Pružnost a plasticita II DD6 Lud ě k Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky tel: 541147368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah p edm tu 1. přednáška spolehlivost konstrukcí výpočtové modely základní veličiny pružnosti základní vztahy pružnosti nelineární pružnost 2. přednáška t ě leso (základní veličiny a vztahy) prut (základní veličiny a vztahy) 3. přednáška st ě ny (základní veličiny a vztahy) desky (základní veličiny a vztahy) skořepiny 4. přednáška metody řešení přesné, přibližné variační metody Ritzova metoda, Metoda konečných prvků 1
Spolehlivost konstrukcí - Eurokódy Mezní stavy únosnosti EQU - ztráta stability tělesa jako celku STR - porušení konstrukce překročením pevnosti materiálu GEO - porušení nebo nadměrné přetvoření základové p ů dy FAT - porušení konstrukce únavou materiálu Mezní stavy použitelnosti posuzuje se: deformace kmitání poškození z hledisek: vzhled (není u kmitání) pohoda uživatel ů provozuschopnost Spolehlivost konstrukcí - Eurokódy Návrhové situace trvalá (běžný provoz) dočasná (výstavba, rekonstrukce) mimořádná (výbuch, požár, náraz) seismická (zemětřesení) 2
č Spolehlivost konstrukcí - Eurokódy 1. první mezní stav základní podmínka Ed R d E d návrhová hodnota účinku zatížení R d návrhová hodnota příslušné únosnosti E d = (F d, a d ) F d návrhová hodnota zatížení a d návrhová hodnota rozměr ů R d = (X d, a d ) X d návrhová hodnota vlastností materiálu Spolehlivost konstrukcí - Eurokódy Vlastnosti materiálů X k X d = η γ M etnost výskytu střední hodnota X Charakteristická hodnota Xk Návrhová hodnota Xd 5 % plochy 5 % kvantil materiálová vlastnost X (např. pevnost) η pr ů měrná hodnota převodního součinitele, kterým se zohledňuje vliv rozměr ů vliv vlhkosti a teploty γ M dílčí součinitel vlastností materiálu, který zohledňuje nepříznivé odchylky vlastností od charakteristické hodnoty 3
Spolehlivost konstrukcí - Eurokódy Geometrické údaje a d = a nom pokud vliv odchylek geometrie není významný a d = a nom ± a pokud vliv odchylek je významný (například imperfekce prutů pro namáhání vzp ě rem) Spolehlivost konstrukcí - Eurokódy Zatížení Označení: G,g stálá Q,q proměnná P A A E předpínací síla mimořádné seismické F k charakteristická hodnota zatížení určitá charakteristika skutečného výskytu zatížení F rep representativní hodnota zatížení ψf k ψ součinitel vyjadřující současnost působení prom ě nných zatížení --> kombinace F d γ f návrhová hodnota zatížení daná γ f F rep dílčí součinitel zatížení (zajiš ť uje spolehlivost návrhu) F d =γ G G k +γ Q ψq k 4
Pružnost a plasticita Úkol pružnosti: na základě geometrických údaj ů, vlastností materiálu, zatížení a podepření stanovit účinek zatížení ve formě vnitřních sil, napětí, deformací, přemístění konstrukce. Určení únosnosti a vlastní posouzení je spíše předmětem obor ů betonové, zděné, ocelové a dřevěné konstrukce. Výpo tový model konstrukce Idealizace konstrukce Tvorba výpočtového modelu zahrnuje idealizaci: tvaru materiálu okrajových podmínek zatížení Typy model ů konstrukcí těleso (3D) prut (1D) stěna (2D - zatížení a podepření v rovině střednicové plochy) deska (2D - zatížení a podepření kolmo na rovinu střednicové plochy skořepina (2D - střednicová plocha není rovinná) 5
Výpo tový model konstrukce 3D modely nejvěrohodnější, bez dalších zjednodušujících geometrických předpoklad ů, ale obtížně řešitelné přesnými postupy neřešitelné pracuje se s napětími a poměrnými přetvořeními 2D, 1D modely zavádí geometrické předpoklady, kterými se redukuje jeden nebo dva méně významné rozměry. 1D modely a vybrané 2D modely lze řešit přesně v rámci lineární pružnosti pracuje se integrálními hodnotami napětí po pr ů řezu - vnitřními a měrnými vnitřními silami a deformacemi pr ů řezu. kromě posunutí se jako přemístění zavádí také pootočení pr ů řezu Zatížení silové tíha konstrukcí, předmět ů, sněhu... tlaky větru, zemin, kapalin, sypkých hmot... p ů sobení jiných těles deformační vynucená přemístění (poklesy základů), zrychlení teplotní deformace deformace od smrš ť ování a dotvarování silové zatížení osamělá břemena F [kn], M [knm] liniová zatížení n,q [kn.m -1 ], m [kn] plošné tlaky q [kn.m -2 ] objemové síly (od vlastní tíhy) X [kn.m -3 ] 6
Základní veli iny Přemíst ě ní vyjadřují změnu polohy (posun) daného bodu tělesa vlivem zatížení pro 1D a 2D modely jsou definovány přemístění celého pr ů řezu ve formě posun ů u a pootočení ϕ (úhel natočení pr ů řezu vlivem zatížení) u u,(u ) y,v v A A φy w, (u z),u po deformaci y z p ř ed deformací,u Základní veli iny Deformace (poměrná přetvoření) vyjadřují relativní délkové a úhlové změny vyvolané zatížením poměrné protažení l = l zkosení l l γ = α + β β α 7
Základní veli iny Vnitřní síly jsou vyvolané vnějším zatížením jsou definovány na řezu tělesem vyjadřují vzájemné p ů sobení dvou částí těles oddělených řezem z principu akce a reakce uvádějí do rovnováhy jednotlivé části těles oddělené řezem síly jsou v rovnováze síly jsou opačné Základní veli iny Napětí vyjadřují míru silového namáhání daného bodu pr ů řezu normálová napětí (p ů sobí kolmo na plochu řezu): N σ = lim A 0 A smyková napětí (p ů sobí v ploše řezu): T τ = lim A 0 A Τ myšlený ř ez tělesem F Ν A-element plochy 8
Základní vztahy 1. Fyzikální vztahy - vztah napětí deformace (σ ) lineárně pružný materiál - Hookův zákon deformace od normálového napětí σ = E pro ostatní směry σ y = z = υ = υ E smykové napětí τ y γ y = G materiálové charakteristiky: E... Young ů v modul pružnosti ν... Poisson ů v součinitel příčné kontrakce G... modul pružnosti ve smyku σ τ y =τ y σ τ y d d ' τ y =τ y d τ σ d y po deformaci d y' γ y deformaci γ y po y dy Základní vztahy 2. Geometrické vztahy vyjadřují závislost mezi přemístěními a deformacemi ( u - ) odvodí se z geometrických závislostí na elementu tělesa který deformací změní tvar u = v y = y v u γ y = + y 9
Základní vztahy 3. Statické rovnice diferenciální podmínky rovnováhy vyjadřují silovou nebo momentovou rovnováhu na diferenciálním elementu tělesa. pro těleso je to vztah mezi napětími a objemovými silami (σ - X) pro 1D a 2D se obvykle vyjadřují ve vztahu vnitřních sil a zatížení (N - q) napětí jsou definovány pro bod konstrukce v bodě posunutém o diferenciální délku je možno jejich hodnotu definovat pomocí Taylorova rozvoje využitím první parciální derivace dané veličiny např σ se v bodě posunutém o d definuje σ σ * = σ + d např. pro rovinu y podmínka a pro směr se vyjádří ve tvaru: σ τ y + + X = 0 y σ τy τy d y σy* τy* τy* σ* d Základní vztahy 4. Podmínky kompatibility podmínky kompatibility vyjadřují spojitost pole deformací, tj. že nedojde k nějakým diskontinuitám, popřípadě překrytí materiálu. vyjadřují vzájemný vztah jednotlivých složek deformací lze je vyjádřit z geometrických vztah ů vyloučením přemístění 10
Základní vztahy 5. Okrajové podmínky a) statické okrajové podmínky - definují napjatost na povrchu tělesa vlivem zatížení b) kinematické (geometrické) okrajové podmínky - definují přemístění povrchu tělesa v oblasti podepření celý povrch tělesa lze rozdělit na dvě oblasti: a) s předepsaným zatížením - posuny mohou být libovolné b) s předepsanými posuny - reakce mohou být libovolné pozn.: Kde není předepsané žádné zatížení ani přemístění se jedná v podstatě o varianta a) s předepsaným nulovým zatížením a libovolným přemístěním. homogenní okrajová podmínka - předepsané přemístění je rovno nule nehomogenní okrajová podmínka - předepsané přemístění je nenulové Nelineární pružnost Fyzikální nelinearita - fyzikální vztahy nejsou lineární neplatí Hookův zákon a) b) σ (<0) σ U f u U f u 0,4f u P Y f y P f pr R mez pevnosti mez kluzu mez úměrnosti 0 (<0) 0 11
Nelineární pružnost Plasticita pokud nap ě tí překročí mez plasticity nastávají nevratné deformace (zůstavají i po odtížení) ideáln ě pružnoplastický diagram bez zpevn ě ní deformace narůstají bez nárůstu nap ě tí σ odtěžování f y zatěžování arctg E σ Pl E -f y Nelineární pružnost Plasticita ohýbaný průřez zahrnutím plasticity do výpočtu obdržíme vyšší vypočteno únosnost než je tomu u pružného výpočtu 12
Nelineární pružnost Porušování nastává při dosažení pevnosti materiálu víceosá napjatost podmínka porušení beton různé pevnosti v tahu a tlaku σ1 ocel beton σ1 σ2 σ2 Nelineární pružnost Geometrická nelinearita geometrické vztahy nelze považovat za lineární rovnováha se vyjadřuje na deformované konstrukce např. vzp ě r prutů, boulení, klopení F w Konstrukční nelinearita při zm ě n ě znaménka nap ě tí nedochází k přenosu tohoto nap ě tí např.: základová spára přenáší jenom tlak lano přenáší jenom tah tahové nap ě tí nepřeneseno 13
N které principy Princip superposice účinků účinky jednotlivých vlivů lze řešit samostatn ě a pak je sečíst platí pouze pro fyzikální,geometrickou a konstrukční nelinearitu Saint Vénantův princip lokálnosti účinků rovnovážná soustava sil působící na malou část konstrukce ovliv ň uje napjatost a deformační stav konstrukce pouze v blízkém okolí jejího působení umož ň uje nahrazovat ve výpočtovém modelu skutečné zatížení jednodušším staticky ekvivalentním oblast se změněnou napjatostí Další materiálové vlastnosti Homogenní materiál stejné vlastnosti ve všech bodech t ě lesa Materiálová izotropie stejné vlastnosti materiálu ve všech sm ě rech lze popsat dv ě ma konstantami např. E a ν nebo E a G patří sem např. ocel nebo beton neplatí pro dřevo (různé vlastnosti ve sm ě ru a kolmo k vláknům) 14
Další materiálové vlastnosti vliv teploty s narůstající teplotou dochází k protažení materiálu γ T = = = α T ytd yt ztd = γ yzt = γ zt = 0 αt součinitel teplotní roztažnosti [ C -1 ] do výpočtu se zavede jako počáteční deformace není-li deformaci brán ě no (staticky určité konstrukce) m ě ní se pouze deformační stav konstrukce je-li deformaci brán ě no je ovlivn ě na i napjatost konstrukce T Další materiálové vlastnosti časov ě závislé d ě je (beton): vlastnosti m ě nící se s časem nejvyšší nárůst na počátku zavádí se do výpočtu obdobn ě jako teplota smrš ť ování deformace vyvolaná prostředím suché prostředí smrš ť ování, mokré prostředí nabývání dotvarování zm ě ny vyvolané dlouhodob ě působícím nap ě tím v konstrukci σ 0 σ = konst. σ0 = konst. t t 15
Další materiálové vlastnosti únava materiálu pokles pevnosti materiálu vyvolaný mnohokrát opakovanou zm ě nou velikosti (znaménka) zatížení závisí převážn ě na počtu cyklů a rozkmitu zatížení (ma. a min. hodnot ě nap ě tí) σ f rozkmit cyklu počet cyklů t 16