Nelineární problémy a MKP Základní druhy nelinearit v mechanice tuhých těles: 1. materiálová (plasticita, viskoelasticita, viskoplasticita,...) 2. geometrická (velké posuvy a natočení, stabilita konstrukcí) 3. strukturální problémy (kontaktní úlohy,...) Pro statické úlohy lze charakterizovat nelineární problém soustavou rovnic [ K {r} ]{r}={f a } kde [ K ] je globální matice tuhosti závislá na složkách vektoru neznámých parametrů v uzlech {r} a {F a } je vektor aplikovaných sil. Pro řešení globálních rovnic rovnováhy se nejčastěji používá Newton- Raphsonova metoda nebo její modifikace.
Newton-Raphsonova metoda Jedná se o iterační metodu, jejíž jeden krok řešení lze popsat rovnicí: [ K i T ]{ r i }={F a } {F i nr }, kde [ K T i ] je tečná matice tuhosti, {F nr i } je hodnota vektoru zatížení v i-té iteraci odpovídající ekvivalentnímu vektoru vnitřních sil a přírůstek vektoru neznámých parametrů v uzlech, který určuje velikost vektoru {r} v další iteraci, tj. {r i 1 }={r i } { r i }. Pro jeden stupeň volnosti F F a nr F i 1 K i T { r i } je (jeden krok N-R metody ) F i nr r i r i r i+1 r i+2 r
Přírůstková Newton-Raphsonova metoda Jestliže je nelinearita závislá na historii zatěžování, je nutné použít iterační mezikroky. Pak se jedná o přírůstkovou N-R metodu, jejíž i-tý krok řešení lze popsat rovnicí: [ K T n,i ]{ r i }={F a n } {F nr n,i } kde index n značí n-tý mezikrok. Aplikuje se tedy několikrát N-R metoda (po mezikrocích). Pro jeden stupeň volnosti F a F 3 a F 2 a F 1 r
N-R metoda a materiálová nelinearita U základní varianty N-R metody je nutné stanovit tečnou matici tuhosti [ K T i ] v každém iteračním kroku. Tečnou matici tuhosti lze získat klasickým sestavením z matic tuhostí všech prvků NELEM [ K T i ]= [ K T e ] j=1 pomocí tzv. kódových čísel. Při uvažování materiálové nelinearity lze psát pro matici tuhosti prvku vztah [ K e T ]= e [G] T [C ep ][G ]d kde je elastoplastická matice a je oblast vymezená prvkem. [C ep ]= {d } {d } e Pozn.: Nevýhodu nutnosti sestavení tečné matice tuhosti odstraňují některé modifikace N-R metody.
Plasticita kovů V technické praxi se běžně uvažuje, že jakmile napětí překročí hodnotu meze pružnosti, dojde k plastické deformaci, která se po odlehčení projeví jako trvalá změna tvaru tělesa. Chování kovových materiálů při cyklickém namáhání: 1. dokonale pružné - nedojde k porušení. 2. elastické přizpůsobení - po několika cyklech je chování pružné. 3. plastické přizpůsobení - vznikne uzavřená hysterezní smyčka. 4. cyklické tečení (ratcheting) - s každým cyklem narůstá deformace.
Cyklické namáhání v elasto-plastické oblasti Při cyklickém zatěžování dochází v počátečním stádiu v důsledku mikrostrukturních změn ke změně napěťově-deformační odezvy i fyzikálních vlastností. Odpor materiálu vůči cyklické plastické deformaci může růst cyklické zpevňování, klesat cyklické změkčování nebo může dojít k superpozici obou procesů. Často se tyto jevy v praxi zanedbávají. Základem pro stanovení únavových charakteristik materiálu jsou jednoosé zkoušky, zejména deformačně řízené (konstantní amplituda deformace). Z několika takových zkoušek s různou amplitudou deformace lze získat cyklickou deformační křivku (z vrcholů hysterezních smyček, které se berou v polovině životnosti vzorků). ocel 11523
Inkrementální teorie plasticity Při řešení elasto-plastické úlohy je nutné uvažovat historii zatěžování. V závislosti na typu materiálu lze mnohdy zanedbat vliv rychlosti deformace (plasticita), v opačném případě se mluví o viskoplasticitě. Pro numerické řešení v plasticitě se nejčastěji používá časově nezávislá inkrementální teorie (rate-independent plasticity). Vychází se z poznatků zjištěných u namáhání při jednoosém napěťovém stavu, kdy se celková deformace skládá z elastické a plastické složky σ = e p. Tenzor celkové deformace se také dělí na elastickou a plastickou složku = e p, přičemž pro elastickou složku platí Hookeův zákon =C : e. ε p ε ε e ε
Podmínka plasticity Stejně jako v pružné oblasti se převádí napjatost v bodě tělesa na ekvivalentní napětí v tahu (podmínky pevnosti) a porovnává se s mezí kluzu. Pro izotropní materiál je opět i v plasticitě nejužívanější podmínka von Mises. Tzv. funkci plasticity pro jednoosý napěťový stav ideálně plastického materiálu f = 1 Y =0 lze pro víceosý napěťový vztah zapsat obecně ve formě σ Y f = f Y =0, kde funkce napětí f pro podmínku von Mises σ 2 ε f = [ 1 2 2 2 3 2 1 3 2 ]/2= 3 2 s: s, jestliže σ 1, σ 2, σ 3 jsou hlavní napětí a s je deviátor napětí. σ 3 f σ 1
Pravidlo zpevnění Zobrazení podmínky plasticity v souřadném systému se říká plocha plasticity. Pro ideálně plastický materiál zůstává plocha plasticity neměnná. Kovové materiály při monotónním zatěžování vykazují zpevnění, proto se v podmínce plasticity zavádí další veličiny, tzv. vnitřní proměnné, které umožňují změnu velikosti a polohy plochy plasticity, čímž lze zpevnění modelovat. Rozlišují se tři druhy zpevnění: 1. izotropní - mění se pouze velikost plochy plasticity 2. kinematické - mění se pouze poloha plochy plasticity 3. kombinované - dochází ke změně velikosti i polohy plochy plasticity
Izotropní zpevnění Velikost plochy plasticity je dána poloměrem Y. V podmínce plasticity f = f Y =0 σ σ 2 Aktuální plocha ε p σ Y ε Y σ 3 σ 1 Počáteční plocha Chování kovových materiálů při cyklickém namáhání nelze správně popsat izotropním zpevněním (nelze zachytit tzv. Bauschingerův efekt).
Kinematické zpevnění Poloha plochy plasticity je dána kinematickým tenzorem α. V deviátorové rovině u Von Mises podmínky se jedná o polohu středu kružnice. V podmínce plasticity f = f Y =0 σ σ 1 Aktuální plocha ε p ε α Počáteční plocha σ 3 σ 2 Nyní již lze snadno zapsat podmínku plasticity u kombinovaného zpevnění f = f Y =0.
Historie zatěžování Z důvodu změn plochy plasticity u materiálů se zpevněním se aktuální (následné) ploše plasticity obvykle říká plocha zatěžování a je definována tzv. funkcí zatěžování Přírůstek funkce zatěžování lze vyjádřit totálním diferenciálem, tedy f = f,y,. df = f : d f Y d Y f :d. Každou napjatost lze zachytit v prostoru σ 3 σ 2 f < 0 dσ df < 0 dε p df = 0 hlavních napětí σ 1, σ 2, σ 3 jedním bodem. σ 1 Při namáhání tělesa se potom mění poloha tohoto bodu a vytváří se tzv. dráha zatěžování. Jestliže napjatost v bodě tělesa vyvolá plastickou deformaci, potom musíme zůstat na ploše zatěžování (musí totiž platit podmínka plasticity).
Kritéria zatěžování Obecně může v daném okamžiku dojít ke třema stavům: 1. Odlehčování f =0, df 0, f σ :d 0 2 2. Neutrální zatěžování f < 0 f =0, df =0, f :d = 0 3. Zatěžování σ 3 f =0, df =0, f :d 0 dσ df < 0 σ 1 dε p df = 0 Prvním dvěma stavům se někdy také říká pasivní zatížení, třetímu stavu potom aktivní zatížení. Jak se budou vyvíjet přírůstky plastické deformace v případě aktivního zatížení udává pravidlo plasticity.
Pravidlo plasticity Experimentálně bylo zjištěno, že u plně zplastizovaných vzorků nedochází ke změně objemu (Poissonovo číslo µ=0,5), proto se uvažuje nestlačitelnost plastické složky tenzoru deformace (je deviátorem). Pro tvárné materiály se nejčastěji používá pravidlo plasticity (flow rule) ve tvaru d p =d f σ 2 f < 0 dσ dε p df = 0 které říká, že přírůstek plastické df < 0 deformace σ 3 bude mít směr normály k ploše plasticity. σ 1 Proto se někdy mluví o pravidle normality.