CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 3 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

2 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jsou dány intervaly A = ( ; 2), B = 1; 3, C = 0; ) Zapište intervalem množinu (A B) C. 1.2 Zapište intervalem množinu B A. 2 V oboru reálných čísel řešte rovnici x 3 = 5 x. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 x 2 y 2 Je dán výraz V = 3x2 y x 2y 1. x y Zjednodušte výraz V. 3.2 Určete hodnotu výrazu V pro x = 2, y = 1. max. 3 body VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Body A, B na obrázku představují pozici dvou hokejistů vzhledem k mantinelu m. Hráč A přihraje hráči B puk odrazem o mantinel tak, že odchylka dráhy puku od stěny mantinelu bude po odražení Určete v metrech délku dráhy, kterou puk urazil. 4.2 Určete vzdálenost hráčů A, B. max. 3 body 2 Maturita z matematiky ZD

3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Mladí manželé využili k nákupu bytu výhodnou hypotéku Kč úročenou jen 4 % p. a. Již dva roky každý měsíc splácejí Kč. Banka úročí dluh a připisuje splátku jednou ročně v den sjednání hypotéky O kolik korun je dluh nižší po první splátce? 5.2 Kolik korun bance dluží po dvou letech splácení? max. 3 body VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 8 Společnost provozující síť mobilních telefonů nabízí dva nové programy služeb OPTIMUM a STANDARD. Do reklamního letáku chce vložit graf znázorňující závislost výše měsíční platby na počtu provolaných minut a stručný komentář, který bude obsahovat informace o měsíčním paušálu, počtu volných minut a ceně za jednu provolanou minutu nad rámec volných minut. 6 Určete měsíční paušál programu STANDARD. 1 bod 7 Určete v programu OPTIMUM cenu jedné minuty provolané navíc. 8 Vypočítejte maximální počet provolaných minut za měsíc, při kterém je výhodnější využívat služeb programu STANDARD. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Počítačový program náhodně vytváří přirozená trojciferná čísla. Maturita z matematiky ZD 3

4 9 9.1 Jaká je pravděpodobnost, že vytvořené číslo končí trojkou? 9.2 Jaká je pravděpodobnost, že vytvořené číslo je dělitelné pěti? VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK 10 Bazén na obrázku má hloubku h, šířku a, délku b. Svislé vnitřní rohy jsou zakulacené s poloměrem křivosti r. max. 3 body Vyjádřete pomocí délky r, oč by se zmenšil půdorys původně obdélníkového bazénu zakulacením jednoho svislého rohu Určete objem vody v bazénu plném po okraj pomocí délek a, b, h, r. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 11 Funkce je dána grafem. 11 Kterou dvojici vlastností má funkce na intervalu 3; 3? A) spojitá a rostoucí B) nespojitá a klesající C) spojitá a klesající D) nespojitá a prostá E) nespojitá a lichá 2 body 4 Maturita z matematiky ZD

5 12 Přímka p je určena rovnicí 3x + y 6 = 0. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 12.1 Přímka p je rovnoběžná s přímkou m: x 3y + 6 = Přímka p je kolmá k přímce n: x 3y + 6 = Přímka p je kolmá k přímce o: x = y Přímka p prochází bodem M [1; 3]. 13 Vrcholy trojúhelníku ABC tvoří body se souřadnicemi A [1; 1], B [2; 1] a C [3; 2]. Jaké vlastnosti trojúhelník ABC má? A) je rovnoramenný, ostroúhlý B) je rovnoramenný, pravoúhlý C) je rovnostranný D) je rovnoramenný, tupoúhlý E) nemá žádnou z uvedených vlastností 2 body VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE Maturita z matematiky ZD 5

6 max. 4 body 14 Přiřaďte grafu každé goniometrické funkce na obrázcích nejvhodnější funkční předpis z možností A F: A) y = sin x B) y = 2 cos x C) y = sin x D) y = tg x E) y = cotg x F) y = cos x 15 Je dána nerovnice x + 1 x body Nerovnici vyhovují právě všechna reálná čísla x, pro která platí: A) x 1; ) B) x 1; 1 C) x 1; 1) D) x ( ; 1) E) x ( ; 1) KONEC TESTU 6 Maturita z matematiky ZD

7 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jsou dány intervaly A = ( ; 2), B = 1; 3, C = 0; ) Zapište intervalem množinu (A B) C. Čísla, která patří množině A nebo patří množině B, jsou čísla ( ; 3. Čísla, která patří množině A B a zároveň patří množině C, jsou čísla 0; 3. Množiny A, B můžeme případně znázornit na reálné ose a řešit úlohu nejprve graficky. Řešení: (A B) C = 0; Zapište intervalem množinu B A. Čísla, která patří množině B a nepatří množině A, jsou čísla <2; 3>. Množiny A, B můžeme případně znázornit na reálné ose a řešit úlohu nejprve graficky. Řešení: B A = 2; 3 2 V oboru reálných čísel řešte rovnici x 3 = 5 x. Absolutní hodnotu odstraníme podle definice. Pro všechna x 3 je x 3 = x 3 a rovnice bude mít tvar x 3 = 5 x. Jejím řešením je číslo x = 4, které podmínku x 3 splňuje. Pro všechna x < 3 je x 3 = x + 3 a rovnice bude mít tvar x + 3 = 5 x. Tato rovnice nemá řešení. Řešení: x = 4 Maturita z matematiky ZD 7

8 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 x 2 y 2 Je dán výraz V = 3x2 y x 2y 1. x y Zjednodušte výraz V. max. 3 body Sečteme zlomky ve jmenovateli a dělení zlomků převedeme na násobení. Po rozkladu čitatele prvního zlomku krátíme: x 2 y 2 V = 3x2 y x 2y 1 = x y = x 2 y 2 3x2 y 2 = x2 y2 y + x xy (x y) (x + y) xy x y = 3x 2 y 2 y + x 3xy 3x2 y xy = 2 x + y x y Řešení: V = 3xy 3.2 Určete hodnotu výrazu V pro x = 2, y = 1. Výpočet hodnoty výrazu pro x = 2, y = 1 lze provést dosazením do zadaného nebo zjednodušeného výrazu. Řešení: V = 1 6 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Body A, B na obrázku představují pozici dvou hokejistů vzhledem k mantinelu m. Hráč A přihraje hráči B puk odrazem o mantinel tak, že odchylka dráhy puku od stěny mantinelu bude po odražení Maturita z matematiky ZD

9 4 4.1 Určete v metrech délku dráhy, kterou puk urazil. max. 3 body Pro odraz puku od mantinelu platí, že úhel odrazu je stejný jako úhel dopadu. Protože úhel AOA 0 je 45, je úhel BOB 0 také 45. Pravoúhlé trojúhelníky AA 0 O, BB 0 O jsou rovnoramenné a jejich přepony mají délky 3 2 m, 2 2 m. Řešení: 5 2 m 4.2 Určete vzdálenost hráčů A, B. Trojúhelník AOB je pravoúhlý. Jeho vnitřní úhel AOB je součtem úhlu dopadu 45 a úhlu odrazu 45. Vzdálenost hráčů AB vypočteme podle Pythagorovy věty jako délku přepony AB trojúhelníku s délkami odvěsen 3 2 m, 2 2 m. Řešení: 26 m VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Mladí manželé využili k nákupu bytu výhodnou hypotéku Kč úročenou jen 4 % p. a. Již dva roky každý měsíc splácejí Kč. Banka úročí dluh a připisuje splátku jednou ročně v den sjednání hypotéky O kolik korun je dluh nižší po první splátce? max. 3 body Dluh se zvýší o čtyřprocentní úrok Kč a zmenší se o roční splátku Kč. Řešení: Kč Maturita z matematiky ZD 9

10 5.2 Kolik korun bance dluží po dvou letech splácení? Úlohu lze řešit užitím vhodného vztahu z finanční matematiky nebo si vztah odvodit postupným vyjádřením dlužné částky nejprve na konci prvního a pak druhého roku. Je možné řešit úlohu jen numericky nebo nejprve obecně a po zjednodušení dosadit. Řešení: I 2 = Kč VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 8 Společnost provozující síť mobilních telefonů nabízí dva nové programy služeb OPTIMUM a STANDARD. Do reklamního letáku chce vložit graf znázorňující závislost výše měsíční platby na počtu provolaných minut a stručný komentář, který bude obsahovat informace o měsíčním paušálu, počtu volných minut a ceně za jednu provolanou minutu nad rámec volných minut. 6 Určete měsíční paušál programu STANDARD. 1 bod Volné jsou minuty, které lze provolat bez navýšení měsíčního paušálu. Jejich maximální počet je evidentní z grafu. Řešení: 200 Kč 7 Určete v programu OPTIMUM cenu jedné minuty provolané navíc. Odečtením souřadnic dvou vyznačených bodů na grafu lze vypočítat cenu jedné minuty provolané nad limit volných minut. Řešení: 5 Kč 10 Maturita z matematiky ZD

11 8 Vypočítejte maximální počet provolaných minut za měsíc, při kterém je výhodnější využívat služeb programu STANDARD. Výpočet lze provést určením rovnice funkce pro rostoucí část grafu popisujícího program STANDARD. Ten je pro volání výhodnější, pokud je vyjádřená funkční hodnota menší než 400. Rostoucí část grafu programu STANDARD prochází body [30; 200], [80; 500] a je lineární. Dosazením do obecné rovnice lineární funkce y = ax + b odvodíme rovnici y = 6x Řešením nerovnice 6x + 20 < 400 vypočteme maximální počet provolaných minut za měsíc, kdy je ještě program STANDARD výhodnější než OPTIMUM. Řešení: 63 minut VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Počítačový program náhodně vytváří přirozená trojciferná čísla Jaká je pravděpodobnost, že vytvořené číslo končí trojkou? Počet všech trojciferných čísel je 900. Počet trojciferných čísel s trojkou na místě jednotek je 90. Pravděpodobnost náhodného výběru trojciferného čísla s trojkou na místě jednotek je podílem počtu trojciferných čísel požadované vlastnosti a počtu všech trojciferných čísel. Řešení: Pravděpodobnost je 0, Jaká je pravděpodobnost, že vytvořené číslo je dělitelné pěti? Počet všech trojciferných čísel je 900. Počet trojciferných čísel dělitelných pěti je 180 (každé páté je dělitelné pěti). Pravděpodobnost náhodného výběru trojciferného čísla dělitelného pěti je podílem počtu trojciferných čísel požadované vlastnosti a počtu všech trojciferných čísel. Řešení: Pravděpodobnost je 0,2. Maturita z matematiky ZD 11

12 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Bazén na obrázku má hloubku h, šířku a, délku b. Svislé vnitřní rohy jsou zakulacené s poloměrem křivosti r. max. 3 body Vyjádři pomocí délky r, oč by se zmenšil půdorys původně obdélníkového bazénu zakulacením jednoho svislého rohu. Zmenšení půdorysu bazénu zaoblením jednoho svislého rohu můžeme vyjádřit jako rozdíl obsahu čtverce o straně r a čtvrtkruhu s poloměrem r. Řešení: r πr Určete objem vody v bazénu plném po okraj pomocí délek a, b, h, r. Bez zaoblení vnitřních rohů by byl objem vyjádřen jako a b h. Zmenšení půdorysu bazénu zaoblením svislých rohů můžeme vyjádřit jako rozdíl obsahu 4 čtverců o straně r a 4 čtvrtkruhů s poloměrem r. Řešení: V = h[ab (4r 2 πr 2 )] = abh 4r 2 h + πr 2 h VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 11 Funkce je dána grafem. 12 Maturita z matematiky ZD

13 11 Kterou dvojici vlastností má funkce na intervalu 3; 3? A) spojitá a rostoucí B) nespojitá a klesající C) spojitá a klesající D) nespojitá a prostá E) nespojitá a lichá 2 body Podle grafu je funkce evidentně nespojitá a prostá. Není lichá, graf není souměrný podle počátku. Řešení: D 12 Přímka p je určena rovnicí 3x + y 6 = 0. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 12.1 Přímka p je rovnoběžná s přímkou m: x 3y + 6 = Přímka p je kolmá k přímce n: x 3y + 6 = Přímka p je kolmá k přímce o: x = y Přímka p prochází bodem M [1; 3]. Normálový vektor přímky p má souřadnice (3; 1). Přímka m má normálový vektor ( 1; 3). Přímky p, m nejsou rovnoběžné, protože (3; 1) k( 1; 3). Přímka n má normálový vektor (1; 3). Platí (3; 1) (1; 3) = 0, je tedy přímka n kolmá na přímku p. Přímka o má normálový vektor (1; 1). Není ani kolmý ani rovnoběžný s vektorem (3; 1). Dosazením zjistíme, že souřadnice bodu M rovnici přímky p vyhovují. Řešení: NE, ANO, NE, ANO 13 Vrcholy trojúhelníku ABC tvoří body se souřadnicemi A [1; 1], B [2; 1] a C [3; 2]. Jaké vlastnosti trojúhelník ABC má? A) je rovnoramenný, ostroúhlý B) je rovnoramenný, pravoúhlý C) je rovnostranný D) je rovnoramenný, tupoúhlý E) nemá žádnou z uvedených vlastností 2 body Maturita z matematiky ZD 13

14 Pomocí souřadnic bodů A [1; 1], B [2; 1], C [3; 2] nejprve určíme souřadnice vektorů: A B = ( 1; 2), C B = (1; 3), C A = (2; 1). Zjistíme, že vektory A B, C A mají stejnou velikost a jejich skalární součin je roven 0. Řešení: B VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE Maturita z matematiky ZD

15 max. 4 body 14 Přiřaďte grafu každé goniometrické funkce na obrázcích nejvhodnější funkční předpis z možností A F: A) y = sin x B) y = 2 cos x C) y = sin x D) y = tg x E) y = cotg x F) y = cos x Funkce 14.1 nabývá maxima pro x = 0, z nabídky vyhovuje jen funkce y = cos 2x. Funkce 14.2 má pro x = 0 hodnotu 0. To platí o funkci y = sin x, ta ale v okolí bodu x = 0 neklesá. Proto rovnicí zobrazené funkce je y = sin x. Funkce 14.3 je neomezená a nespojitá. Protože je klesající a nespojitá v bodě x = 0, vyhovuje jí rovnice y = cotg x. Funkce 14.4 je také neomezená a nespojitá, ale pro x = 0 má hodnotu 0. Z výběru jí odpovídá funkce y = tg x, protože v okolí bodu x = 0 klesá. Řešení: B, C, E, D 15 Je dána nerovnice x + 1 x body Nerovnici vyhovují právě všechna reálná čísla x, pro která platí: A) x 1; ) B) x 1; 1 C) x 1; 1) D) x ( ; 1) E) x ( ; 1) x + 1 x + 1 x + 1 Nerovnici 1 anulujeme). Nerovnici 0 upravíme na podílový tvar 0. Úvahou nebo řešením metodou nulových bodů určíme, že x x 1 x nerovnici vyhovují právě všechna čísla menší než 1. Řešení: D KONEC TESTU Maturita z matematiky ZD 15

16 16 Maturita z matematiky ZD

17 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 10 jsou otevřené. 3) Úlohy jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka Úloha Správné řešení Počet bodů (A B) C = 0; 3 1 bod 1.2 B A = 2; 3 1 bod 2 x = x y V = 3xy 3.2 V = bod m m 1 bod Kč 1 bod 5.2 I 2 = Kč Kč 1 bod 7 5 Kč /1min minut ,1 1 bod 9.2 0,2 1 bod r πr = r 2 (1 1 4 π) 1 bod 10.2 V = h[ab (4r 2 πr 2 )] = abh 4r 2 h + πr 2 h Maturita z matematiky ZD 17

18 11 D 2 body NE 12.2 ANO 12.3 NE 12.4 ANO 13 B 2 body B 14.2 C 14.3 E 14.4 D 15 D 2 body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 18 Maturita z matematiky ZD

19 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 10 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka Úloha Správné řešení Počet bodů bod bod bod bod bod bod bod bod bod 10.2 Maturita z matematiky ZD 19

20 11 2 body body body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 20 Maturita z matematiky ZD