Historie kombinatorických her

Historie kombinatorických her Nestranné hry Václav Vopravil Praha vopravilv@post.cz 11. dubna 2017 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 1 / 76

E. R. Berlekamp, J. H. Conway, R. K. Guy: Winning Ways for your Mathematical Plays; 2ed. vol. 1-4, A. K. Peters Ltd., 2001-2004, ISBN 1-56881-130-6, ISBN 1-56881-142-X, ISBN 1-56881-143-8, ISBN 1-56881-144-6 J. H. Conway: On Numbers and Games, Academic Press, 2ed. 2001, ISBN 1-56881-127-6 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 2 / 76

E. R. Berlekamp, J. H. Conway, R. K. Guy: Winning Ways for your Mathematical Plays; 2ed. vol. 1-4, A. K. Peters Ltd., 2001-2004, ISBN 1-56881-130-6, ISBN 1-56881-142-X, ISBN 1-56881-143-8, ISBN 1-56881-144-6 J. H. Conway: On Numbers and Games, Academic Press, 2ed. 2001, ISBN 1-56881-127-6 D. E. Knuth: Surreal Numbers; How two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness (Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1974), vi+119 pp. ISBN 0-201-03812-9, Illustrated by Jill C. Knuth; Czech translation by Helena Nešetřilová, Nadreálná čísla, in Pokroky Matematiky, Fyziky a Astronomie 23 (1978), 66 76, 130 139, 187 196, 246 261 J. Cihlář, V. Vopravil: Hry a čísla (On Games and Numbers), PF UJEP Ústí nad Labem, 125 str., 1983, 1995, ISBN 8070441046 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 2 / 76

CONWAY John [1976], On Numbers and Games, Londres, Academic Press Inc., 1976 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 3 / 76

CONWAY, John H., Über Zahlen und Spiele, Vieweg, (1983) EBBINGHAUS, Heinz-Dieter, et al., Numbers, Volume 123 of Graduate Texts in Mathematics (1990). (Translation of the German version Zahlen.) The Book of Number. By John Horton Conway and Richard K. Guy. Springer-Verlag, 1996, 320 SCHLEICHER Dierk, STOLL Michael, An Introduction to Conway s Games and Numbers, arxiv:math/0410026 (2005) et Moscow Math Journal 6 2 (2006), 359-388 FERGUSON Thomas S., Game Theory, Impartial Combinatorial Games (UCLA lecture), 2nd ed. (2014) http://www.math.ucla.edu/ tom/game Theory/comb.pdf Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 4 / 76

BERLEKAMP Elwyn et CONWAY John et GUY Richard, Winning Ways for your mathematical plays, Vol. 1-4, 2nd Edition, Wellesley (Massachusetts), A K Peters, 2001 2004 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 5 / 76

BERLEKAMP Elwyn et CONWAY John et GUY Richard, Winning Ways for your mathematical plays, Vol. 1-4, 2nd Edition, Wellesley (Massachusetts), A K Peters, 2001 2004 E. R. Berlekamp, J. H. Conway, and R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays. Academic Press, 1982; Gewinnen: Strategien für mathematische Spiele, Vieweg, 1985 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 5 / 76

M. Albert, R. Nowakowski, D. Wolfe: Lessons in play: An introduction to combinatorial game theory, A K Peters, Ltd. / CRC Press, Natick, MA, 2007 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 6 / 76

A. Siegel: Combinatorial Games Theory, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 146, AMS 2013 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 7 / 76

16. stol. Nim, Fan Tan, Tsyan shidzi 1508 Luca Pacioli ekv. Nim(30;1 6) 1577 G. Cardano x nestranná hra 1612 C. G. Bachet Hra 100 1636 D. Schwenter 1694 J. Ozanam 1769 E. G. Guyot (Francie), Anglie: 1820 J. Badcock, 1821 J. Jackson 1901 C. L. Bouton Hra Nim 1902 H. E. Dudeney Kayles 1907 W. A. Wythoff Wythoffova královna (tsyan shidzi) 1910 E. H. Moore Mooreův Nim$_k$ 1912 E. Zermelo Zermelova věta (1913) 1914 S. Loyd Kayles 1931 E. Lasker Laskerův Nim 1935 R. P. Sprague Sprague Grundyova teorie nestranných her 1935 T. R. Dawson Dawsonovy šachy, betlové hry 1939 P. M. Grundy Sprague Grundyova teorie nestranných her (Matematika a hry), 1964 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 8 / 76

Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 9 / 76

Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý. 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 9 / 76

Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý. 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 9 / 76

Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý. 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). 4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 9 / 76

Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý. 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). 4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají. 5 Oba hráči mají úplnou informaci o hře. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 9 / 76

Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý. 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). 4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají. 5 Oba hráči mají úplnou informaci o hře. 6 Hra je bez náhodných prvků. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 9 / 76

Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý. 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). 4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají. 5 Oba hráči mají úplnou informaci o hře. 6 Hra je bez náhodných prvků. 7 V normální variantě hráč na tahu, který nemůže táhnout, prohrál. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 9 / 76

Vlastnosti kombinatorických her Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]: 1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý. 2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je počáteční. 3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů, které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být i prázdná). 4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají. 5 Oba hráči mají úplnou informaci o hře. 6 Hra je bez náhodných prvků. 7 V normální variantě hráč na tahu, který nemůže táhnout, prohrál. 8 Hra skončí po konečně mnoha tazích (není dovolena nekonečná posloupnost tahů). Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 9 / 76

Nestranné hry Nim Dva hráči střídavě odebírají sirky z několika hromádek. V jednom tahu je možno odebrat z libovolné hromádky libovolný počet sirek. (Existuje mnoho variant, kde jsou povoleny jiné tahy.) Kdo nemá tah, prohrál. Vim Máme několik řad černých a bílých koleček. Například. Hráči se střídají v tazích, v každém tahu hráč 1) vybere řádek 2) jako první vymění v řádku černé na bílé a může měnit všechna kolečka libovolně vpravo (bílé za černé nebo naopak). Hráč, který udělá poslední pravidly povolený tah, vyhrál. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 10 / 76

Hry s odebíráním předmětů Neformální pravidla těchto her jsou tato: 1 Dva hráči, tradičně Levý a Pravý hráč, L a R, střídavě odebírají kameny z jedné (nebo více) hromádek. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 11 / 76

Hry s odebíráním předmětů Neformální pravidla těchto her jsou tato: 1 Dva hráči, tradičně Levý a Pravý hráč, L a R, střídavě odebírají kameny z jedné (nebo více) hromádek. 2 Pravidly hry je určeno kolik lze v jednom tahu odebírat kamenů. Tato čísla jsou kladná, pro oba hráče stejná (a neměnná). Obecně taková množina S může být nekonečná, ale my se zaměříme pouze na konečné množiny S. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 11 / 76

Hry s odebíráním předmětů Neformální pravidla těchto her jsou tato: 1 Dva hráči, tradičně Levý a Pravý hráč, L a R, střídavě odebírají kameny z jedné (nebo více) hromádek. 2 Pravidly hry je určeno kolik lze v jednom tahu odebírat kamenů. Tato čísla jsou kladná, pro oba hráče stejná (a neměnná). Obecně taková množina S může být nekonečná, ale my se zaměříme pouze na konečné množiny S. 3 Každé odebrání kamenů se nazývá tahem. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 11 / 76

Hry s odebíráním předmětů Neformální pravidla těchto her jsou tato: 1 Dva hráči, tradičně Levý a Pravý hráč, L a R, střídavě odebírají kameny z jedné (nebo více) hromádek. 2 Pravidly hry je určeno kolik lze v jednom tahu odebírat kamenů. Tato čísla jsou kladná, pro oba hráče stejná (a neměnná). Obecně taková množina S může být nekonečná, ale my se zaměříme pouze na konečné množiny S. 3 Každé odebrání kamenů se nazývá tahem. 4 Hráč, který ve hře zahraje poslední pravidly povolený tah, vyhrál. Poslední hráč odebere poslední kámen a následující hráč již žádný pravidly povolenými tahy, nemůže kameny odebírat. (Jinak by porušil pravidla.) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 11 / 76

Hry s odebíráním předmětů Neformální pravidla těchto her jsou tato: 1 Dva hráči, tradičně Levý a Pravý hráč, L a R, střídavě odebírají kameny z jedné (nebo více) hromádek. 2 Pravidly hry je určeno kolik lze v jednom tahu odebírat kamenů. Tato čísla jsou kladná, pro oba hráče stejná (a neměnná). Obecně taková množina S může být nekonečná, ale my se zaměříme pouze na konečné množiny S. 3 Každé odebrání kamenů se nazývá tahem. 4 Hráč, který ve hře zahraje poslední pravidly povolený tah, vyhrál. Poslední hráč odebere poslední kámen a následující hráč již žádný pravidly povolenými tahy, nemůže kameny odebírat. (Jinak by porušil pravidla.) 5 Ve hře je vždy jeden z hráčů vítězem. (Ve hře nemůže nastat patová nebo remízová situace.) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 11 / 76

Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 12 / 76

Tajemství hry Nim Nim je klasická hra, která jako první přilákala pozornost profesionálního matematika Ch. L. Boutona (1901 1902), který také vyřešil a publikoval její teorii. Na počátku máme několik hromádek kamenů (nebo jiných předmětů). Hráč na tahu si vybere jednu hromádku a z ní odebere několik kamenů (odebere alespoň jeden kámen, ale může odebrat i celou hromádku). Hráči se v tazích střídají a hráč, který odebere poslední kámen, vyhrál a jeho soupeř prohrál. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 13 / 76

Tajemství hry Nim na jedné hromádce Máme-li pouze jednu hromádku, její analýza je jednoduchá: Pro každou neprázdnou hromádku, může hráč odebrat všechny kameny a vyhraje. Pokud hromádka je prázdná (bez kamenů), potom předcházející (previous) hráč má vyhrávající strategii. Výsledek je možné zapsat do tabulky: n 0 1 2 3 4... výsledek P N N N N N Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 14 / 76

Tajemství hry Nim na dvou hromádkách Hra na dvou hromádkách není pro analýzu opět příliš složitá. Pokud hromádky mají různý počet kamenů, hráč na tahu (následující, next) může svým tahem dorovnat počty kamenů na obou hromádkách. Například, máme-li dvě hromádky o 4 a 6 kamenech (situaci reprezentuje uspořádaná dvojice Nim[4,6]), potom prvním dobrým tahem zanechat situaci Nim[4,4]. Nyní s každým tahem prvního hráče, druhý hráč může opět hromádky dorovnat v druhé hromádce (zanechá stejný počet kamenů). Typ této strategie se nazývá Tweedledum and Tweedledee. Charakteristiku pozic na dvou hromádkách lze zapsat takto: { P, je-li n = m Nim[n,m] = N, je-li n m. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 15 / 76

Tajemství hry Nim Pro tři a více hromádek je analýza již složitější. Budeme potřebovat zavést nové pojmy. Předně zavedeme tzv. nim součet dvou nezáporných celých čísel x,y zapsané ve dvojkové soustavě a sečteme jejich cifry modulo 2, tj. 0+0 = 0,0+1 = 1+0 = 1 a 1+1 = 0. Pro nim součet budeme používat značku. Např. uvažujme 5 7. Dostaneme: 5 = 2 2 +1 7 = 2 2 +2 1 +1. Proto ve dvojkové soustavě dostaneme Součtem cifer modulo 2 dostaneme: Protože (010) 2 = 2, je 5 7 = 2. 5 = (101) 2 7 = (111) 2 1 0 1 1 1 1 0 1 0 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 16 / 76

Tajemství hry Nim nim součet Nim součet má zajímavé vlastnosti: 1 je asociativní: x (y z) = (x y) z, 2 je komutativní: x y = y x, 3 má neutrální prvek 0: x 0 = 0 x = x 4 každé číslo je svým opačným prvkem, tj. x x = 0, 5 má vlastnost krácení: x y = z y x = z. Tato operace je důležitá, protože Bouton charakterizuje pozice v obecné hře Nim pomocí nim součtu počtu kamenů na jednotlivých hromádkách. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 17 / 76

Tajemství hry Nim Pokud budeme reprezentovat pozici n hromádek s x 1,x 2,...,x n jako Nim[x 1,x 2,...,x n ] dostaneme tento výsledek (charakteristiku pozic): Věta (Bouton, 1901) Pozice Nim[x 1,x 2,...,x n ] je P pozice právě tehdy a jen tehdy, je-li x 1 x 2 x n = 0. Poznamenejme, že toto tvrzení platí i pro jedno a dvouhromádkovou variantu hry Nim. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 18 / 76

Tajemství hry Nim Nyní je čas na příklady: Uvažujme hru Nim na 4 hromádkách v pozici Nim[3,5,7,9]. Musíme spočítat 3 5 7 9. Protože 3 = (11) 2, 5 = (101) 2, 7 = (111) 2 a 9 = (1001) 2, dostaneme 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 je 3 5 7 9 = 8 0 a tedy pozice je N. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 19 / 76

Tajemství hry Nim Nyní je čas na příklady: Uvažujme hru Nim na 4 hromádkách v pozici Nim[3,5,7,9]. Musíme spočítat 3 5 7 9. Protože 3 = (11) 2, 5 = (101) 2, 7 = (111) 2 a 9 = (1001) 2, dostaneme 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 je 3 5 7 9 = 8 0 a tedy pozice je N. Jediný vyhrávající tah je odebrat 8 kamenů z poslední hromádky, dostaneme 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 19 / 76

Pojďte, pane, budeme si hrát... Nim[2,3,4] Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 20 / 76

Pojďte, pane, budeme si hrát... Nim[2,3,4] Amoves Bmoves Amoves Bmoves Amoves Blooses Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 20 / 76

Pojďte, pane, budeme si hrát... Nim[2,3,4] Amoves Bmoves Amoves Bmoves Amoves Blooses Nim[3,4,5] Nim[5,10,15] Nim[2,3,4,5,6] Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 20 / 76

Pojďte, pane, budeme si hrát... Nim[2,3,4] Amoves Bmoves Amoves Bmoves Amoves Blooses Nim[3,4,5] Nim[5,10,15] Nim[2,3,4,5,6] Nim[20,35,41,62] Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 20 / 76

Prolog Matematická teorie nestranných her začíná v roce 1901 (1902). Rámec předteorie je v renesanci. Základy teorie nalezneme v Evropě v rekreační matematice v Itálii 16. století. Luca Pacioli (asi 1445 1517) a jeho Viribus Quantitatis (Síla a množství). V roce 1612 (první vydání) francouz Claude Gaspard Bachet (1581 1638) přinesl mnoho aritmetických problémů, které nastínil Pacioli, ve své knize Problemes... (Problémy rozumu, které jsou podle čísel). Tato knížka putovala po cele Evropě během 17. století, měla odezvu v rekreační matematice v Německu, Itálii, Francii a v Anglii, najde se v 18. a 19. století. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 21 / 76

Prolog Matematická teorie nestranných her začíná v roce 1901 (1902). Rámec předteorie je v renesanci. Základy teorie nalezneme v Evropě v rekreační matematice v Itálii 16. století. Luca Pacioli (asi 1445 1517) a jeho Viribus Quantitatis (Síla a množství). V roce 1612 (první vydání) francouz Claude Gaspard Bachet (1581 1638) přinesl mnoho aritmetických problémů, které nastínil Pacioli, ve své knize Problemes... (Problémy rozumu, které jsou podle čísel). Tato knížka putovala po cele Evropě během 17. století, měla odezvu v rekreační matematice v Německu, Itálii, Francii a v Anglii, najde se v 18. a 19. století. Matematické rekreace jsou samy tak staré, jako je matematika sama. Rekreace se najdou již ve starých dokumentech, příklady lze nalézt v Rhindově papyrusu ( 1650 př.n.l.) nebo v babylonských tabulkách ( 1750 př.n.l.). Tenkrát byly rekreace integrální součástí matematiky, každá velká kultura přispěla k její historii. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 21 / 76

Prolog Bouton položil základ výzkumu v oblasti CGT. Analýza Nimu a jeho řešení, pokládání otázek a zobecňování výsledků. Tak například Moore (Nim k ) může se odebírat i nejvíce z k hromádek současně. Emanuel Lasker (1868 1941) přinesl v roce 1931 novou variantu, zobecnění Nimu. Matematici R. Sprague (1894 1967) a P. Grundy (1917 1959) nezávisle zobecnili výsledky (1935 1939) pomocí SG věty, která redukuje výsledek každé nestranné hry na nějakou konfiguraci Boutonovy hry Nim. S tímto výsledkem se CGT stává obecnou a abstraktní. Později (1982) vychází [WW], která se stává referenční knížkou, obsahuje doporučení pro hraní her a jejich analýzy. Před tím ještě vychází [ONAG] (Conway *1937) v roce 1976 teorie nadreálných čísel a ukazuje analogii mezi čísly a hrami. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 22 / 76

Luca Pacioli (Itálie, 1508) Fra Luca Bartolomeo de Pacioli (1445 1517) PACIOLI Luca, De Viribus Quantitatis, 1508 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 23 / 76

Luca Pacioli (Itálie, 1508) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 24 / 76

Luca Pacioli (Itálie, 1508) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 25 / 76

Pacioli nepodává žádná vysvětlení a tím i obecnou metodu pro řešení jakékoliv podobné úlohy. (Zpětná indukce.) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 26 / 76

Pacioli nepodává žádná vysvětlení a tím i obecnou metodu pro řešení jakékoliv podobné úlohy. (Zpětná indukce.) V 16. století chybí vhodná symbolika reprezentovat neznámou a psát rovnice. Nebylo možné nalézt obecné řešení, každý případ byl řešen (analyzován) nezávisle bez vzorce. Nicméně celá staletí s použitím aritmetiky matematikové dosahují pozoruhodných výsledků. Vznikají důmyslné metody k řešení příkladů, které bychom řešil dnes algebrou. Rekreační problémy a triky jsou předávány ústně dlouho před tiskem první knihy. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 26 / 76

Gerolamo Cardano (Itálie, 1577) Gerolamo Cardano (1501 1576) CARDANO Gerolamo, Practica arithmetice et mensurandi singularis, Milan, 1577 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 27 / 76

Gerolamo Cardano (Itálie, 1577) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 28 / 76

Claude-Gaspard Bachet (Francie, 1612) Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581 1638) 1 BACHET Claude-Gaspard, Problemes plaisans et delectables, qui se font par les nombres, Lyon, 1ere édition, 1612 2 BACHET Claude-Gaspard, Problemes plaisans et delectables, qui se font par les nombres, Lyon, 2eme édition, 1624 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 29 / 76

Claude-Gaspard Bachet (Francie, 1612) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 30 / 76

Claude-Gaspard Bachet (Francie, 1612) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 32 / 76

Daniel Schwenter (Německo, 1636) Daniel Schwenter (1585 1636) SCHWENTER Daniel, Deliciae Physico-Mathematicae, Nuremberg, 1636 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 35 / 76

Daniel Schwenter (Německo, 1636) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 36 / 76

Jacques Ozanam (Francie, 1694) Jacques Ozanam (1640 1718) OZANAM Jacques, Récréations mathématiques et physiques, Qui contiennent les Problemes et les Questions les plus remarquables, et les plus propres a piquer la curiosité, tant des Mathématiques que de la Physique ; le tout traité d une maniere a la portée des Lecteurs qui ont seulement quelques connaissances légeres de ces Sciences, Paris, 1778 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 39 / 76

Jacques Ozanam (Francie, 1694) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 40 / 76

Matematické rekreace Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 41 / 76

Matematické rekreace Edme Gilles Guyot (Francie, 1769) John Badcock (Anglie, 1820) John Jackson (Anglie, 1821) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 41 / 76

Charles Leonard Bouton (1901) Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy a matematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plně v 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vznikla kolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby), praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění) a magii (jako hermetické tradice 14. století). Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 42 / 76

Charles Leonard Bouton (1901) Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy a matematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plně v 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vznikla kolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby), praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění) a magii (jako hermetické tradice 14. století). Vede k rozvoji nových experimentálních a čistě vědeckých přístupů. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 42 / 76

Charles Leonard Bouton (1901) Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy a matematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plně v 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vznikla kolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby), praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění) a magii (jako hermetické tradice 14. století). Vede k rozvoji nových experimentálních a čistě vědeckých přístupů. První stopy hry Nim jsme objevili, abychom lépe porozuměli původu kombinatorických her, které jsou na křižovatce čistě zábavné hry a výchovné problémy, jejichž řešení vyžaduje jisté matematické znalosti. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 42 / 76

Charles Leonard Bouton (1901) Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy a matematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plně v 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vznikla kolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby), praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění) a magii (jako hermetické tradice 14. století). Vede k rozvoji nových experimentálních a čistě vědeckých přístupů. První stopy hry Nim jsme objevili, abychom lépe porozuměli původu kombinatorických her, které jsou na křižovatce čistě zábavné hry a výchovné problémy, jejichž řešení vyžaduje jisté matematické znalosti. Hry a matematické hádanky zaujaly lidi celá staletí. Lidská fascinace záhadných problémů je universální. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 42 / 76

Charles Leonard Bouton (1901) Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy a matematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plně v 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vznikla kolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby), praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění) a magii (jako hermetické tradice 14. století). Vede k rozvoji nových experimentálních a čistě vědeckých přístupů. První stopy hry Nim jsme objevili, abychom lépe porozuměli původu kombinatorických her, které jsou na křižovatce čistě zábavné hry a výchovné problémy, jejichž řešení vyžaduje jisté matematické znalosti. Hry a matematické hádanky zaujaly lidi celá staletí. Lidská fascinace záhadných problémů je universální. Boutonovým přístupem se objeví netriviální řešení, je algoritmizovatelné, umožňuje použít na více možností, zobecnění...tato teorie nemohla být dříve, vzhledem k velmi omezenému vývoji algebry a absence abstraktní a obecné teorie struktur matematiky. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 42 / 76

Článek Ch. Boutona (1901) se stal milníkem v historii kombinatorických her. Hra Nim se stává předmětem vážného studia matematiky, dovoluje různé alternativy. Od aritmetického řešení se ustupuje směrem k vítězné strategii. Hra Nim ale nezmizí z rekreační matematiky, ihned se objevuje hra Kayles Sam Loyd (1841 1911) a Henry Dudeney (1857 1930). Studium je završeno na konci 30. let tzv. Sprague Grundyovou větou: Každá nestranná hry (hra typu Nim) je ekvivalentní hře Nim na jedné hromádce. V padesátých letech Richard Guy a Cederic Smith řeší oktalové hry. Od roku 1966 1982 vzniká [WW] a teorie dosáhla svého vrcholu v roce 1976 [ONAG] v teorii nadreálných čísel Johna Hortona Conwaye. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 43 / 76

Článek Ch. Boutona (1901) se stal milníkem v historii kombinatorických her. Hra Nim se stává předmětem vážného studia matematiky, dovoluje různé alternativy. Od aritmetického řešení se ustupuje směrem k vítězné strategii. Hra Nim ale nezmizí z rekreační matematiky, ihned se objevuje hra Kayles Sam Loyd (1841 1911) a Henry Dudeney (1857 1930). Studium je završeno na konci 30. let tzv. Sprague Grundyovou větou: Každá nestranná hry (hra typu Nim) je ekvivalentní hře Nim na jedné hromádce. V padesátých letech Richard Guy a Cederic Smith řeší oktalové hry. Od roku 1966 1982 vzniká [WW] a teorie dosáhla svého vrcholu v roce 1976 [ONAG] v teorii nadreálných čísel Johna Hortona Conwaye. Hra Nim se stává objektem seriózního matematického výzkumu. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 43 / 76

Charles Leonard Bouton (1901) Charles Leonard Bouton (1869 1922) BOUTON Charles, Nim, A Game with a Complete Mathematical Theory, The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 3, No. 1/4, (1901-1902), pp. 35-39 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 44 / 76

Charles Leonard Bouton (1901) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 45 / 76

Charles Leonard Bouton (1901) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 46 / 76

W. A. Wythoff (Nizozemí, 1907) Willem Abraham Wythoff (1865 1939) WYTHOFF Willem, A Modification of the Game of Nim, Nieuw Archief voor Wiskunde, 2e Reeks VI, (1905 1907), pp. 199-202 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 47 / 76

W. A. Wythoff (Nizozemí, 1907) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 48 / 76

W. A. Wythoff (Nizozemí, 1907) { } { } 1 1 E 2 k(1+ 5), E 2 k(3+ 5) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 48 / 76

W. A. Wythoff (Nizozemí, 1907) x n = nϕ ϕ = 1+ 5 2 y n = nϕ 2 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 49 / 76

W. A. Wythoff (Nizozemí, 1907) 1 1 Half a century later (around 1960) and unaware of this, the mathematician Rufus P. Isaacs (of Johns Hopkins University) gave another description of the same game in terms of the moves of a chess queen allowed only to travel south and/or west [the heap sizes are the queen s cartesian coordinates, both of which are zero when the queen is at the chessboard s southwest corner]. Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 50 / 76

Wilhelm Ahrens (1910) AHRENS, Wilhelm (1872 1927) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 52 / 76

Danzinger Zeitung (1907) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 53 / 76

E. H. Moore (1910) Eliakim Hastings Moore (1862 1932) MOORE Eliakim, A Generalization of the Game Called Nim, The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 11, No. 3, avril 1910, pp. 93-94 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 53 / 76

E. H. Moore (1910) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 54 / 76

Le Rip Van Winkle Puzzle (1914), The Game of Kayles (1907) Samuel Loyd (1841 1911), Henry Ernest Dudeney (1857 1930) DUDENEY Henry [1907] 2, The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems, a l adresse suivante http://www.gutenberg.org/files/27635/27635-h/27635-h.htm (2nde édition, Thomas Nelson and sons, LTD, London, Edimbourg, New York, 1919) LOYD Samuel, Cyclopedia of Puzzles, New York, The Lamb Publishing Company, 1914 2 1902-01-26, The Weekly Dispatch Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 55 / 76

Samuel Loyd Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 56 / 76

Henry Ernest Dudeney Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 57 / 76

DUDENEY Henry [1907] Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 58 / 76

DUDENEY Henry [1907] Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 59 / 76

Cyclopedia of Puzzles, Samuel Loyd Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 60 / 76

Hraje se jako na obrázku, 3 hráč na tahu položí buď jednu nebo dvě sousedící figurky. Hráči se střídají a vyhraje hráč, který položí poslední figurku. Který hráč vyhraje? 3 Sam Loyd s Cyclopedia of 5000 Puzzles, Tricks, and Conundrums, 1914 http://www.mathpuzzle.com/loyd/cop232-233.html Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 61 / 76

Kayles Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 62 / 76

Kayles Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 63 / 76

Emanuel Lasker (1931) Emanuel Lasker (1868 1941) LASKER Emanuel, Brettspiele der Völker, Berlin, August Scherl, str. 183 196, 1931 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 64 / 76

Emanuel Lasker (1931) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 65 / 76

Laskerův Nim (1931) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 66 / 76

Roland Sprague (1935) Roland Sprague (1894 1967) SPRAGUE Roland, Über mathematische Kampfspiele, Tôhoku Mathematical Journal, Vol. 41, 1935/36, pp. 438-444 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 67 / 76

Patrick Grundy (1939) GRUNDY Patrick, Mathematics and Games, Eureka, No. 2, mai 1939, pp. 6-8 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 68 / 76

Patrick Grundy (1939) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 69 / 76

Claude Jacques Berge, Francie, 1958 Claude Berge (1926 2002) BERGE Claude, Théorie des graphes et de ses applications, Paris, Dunod, 2nde édition, 1967 Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 70 / 76

Dawson s Chess (1935) Thomas Rayner Dawson (1889 1951) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 71 / 76

Dawsonovy šachy (1935) Úloha (Dawsonovy šachy a ) Na šachovnici 3 n jsou pěšci, jako na obrázku. Pěšci chodí stejně jako v šachu, braní figurek je povinné. Kdo nemůže táhnout a) vyhrál b) prohrál. Který z hráčů vyhraje v závislosti na n?.............................. (Dawsonovy šachy II) Hraje se na pásku čtverečků, které nejsou zpravidla obsazené znaky. Hráči se pravidelně ve svých tazích střídají, každým svým tahem umístí znak X na nějaký dosud prázdný čtvereček. Omezení pro tah je, že hráč, který je na tahu, nemůže znak X položit bezprostředně vedle již položeného znaku. Hráč, který udělal poslední tah, vyhrál. a Caissa s Wild Roses (1935), republished in Five Classics of Fairy Chess by Dover (1973), Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 72 / 76

hs@wopravil.cz http://www.wopravil.cz/hs Je ještě nekonečně mnoho tvrzení, která jsou třeba ověřit, ale máme jen konečně mnoho času... (D. Knuth) Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 73 / 76