ISTITUT EKOOMIKÝH STUIÍ Fakula socálních věd Unversy Karlovy Ohrožená hodnoa Sudní ex č. k předměu Řízení porfola a fnančních rzk řednášeící: doc. Ing. Oldřch ědek, Sc.
. OHROŽEÁ HOOTA (VaR. Typologe rzk obchodní rzko e podsupováno v rámc konkurenčního boe na rzích, na nchž frma vyvíí svo podnkaelskou akvu (nvesce do echnologckých novací, volba vzhledu výrobku, zvolená markengová sraege sraegcké rzko e dáno nepředvídaným změnam základních paramerů ekonomckého a polckého prosředí důležých pro vyvíení podnkaelské čnnos (vyvlasnění, uvalení obchodních resrkcí, pád železné opony, a. fnanční rzko pramení z poencálních zrá na fnančních rzích v důsledku nepříznvého vývoe fnančních velčn (úrokové sazby, měnové kurzy, cena ropy, ceny akcí, a. řízení fnančních rzk spočívá v uplaňování posupů pro denfkac, měření a konrolu fnančních rzk fnanční nženýrsví e obor fnancí zaměřený na vyváření násroů, keré poskyuí ochranu před fnančním rzky č umožňuí ao rzka vědomě podsupova s cílem dosáhnou abnormální zsk základní formy fnančních rzk: ržní rzko e rzko poencálních zrá v důsledku cenových změn fnančních akv a závazků (cenová volala čl kolísavos krední rzko e rzko poencálních zrá v důsledku neschopnos č neochoy někeré ze sran konraku dosá svým závazkům (defaul vypořádací rzko (selemen rsk e rzko nedodržení závazků ednou sranou konraku poé co druhá srana své závazky splnla lkvdní rzko se ýká poencálních zrá v důsledku nedosaečné ržní akvy bránící provedení ransakcí za danou ržní cenu č v důsledku nedosaku pohoové lkvdy pro plnění běžných závazků operační rzko e rzko poencálních zrá v důsledku nesprávných sysémů řízení a konroly, ldských chyb č vědomých podvodů, přírodních pohrom, a. ohrožená hodnoa (value-a-rsk, VaR e meoda pro agregované měření ržního rzka
3. Hsorcký přísup k měření VaR volba rozhodného období (holdng perod pro měření změn δ rzkové velčny (den, dní, měsíc, rok, apod. délka rozhodného období by měla deálně odpovída délce období, během něhož lze provés spořádanou lkvdac rzkového akva č porfola (rozprodání akv obvyklým ransakcem bez nunos podsupova lkvdní rzko sanovení délky rozhodného období e do značné míry oázkou konvence (bankovní regulace sanoví dní denfkace pravděpodobnosního rozdělení změn rzkové velčny, pro kerou má bý ohrožená hodnoa kvanfkována hsorcká meoda vychází k napozorovaného rozdělení čenosí mnulých realzací rzkové velčny ako aproxmace hledaného pravděpodobnosního rozdělení řložená abulka zachycue údae o ýdenním výkonu porfola za mnulých 5 pozorování. Manažer porfola e přesvědčen, že oo hsorcké rozdělení čenosí vyshue akuální pravděpodobnosní rozložení čenosí výkonnos porfola. Výnos -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 oče 4 9 8 5 7 3 8 4 8 rocena,33,33,67 6, 5,33,,33 3,33 5,33, 9,33 6,67 5,33 Kumulace,33,66 5,33,33 6,66 6,66 37,99 5,3 66,65 78,65 87,98 94,65 Je-l hodnoa spravovaného porfola 35 ml Kč., poom např.: a 5,33 e pravděpodobnos, že během ýdne porfolo zraí % své hodnoy,. bude mí hodnou nžší o 7 ml Kč b 5,33 e kumulavní pravděpodobnos, že porfolo na konc ýdne zraí 4 % a více,. bude mí hodnou nžší o 4 ml Kč a více volba hladny spolehlvos (confdence level a nalezení odpovídaícího dělícího bodu (cu-off pon čl kvanu δ splňuícího podmínku, že % všech realzací změn rzkové velčny se nachází napravo od δ a (- % všech realzací se
4 nalézá nalevo od δ (např. s pravděpodobnosí 95 % lze očekáva lepší výsledek než δ a s pravděpodobnosí 5 % lze očekáva horší výsledek než δ nečasěší hodnoy sou 95 % (RskMercs a 99 % (Basle ommee v ohrožená hodnoa (pro danou hladnu spolehlvos e defnována ako rozdíl očekávané změny rzkové proměnné a dělícího bodu pro sanovenou hladnu spolehlvos počáeční velkos rzkového akva (Kč očekávaná výnosová míra (% očekávaná změna rzkové velčny (Kč δ dělící bod odpovídaící zadané hladně spolehlvos (Kč dělící výnosová míra (% ( δ defnční vlasnos dělícího bodu: ( δ resp ( δ > a defnce ohrožené hodnoy: VaR ( Obrázek: Grafcké znázornění ohrožené hodnoy 5% δ VaR ohrožená hodnoa vyadřue akovou velkos negavní odchylky od očekávané změny rzkového akva, že pouze s pravděpodobnosí % (např. s pravděpodobnosí 5 č % lze během rozhodného období očekáva ešě horší odchylku Invesční společnos dosahue průměrný denní příem ve výš 5, ml US. Analýza 6 denních pozorování ukázala, že poče případů, kdy denní zráa převýšla 9,6 ml US, přpadá na 5 % všech pozorování. okud lze do budoucna očekáva sené rozdělení čenosí denních přímů, ohrožená hodnoa pro 95 %-ní hladnu spolehlvos ční
5 VaR 5, (-9,6 4,7 ml US 3. Varančně-kovaranční přísup k měření VaR pravděpodobnosní rozdělení procenní změny δ / náhodné velčny se řídí normálním rozdělením se směrodanou odchylkou náhodná velčna (,,. normálním rozdělením se sřední hodnoou a ( x ( δ / exp π se poom řídí rozdělením δ Φ (,,. normovaným normálním rozdělením (s nulovou sřední hodnoou a s ednokovou směrodanou odchylkou - plaí vzah δ ( Φ dx ( δ e dělící bod normovaného normálního rozdělení (pro hladnu spolehlvos e dělící bod velčny δ (pro hladnu spolehlvos - analycké vyádření ohrožené hodnoy VaR [( ( ] časo používané hodnoy dělícího bodu pro pořeby měření VaR : Hladna ělící spolehlvos (% bod 9,8 95 (RskMercs,645 99 (Basle ommee,36 v podléhaí-l mezdenní změny náhodné velčny nezávslým normálním rozdělením s nulovou očekávanou hodnoou, poom pro VaR s délkou rozhodného období T plaí
6 konverze T T Meodka B (Basle ommee pracue s desedenním VaR př 99 %-ní hladně spolehlvos, zaímco meodka RskMercs pracue s ednodenním VaR př 95 %-ní hladně spolehlvos. ebol VaR VaR B RM,36,645 Mez oběma meodkam ak plaí převodní vzah VaR B,36,36 4,47 VaR RM,36,645 VaR RM v výpoče ohrožené hodnoy porfola δ procenní změna -ého akva podléhaící normálnímu rozdělení, ( δ δ θ procenní změna porfola, θ řídí-l se procenní změny rzkových akv normálním rozdělením, poom procenní změna porfola (daná ako vážený souče velčn s normálním rozdělením se řídí normálním rozdělením,, lze proo aplkova varančně-kovaranční přísup ( nedverzfkovaná ohrožená hodnoa (VaR VaR VaR VaR odhlíží od efeku dverzfkace (rovnocenné předpokladu dokonalé kladné korelace rzkových akv
7 dverzfkovaná ohrožená hodnoa (VaR VaR ( ( ( θ θ θ ρ ρ ( VaR Var VaR ρ omezuící vlasnos normálního rozdělení: - symere normálního rozdělení nevyhovue někerým ypům rzkového chování (zeména pravděpodobnosnímu rozdělení krední rzko - enké konce normálního rozdělení emprcky podhodnocuí pravděpodobnos exrémních výkyvů 4. Ohrožená hodnoa vybraných nsrumenů a porfolo akcí ohrožená hodnoa -é akce: VaR S dělící bod normovaného normálního rozdělení odpovídaící zadané hladně spolehlvos S akuální hodnoa -é akce volala (směrodaná odchylka akce VaR akcového porfola VaR S VaR akcového porfola S Akcové porfolo Velkos porfola (ml US Jednodenní volala (% A B 5 Jak velkého snížení ohrožené hodnoy (dle sandardů B bude dosaženo sdružením daných dvou akcových porfolí do ednoho porfola, vykazuí-l yo akce korelac,3? Sandard
8 B e defnován pro 99 % hladnu spolehlvos a pro rozhodné období v délce dnů. VaR,33 (, 5,, 84 ml US VaR,33,,5,,5,3,6 ml US Efek dverzfkace přnáší úsporu ohrožené hodnoy ve výš US. b kupónová oblgace posup:- rozporcování oblgace (oblgačního porfola na hoovosní oky bezkupónových oblgací - aplkace nulových sazeb pro nalezení současné hodnoy každé bezkupónové oblgace - výpoče VaR pro porfolo bezkupónových oblgací (varančně-kovaranční meodou Oblgační porfolo e vořeno následuícím dvěma oblgacem omnál Kupón Splanos (ml US (% (roky A 6 5 B 4 Tabulka pomocných propočů (ve sloupc Volala e roční volala ž vynásobena hodnoou dělícího bodu pro 95 %-ní hladnu spolehlvos Rok Hoovosní ok ulové Současná Volala VaR A B sazby hodnoa (% 6 4 4, 5,77,47,497 6 4,6 5,48,99,54 3 6 5,9 5,5,48,76 4 6 5,7 4,8,97,95 5 6 6, 78,8,43,95 elkem,,637 6 4 VaR,47,497 (podobně pro osaní roky,4
9 edverzfkovaná ohrožená hodnoa daného porfola oblgací ční,637 ml US. verzfkovanou ohroženou hodnou lze získa macovou operací VaR ( V V '. Vsupy váhové mace obsahue sloupec Současná hodnoa, vsupy mace volal V (pro 95 %-ní hladnu spolehlvos obsahue sloupec Volala (po vydělení a vsupy mace korelačních koefcenů musí bý dodaečně zadány. echť RskMercs udává následuící hodnoy korelačních koefcenů mez výnosy bezkupónových oblgací daných splanosí:,89,89,87,86,99,98,97,99,99 ro hodnou dverzfkovaného VaR následně vychází,57 ml US. c oblgace s pohyblvým kupónem - současná hodnoa oblgace s pohyblvým kupónem se rovná své nomnální hodnoě, sou-l ako nelepší odhad budoucích úrokových sazeb použy mplkované forwardové sazby (vz seš Oblgace - držením akové oblgace není podsupováno prakcky žádné rzko, eí ohrožená hodnoa bude udíž nulová d dohoda o budoucí sazbě (FRA placení dohodnué fxní sazby po dobu FRA období e oéž co: - vyvoření akva (přeí půčky na začáku FRA období ve výš dohodnué pomyslné sny současná hodnoa ohoo akva e vysavena rzku znehodnocení v důsledku růsu úrokové sazby odpovídaící splanos - vyvoření závazku (splacení půčky s úrokem na konc FRA období (ve výš zúročené pomyslné sny současná hodnoa ohoo závazku e vysavena rzku svého zvýšení v důsledku poklesu úrokové sazby odpovídaící splanos
Banka zakoupla FRA 6 v 9 s pomyslnou snou ml US a za FRA sazbu,54 %. ásleduící abulka shrnue propoče nedverzfkovaného VaR. Termín Hoovosní ulová Současná enová VaR ok sazba (% hodnoa volala (% (ml US 6 (8/365 8 96 45, 9 (7/365-6 567 9-96 45,48-468 6567 (,54 96 45,8 8 365 9 365 6567,9 VaR daného FRA ak ční 468 6638 US. echť služba RskMercs udává korelační koefcen mez sazbam 6M a 9M ve výš,7. ro VaR proo vychází VaR ( 468,7 ( 468 354 US. Z výpoču e parné, že dverzfkovaná ohrožená hodnoa e ve srovnání s nedverzfkovanou ohroženou hodnoou polovční. nkasování předem neznámé pohyblvé sazby po dobu FRA období e oéž co: - vyvoření závazku (poskynuí půčky na začáku FRA období ve výš dohodnué pomyslné sny - vyvoření akva (obdržení spláky s úrokem na konc FRA období ve výš 7 365 zúročené pomyslné sny budoucí pohyblvou sazbou současná hodnoa pohyblvé nohy FRA bude nulová V M s 8 ( M 9 ( 6f 9 365 7 ( s 6 365 9 365 a o vzhledem k planos rovnce úrokové pary 8 9 7 ( s ( f ( s 6 365 6 9 365 ohrožená hodnoa pohyblvé nohy FRA e proo nulová 9 365 e úrokový swap zakoup úrokový swap e oéž co: - emova oblgac s pevným kupónem (placení fxní sazby - zakoup oblgac s pohyblvým kupónem (nkasování pohyblvé sazby aplkovány budou posupy pro výpoče VaR obou ypů oblgací
regulaorní pohled na VaR a VaR: - dverzfkované VaR, keré e obecně nžší než VaR, zohledňue mov zašťování rzka nžším požadavky na vorbu regulaorního kapálu - ve sresových suacích běžné korelační chování časo přesává pla, načež VaR by mohl movova nedosaečnou vorbu rezerv 3. Lneární a nelneární rzko meoda plné ohrožené hodnoy: - denfkace pravděpodobnosního rozdělení změn rzkové proměnné v průběhu rozhodného období - nalezení dělícího bodu pro danou hladnu spolehlvos - sanovení VaR z hsorckého rozdělení čenosí ( VaR ( nebo pomocí varančně-kovaranční meody ( VaR meoda parcální ohrožené hodnoy: - denfkace pravděpodobnosního rozdělení změn rzkového fakoru F, na ehož velkos významně závsí velkos rzkové proměnné (např. závslos ceny oblgace na úrokové sazbě, závslos opční préme na ceně podkladového akva, a. - denfkace funkční závslos mez rzkovou proměnnou a rzkovým fakorem (např. rovnce nákladů držebného př oceňování forwardových konraků, vzorec dskonovaného hoovosního oku př oceňování oblgací, Black-Scholesova formule př oceňování opcí, a. f (F - nalezení dělícího bodu rzkového fakoru pro danou hladnu spolehlvos (s pravděpodobnosí procen lze očekáva horší než krckou hodnou rzkového fakoru - sanovení ohrožené hodnoy ve výš změny rzkové velčny, kerou by způsobla krcká změna rzkového fakoru VaR δ f ( F lneární rzko se vyznačue lneární závslosí mez změnou rzkového fakoru a změnou rzkové proměnné
příklad: - závslos ceny forwardového konraku na ceně podkladového akva (vz seš Fuury ( r d T δ f δs rt Obrázek: Lneární rzko ermínového konraku f f f S S S - závslos bezkupónové oblgace na výnosu do splanos ( r T d d( r T r řídí-l se rzkový fakor normálním rozdělením, bude rzková velčna podléha normálnímu rozdělení, přčemž δ VaR k VaR F, k kons. δf F nelneární rzko se vyznačue nelneárním vzahem mez změnou rzkové proměnné a změnou rzkového fakoru hladká nelneara popsue případ, kdy vzah mez rzkovou velčnou a rzkovým fakorem má průběh hladké křvky (reakce závslé velčny na změnu nezávslé velčny e spoá příklady: - závslos ceny kupónové oblgace na velkos úrokové sazby (aproxmace durace-konvexa δ δr r K δr - závslos ceny akcové opce na ceně podkladové akce (aproxmace delagama δ δs Γ δs
3 Obrázek: elneární hladké rzko oblgace r r r orfolo oblgací má hodnou ml US př akuální hladně úrokových sazeb %. urace porfola e 4,7 roků a konvexnos 3,44. Jak velké e VaR ohoo porfola (na 5 %- ní hladně spolehlvos, eslže, % e právě a hladna úrokových sazeb, eíž překročení lze očekáva s pravděpodobnosí 5 %. 4,7 VaR, 3,44,, (,455,7 438 US Ohrožená hodnoa oblgačního porfola ční 438 US. Obchodník zakoupl lbrové prodení opce se záměrem zas konverz dolarového nkasa do lber. Zakoupené opční porfolo má akuální hodnou GB. Opční dela edné měnové opce ční,44 a opční gama e 3,. Volala měnového kurzu dolaru vůč lbře e vykazována ve výš 3,3 %. Jaké e VaR opčního porfola (na 95 %-ní hladně spolehlvos? dělící bod kurzového poklesu,645,33, 54 VaR (-,44,54 3,,54 3 3 GB zlomová nelneara popsue případ, kdy vzah mez rzkovou velčnou a rzkovým fakorem obsahue zalomení (závslá velčna reague na změnu nezávslé velčny skokově příklad: závslos výplay opce na ceně podkladového akva V max( S,
4 Obrázek: elneární zlomové rzko opce (kráká kupní opce V S 4. Smulace Mone arlo hsorcký přísup k výpoču VaR aproxmue pravděpodobnosní rozdělení pomocí hsorckého rozdělení čenosí, přčemž problémem bývá nedosaek dosaečného poču pozorování meoda Mone arlo předsavue počíačovou smulac dosaečně reprezenavního hsorckého rozdělení čenosí, akže umožňue provádě oceňování složých fnančních nsrumenů, echž cenovou formul nelze explcně sanov posup smulace: - specfkace náhodné raekore rzkového fakoru (náhodná procházka, Brownův pohyb, enerův proces, markovský proces Brownův pohyb ceny akce: S S S ( ε ε náhodné číslo podléhaící normovanému normálnímu rozdělení drf (bezrzkový výnos kolísavos př velkém poču pokusů budou cenové změny akce podléha normálnímu rozdělení pravděpodobnosí - se znalosí smulované budoucí ceny podkladového akva lze sanov výplau fnančního nsrumenu výplaa kupní opce V max( S, opční préme V - zadána e např. 95 %-ní hladna spolehlvos a provedeno bylo pokusů cena opce průměrná hodnoa všech smulovaných opčních prémí
5 dělící bod 5-sá (,5 nemenší smulovaná cena opce VaR cena opce dělící bod Tabulka zachycue prvních pě smulací meody Mone arlo pro sanovení ceny kupní opce s následuícím paramery: výchozí cena akce, uplaňovací cena 95, bezrzková sazba %, kolísavos %, doba do splanos rok. okus 3 4 5. áhodné,75,5,,,85 číslo. ělící bod,6745, -,846 -,86,346 3. Tempo růsu akce,349, -,683 -,563,376 4. ová cena akce 6,48,5 93,4 85,53 35,97 5. Vnřní hodnoa 3,48 5,5,, 4,97 6. ena opce 8,48 4,4,, 37,7 dělící bod Φ ([] (nverzní funkce normovaného normálního rozdělení empo růsu,, [] (Brownův pohyb ceny akce nová cena e [] vnřní hodnoa max([ 4] 95, (exponencální růs cena opce e [ 5], (exponencální dskonování holeskyho fakorzace smulace Mone arlo aplkovaná na vícesložkové porfolo musí zabezpeč, aby generovaná náhodná čísla respekovala korelační srukuru výnosů složkových akv η, η,, K náhodné proměnné sleduící normované normální rozdělení (generované η počíačem ε, ε,, K náhodné proměnné respekuící korelační srukuru výnosů složkových ε akv porfola holeskyho ransformace:
6 koefceny a ε a η ε a η a η... ε a η a η K a η lze obdrže řešením rovnc (vhodně uspořádaných do srukury roúhelníkové mace var( ε var( a a η K η,, K, ρ cov( ε, ε cov( a a, a a η K η η K η, přčemž var( η, cov( η, η holeskyho fakorzace pro případ dvou akv: ε η ε ρη ρ η
7. ŘÍZEÍ KREITÍHO RIZIKA krední rzko předsavue rzko fnanční zráy v důsledku vznku někeré z kredních událosí - čásečné č úplné selhání dlužníka př plnění fnančních závazků (spláce úvěr č úroky z úvěru, vypláce kupón, a. - snížení úvěrového hodnocení (rangu ako míry schopnos generova přímy ke splácení fnančních závazků - zvýšení kredního spreadu v důsledku vněších neovlvnelných skuečnosí (zvýšená polcká nesoa, vysoké defcy běžného úču, a. supnce rangových agenur Moody s: Aaa, Aa (Aa, Aa, Aa3, A (A, A, A3, Baa, Ba, B, aa, a,, S&: AAA, AA (AA, AA-, A (A, A-, BBB, BB, B,,,,. Analýza kredních spreadů krední spread e rzková přrážka k výnosu bezrzkové oblgace ako kompenzace za podsupované rzko selhání oblgace bezrzkové nulové sazby exrahované z výnosů vládních oblgací: z, z,, K z T rzkové nulové sazby exrahované z výnosů oblgací dané řídy rzka : ξ, ξ, K, spreadová křvka: ξ T φ z, z ξ, K φt ξt Obrázek: Spreadové křvky Výnos T φ AA AA φ AAA Splanos
8 emprcké pravdelnos: - spready se zvyšuí s klesaícím rangem oblgací - spready se zvyšuí s rosoucí splanosí oblgací a rzkově-neurální pravděpodobnos selhání v rzkově neurálním prosředí se výnos všech nvesčních příležosí rovná bezrzkovému výnosu (důsledek absence arbrážových příležosí očekávaná výplaa -leé bezkupónové oblgace př splanos: q R M ( q M q rzkově neurální pravděpodobnos selhání oblgace R výěžnos oblgace př selhání M sna podmínka absenuící arbráže: ržní cena oblgace (budoucí hoovosní ok oblgace dskonovaný rzkovou sazbou současná hodnoa očekávané výplay oblgace (očekávaná výplaa oblgace dskonovaná bezrzkovým výnosem M ( ξ M ξ q R M ( q M ( z, Q M z ( ( Q ( q R q (cena rzkové a bezrzkové oblgace q z Q ξ ( ( ξ z ( φ φ & & R R R R R eseleá bezkupónová oblgace s rangem BBB se prodává se spreadem b.b. nad deseleou bezkupónovou vládní oblgací. Hsorcká výěžnos éo řídy oblgací v případě selhání ční 4 %. Jaká e rzkově-neurální pravděpodobnos selhání éo oblgace př eí splanos. (, q,33 33 %,4
9 b zráa ze selhání (loss gven defaul, LG LG e procenuální čás hodnoy oblgace (půčky zracené v případě eího selhání (doplněk k výěžnos oblgace př selhání, LG R vzah rzkového spreadu a LG: φ & q LG rzkový spread očekávaná procenní zráa věší č menší spread vůč bezrzkové oblgac odráží vyšší resp. nžší očekávanou zráu Splanos Bezrzkový Rzkový Očekávaná výnos (% výnos (% zráa (% 5, 5,5,4 5, 5,5,94 3 5, 5,7,93 Z údaů abulky např. vyplývá, že očekávaná zráa ze selhání říleé oblgace ční,93 % hodnoy říleé bezrzkové oblgace, přčemž,93 % (,57 : (,5 3 3 c využí swapových sazeb velkos pravděpodobnos selhání lze exrahova ze swapových sazeb za předpokladu, že křvku referenčních sazeb Lbor lze zoožn s křvkou bezrzkových sazeb Invesor má možnos zakoup pěleou oblgac s kupónem 7,5 % a současně zakoup pěleý swap s fxní sazbou 6 %. Výnosová křvka nulových sazeb e plochá na úrovn 4,5 %. kupón 7,5 % Invesor fx 6 % Lbor Swapový obchodník nvesce do oblgace držení oblgace a příem fxního kupónu 7,5 %
nvesce do oblgace a zakoupení swapu držení oblgace a nkasování spreadu 5 b.b. nad bezrzkovou sazbou spread 5 b.b. lze nerpreova ako kompenzac za podsoupené rzko selhání oblgace, keré ak navyšue cenu 5-leé oblgace o čásku 5,5 (,45 6,58 d hsorcké pravděpodobnos selhání produk rangových agenur zobecňuící emprcké zkušenos se selháním oblgací mezní míra úmrnos (margnal moraly rae, MMR udává, aké proceno oblgací emovaných s daným hodnoícím supněm selže v daném roce svého žvoa MMR MMR hodnoa oblgací daného supně selhávaících v prvním roce žvoa celková hodnoa oblgací daného supně sarých eden rok hodnoa oblgací daného supně selhávaících v druhém roce žvoa celková hodnoa oblgací daného supně sarých dva roky abulkové MMR se zšťuí ako průměr uvedených podílů za delší časové období, ve kerém e zohledněna síla daného roku v poču obíhaících emsí Splanos Rang 3 5 AAA,,,4,67 AA.,4,,39 A,4,,,59 BBB,4,55,89 6,85 5,6 34,79 4,6 66, MMR, 89 pravděpodobnos, že oblgace emovaná s hodnocením BBB 3 BBB selže ve řeím roce svého žvoa ční,89 % (u oblgací s vysokou akosí rose mezní pravděpodobnos selhání v čase, zaímco u oblgací
s horší akosí ao pravděpodobnos v čase klesá míra přeží (survval rae, SR udává pravděpodobnos, že oblgace daného supně v příslušném roce neselže SR MMR kumulavní míra úmrnos (cumulave moraly rae, MR udává pravděpodobnos, že oblgace daného supně selže v průběhu daného poču le MR SR SR K SR odhady pravděpodobnos selhání exrahované z pozorovaných spreadů výrazně převyšuí hsorcké pravděpodobnos selhání vysvělení: - pozorované spready nadhodnocuí průměrnou zráu ze selhání oblgace resp. kompenzuí nvesory za podsupování dalších rzk (rzko nedosaečné lkvdy, bezpečnosní polšář pro krzovým scénářům odhlédnuí od ěcho fakorů by snížlo spread a ím exrahovanou pravděpodobnos selhání - meoda exrakce předpokládá rzkově neurální prosředí, kdy požadovaný výnos všech nvesc e roven bezrzkovému výnosu (vyšší rzko e kompenzováno nžším oceněním reálné ceny oblgací vycházeí z vyšší kompenzace za rzko, což snžue ech cenu a zvyšue exrahovanou pravděpodobnos selhání e exrakce pravděpodobnos selhání oblgace z cen akcí z pohledu eore oceňování opcí lze na selhání oblgace (č akéhokol ného dluhu pohlíže ako na uplanění specfcké opce e-l hodnoa fremních akv věší než velkos dluhu, akconář dluh splaí a získávaí hodnou frmy zmenšenou o velkos splaceného dluhu, kerá e odražena v hodnoě akcí e-l hodnoa fremních akv nžší než velkos dluhu, akconář dávaí frmu do úpadku a hodnoa akcí e nulová S T max( A, T
S T hodnoa vlasního mění (akcí př splanos dluhu velkos dluhu A T hodnoa akv frmy (př splanos dluhu Obrázek: Hodnoa zadlužené frmy z pohledu vlasníků S T A T graf koncové výplay e shodný s výplaou dlouhé kupní opce čl akconář zakoupl od nvesorů kupní opc na svá akva s uplaňovací cenou S T rt f ( A,, r, T, A A ( d e ( d A počáeční hodnoa fremních akv, r bezrzková sazba, volala fremních akv, d rzkově-neurální pravděpodobnos A ( uplanění opce (. selhání dluhu bezprosředně nepozorovaelné velčny sou Iô lemma: S S ( d A A A úlohu lze řeš ako sousavu dvou rovnc pro dvě neznámé, A. Ohrožený kred měření ohroženého kredu (cred-a-rsk, ar spočívá v aplkac meodologe ohrožené hodnoy na měření kredního rzka pravděpodobnosní rozdělení zsků a zrá vlvem kredního rzka e vesměs asymercké, neboť pravděpodobnos zráy ako důsledek snížení rangu e mnohem vyšší než pravděpodobnos zsku ako důsledek zvýšení rangu normální rozdělení ak en přblžně vyshue fakcké rozdělení kredních zsků a zrá, edy varančně-kovaranční přísup k měření ar ( ar přblžnou mírou ohrožené hodnoy proo bude en redmercs e ucelený přísup k měření ar vypracovaný bankou J.. Morgan
3 ohrožený kred ndvduální oblgace. abulka mgračních (ranzních pravděpodobnosí sandardní produk emprckých analýz rangových agenur obsahue pravděpodobnos, s ako oblgace daného rangu změní během daného období (nečasě eden rok svů rang na odpovídaící nový supeň říklad ranzních pravděpodobnosí pro oblgace rzkové řídy BBB: AAA AA A BBB BB B BBB,,33 5,95 86,93 5,3,7,,8. abulka alernavních hodno oblgace pro každý nový hodnoící supeň abulka udává, ak velká by byla cena oblgace, kdyby ao oblgace změnla svů rang na odpovídaící nový supeň př výpoču alernavních cen se používaí nulové sazby bezkupónových oblgací členěné dle příslušné splanos a rzkové řídy oblgace (hodnoa oblgace v případě eího selhání e odvozena z emprcky napozorovaných výěžnosí 3 4 Výnosová křvka nulových oblgací s hodnocením AAA Výnosová křvka nulových oblgací s hodnocením AA.......................................................... Tříleá par oblgace s rangem BBB vyplácí roční kupón 8 %. ulové sazby pro sousední rangy A a BB sou následuící 3 A 6,5 6,75 7,5 BB 9,5 9,7, okud by s oblgace během roku zvýšla rang na supeň AA, prodávala by se za cenu A 8,65 8,675 8,75 3,49 okud by byl snížen rang oblgace na supeň BB, oblgace by se prodávala za cenu
4 BB 8,95 8,97 8 3, 95, Obdobným způsobem budou zšěny ceny odpovídaící zbývaícím rangům: AAA AA A BBB BB B BBB 4, 3,,5, 95, 87, 75, 58, 3. výpoče očekávané hodnoy, směrodané odchylky a ar e-l známa cena oblgace pro ednolvý rang a pravděpodobnos dosažení každého ednolvého rangu, lze použí výpoče E( p AAA ( p ar AAA AAA ( p AAA AA AA E( KK p KK p ( p E( p pravděpodobnos získání rangu cena oblgace v případě získání rangu Jak velký e ohrožený kred oblgačního porfola o nomnální hodnoě ml US (př 95 %-ní hladně spolehlvos, e-l oo porfolo vořeno oblgacem s paramery předchozího příkladu? E( 99,57,68 ar,645,68 887 US ohrožený kred porfola dvou oblgací. abulka sdružených mgračních pravděpodobnosí AAA AA A BBB...
5 AAA,,,,. BBB 79,69 4,34. sou-l mgrační pravděpodobnos daných dvou oblgací vzáemně nezávslé, získaí se sdružené pravděpodobnos ako součn ndvduálních pravděpodobnosí sou-l pravděpodobnos mgrací sou korelované, používá redmercs dále rozvedenou echnku dělících bodů se znalosí sdružených pravděpodobnosí lze posupova běžným způsobem E Q p ( Q p ( Q K p ( Q ( AAA, AAA AAA AAA AAA, AA AAA AA, celkem sčíanců, e-l celkově hodnoících supňů ( Q E[( Q E( Q] ar ( Q. přřazení dělících bodů mgračním pravděpodobnosem předpokládá se, že změna rangu e důsledkem změny ržní hodnoy akv emena (vyšší hodnoa akv se proeví ve zvýšeném hodnocení a naopak předpokláda lze proo posloupnos dělících výnosů s následuící vlasnosí: (,,, K,, AA AAA δ selhání emena δ emenov bude snížen rang na supeň................................................... δ emenov bude zvýšen rang na supeň AA AA AAA AAA δ emenov bude zvýšen rang na supeň AAA pravděpodobnos, s akou nasanou uvedené změny rangu, popsuí emprcké mgrační pravděpodobnos (,,, K,, AA AAA
6 čl ( ( ( AAA AAA... δ δ δ za předpokladu, že změna ržní hodnoy akv podléhá normálnímu rozdělení, lze ednoznačně sanov dělící výnosy normovaného normálního rozdělení ( δ AAA AA,,,,, K K lusrace případu selhání oblgace: ( ( ( ( δ Φ číslo se nalezne v abelovaných hodnoách normovaného normálního rozdělení lusrace pro obecný rangový supeň: ( ( ( δ Φ Φ se znalosí hodno a se nalezne v abelovaných hodnoách normovaného normálního rozdělení Oblgace má výchozí rang A. alezněe dělící body odpovídaící zadané velkos mgračních pravděpodobnosí. Σ B BB BBB A AA AAA,6,,6,74 5,5 9,5,7,9 Σ,6,7,33,7 6,59 97,64 99,9-3,4-3,9 -,7 -,3 -,5,98 3,
7 3. sanovení kovarance mgračních pravděpodobnosí hledán e koefcen ρ vyshuící kovaranc mgračních pravděpodobnosí (nelze e odhadnou přímo z pozorovaných da aké zásupná proměnná e použa kovarance mez změnam ržní hodnoy akv emenů (resp. obchodovaných akcí popř. kovarance mez změnam fakorů deermnuících ržní hodnou akv emenů (aplkace vícendexního modelu 4. propoče sdružených mgračních pravděpodobnosí poče propočů (poče rangových supňů ( ( ( ( Φ ( ( ( ( ( exp, (, (,, ρ ρ ρ π δ δ y y x x y x f dxdy y x f y x Y Y Y Y Y Y ohrožený kred porfola lbovolného poču oblgací problém porfola složeného z obecného poču oblgací e ransformován na problém dvousložkových porfolí var( ( var( var(, cov( var( var( var(, cov( var( var( n K K
8 Leraura Anson M..: red ervaves, Frank J. Fabozz Assocaes, 999. Buler.: Maserng value a rsk, rence Hall, 999 Joron.: Value a Rsk, McGraw-Hll, 995. Saunders A.: red Rsk Measuremen. John ley & Sons, Inc., 999.