Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b, a. b, a : b, je-li a = 7 + i, b = - + 3i II. Pomocí Moivreovy věty umocněte a vyjádřete v algebraickém tvaru komplexní číslo i 5 3.Algebraické výrazy. I. Stanovte definiční obor výrazů: a) x.( x ) b) log (8x + ) c) 3x II. Uveďte základní vzorce pro umocňování a rozklady mnohočlenů. Umocněte: (3a + b ) = 4.Množiny bodů daných vlastností, shodná zobrazení v rovině. I. Konstrukční úloha a její části. Sestrojte trojúhelník, je-li dáno: c = 4 cm, γ = 60 0, v c = 3 cm. II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. 5.Podobnost,podobná zobrazení v rovině. I. Sestrojte úsečku a = pomocí Euklidových vět. II. Vypočítejte délky stran pravoúhlého trojúhelníka ABC (s pravým úhlem při vrcholu C), je-li dáno t a = 8 cm, t b = cm.
6.Rovinné obrazce. I. Do kružnice o poloměru r = 9 mm je vepsán pravidelný šestiúhelník. Vypočítejte obsah úseče ohraničené stranou šestiúhelníku a kružnicí. II. Délky dvou soustředných kružnic jsou 30 cm a 0 cm. Vypočítejte obsah mezikruží vytvořeného těmito kružnicemi. 7.Lineární funkce, lineární rovnice a jejich soustavy. I. Definice absolutní hodnoty reálného čísla; graf lineární funkce s absolutní hodnotou. Sestrojte graf funkce f: y = 3x + pro x є (-, 4) II. Postup při řešení slovní úlohy Otec vyjel na chatu ráno v 7:00 hod. průměrnou rychlostí 48 km.h -. V 7:30 hod. za ním vyjel syn na motocyklu průměrnou rychlostí 60 km.h -. V kolik hodin dostihne syn otce? Jak daleko musí ještě jet od okamžiku setkání, je-li chata vzdálená od domu 38 km? 8.Kvadratická funkce, kvadratické rovnice. I. Určete kvadratickou funkci, které náleží tyto uspořádané dvojice [;-35], [0;-], [-;-5] II. Určete nejmenší hodnotu funkce f: y = 4x - 4x + 7 9.Nepřímá úměrnost. I. Načrtněte graf funkce f: y = ; určete definiční obor a obor funkčních hodnot, x rozhodněte, zda je funkce rostoucí či klesající. II. Graf funkce nepřímá úměrnost a analytické vyjádření rovnoosé hyperboly s asymptotami v osách x, y; souřadnice ohnisek. Napište rovnici rovnoosé hyperboly, jestliže víte, že na ní leží bod B = [-;56]. Určete souřadnice ohnisek.
0.Nerovnice a jejich soustavy. x I. Řešte nerovnici v R: 3 x < 5 4x 7 II. Řešte graficky nerovnici.n-tá odmocnina, rovnice s neznámou pod odmocninou. 3 3 I. Částečně odmocněte a sečtěte 50 54 6 3 8 II. Řešte v R rovnici a proveďte zkoušku 37 x + 5 = x.exponenciální funkce a exponenciální rovnice. 5 m I. Pro která m je funkce rostoucí, klesající, konstantní? y = 7 II. K funkci y = 3 x najděte funkci inverzní. Načrtněte grafy obou funkcí. x 3.Logaritmická funkce,logaritmus,logaritmická rovnice. I. Určete výraz, jehož logaritmováním dostanete: (log3 log a 4log b) 5 II. Řešte rovnici: log x log x 5 = 0 4.Goniometrické funkce. I. Zobrazení množiny R na jednotkovou kružnici. Na jednotkovou kružnici zobrazte číslo m = 5,. II. Aniž počítáte velikost úhlu alfa, určete hodnoty ostatních goniometrických funkcí, je-li dáno: cos α = 0,5 a α є (,5π; π) 3
5.Goniometrické rovnice. I. Řešte goniometrickou rovnici tg x = - 3 II. Řešte rovnici cos x = cos x 6.Řešení trojúhelníka. I. V trojúhelníku ABC jsou dány velikosti stran v cm. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů. a = 6; b = 5; c = 36 II. Na vrcholu kopce stojí rozhledna 35 m vysoká. Patu i vrchol vidíme z určitého místa v údolí pod výškovými úhly o velikosti α = 8 0 a β = 3 0. Jak vysoko je vrchol kopce nad rovinou pozorovacího místa? 7.Stereometrie-hranoly a jehlany. I. Jaká je odchylka stěn pravidelného čtyřstěnu? II. Kvádr má objem 3 cm 3. Jeho plášť má dvojnásobný obsah než jedna ze čtvercových podstav. Jakou délku má tělesová úhlopříčka? 8.Stereometrie-rotační tělesa. I. Vypočtěte poloměry podstav r a r komolého rotačního kužele, je.li jeho strana s = r + r, tělesová výška v = dm a úhel strany s podstavou je α = 45 0. II. Ploskovypuklá čočka o průměru 5,4 cm má největší tloušťku, cm a hmotnost 35 g. Jakou hustotu má materiál z něhož je vyrobena? 9.Analytická geometrie přímky v rovině. I. Je dána přímka p: x = -t y = t a) určete směrový a normálový vektor přímky p. b) napište obecnou rovnici přímky p c) zapište přímku p ve směrnicovém tvaru, určete směrový úhel II. Určete odchylku přímky p z předchozího příkladu a přímky q: 3x + y 8 = 0 Určete průsečík těchto přímek. 4
0.Analytická geometrie roviny. I. Určete vzájemnou polohu rovin: α: x + 5y 8 = 0 β: x = + t + s y = t z = - + t + 3s II. Z bodu M veďte přímku kolmou na danou rovinu. M = [3; ; -], x + y + 3z 30 = 0.Analytická geometrie elipsy a kružnice. I. Napište rovnici kružnice se stejným poloměrem jako má kružnice daná rovnicí: X + y + 4x = 0 a se středem v bodě S = [-3, ] II. Napiš osovou rovnici elipsy se středem S v počátku soustavy souřadnic a procházející body M = [4; -], N = [-; 4].Analytická geometrie hyperboly a paraboly. I. Napište osovou rovnici hyperboly 9x 5y 50y 50 = 0 Určete souřadnice středu hyperboly, ohnisek a vrcholů. Napište rovnice asymptot této hyperboly. II. Napište vrcholovou rovnici paraboly, která má vrchol V = [; - 3] a prochází bodem R = [5; - 9]. 3.Kombinatorika,binomická věta. I. Kolik různých prvků dá 350 variací druhé třídy bez opakování? II. Určete sedmý člen rozvoje výrazu: (x x - ) 9 4.Geometrická posloupnost. I. Světelný paprsek ztrácí při průchodu skleněnou deskou 5 své intenzity. Jaká je intenzita paprsku po průchodu 5-ti stejnými deskami? II. Mezi čísla 8 a 6 vložte dvě čísla tak, aby s danými čísly tvořila geometrickou posloupnost. 5
5.Aritmetická posloupnost. I. Prvních pět členů aritmetické posloupnosti dává součet 30 a součet jejich čtverců je 0. Určete tuto posloupnost. II. Průměry jednotlivých kotoučů u stupňové řemenice tvoří aritmetickou posloupnost. Určete průměry vnitřních kotoučů u čtyřstupňové řemenice s průměry krajních kotoučů 400 mm a 30 mm. 6.Posloupnosti a řady, limita posloupnosti, limita funkce. I. Vypočítejte limitu funkce: x lim x x 3x II. Závitnice byla sestrojena ze čtvrtkružnic o poloměrech r, 4 3 r, 6 9 r,.... Určete její délku. 7.Funkce, limita funkce, derivace funkce. I. Určete první derivaci funkce y = sin x II. Ve kterých bodech má tečna křivky, která je dána rovnicí y = x 3, směrnici k = 3. 8.Extrémy funkcí, vyšetření průběhu funkce. I. Popište postup při vyšetřování průběhu funkce. II. Určete extrémy funkce f: y = x 4 + x - 0 9.Pravděpodobnost a statistika. I. Ve skladu laboratorního skla je 60 stejně velkých baněk, z nichž je 6 nesprávně ocejchováno. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme 4 správně ocejchované baňky? II. Vypočítejte medián, modus a aritmetický průměr ze souboru hodnot: 8, 3, 6,, 4, 3, 3,,, 6
30.Neurčitý a určitý integrál. x I. Vypočítejte metodou per partes: x. e dx II. Vypočítej obsah obrazce ohraničeného parabolou y = x + a přímkou x + y 8 = 0 7