F - Příprava na. zápočtový test z fyziky Určeno pro třídu 1DOP. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
Mechanická práce Mechanická práce Síla koná práci, působí-li na pohybující se těleso ve směru dráhy. Platí vzorec W = F. s Pozn.: Působí-li síla proti směru dráhy, říkáme, že těleso práci spotřebovává. Př.: Zvedneme-li těleso do určité výše, síla naší ruky působí ve směru dráhy, proto práci vykonala. Těleso, které jsme ale zvedli, práci spotřebovalo. Jednotky práce: 1 joule [J] = [kg.m.s - ] 1 joule je práce, kterou vykoná síla, působí-li silou 1 N po dráze 1 m ve směru dráhy. Předpokládejme, že síla působí obecně Ve směru dráhy působí pouze složka F 1, proto ta jako jediná koná práci. Platí: F 1 = F. cos α, proto W = F 1. s = F. s. cos α Tím jsme ověřili, že veličina "práce" je skalární veličina, neboť je rovna skalárnímu součinu dvou vektorů. Pozn.: Skaláry jsou takové veličiny, které jsou určeny pouze velikostí; vektory jsou veličiny určené nejen velikostí, ale i směrem, působištěm a orientací. Působí-li síla kolmo na směr dráhy, pak se práce nekoná. S rostoucím úhlem alfa (viz obrázek) klesá vykonaná práce (neboť kosinus je v I. kvadrantu funkce klesající). ------------------------------------------------------------------------------------------------ Příklady: Příklad 1: Jakou práci (v MJ) vykoná síla 5 kn, když na těleso působí po dráze km? F = 5 kn = 5 000 N s = km = 000 m W =? ---------------------------------------------- W = F. s W = 5 000. 000 W = 50 000 000 J = 50 MJ 1 z 18
Síla vykoná práci 50 MJ. Příklad : Jakou práci vykonáte, když zvednete konev o hmotnosti 1 kg s 10 l vody do výšky 40 cm? Hustota vody je 1 000 kg/m 3 a hodnota tíhového zrychlení je 9,81 m.s -. m 1 = 1 kg V 1 = 10 l = 10 dm 3 = 0,010 m 3 s = 40 cm = 0,4 m ρ = 1000 kg.m -3 g = 9,81 m.s - W =? ------------------------------------------------ W = F.s W = (F 1+F ).s W = (m 1+ρ.V 1).g.s W = (1+1000.0,010).9,81.0,4 W = 43, J (přibližně) Zvednutím konve s vodou vykonáme práci asi 43, J. ------------------------------------------------------------------------------------------------ Procvičovací příklady: Po stoupající silnici dlouhé 0,5 km má automobil o hmotnosti 1 500 kg překonat převýšení 10 m. Jakou práci v (kj) vykoná? Tření zanedbejte. Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. (150 kj) Z černé skříňky na zdi visí dva provázky, černý a bílý. Vždycky, když černý stáhnete o 1 cm, vytáhnete bílý o cm. Jak velkou silou musíte tahat za černý provázek, když na bílém provázku visí břemeno o tíze N? (4 N) Určete délku (v cm) svislé dráhy, po které musíte zvednout závaží silou 5 N rovnoměrným pohybem, abyste vykonali práci 1 J. (0 cm) Těleso o hmotnosti kg zvednuté do výše 3 m nad zemí volně padá. Určete, kdo koná práci a jako výsledek napište její velikost. Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. (60 J) Při posouvání vlaků byl jeden vagón uveden nárazem do pohybu po přímých vodorovných kolejích. Na úseku dráhy 00 m se pohyboval rovnoměrně. Určete, jak velká práce se konala při pohybu vagónu na tomto úseku. (0 J) Jak velkou práci (v MJ) vykoná elektrická lokomotiva, která táhne vlak stálou silou 110 kn po vodorovné dráze 10 km? (1 100 MJ) Na tabulce jeřábu jsou tyto údaje: nosnost jeřábu 0 kn při výšce 0 m. Jak velkou práci (v kj) vykoná jeřáb, zvedá-li těleso o maximálním dovoleném zatížení rovnoměrným pohybem do maximální dovolené výšky? (400 kj) Do jaké výšky byl zvednut pytel brambor o hmotnosti 50 kg z povrchu Země rovnoměrným pohybem, jestliže z 18
přitom byla vykonána práce 50 J? Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. (4,5 m) Jak velkou silou (v kn) zvedal jeřáb těleso po svislé dráze 14 m rovnoměrným pohybem, jestliže vykonal práci 1 kj? (1,5 kn) Jak velkou práci (v kj) vykoná jeřáb, který zvedne rovnoměrným pohybem betonový panel o objemu m 3 svislé dráze 10 m, je-li hustota betonu 500 kg/m 3? Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. (500 kj) po Člověk o hmotnosti 60 kg vynese do třetího poschodí těleso o hmotnosti 0 kg. Výška jednoho poschodí je 4 m. Určete, jak velkou práci (v kj) přitom vykoná. Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. (9,6 kj) Těleso bylo zvednuto jeřábem svisle vzhůru po dráze 1 m rovnoměrným pohybem. Tahová síla přitom vykonala práci 0 kj. Jaká je hmotnost zvednutého tělesa? Třecí sílu zanedbáváme. Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. (167 kg) Výtah, jehož kabina má hmotnost 100 kg, vyvezl 100 cihel do výšky 8 m rovnoměrným pohybem. Hmotnost jedné cihly je 5,0 kg. Jakou práci (v kj) vykonal motor výtahu? Třecí síly zanedbáváme. Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. (48 kj) Vědro s maltou zvedneme pomocí pevné kladky ve svislém směru rovnoměrným pohybem po dráze 8,0 m. Jak velkou práci vykonáme, je-li hmotnost vědra s maltou 10 kg? Třecí síly zanedbáváme. Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. (800 J) Závodník na Tour de France ujel trať dlouhou 10 km. Jak velkou práci vykonal (v MJ), jestliže start i cíl mají stejnou nadmořskou výšku? Závodník i s kolem má hmotnost 80 kg a na tření a překonávání odporu vzduchu se spotřebuje síla rovnající se 5% gravitační síly působící na závodníka s kolem. (8,4 MJ) Traktor táhne vlečku o hmotnosti 4 500 kg po cestě 100 m dlouhé. Cesta stoupá na úseku 100 m o 6 m. Jakou práci (v kj) na uvedené dráze traktor vykoná? Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. (70 kj) Práce, kterou konáme při chůzi po vodorovné rovině, spočívá v tom, že při každém kroku se tělo zvedne asi o 3 cm. Jak velkou práci (v kj) vykoná žák, když ujde 5 km? Hmotnost žáka je 45 kg, hmotnost aktovky je 3 kg, délka kroku je 0,5 m. Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. (144 kj) Jak velkou práci (v kj) vykonal dělník, když vytáhl těleso kladkostrojem do výšky 10 m silou 1,8 kn? (18 kj) Délka sáňkařské dráhy je 60 m, výška 8 m. Jak velkou práci (v kj) vykoná chlapec, který táhne do kopce sáňky o hmotnosti 15 kg? Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. (1, kj) Do jaké výšky zvednete břemeno o hmotnosti 1,8 kg, vykonáte-li práci 16, J? Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. (0,9 m) Automobil ujel vzdálenost 1 km. Motor vykonal práci 4,8 MJ. Předpokládáme, že tažná síla motoru byla stále stejná. Jak byla velká? 3 z 18
(400 N) Mechanický výkon Mechanický výkon Výkon definujeme jako velikost práce vykonané za časovou jednotku. Výkon je tedy číselně roven velikosti práce vykonané za časovou jednotku. W P = t Výkon je skalární veličina, je tedy určen pouze velikostí. Jednotky výkonu: 1 watt [W] [W] = [J.s -1 ] Výkon má hodnotu jednoho wattu, jestliže je vykonána práce o velikosti 1 joule za dobu jedné sekundy. Pozn.: Dříve se používala jednotka 1 kůň. Velikostí tato jednotka odpovídá přibližně 0,75 kw. Pomocí vzorce pro výkon můžeme též počítat práci z výkonu. Práce je rovna součinu času a výkonu. W = P. t Jednotky práce odvozené z výkonu: 1 Ws = 1J 1Wh = 3 600 J 1 kwh = 3,6. 10 6 J ------------------------------------------------------------------------ Ukázkové příklady: Příklad 1: Jak velký je výkon jeřábu, který zvedne břemeno o hmotnosti 1 000 kg za tři minuty do výše 7 m? m = 1000 kg s = 7 m t = 3 min = 180 s P =? ------------------------------------------- 4 z 18
P = W/t P = F.s/t P = m. g. s/t P = 1000. 9,81. 7/180 P = 1 471,5 W = 1,5 kw (přibližně) Výkon jeřábu je přibližně 1,5 kw. Příklad : Žák vzepřel činku o hmotnosti 30 kg do výše 1,8 m za 1,0 s. Určete jeho výkon. Pohyb činky považujte za rovnoměrný. m = 30 kg h = 1,8 m t = 1,0 s P =? -------------------------------------------- P = W/t P = F.h/t P = m. g. h/t P = 30. 9,81. 1,8/1 P = 530 W (přibližně) Výkon žáka byl asi 530 W. Příklad 3: Motor pracuje s výkonem 0,6 kw po dobu 4 hodin. Jak velikou mechanickou práci vykoná? P = 0,6 kw = 600 W t = 4 h = 14 400 s W =? --------------------------------------------- P = W/t, proto W = P. t W = 600. 14 400 W = 8 640 000 J = 8,64 MJ Motor vykoná práci 8,64 MJ. ------------------------------------------------------------------------ Procvičovací příklady: Těleso o hmotnosti 500 kg bylo zdviženo pomocí jeřábu svisle vzhůru po dráze 1 m rovnoměrným pohybem za 1 minutu. Určete průměrný výkon motoru jeřábu. Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. ( 1 kw) Výtah dopraví náklad o hmotnosti 50 kg do výšky 3,0 m za 10 s rovnoměrným pohybem. Hmotnost klece výtahu je 100 kg. Jaký je průměrný výkon motoru výtahu? Třecí síly zanedbáváme. Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. ( 1 050 W) 5 z 18
Těleso o hmotnosti 50 kg se má zvednout do výše 10 m za 15 s. Jaký výkon je k tomu potřeba? Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. ( 333 W) Čerpadlo načerpá 50 m 3 vody do nádrže ve výšce 15 m za 10 minut. Určete v kilowattech průměrný výkon motoru čerpadla, nepřihlížíme-li ke ztrátám. Hustota vody je 1000 kg/m 3, hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. ( 1,5 kw) Jeřáb má zvednout během osmihodinové pracovní směny 3000 t stavebního materiálu do výšky 9 m. Jaký průměrný výkon musí mít motor? Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. ( 9,4 kw) Buchar o hmotnosti 500 kg provádí 40 úderů za minutu. Jaký je průměrný výkon motoru bucharu, je-li zdvih kladiva 0,8 m? Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. (,7 kw) Motor mopedu má stálý výkon 1 kw po dobu jízdy 1,5 h. Jak velkou mechanickou práci motor vykoná? ( 5,4 MJ) Automobil se pohybuje rychlostí 7 km/h, jeho tažná síla je 1 00 N. Jaký výkon má motor automobilu? ( 4 kw) Automobil jede rychlostí 54 km/h. Jeho výkon je 36 kw. Určete velikost tažné síly. (,4 kn) Určete výkon motoru výtahu, jestliže zvedne rovnoměrným pohybem těleso o tíze 1 00 N do výšky 10 m za 1 s. ( 1 kw) Motor o výkonu 300 W vykonal práci 1 000 J. Kolik sekund na to potřeboval? ( 40 s) Určete výkon motoru elektrického vrátku, který vytáhne náklad 150 kg rovnoměrným pohybem do výšky 0 m za 5 s. Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. ( 1, kw) Koulař udělí za 1, s kouli pohybovou energii 1 000 J. Určete průměrný výkon koulaře. ( 830 W) Jeřáb zvedá břemeno o hmotnosti 00 kg rychlostí 1 m/s. Určete průměrný výkon jeřábu. Hodnota tíhového zrychlení je 10 N/kg. ( kw) Automobil jede po rovině rovnoměrným pohybem rychlostí 7 km/h a překonává přitom tření 1 000 N. Určete výkon motoru automobilu. ( 0 kw) Za jak dlouho vykoná stroj, který má výkon kw, práci 1000 J? ( 0,5 s) 6 z 18
Mechanická energie Mechanická energie Energie tělesa je schopnost pohybujícího se tělesa konat práci. Energii máme: kinetickou (pohybovou) potenciální (polohovou) Pozn.: Příklady jiných forem uvedených energií (elastická energie = potenciální; např. pero v budíku) Pozn.: Shora uvedená definice je definicí kinetické energie. Energie tělesa je tím větší, čím větší práci je těleso schopno vykonat. Mírou velikosti energie je velikost práce. Jednotky energie jsou stejné jako jednotky práce. Energii značíme E 1. Kinetická energie E k = W = F. s = m. a. at / = m. (a. t) / = m. v / v... rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu Příklad 1: Náboj o hmotnosti 0 g je vystřelen z hlavně rychlostí 600 m/s. Určete jeho kinetickou energii v okamžiku, kdy opouští hlaveň. v = 600 m/s m = 0 g = 0,0 kg E k =? -------------------------------- E k = m. v / Ek = 0,0. 600 / Ek = 3 600 J Kinetická energie náboje je 3 600 J.. Potenciální energie Zvedáme-li těleso do výšky h, konáme práci. Zvedané těleso tuto práci spotřebovává. Tato práce je vlastně potenciální energií zvedaného tělesa. E p = m. g. h Potenciální energie se tedy rovná součinu tíhy tělesa a jeho výšky. Různé druhy potenciální energie: gravitační energie elastická energie Gravitační energie je podmíněna tíhou tělesa. 7 z 18
Elastická energie je podmíněna pružností tělesa (vzájemným silovým působením molekul) Kinetickou a potenciální energii nazýváme souhrnně energií mechanickou. Příklad : V přehradě padá za sekundu 000 m 3 vody z výšky 37 m. Určete potenciální energii tohoto množství vzhledem k hladině přehrady. V = 000 m 3 h = 37 m ρ = 1000 kg/m 3 Ep =? -------------------------------------- Ep = m. g. h = ρ. V. g. h Ep = 1000. 000. 9,81. 37 E p = 75 940 000 J = 76 MJ (přibližně) Potenciální energie daného množství vody je přibližně 76 MJ. Zákon zachování energie Energie nevzniká, ani nezaniká. Mění se pouze ve stejném množství jedna její forma v jinou nebo přechází z jednoho tělesa na těleso druhé. Příkladem, kde se dá dobře vysvětlit přeměna energie, je matematické kyvadlo. Je-li kulička v krajní poloze, má největší potenciální energii a nulovou kinetickou, při průchodu rovnovážnou polohou je tomu naopak. (Zanedbáváme jakékoliv ztráty třením) Zákon zachování energie platí pro jakékoliv druhy energie; může se tedy měnit např. energie elektrická na světelnou, mechanickou, apod. Účinnost Účinností rozumíme poměr výkonu P získávaného z nějakého zařízení a výkonu P 1 (příkonu) přiváděného témuž zařízení. η = P /P 1 Účinnost je bezrozměrná veličina, pro niž platí, že vždy je větší nebo rovna nule a menší nebo rovna jedné. Zpravidla se udává v procentech. U skutečných zařízení dochází vždy ke ztrátám, takže účinnost každého zařízení je menší než 1 (menší než 100 %). Protože výkon je určen podílem práce a času, je možno účinnost určit i změřením dodané a vykonané práce nebo energie za určitou dobu. 8 z 18
η = P /P 1 = (P. t)/(p 1. t) = W /W 1 = E /E 1 ------------------------------------------------------------------------------------------ Ukázkové příklady: Příklad 3: Stříkačka vrhá za minutu 00 litrů vody do výšky 30 m. Jaký je příkon čerpadla, je-li účinnost zařízení 65%? Hustota vody je 1000 kg/m 3, hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s. V = 00 l = 0, m 3 h = 30 m η = 65 % = 0,65 ρ = 1000 kg/m 3 t = 1 min = 60 s P 1 =? ------------------------------------------------- η = P /P 1... proto P 1 = P /η (1) Vypočteme si nejprve P : P = W /t = m. g. h/t = ρ. V. g. h/t P = 1000. 0,. 10. 30/60 P = 1000 W Dosadíme do (1): P 1 = 1000/0,65 P 1 = 1,54 kw (přibližně) Příkon čerpadla je asi 1,54 kw. ------------------------------------------------------------------------------------------ Procvičovací příklady: Určete, jakou pohybovou energii má kladivo před tím, než dopadne na hlavičku hřebíku, působí-li po dopadu na hřebík silou 600N a zatlačí ho do dřeva o 5mm. (Výsledek 3 J) Jak velkou polohovou (potenciální) energii má cihla o hmotnosti 5 kg ve výšce 0 m nad zemí? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s. (Výsledek 1 kj) Určete účinnost spotřebiče, když jeho výkon je 180 W a jeho příkon je 00 W. (Výsledek 90 %) Stroj vykoná práci 30 MJ za 1 hodinu. Jaký musí být příkon stroje v kilowattech, je-li jeho účinnost 80 %? (Výsledek 10,4 kw) Jaký příkon musí mít motor rychlovýtahu, který vynese kabinu, která má i s cestujícími hmotnost 500 kg do výšky 30 m za 10 s, je-li účinnost motoru 80%? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s. (Výsledek 18,75 kw) Střela o hmotnosti 0 g je vystřelena kolmo vzhůru do výšky 300 m. jaká je její polohová (potenciální) energie v nejvyšším bodě dráhy vzhledem k Zemi? Hodnota tíhového zrychlení je 10 9 z 18
m/s. (Výsledek 60 J) Jak velkou polohovou (potenciální) energii má 1 m 3 vody na Slapské přehradě vzhledem k hladině vody pod přehradou, je-li rozdíl nadmořských výšek hladiny přehradního jezera a hladiny vody pod přehradou 5 m? Hustota vody je 1000 kg/m 3, hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s. (Výsledek 50 kj) Jeřáb zvedá panel o hmotnosti 100 kg do výšky 15 m rovnoměrným pohybem. Jak se změní polohová (potenciální) energie panelu? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s. ( Zvýší se o 15 kj) Jakou polohovou (potenciální) energii vzhledem ke kulatině má beranidlo o hmotnosti 500 kg ve výši 0,5 m nad zaráženou kulatinou? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s. (Výsledek,5 kj) Jak se změní polohová (potenciální) energie kladiva o hmotnosti 45 kg, jestliže ho zvedneme do výšky 1,6 m? Hodnota tíhového zrachlení je 10 m/s. ( Zvýší se o 70 J) Klec těžního stroje o hmotnosti 400 kg vyjíždí rovnoměrným pohybem z těžní jámy hluboké 50 m na povrch. Jak velkou polohovou (potenciální) energii vzhledem ke dnu těžní jámy získá klec? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s. (Výsledek,1 MJ) Jak se změní polohová (potenciální) energie hodinového závaží o hmotnosti 0,5 kg, jestliže ho vytáhneme do výšky 50 cm? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s. ( Zvýší se o,5 J) Newtonův gravitační zákon Newtonův pohybový zákon - zákon všeobecné gravitace. Mějme dvě tělesa o hmotnostech m 1 a m, pak bylo empiricky zjištěno, že síla, kterou na sebe působí, je přímo úměrná součinu hmotností a nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti. F ~ m 1. m F ~ 1/r F ~ (m 1. m )/r ----------------------------------------------------- F = κ.m 1. m /r Síla, kterou na sebe působí dvě tělesa, je přímo úměrná součinu jejich hmotností při konstantní vzdálenosti a nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti při jejich konstantních hmotnostech. κ = F. r /(m 1.m ) 10 z 18
- jedná se o Newtonovu gravitační konstantu. Její jednotkou je [N.m /kg ] - velikost této konstanty je 6,67. 10-11 m 3.kg -1.s - Přitažlivost je obecnou vlastností hmoty. Gravitační konstanta se určuje empiricky. Je to velmi malá hodnota, a proto její určení dělalo fyzikům velké potíže. Poprvé byla určena koncem 18. století (fyzik Cavendish). Nezávisle na něm a těsně po něm ji určil i německý fyzik Jolly. K pokusnému určení se používají citlivé váhy a kulička o malé hmotnosti m a veliká koule o hmotnosti m (např. 100 tun). Provádí se dvojí měření (vážení). Jednou je kulička v horní poloze. Působí na ni síla F, která se skládá z tíhy dané kuličky a z přitažlivé síly, kterou na ni působí velká koule. Podruhé ji umístíme pod kouli. V tomto případě na ni působí síla F, která je rozdílem tíhy a přitažlivé síly koule. Newtonova gravitační konstanta je číselně rovna velikosti takové síly (6,67. 10-11 N), kterou na sebe působí dvě tělesa o hmotnosti 1 kg ze vzdálenosti 1 m. Naše Země vytváří kolem sebe gravitační pole, které nazýváme tíhovým polem. Země působí na každé těleso v jejím poli určitou silou, kterou nazýváme tíží tělesa. V gravitačním poli Země působí gravitační zrychlení. S rostoucí vzdáleností od zemského povrchu zrychlení klesá. Pohyby těles v gravitačním poli A. Pohyby těles ve stejnorodém tíhovém poli Tíhové pole je stejnorodé, jestliže na těleso působí v každém jeho místě stejně velká tíhová síla, stejného směru. Jestliže je těleso vrženo ve stejnorodém tíhovém poli, koná pohyb složený z přímočarého rovnoměrného pohybu, v souhlase se zákonem setrvačnosti, a z volného pádu. Podle směru počáteční rychlosti je vrh svislý, vodorovný nebo šikmý. V prvém případě je pohyb přímočarý, v ostatních případech je dráha parabolická, vyloučíme-li odpor vzduchu. B. Pohyby těles v nestejnorodém poli a) Padá-li těleso volně s nulovou počáteční rychlostí z velké výšky nad Zemí, nemůžeme považovat 11 z 18
tíhové pole podél jeho dráhy za stejnorodé., protože gravitační zrychlení není stejné. b) Těleso vržené z povrchu Země tak, že dosáhne velké výšky a dálky vrhu, se pohybuje také v nestejnorodém gravitačním poli Země. Jeho dráha je elipsa. Praktický význam mají tyto poznatky při posuzování rychlosti družice, která je na oběžné dráze kolem Země a její oběžné doby kolem Země. Lze spočítat, že družice, která by obíhala po kružnici těsně nad povrchem Země, by měla rychlost 7,9 km/s; její oběžná doba by byla 84 minut. Tato rychlost se nazývá první kosmická rychlost. Kruhová rychlost družice ve výšce h nad zemským povrchem musí tedy být větší než 7,9 km/s. Těleso se pak nepohybuje po kružnici, ale po elipse. Bude-li ale rychlost větší nebo rovna rychlosti 11, km/s, pak těleso opouští gravitační pole Země. Tato rychlost se nazývá druhá kosmická rychlost. Pokud by těleso přesáhlo rychlost 16,7 km/s (= třetí kosmickou rychlost), pak by opustilo sluneční soustavu. Tíhové pole, tíha, tíhové zrychlení V gravitačním poli jsme hovořili o gravitačním zrychlení a gravitační síle. Vzhledem k tomu, že Země rotuje, vytváří se vlivem rotace odstředivá síla a tělesa, která se v gravitačním poli nacházejí, podléhají působení této síly. Předpokládejme, že Země je kulatá. Gravitační síla směřuje do středu Země. Těleso, které je kdekoliv na Zeměkouli (s výjimkou rovníku nebo pólů, což jsou případy, které probereme individuálně), podléhá odstředivé síle, která je kolmá na osu rotace. Síly se skládají. Dostáváme nové pole - tíhové pole zemské. Je zřejmé, že velikost síly (tíhy tělesa) závisí na zeměpisné šířce, v níž se těleso nachází. Krajní případy: Největší tíha je na pólech, protože odstředivá síla je zde rovna nule. Naopak na rovníku je odstředivá síla maximální, neboť je zde největší poloměr otáčení, a tíha je zde tedy minimální. Směrem od rovníku k pólům klesá odstředivá síla a roste tíhová síla. Totéž platí o zrychlení. Pozn.: Zrychlení odstředivé - maximální na rovníku, nulové na pólech. Tíhové zrychlení je tedy minimální na rovníku a maximální na pólech. Na pólech má stejnou hodnotu jako zrychlení gravitační. Tíhové zrychlení na rovníku je 9,785 m/s, na pólu je 9,834 m/s. Na zeměpisné šířce 45 dělá 9,8066 m/s. V naší zeměpisné šířce (Praha 50 05 ) má hodnotu 9,8109 m/s. Vrh těles různým směrem Složené pohyby - jsou to pohyby, které vzniknou složením dvou nebo více pohybů. Budeme se zabývat složením pouze dvou pohybů, a to přímočarých. Zákon nezávislosti pohybů Koná-li těleso dva nebo více pohybů, pak jeho výsledná poloha nezávisí na tom, koná-li 1 z 18
tyto pohyby současně nebo v libovolném pořadí po sobě. U složených pohybů se budeme zabývat takovými pohyby, které se skládají z volného pádu a rovnoměrného přímočarého pohybu. Podle směru rovnoměrného pohybu je dělíme na: vrh svislý vzhůru (pohyb rovnoměrný svisle vzhůru) vrh šikmý vzhůru (pohyb rovnoměrný šikmo vzhůru) vrh vodorovný (pohyb rovnoměrný vodorovně) vrh šikmý dolů (pohyb rovnoměrný šikmo dolů) vrh svislý dolů (pohyb rovnoměrný svisle dolů) V první a v posledním případě z výše uvedených je výsledný pohyb přímočarý, v ostatních případech se těleso pohybuje po parabole. Pozn.: Při studiu těchto pohybů budeme předpokládat, že jde o homogenní pole a zanedbáváme odpor vzduchu. 1. Vrh svislý vzhůru v = v 1 + v = v 0 + (-g). t = v 0 - gt... rychlost vrhu svislého vzhůru Rychlost vrhu svislého vzhůru je lineární funkcí času. Grafickým znázorněním této závislosti je přímka, která neprochází počátkem. Doba, kterou těleso potřebuje na překonání vzdálenosti z bodu A do bodu B, je doba výstupu - stoupání T. V bodě obratu v = v 0 -g.t = 0 odtud T = v 0 /g s = s 1 + s = v 0.t - gt /... dráha vrhu svislého vzhůru (je kvadratickou funkcí času; grafickým znázorněním je část paraboly) H... dráha (výška výstupu) g v0 g v0 v0 H = v0 T T = v0 = g g g Výška výstupu je tedy přímo úměrná druhé mocnině počáteční rychlosti. Ptejme se, jakou rychlostí v 0 těleso dopadne. Lze vypočítat z výše uvedeného vzorce nebo ze zákona zachování energie. V obou případech by nám ale vyšlo, že rychlost dopadu je stejně velká jako rychlost, kterou bylo těleso vrženo. Obdobně by se dalo dokázat, že doba výstupu je rovna době pádu.. Vrh šikmý vzhůru 13 z 18
Vrh šikmý vzhůru se skládá z rovnoměrného přímočarého pohybu šikmo vzhůru a z volného pádu. Odvození vzorců je poněkud náročnější, proto se omezíme pouze na výsledky. Dráha vrhu šikmého vzhůru je vyjádřena jako kvadratická funkce. Proto těleso vržené šikmo vzhůru se pohybuje po parabole. Graf paraboly prochází počátkem. Doba výstupu: T v0 =.sin α g Doba, po níž těleso stoupá, je stejně velká jako doba, po kterou klesá. Výška výstupu: v H = Dostřel: v S =.sin g 0 α 0.sin g α Dostřel je maximální pro úhel 45. Pozn.: Těleso, které je vrženo ve skutečném gravitačním poli Země opisuje tzv. balistickou křivku - z důvodu odporu vzduchu. 3. Vrh vodorovný Těleso vržené ve směru vodorovném koná přímočarý pohyb a ve směru svislém koná volný pád. Pohybuje se po parabole. Dostřel: S = v 0. h g Výška, z níž je těleso vrženo: g s H =. v 0 4. Vrh šikmý dolů 14 z 18
Pohyb se skládá z volného pádu a z pohybu rovnoměrného přímočarého směrem šikmo dolů. Výška, z níž bylo těleso vrženo: g H = v0t. sin α + t Dostřel: S = v 0. t. cos α Grafem dráhy je opět parabola, tentokráte otevřená směrem dolů. Prochází počátkem. 5. Vrh svislý dolů Skládá se z rovnoměrného přímočarého pohybu svisle dolů a z volného pádu. Oba pohyby mají tentýž směr i tutéž orientaci. Rychlost dopadu tělesa: v = -v 0 - g.t Dráha, kterou těleso urazí: s = v t + 0 g t Pokud potřebujeme spočítat dobu, za níž těleso dopadne, použijeme zpravidla vzorec pro dráhu a řešíme kvadratickou rovnici s neznámou t. Dráhou je přímka. Vrh těles - ukázkové příklady 15 z 18
1. Z povrchu Země byla vystřelena střela rychlostí o velikosti 60 m/s pod elevačním úhlem 60. Do jaké vodorovné vzdálenosti s střela doletí, považujeme-li povrch Země za ideálně rovný? Návod: v 0 = 60 m/s α = 60 s =? [m] ------------------------------------ v0.sin α 60.sin.60 s = = g 9,81 s = 318 m Střela dopadne ve vzdálenosti asi 318 m.. Těleso je vrženo svisle vzhůru rychlostí v 0 =,45 m/s. Vypočtěte dobu a výšku výstupu, dobu dopadu a rychlost dopadu. Návod: v 0 =,45 m/s T =? [s] H =? [m] v d =? [m/s] -------------------------------------- T = v 0/g =,45/9,81 T = 0,5 s (po zaokrouhlení) 563 561 H = v 0 /(g) =,45 /(.9,81) H = 0,306 m (po zaokrouhlení) v d = v 0 =,45 m/s Těleso stoupalo 0,5 s, dosáhlo výšky 0,306 m a dopadlo rychlostí,45 m/s. 3. Těleso je vrženo vodorovně rychlostí 30 m/s z vrcholu věže 80 m vysoké. Vypočtěte, jak daleko od paty věže těleso dopadne. Návod: h = 80 m v 0 = 30 m/s s =? [m] ------------------------------------ s = v h g 0 = 30..80 9,81 s= 11 m (po zaokrouhlení) Těleso dopadne 11 m od věže. 56 16 z 18
Vrh těles - procvičovací příklady 1. Jaké rychlosti dosáhne těleso, které padá volným pádem po dobu 3,0 sekund? Těleso dosáhne rychlosti 9 m/s.. Jak velkou rychlostí byl vystřelen šíp svisle vzhůru, jestliže se vrátil za 7 sekund?. Jaké největší výše dosáhl? Šíp byl vystřelen rychlostí 34,3 m/s a dosáhl výše 60,05 m. 3. Míč je vržen od okraje balkonu vysoké budovy svisle vzhůru tak, že při cestě zpět mine okraj balkonu za,0 sekundy od okamžiku vyhození. Vypočtěte velikost rychlosti, kterou padající míč mine okraj balkonu. Velikost rychlosti je 9,81 m/s. 4. Letadlo letí vodorovně ve výšce 5,0 km nad povrchem Země a má rychlost o velikosti 600 km/h. V jaké vodorovné vzdálenosti d od místa A je třeba vypustit volně těleso o hmotnosti 10 kg, aby dopadlo do místa A? 5 300 m 5. Kámen vržený vodorovným směrem dopadl na vodorovný povrch Země ve vzdálenosti 15 m od místa vrhu za dobu 0,60 s od okamžiku vrhu. Jak velkou počáteční rychlostí byl kámen vržen? Odpor vzduchu zanedbejte. Kámen byl vržen rychlostí 5 m/s. 6. Letadlo letící vodorovně rychlostí 70 km/h vypustilo nad místem A bombu, která dopadla ve vzdálenosti 900 m od tohoto místa. V jaké výši letadlo letělo? 70 m 7. Letadlo letí ve výši 70 m a vypustí nad místem C bombu. Bomba spadne ve vodorovné vzdálenosti 1680 m od místa C. Jakou rychlostí letí letadlo? Letadlo letí rychlostí 140 m/s. 8. Těleso bylo vrženo svisle vzhůru rychlostí o velikosti 4,0 m/s. Jak vysoko vystoupilo? Těleso vystoupilo do výšky 0,8 m. 9. Za jakou nejkratší dobu t dosáhne těleso vržené svisle vzhůru počáteční rychlosti o velikosti 40 m/s, výšky 60 metrů? Těleso dosáhne zadané výšky za,0 sekundy. 10. Z letadla letícího vodorovně rychlostí 180 km/h ve výši 100 m byla uvolněna bomba. Za jakou dobu dopadla a v jaké vzdálenosti musela být uvolněna, aby dopadla na cíl? Bomba dopadla za dobu 15,5 s a do vzdálenosti 775 m. 57 567 570 564 575 565 569 573 571 568 17 z 18
11. Volně padající těleso má v bodě A rychlost o velikosti 30 m/s, v níže položeném bodě B rychlost o velikosti 70 m/s. Jaká je vzdálenost bodů A a B? Vzdálenost bodů je 00 metrů. 574 1. Těleso bylo vrženo svisle vzhůru a spadlo zpět za 10 sekund. Do jaké výše vystoupilo? 566 1,5 m 18 z 18
Obsah Mechanická práce 1 Mechanický výkon 4 Mechanická energie 7 Newtonův gravitační zákon 10 Pohyby těles v gravitačním poli 11 Tíhové pole, tíha, tíhové zrychlení 1 Vrh těles různým směrem 1 Vrh těles - ukázkové příklady 15 Vrh těles - procvičovací příklady 17 18.1.005 :44:51 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)