Dynamické systémy. y(t) = g( x(t), t ) kde : g(t) je výstupní fce. x(t) je hodnota vnitřních stavů

Transkript

1 Dynamcké sysémy spojé-dskréní, lneární-nelneární a jejch modely df. rovnce, přenos, savový pops. Tvorba a převody modelů. Lnearzace a dskrezace. Smulace. Analoge mez sysémy různé fyzkální podsay. Idenfkace a verfkace. Laplaceova a z- ransformace: základní vlasnos, výpoče obrazu a vzoru. Dynamcké sysémy Množny popsující dynamcký sysém : a časových okamžků T, b savů sysému X, c okamžých hodno vsupních velčn U, d přípusných vsupních funkcí sgnálů U {u : T -> U}, e okamžých hodno výsupních velčn Y, f přípusných výsupních funkcí sgnálů Y {y : T -> Y }. Vlasnos dyn. sys : a ryzos srkně ryzí : je-l výsupní zobrazení nezávslé explcně na řízení, pak y g x, kde : g je výsupní fce x je hodnoa vnřních savů b Sysém S je spojý, je-l množna T množnou reálných čísel. Sysém S je dskréní, je-l množna T množnou celých čísel. Spojý sysém odpovídá nuvní předsavě dynamckého sysému. Dskréní sysém je edy sysém s dskréním časem, může vznknou ak, že všechny velčny spojého sysému měříme v dskréních časových okamžcích. c Sysém S je saconární :. množna času T je advní grupa množna, na keré je defnováno sčíání prvků, 2. množna přípusných vsupních funkcí U je uzavřena vůč operáoru posunuí v čase z v : u -> u, kerý je určen vzahem u u v z v u, pro všechna v, T 3. plaí : φ,τ,x,u φ v,τ v,x,z v u Saconárnímu sysému se vlasnos nemění v čase. Saconara sysému je důležá vlasnos sysému, nebo všechny vlasnos saconárního sysému jsou časově nvaranní

2 -nvaranní nebo časově nvaranní. d Sysém S se je lneární :. množny X, U, U, Y, Y jsou vekorové prosory 2. zobrazení φ, τ,.,. : X U -> X, je lneární pro všechna, τ 3. zobrazení g.,., : X U -> Y je lneární pro všechna. U lneárního sysému je přechodová funkce savu φ lneární vzhledem k počáečímu savu a řízení s výsupní funkce g je aké lneární vzhledem k okamžé hodnoě savu a řízení. Pops :. Savové rovnce ve spojém čase Savová rovnce nelneárního spojého sysému x f x, u, y g x, u, Savová rovnce lneárního spojého sysému x A x B u y C x D u A je mace sysému rozměru n x n, B je mace řízení rozměru n x r, C a D jsou výsupní mace rozmìru m x n a m x r. Lneární sysém - A;B;C;D n. Lneární saconární sysém - A;B;C;D n. Ryze dynamcký sysém srkně ryzí sysém - D.

3 2. Savové rovnce v dskréním čase Savová rovnce nelneárního spojého sysému k k*t s, k.,,,2,3 x k f d x k, u k, k y k g x k, u k, k Savová rovnce lneárního spojého sysému x k T s M x k T s N u k T s y k T s C x k T s D u k T s 3. Přenos G jω Y jω, přenos sysému bez zpěné vazby sjω U jω F jω Y jω W jω G jω G jω vazbou sjω, přenos se zápornou zpěnou souvslos mez přenosem a df. rovncem : Y s G s U s b s a + + b m m n ns + + a B s A s s z s z s z, s p s p s p 2 m G s K K z nuly přenosu, p póly přenosu souvslos mez přenosem a savového popsu ve spojém čase : 2 n b a m n

4 souvslos mez přenosem a savového popsu v dskréním čase : 4. Dferencální rovnce lneární dfc. rovnc jako vnější model ve varu u b u b y a y a m m n n , u kauzálních sysémů vždy plaí podmínka fyzkální realzovaelnos n m. řešením dferencální rovnce je časový průběh odezvy na vsupní sgnál meody řešení : Laplaceova ransformace vlasní číslo λ je kořenem charakerscké rovnce a je obecně komplexní λ σ+jω. Může nasa několk suací : jednonásobné charakerscké číslo dvojc komplexně sdružených čísel - kmavý mód popsaný časově posunuou funkcí sn, resp. cos. pro r-násobná charakerscká čísla λ dosáváme kořeny charakerscké rovnce jsou shodné vlasním čísly mace A : Sysém je sablní pokud plaí, že Reλ σ <, proože pak odpovídající exponencála klesá s rosoucím časem k nule. sn j e e e y θ ϖ σ ϖ σ λ + ±,, e y λ λ λ r r e r y e y λ λ! + D N M zi C z H + G s Y s U s C si A B D

5 Sysém je na mez sably, pokud Reλ σ Sysém je nesablní, pokud Reλ σ > Sysém je asacký, pokud λ 5. Dferenční rovnce lneární dfč. rovnc jako vnější model ve varu a y k a y k a n y k n b u k b y k b m y k m saconární sys. má a, b konsanní řád dsk. sysému : maxn,m řešením dferenční rovnce je časový průběh odezvy na vsupní sgnál meody řešení : z-ransformací Savová rovnce nelneárního spojého sysému : Lnearzace savových rovnc x f x, u, y g x, u, Nomnální rajekore u, x, y Rovnovážný bod u, x x e fx e ;, y. Odchylky od nomnální rajekore rovnovážného bodu ekvlbrum : x x δ x u u δ u y y δ y Funkce f a g rozvneme v øadu v okolí bodu x ;u : f x, u, f x, u, f x f δx u δu o δx,δu g x, u, g x, u, g x δx g u δu o δx,δu oδu;δx je nekoneènì malá velèna vyššího než prvního řádu. f x f, u, g x a g u dervace vekorových funkcí podle vekoru, edy mace, pøèem¾ dervace se poèíají v bodì x ; u

6 f x f x f 2 x f n x f x 2 f 2 x 2 f n x 2 f x n f 2 x n f n x n xx,uu Savové rovnce lnearzovaného spojého sysému Mace A; B; C; D f δ x x δx f u δu δ y g x g δx u δu A f x xx, uu C g x xx, uu f B u xx, uu g D u xx, uu Př. Dskrezace Dskrezace spočívá v převedení množny T, kerá v případě spojých sysémů obsahuje reálné čísla, na množnu T', kerá bude obsahova jen celá čísla. Požadavkem př dskrezac je sejná odezva na vsupní sgnál dskrání a spojý sysém musí mí sejnou nebo alespoň velm

7 podobnou odezvu. Dskrezace ve savovém popsu : N Me A T s T s e Aτ dτ B hledání mac M,N Meody přblžné dskrezace : dskrezace z přenosu Eulerova : s z T s Zpěná dference : s z z T s Tusnova : s 2 T s z z výpoče : do přenosu vyjádřeného pomocí s dosadíme za s jeden z přdlžných vzorců a přenos eď s z upravíme do požadovaného varu vlasnos přesnos aproxmace : nepřímo úměrná hodnoě T s musí bý splněna vzorkovací věa Smulace Smulace modelů sysémů provádíme v Smulnku Malabu. Kde překreslíme savové rovnce na smulační schéma nebo použjeme přímo vypočený přenos. Náročnos smulace je ndvduální.

8 Analoge mez sysémy různé fyzkální podsay A l k í h ků C Analoge u ndukčních prvků- L Jak je vdě na obrázkách ndukory, capacory a odpory nejsou jen v elekroechnce, ale v mechance ad. Proo je možné provádě smulace mechanckých sysému na sysémech elekronckých. Pops obrázků : C : prvky : elekrcký, mechancký, hydraulcký

9 kapacor velčny : C[F] kapaca, k [N/m] uhos pružny, C f [m 3 /Pa] hydraulcká kapaca, S průřes nádrže, g íhové zrychlení, ρ [kg/m 3 ]husoa L : prvky : elekrcký, mechancký, hydraulcký ndukor velčny : L [H] ndukčnos, m [kg] hmonos, I [kg*m 2 ] momen servačnos, L f [kg/m 4 ] momen hydraulcké servačnos R : prvky : elekrcký, mechancký, hydraulcký ndukor Idenfkace a verfkace Cílem denfkace je naléz co nejpřesnější maemacké pops daného sysému a zapsa jej do nějakého předepsaného varu přenos, sav. rovnce.. Posup př denfkac :. plánování expermenu expermenova s reálným syséme je náročná a drahé, proo se používá analýza odezvy sysému na vsupní sgnál. nejlepší odezva na jednokový skok a drak, ale n reálu nemožné 2. volba srukury modelu srukuru modelu zvolíme na základě znalosí o sysému, poruchách, keré na něj působí nebo podle pracovních bodů 3. volby vhodného kréra kvaly zvolením přesnos, s jakou budeme chí sesav model 4. odhad paramerů k odhadu paramerů sysému pořebujeme zná : vsupní/výsupní daa, řídu přesnos, krérum. Poé můžeme použí klascké meody určení paramerů :. analýza přechodové a frekvenční char.určení časových konsan, řádu sysému 2. Meoda korelační a spekrální analýzy analýza odezvy na Drakův mpuls 3. meoda nejmenších čverců a její modfkace 4. meoda maxmální věrohodnos 5. es shody schování modelu a sysému verfkace spočívá v porovnání odezev modelu a skuečného sysému

10 Laplaceova a z- ransformace Laplaceova ransformace defnce : F s L { f } yo podmínky :. je exponencálního řádu f e s d, kde s C a fce f je defnována na, splňuje 2. je po čásech spojá v <, nebo je absoluně negrovaelná : T T f d f d Věy :. počáeční hodnoa : lm f lm s F s s 2. konečná hodnoa : lm f lm s F s s 3. dervace fce : L { f n }s n F s s n f s n 2 ḟ f n 4. negrace fce : L { f τ dτdτ }F s s n 5. zpoždění : L { f T d } F s e s T d 6. lneary. L {k f ±k 2 f 2 }k F s ±k 2 F 2 s Tabulové fce : Fs f Fs f δ n! n e a s a n s ω n s 2 ω n 2 sn ω n s s 2 s 2 2 ω n n! n ω n s n s a 2 2 ω n cos ω n e a sn ω n s a e a s a s a 2 ω n 2 e a cos ω n s a 2 e a

11 Z - ransformace defnce : F z Z { f k } f n z n, kde z C a fk je posloupnos exponencálního řádu n defnována na, ; fn pro n< Věy :. počáeční hodnoa : f lm F z z 2. konečná hodnoa : lm k 3. kauzala : lm F z z 4. souče řady : n f k lm z F z z f n lm F z z 5. ranslace vpravo : Z { f k n }z k F z 6. lneary. Z {k f k ±k 2 f 2 k }k F z ±k 2 F 2 z Tabulové fce : Fz fk Fz fk δk z z k 2 z 3 z z z z a k a k 2 z z 3 k 2 k z z k z k z a n z 2 z a n a z z a 2 k a k n k n k a k

12 Převodní abulka mez Laplaceovou ransformací a z-rabsformací :