Matematika pro 9. ročník základní školy Řešení Číselné výrazy 1. Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy 1 není prvočíslo)., 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 8 prvočísel. 18 = 3.3. = 3., 1 = 7.3, 30 = 3..5, 36 = 3.3.. = 3., 4 = 7..3, 5 = 13., 60 =15. 3. 3 1 4 17 = 13. 1 = 13. 3 = 39 = 5 4 17 1 17 17 17 1 4. 4. ( 7 3 7 6 ) = 4. 8 4 8 = 4. 1 = 4 1 = 16 1 = 15 = 3 1 (větší než 3 a menší než 5) 8 4 4 4 4 5. 3 1. 3 +, 5 = 3 7. 3 + 5 = 3 7 + 5 = 30 14+5 = 41 3 5 3 5 5 10 10 6. 7. 1 4 = 6 = 4 15 15 5 4 = 36, 9 81 (4 9 ) = 16, 81 4 = = 54 9 3 81 Mocniny a odmocniny: 8. 0,176. 10 3 + 0,95. 10 + 57. 10-3 = 176 + 9,5 + 0,57 Okomentoval(a): [J1]: Nemusíme sčítat všechny 3 hodnoty (A) 31,5 (B) 147,447 (C) 05,757 (D) 0,77 (E) 15,467 4853. 10-3 + 0, 347. 10 0,00035. 10 5 = 4,853 + 34,7 35 = 4,553 (A) 31,5 (B) 4,553 (C) 195,773 (D) 0,83 (E) 35,467 9. (64 5 ) 3 = (8 ) 15 = (( 3 ) ) 15 = 90 Okomentoval(a): [J]: Umocnění mocniny: exponenty násobíme 10. 10. 0, 04 ( ). ( ) (0,0) = 10. (4.10 ) 4.10 4 ( 8) = + 8 = + 8 1 = 9, 5 0,0008 10 8.10 4 8.10 4 11. 7.5.36 = 7.5.6 4 7.6 4 1 14.6 3.5 5.7.6 3.55 =.53 =.53 = 15 Výrazy 1. x + 4 4x a = x 4x + 4 a = (x ) a = (x + a).(x a) Upravte následující výrazy: Okomentoval(a): [J3]: Vzorec: A AB + B = (A B) Okomentoval(a): [J4]: Vzorec: A B = (A +B).(A B) 1
. x 1 x + x+1 x 1 x+1 = x 1. x+1 = 1 (x 1)(x+1) (x+1).(x+1) (x+1) x ±1 3. ( 4a 8a + ) (1 a+1 1 a 4. ) = 4a+(a+1) a+1 1 a 8a 1 a = 4a+a+ a+1. 1 a 1 9a 1 b y b yb y (3a+1) = a+1 (1+a).(1 a) = (1 a) (1+3a).(1 3a) 1 3a. b y bb y b yb y 3b b by 3b b by 3b b b y y b b y b y 3b 3by b by by 4b 4by b yb y b yb y 4bb y 4b b yb y b y (b y, b y) a ±1, a ± 1 3 5. (x y, x y, x 0) xx y 4. x xy y xx y y 3 x xy x xy x y. x y 1 1 :. 4x 8xy 4y 4 4 x y. x y x y x 6. 3. (x 1) x = 3.[( 3) 1] ( 3) = 3.( 4) + 3 = 1 + 3 = 9 D) 9 7. 16y 4 16 = 16(y 4 1) = 16(y + 1)(y 1) = 16(y + 1)(y + 1)(y 1) A) (y + 1) Procenta, přímá a nepřímá úměra 1. 1ar = 100 m,5 aru = 50 m 50 m 100% 50 m x % x : 100 = 50 : 50 x = 0% 50 m ze,5 aru je 0% A) 0 % Zopakujte si převody jednotek!!!!. Neznámé číslo je 100 % a) Zvětšíme ho o 17 %, dostaneme 100 % + 17 %. Číslo X tedy představuje 117 % neznámého čísla. b) Neznámé číslo zmenšíme o 8 %, dostaneme 100 % 8 % = 9%. Číslo Y představuje 9 % neznámého čísla. X 117 %, Y.9 %, 117 9 = 5 % 5%..50 nebo rovnice: 1,17x 0,9x = 50 1 %.... 0,5x = 50 100%...00 x = 00 Neznámé číslo je 00. A) 00 3. Karel x známek rovnice: x + 1,x = 444 Milan..1,x (o % víc námek),x = 444 x = 00 Milan má 44 známek. B) 44
4. 1. bedna x rovnice: x + 1,x + 1,5x = 1,1. bedna 1,x 3,7x = 1,1 3. bedna 1,4.1,x = 1,5x x = 33 1. bedna 33 kg. bedna 39,6 kg 3. bedna 49,5 kg Třetí bedna vážila 49,5 kg. A) 49,5 kg 5. Před zdražením představuje cena 100 %. 1 %..5368 Kč Po zdražení představuje cena 1 % 1 %...44 Kč 100 %..4400 Kč nebo rovnice: Cena před zdražením..x x + 0,x = 5368 Zdražení o 0,x 1,x = 5368 x = 4 400 Přehrávač stál před zdražením 4 400 Kč C) 4 400 Kč 6. Cena pračky před slevou.x Cena po 1. slevě.0,8x (80 % ceny pračky před slevou) Cena po. slevě.0,8.0,8x (další sleva o 0%, tedy na 80 %) rovnice: 0,8. 0,8x = 7040 0,64x = 7040 x = 11 000 Před první slevou byla cena pračky (B) 11 000 Kč. 7. 360.100 % 108.x % x = 30 % Kruhová výseč představuje 30 % plochy kruhu. B) 30% 3
8. Nepřímá úměra (víc malířů natře stěnu pokoje za kratší čas) 10 malířů 5 hod 0 malířů.x hod x : 5 = 10 : 0 x =,5 hod 0 malířů natře stěnu pokoje za, 5 hodin. Přímá úměra: čím více stěn, tím delší čas: 0 malířů natře 1 stěnu..za,5 hodin 0 malířů natře 5 stěnu..za 5.,5 hodin = 1,5 hod Dvacet malířů natře 5 stěn pokoje za 1,5 hodin. B) 9. Přímá úměrnost: y = kx Souřadnice bodu: [x, y] x = 3 7 y = 9 14 9 14 = k 3 7 /.14 9 = k. 6 k = 3 y = 3 x B) y = 3 x Výpočet obsahu obrazce 1. S.obsah čtverce 3a 3a, S = (3a) = 9a S1 obsah pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami a a a S 1 = 3a.a Obsah vyšrafované části: S S1 = 9a 6a = 3a Obsah vyšrafované části je 3a.. Třetí, nejmenší čtverec je polovinou poloviny 1. 1 = 1 4 Čtverec číslo 3 tvoří ¼, tj. 5 % původního čtverce Tyto 4 trojúhelníky tvoří přesně ½ původního čtverce. 4 3. Obsah obdélníku ABCD 4 14 cm je S = 336 cm Obsah trojúhelníku DAX s odvěsnami 14 cm a 1 cm S1= 84 cm D A 1/4 X 1/4 1/8 C Y B A
Obsah trojúhelníku YCD s odvěsnami 7 cm a 4 cm S= 84 cm Obsah trojúhelníku DAX s odvěsnami 7 cm a 1 cm S1= 4 cm Obsah trojúhelníku XYD S4 = S (S1 + S + S3) = 16 cm 336 100 % 16..x % x = 37,5 % Obsah trojúhelníku XYD tvoří 37,5 % obdélníku ABCD. Jiný postup: 1 ( 1 + 1 + 1 ) = 3, tj. 37,5 % 4 4 8 8 Pravoúhlý trojúhelník 1. Délky stran pravoúhlého trojúhelníku musí splňovat Pythagorovu větu: 5 = 4 + 3 C) 3, 4, 5. Zadané strany jsou buď dvě odvěsny nebo kratří strana je odvěsna a delší přepona. a) délky jsou odvěsny a, b, přepona je c: c = 6 + 8 c = 10 cm b) délky jsou odvěsna (např. b) a přepona (c ): a = 8 6 a = 5,3 cm Třetí strana trojúhelníku má velikost 10 cm nebo 5,3 cm. 3. V rovnoramenném pravoúhlém trojúhelníku platí: c = 30 + 30 c = 1 800 =. 3. 10 = 30 Přepona je dlouhá A) 3 cm. 4. Kružnice je Thaletova kružnice, trojúhelník FGE je tedy pravoúhlý, s pravým úhlem při vrcholu G a platí v něm Pythagorova věta. Poloměr kružnice je polovina přepony tohoto trojúhelníku. r = 1 + 5 = 169 = 6,5 cm Poloměr kružnice je 6,5 cm. B) 5
Další příklady 1. K dědečkovi a babičce do velkého stavení na venkově přijely všechny jejich děti i se svými dětmi. Ty vyběhly na svah za stodolou a celé odpoledne sáňkovali a lyžovali. Když přiběhly na svačinu a čaj, bylo v předsíni poházeno 68 kusů bot, 5 sáněk a 8 kusů lyží. Kolik dětí mělo s sebou na kopci sáňky i lyže? ( Každé dítě má buď sáňky, nebo lyže, nebo oboje.) celkem dětí: 68 ks bot 34 dětí sáňky (s) i lyže (l).x dětí rovnice: s + l + x = 34 5 sáňky...s + x = 5 5 x + 14 x + x = 34 14 lyže (8 kusů lyží!!) l + x = 14 39 x = 34 x = 5 Sáňky i lyže mělo 5 dětí.. Malá firma má 5 zaměstnanců, z toho 1 zaměstnanců má řidičský průkaz, 8 zaměstanců má svářečský průkaz. 10 zaměstnanců nevlastní ani jeden z těchto průkazů. Kolik zaměstnanců firmy má svářečský i řidičský průkaz zároveň? Firma má 5 zaměstnanců oba x ř + s + x + 10 = 5 1 má řidičský průkaz (ř) ř + x = 1 1 x + 8 x + x + 10 = 5 8 má svářečský průkaz (s) s + x = 8 30 x = 5 10 ani jeden x = 5 Svářečský i řidičský průkaz zároveň má 5 zaměstnanců firmy. Lineární rovnice 1. (y 3) 1 = 3 ( y + 1) + y 1 y 6y + 9 1 = 6y 3 + y 1 6y + 8 = 6y 4 1y = 1 y = 1 K={1}. a 14 a 7 = 3 /. (a 7) podmínky: a 7 0, a 7 a 14 = 3(a 7) a 14 = 3a +1 5a = 35 a = 7 K={ } rovnice nemá řešení 6
7
8
9