EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY

Transkript

1 . přednáška EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY Ekonomcko matematcké metody (též se užívá název operační analýza) sou metody s matematckým základem, využívané především v ekonomcké oblast, v oblast řízení a organzace. Tyto metody vznkaly v období kolem druhé světové války, kdy bylo nezbytné rychle a účnně řídt voenské operace. Operační analýza se vyznačue těmto základním charakterstkam:. týmová spolupráce uplatnění mnoha přístupů z různých oborů k řešenému problému. systémový přístup evy a procesy sou chápány komplexně, se všem souvslostm. používání modelové technky. používání specálních metod a algortmů. využtí výpočetní technky. ustálený postup řešení problémů Operační analýza e systémová dscplína, kdy systém e účelově defnovaná množna prvků a vztahů mez nm. Takový systém vykazue ako celek určté vlastnost a chování v čase. Modelování a eho význam V modelování se eden systém (orgnál) nahrazue druhým systémem (modelem). Model e záměrně zednodušený obraz podstatných znaků realty za účelem eího poznání. Matematcký model e zobrazení pomocí abstraktních matematckých prostředků. Modelování e významné proto, že:. umožňue pops systému v akémkolv stavu. urychlue chování systému. umožňue rychle vyhodnott změny vznklé v důsledku změn v modelovém systému, bez nebezpečí ztrát na rozdíl od realty. za pomoc výpočetní technky umožňue rychlé řešení rozsáhlých problémů Klasfkace ekonomcko matematckých metod. Matematcké programování soubor metod umožňuících řešení skupny optmalzačních úloh, ve kterých de o výběr optmální varanty př daném krtéru optmalty a př daných omezuících podmínkách. Strukturální analýza zkoumá blanční vztahy mez odvětvím ekonomckého systému a snaží se nalézt rovnovážný stav. Síťová analýza využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. Teore her zabývá se řešením konflktních stuací, ve kterých se střetávaí zámy dvou a více hráčů. Teore hromadné obsluhy zkoumá systémy, ve kterých vznkaí požadavky na obsluhu a kde náhodný charakter těchto požadavků vede k vytváření front; cílem e nalézt způsob obsluhy, př kterém by ztráty vznklé čekáním na obsluhu ztráty vznklé prosto obslužných zařízení byly mnmální. Teore zásob zkoumá vztahy mez dodavatelem, skladem a odběratelem; úkolem e stanovt optmální výš zásob a nalezení optmální stratege eího udržování tak, aby náklady na vyřízení obednávky zboží a eho uskladnění byly mnmální 7. Teore obnovy řeší otázky týkaící se reprodukce prvků určtého systému, které se časem opotřebovávaí a echž selhání by mohlo narušt čnnost systému; cílem e stanovt způsob obnovy s mnmálním náklady na výměnu vadných prvků a s mnmálním ztrátam způsobeným narušením čnnost systému

2 SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. Tyto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. Tyto procesy se nazývaí v síťové analýze proekty (výstavba budov, slnc; výzkumné úkoly; plánování zavádění nformačního systému do podnku). Matematcký základ síťové analýzy e teore grafů. Základní pomy síťové analýzy Graf: Je dána konečná množna prvků Sednocením množn { u, u,..., u } { u, u } u,...,, u u n a množna některých dvoc u n nazýváme grafem G. u,. Uzly grafu: prvky u, =,,, n a zobrazueme e kroužky, pro zednodušení u, u označueme,. (Čísla, se vepsuí do kroužků.) Hrany grafu: dvoce u, u a zobrazueme e přímým nebo různě lomeným čaram, pro zednodušení u, u označueme (, ). Konečný graf má konečný počet uzlů a hran. Orentovaný graf e tvořen orentovaným hranam, kterým e přřazen určtý směr. Hranově (uzlově) ohodnocený graf e graf, ehož každé hraně (uzlu) e přřazeno alespoň edno číslo (mapa trasy dálkového podchodu, každé sponc mez ednotlvým stanovšt e přřazena eí délka). Cesta e posloupnost hran v orentovaném grafu, ve kterém každá hrana vychází z uzlu, v němž končí předcházeící. Pokud cesta začíná a končí ve steném uzlu, potom se edná o cyklus. Acyklcký graf neobsahue žádný cyklus. Souvslý graf e takový graf, pro který platí, že pro všechny dvoce eho uzlů exstue alespoň edna cesta, která e spoue. Multgraf e graf, ve kterém mez některou dvocí uzlů exstue více souhlasně orentovaných hran. Síť e konečný souvslý, orentovaný, acyklcký, hranově nebo uzlově ohodnocený graf, v němž exstue eden počáteční uzel (nevstupue do ně žádná hrana) a eden uzel koncový (žádná hrana z ně nevystupue). Příkladem sítě e telefonní síť, rozvod plynu, kanalzace, atd. Síťový dagram e síťový graf, ehož hrany sou ohodnoceny časovým úda. Délka cesty v síťovém dagramu představue součet časových údaů přřazených hranám, které tvoří uvažovanou cestu.

3 Grafcké modely proektů Proekty lze znázornt síťovým dagramem. Hrany představuí ednotlvé čnnost a uzly představuí začátky a konce ednotlvých čnností. Podmínky pro modelování a řízení proektu síťovým dagramem: ) pro každou čnnost e známá doba trvání ) pro každou čnnost e defnována čnnost předcházeící a čnnost následuící ) pokud e přhlíženo k ným krtérím optmalty, každá čnnost musí být ohodnocena příslušným ukazatel ) cíl proektu e splněn, pokud sou ve správném časovém sledu provedeny všechny čnnost Síťový graf musí být zakreslen co nepřehledně. Délka hran nemusí odpovídat době trvání na rozdíl od harmonogramu. Př sestavování grafu lze začít od počátečního uzlu (zvláště u známých proektů) nebo od konečného uzlu (především u doposud nerealzovaných proektů) nebo lze kombnovat oba způsoby. Uzly sou číslovány přrozeným čísly, počáteční uzel má nžší číslo než koncový. Hrany maí buď kladné ohodnocení (u skutečných čnností) nebo nulové ohodnocení (u fktvních čnností). Fktvní čnnost slouží k vyádření návaznost skutečných čnností nebo k zamezení vznku multgrafu. Příklad: V závodě se má provést rekonstrukce výrobní lnky, spoená s výměnou výrobního zařízení, stavebním úpravam, generální opravou elektronstalace a zlepšením pracovního prostředí. Proekt byl rozložen na dílčí čnnost, které sou spolu s předpokládanou dobou ech trvání (v týdnech) uvedeny v tabulce. Řešení: Čnnost Pops čnnost Doba trvání a Demontáž starého zařízení b Oprava střechy výrobní haly c Oprava podlahy d Vntřní stavební úpravy e Generální oprava elektronstalace f Montáž nového výrobního zařízení g Montáž klmatzačního zařízení h Zkušební provoz Dokončení vntřních stavebních úprav Rozborem souvslostí mez dílčím čnnostm bylo zštěno, že demontáž starého zařízení a oprava střechy mohou probíhat nezávsle vedle sebe. Vntřní stavební úpravy lze provádět po skončení opravy střechy a podlahy, přčemž opravu podlahy lze provést až po demontáž. Generální oprava elektronstalace může být provedena po dokončení vntřních stavebních úprav. Montáž nového výrobního a klmatzačního zařízení lze provádět současně, ale musí být skončena generální oprava elektronstalace. Zkušební provoz může být zaháen po skončení montáže výrobního zařízení a dokončovací úpravy mohou probíhat nezávsle na zkušebním provozu, akmle byla provedena montáž klmatzačního zařízení. Čnnost a b c d e f g h Předchozí čnnost - - a b,c d e e f g

4 a b c d e f h g 7 U tohoto příkladu není fktvní čnnost nutná, avšak eím zavedením se doba trvání proektu nak neovlvní. Časová analýza determnstckých proektů V determnstckých proektech e doba trvání každé čnnost ednoznačně určena. Cílem časové analýzy proektů e stanovení krtcké cesty, eíž délka určue dobu trvání celého proektu. Čnnost, které tvoří krtckou cestu, sou čnnost krtcké (na ech průběhu závsí termín dokončení proektu) V síťovém dagramu z našeho příkladu exstuí mez počátečním uzlem a koncovým uzlem 9 celkem čtyř cesty. Cesta Délka (týdny) 7 7 Z tabulky vyplývá, že rekonstrukc lze nedříve sthnout za týdnů, přčemž pro dodržení této doby sou rozhoduící průběhy čnností a, c, d, e, f, h. Krtcká cesta e vyznačena tlustou červenou čarou a eí součástí e fktvní čnnost. Pro rozsáhlé proekty není tento postup vhodný. Nerozšířeněší metodou pro stanovení krtcké cesty u determnstckých proektů e metoda CPM. Metoda CPM Symboly používané př metodě CPM: t doba trvání čnnost (, ) ( ) t nedříve možný začátek čnnost (, ) t = t + t () () nedříve možný konec čnnost (, ) () t nepozdě přípustný konec čnnost (, ) t ( t nepozdě přípustný začátek čnností (, ) ) = t ()

5 T () nedříve možný čas uzlu ; nedříve možný začátek čnností vystupuících z tohoto uzlu () T nepozdě přípustný čas uzlu ; nepozdě přípustný konec čnností vstupuících do tohoto uzlu () () R = T T časová rezerva uzlu Krtckou cestu metodou CPM lze provést v síťovém grafu, pomocí ncdenční matce nebo v lneárním dagramu. Výpočet v síťovém grafu Pro usnadnění výpočtu s ednotlvé uzly grafcky upravíme a zavedeme symbolku následuícím způsobem. t t t T T T T Síťový dagram proektu rekonstrukce výrobní lnky