 je kvanil normovaného normálního rozdělení. UCL x k CL LCL č.naměřené hodnoy Obr. 4 Dynamický diagram EWMA 4 Závěr Sekáme-li se při prakické aplikaci SPC v problémem auokorelovanosi da, můžeme využí jedné ze čyř meod diskuovaných v omo příspěvku. Příspěvek obsahuje jak popis jednolivých meod, ak jejich sručné srovnání. 5 Lieraura ARLT, J.1999. Moderní meody modelování ekonomických časových řad. Praha, Grada Publishing, 1999. ISBN 80-7169-539-4. MONTGOMERY D.,C. & FRIEDMAN,D.J.1989. Saisical Process Conrol in a Compuer- Inegraed Manufacuring Environmen. In: Saisical process conrol in auomaed manufacuring. New York, Marcel Dekker, Inc., 1989, pp. 67-89. MONTGOMERY, D.C. & MASTRANGELO, CH. M.1991. Some Saisical Conrol Mehods for Auocorrelaed Daa. Journal of Qualiy Technology, 1991, sv. 23, č. 3, s. 179-193. MONTGOMERY, D.C.: Inroducion o Saisical Qualiy Conrol.2001. J.Wiley & Sons, New York, 2001. 796 s. ISBN 0-471-31648-2.