je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné

Transkript

1 1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2 ) g 2 (t) f( 1, t) jsou funkce jedné proměnné jejich derivce nzýváme prciálními derivcemi funkce f používáme tohoto oznčení: () g 1( 1 ) f (, 2 ) je prciální derivce funkce f v bodě podle první proměnné (obvkle říkáme proměnné ) () g 2( 2 ) f ( 1, ) je prciální derivce funkce f v bodě podle druhé proměnné (obvkle říkáme proměnné ). Výpočet prciálních derivcí provádíme způsobem jkým jsme počítli derivce funkcí jedné proměnné. Nní le povžujeme druhou proměnnou z konstntu. Při výpočtu pltí všechn dříve používná prvidl vzorce. Připomeňme, že se jedná o derivce součtu, součinu podílu tké prvidlo o derivci složené funkce. Hodnot () () můžeme tké povžovt z hodnot funkcí definovných v těch bodech, kde jednotlivé prciální derivce eistují. O těchto funkcích mluvíme jko o prciálních derivcích funkce f f(, ) oznčujeme je smbol (, ) (, ). Řešené úloh pro funkce dvou proměnných Úloh: Vpočtěte prciální derivce funkce f f(, ) jejich hodnot v dných bodech. 1. f(, ) , (1, 0), b ( 1, 2), c (0, 0). Funkce je definován v R 2 v souldu s oznčením n zčátku odstvce je: g 1 (t) f(t, ) t 2 + 3t 3 4t g 2 (t) f(, t) 2 + 3t 3 4 2t + 5 odtud sndno dostneme (, ) g 1() (, ) g 2() Prciální derivce eistují ve všech bodech definičního oboru po doszení souřdnic zdných bodů obdržíme: () , (b) , 1 (c) 4;

2 () 0 2 2, (b) , (c) 2. Poznmenejme, že při výpočtu si nevpisujeme funkce g 1 (t) g 2 (t) s vznčenou proměnnou t, le počítáme přímo z vjádření funkce f f(, ). V dlších úlohách již použijeme tento krtší způsob výpočtu. 2. f(, ) 2 + ln ( + 2), (2, 1), b ( 2, 1), c (3, 4). Funkce je definován v množině D f {(, ); + 2 > 0}. Z vjádření funkce f f(, ) dostneme ve všech bodech D f ; , Po doszení souřdnic zdných bodů postupně obdržíme: () , () (b), (c), (b) (c) neeistují, neboť bod b c neleží v definičním oboru D f, i kdž do vzthu pro derivce lze souřdnice bodu c formálně dosdit. 3. f(, ) 2 sin ( 2 + 1), (0, 0), b (1, 2), c (1, 0). Funkce je definován v D f R 2 pro všechn bod z R 2 eistují obě prciální derivce. Výpočtem dostneme 4 cos (2 + 1), 2(2 + 1) cos ( 2 + 1). Doszením souřdnic zdných bodů postupně obdržíme: () 0, () 2 cos 1, (c) 0, (b) 8 cos 3, (c) 4 cos f(, ) 2 +, (1, 0), b (2, 1), c (0, 3). (b) 4 cos 3, Definičním oborem funkce je množin D f {(, ); 2 + 0}, le pouze pro bod {(, ); 2 + > 0} eistují prciální derivce. Je ted pro 2 + > , Doszením souřdnic zdných bodů postupně obdržíme: () 1, () 1 2, (b) 2, 3 (c) (c) neeistují, neboť bod c není bodem definičního oboru. 2 (b) 1 2 3

3 5. f(, ) e ( ), (0, 0), b (1, 2), c (2, 1). Definičním oborem je množin R 2 ve všech jejích bodech eistují prciální derivce. Podle prvidl pro derivci součinu dostneme e2 3+5 ( ) e2 3+5 ( ). Doszením souřdnic zdných bodů postupně obdržíme: () 2e5, () 7e5, (c) 17e6, (b) 8e, (c) 9e6. (b) 7e, 6. f(, ) +, (1, 4), b ( 1, 9), c (1, 1), d ( 4, 1). Definičním oborem funkce je množin D f prciální derivce dostneme 1 2 +, {(, ); + 0, 0}. Pro ( + ). Prciální derivce eistují pouze v bodech množin {(, ); + > 0, > 0} po doszení souřdnic zdných bodů obdržíme: () , () 1 4 4(1 + 2) 1 8 3, (b) , (b) 1 4 9( 1 + 3) Prciální derivce v bodě c ( 1, 1) neeistují, bod d ( 4, 1) neleží v definičním oboru funkce, nelze tudíž prciální derivce v tomto bodě počítt. 7. f(, ) rctg +, (1, 1), b (0, 2), c (1, 1). Definičním oborem funkce je množin {(, ); }. Pro prciální derivce dostneme ( ( + ) 2 ( ) , ) ( ) Prciální derivce eistují ve všech bodech definičního oboru po doszení souřdnic zdných bodů obdržíme: () , ()

4 (b) , (b) Bod c (1, 1) není bodem definičního oboru funkce tudíž nelze prciální derivce v tomto bodě počítt, i kdž se do vzorců pro prciální derivce djí souřdnice bodu dosdit! 8. f(, ) 3 sin (2 + 3), (0, 0), b (π, 3). Definičním oborem funkce je množin R 2. Pro prciální derivce dostneme 3.2 cos (2 + 3) 6 cos (2 + 3), 3 cos (2 + 3). Prciální derivce eistují ve všech bodech definičního oboru po doszení souřdnic zdných bodů obdržíme: () 6 cos 3, (b) 6 cos 2π 6, () 3 cos 3 9. f(, ) ln +, (1, 0), b (2, 1), c (1, 2). Definičním oborem funkce je množin {(, ); + dostneme + ( ) , (b) 3 cos 2π 3. + > 0}. Pro prciální derivce + + ( ) Prciální derivce eistují ve všech bodech definičního oboru po doszení souřdnic zdných bodů obdržíme: () , () (b) , (b) Bod c (1, 2) není bodem definičního oboru funkce tudíž nelze prciální derivce v tomto bodě počítt, i kdž se do vzorců pro prciální derivce djí souřdnice bodu dosdit! 10. f(, ) ln ( ), (1, 1), b ( 2, 0). Definičním oborem funkce je množin {(, ); (, ) (0, 0)}. Pro prciální derivce dostneme 2 2 +, Prciální derivce eistují ve všech bodech definičního oboru po doszení souřdnic zdných bodů obdržíme: () , ()

5 (b) , (b) f(, ) ln ( 2 + 1), ( 1, 1), b (2, 0), c (1, 1). Definičním oborem funkce je množin {(, ); 2 + > 1}. Pro prciální derivce dostneme , Prciální derivce eistují ve všech bodech definičního oboru po doszení souřdnic zdných bodů obdržíme: () , () (b) , (b) Bod c (1, 1) není bodem definičního oboru funkce tudíž nelze prciální derivce v tomto bodě počítt, i kdž se do vzorců pro prciální derivce djí souřdnice bodu dosdit! 12. f(, ), (1, 1), b (2, 0). Definičním oborem funkce je množin {(, ); > 0}, neboť f(, ) e ln. Pro prciální derivce dostneme ( ) e ln 1, e ln ln ln. Prciální derivce eistují ve všech bodech definičního oboru po doszení souřdnic zdných bodů obdržíme: () , (b) , () 1 1 ln 1 0 (b) 20 ln 2 ln f(, ) e 2, (0, 1), b ( 1, 2). Definičním oborem funkce je množin R 2. Pro prciální derivce dostneme e 2, e 2. Prciální derivce eistují ve všech bodech definičního oboru po doszení souřdnic zdných bodů obdržíme: () , (b) e2 12 4e 2, 5 () (b) e e 2.

6 14. f(, ) rctg, (1, 1), b (0, 1), c (2, 0). Definičním oborem funkce je množin {(, ); 0}. Pro prciální derivce dostneme , Prciální derivce eistují ve všech bodech definičního oboru po doszení souřdnic zdných bodů obdržíme: () , () (b) , (b) Bod c (2, 0) není bodem definičního oboru funkce tudíž nelze prciální derivce v tomto bodě počítt, i kdž se do vzorců pro prciální derivce djí souřdnice bodu dosdit! 15. f(, ) +, (1, 1), b (2, 1), c (3, 0). Definičním oborem funkce je množin {(, ); 0, 0}. Pro prciální derivce dostneme , Prciální derivce eistují ve všech bodech definičního oboru po doszení souřdnic zdných bodů obdržíme: () 1 1 0, () (b) , (b) Bod c (3, 0) neleží v definičním oboru, tudíž ni prciální derivce v tomto bodě nelze počítt. 16. f(, ) e sin, (0, π), b (1, π). Definičním oborem funkce je množin R 2. Pro prciální derivce dostneme e sin, e cos. Prciální derivce eistují ve všech bodech definičního oboru po doszení souřdnic zdných bodů obdržíme: () e0 sin π 0, (b) e1 sin ( π) 0, 6 () e0 cos π 1 (b) e1 cos ( π) e 1.

7 Neřešené úloh - funkce dvou proměnných Úloh: Určete prciální derivce funkce f f(, ) : 1. f(, ) [D f R 2 ] [ 43 6, ] 2. f(, ) e 2 (cos (3) + 4 sin (3)). [D f R 2 ] [ e 2 ( 2 cos (3) 8 sin (3)), e 2 ( 3 sin (3) + 12 cos (3))] 3. f(, ) sin 2 + cos 3. [D f R 2 ] [ 2 sin cos, 3 cos2 sin ] 4. f(, ) rctg (). [D f R 2 ] [ , ] f(, ) rcsin. [D f {(, ); 0 1}, D f {(, ); 0 < < 1}] [ 2 (1 ), 2 (1 ) ] 6. f(, ) sin (2 + ) cosh ( 2 ). [D f R 2 ] [ 2 cos (2 + ) cosh (2 ) sin (2 + ) sinh ( 2 ), cos (2 + ) cosh (2 ) + 2 sin (2 + ) sinh ( 2 )] 7. f(, ). [D f {(, ); > 0}] [ (1 + ln ), +1 ln ] 8. f(, ) rccos. [D + f {(, ); 1 1}, D + f {(, ); 1 < < 1}] + [ +, + ] 9. f(, ) ln (tg ()). [D f {(, ); 2kπ < < (2k + 1 )π, k je celé číslo}] 2 [ 2, sin (2) 2 ] sin (2) 10. f(, ) ln (e + e ). [D f R 2 ] [ e, e +e e ] e +e 11. f(, ) e (2 + 2). [D f R 2 ] [ 2e (2 + 2), 2e (2 + 2) ] 12. f(, ) +. [D f {(, ); + 0}] [ 2 (+) 2, 2 ] (+) f(, ) rcsin ( ). [Df {(, ); 1 1}, D f {(, ); 1 < < 1}] 7 [, 2 2 ] 2 2

8 14. f(, ) e 2 cos ( + ). [D f R 2 ] [ e 2 ( 2 cos ( + ) sin ( + )), e 2 sin ( + )] 15. f(, ) [D f {(, ); (, ) (0, 0)}] [ 3, ] 16. f(, ) ln [D f {(, ); (, ) (0, 0)}] [, ] Prciální derivce funkce tří více proměnných definujeme obdobně jko v přípdě funkce dvou proměnných. Je-li f f(,, z) funkce tří proměnných, pk definujeme funkce g 1 (t) f(t, 2, 3 ), g 2 (t) f( 1, t, 3 ), g 3 (t) f( 1, 2, t), kde D f. Pk definujeme prciální derivce funkce f f(,, z) v bodě jko derivce () g 1( 1 ), () g 2( 2 ), z () g 3( 3 ), pokud uvedené derivce eistují. Obecně definujeme prciální derivce funkce f f( 1,..., n ) v bodě ( 1,..., n ) D f obdobně jko v předchozích přípdech. Definujeme funkce g i (t) f( 1,..., i 1, t, i+1,..., n ), i 1,..., n. Potom je i () g i( i ), i 1,..., n, pokud příslušné derivce eistují, Smbol obvkle čteme prciální derivce funkce f podle i- té proměnné, nebo proměnné i. Řešené úloh - funkce tří více proměnných Úloh: Určete prciální derivce funkce f f(,, z) jejich hodnot v zdných bodech. 1. f(,, z) 2 2 z z 5, (1, 1, 2), b (0, 2, 1). prciální derivce eistují v celém de- Definičním oborem funkce je množin R 3 finičním oboru funkce. je 4z z, 22 z + 6, z Po doszení souřdnic jednotlivých bodů dostneme () , () 4 6 2, () z (b) , (b) , (b) z 8

9 2. f(,, z) cos ( z 2), (0, π, 2), b ( 2π, 2, 1). prciální derivce eistují v celém de- Definičním oborem funkce je množin R 3 finičním oboru funkce. je 3 sin ( z 2), 6 sin ( z 2). z Po doszení souřdnic jednotlivých bodů dostneme 5 sin ( z 2) () 3 sin 10, () 5 sin 10, () 6 sin 10 z (b) 3 sin 6, (b) 5 sin 6, (b) 6 sin 6. z 3. f(,, z) z 2, (1, 1, 2), b ( 1, 0, 1). Definičním oborem funkce je množin R 3 prciální derivce eistují ve všech bodech množin {(,, z); (,, z) (0, 0, 0) } je z 2, z 2, z z z 2. Po doszení souřdnic jednotlivých bodů dostneme () 1, 6 1 (b), 2 1 (), 6 (b) 0 0, 2 z () 2 6 z (b) f(,, z) ln ( + 2 3z + 5), (1, 0, 1), b (0, 0, 0), c (1, 2, 4). Definičním oborem funkce je množin {(,, z); + 2 3z + 5 > 0} prciální derivce eistují ve všech bodech definičního oboru funkce je z + 5, z + 5, z z + 5. Po doszení souřdnic jednotlivých bodů dostneme () 1 9, (b) 1 5, () 2 9, (b) 2 5, 3 () z z (b) 3 5. Bod c (1, 2, 4) není v definičním oboru funkce. Prciální derivce v tomto bodě nelze počítt, i kdž se souřdnice bodu djí do vzorců pro jednotlivé prciální derivce dosdit! 9

10 Úloh: Určete prciální derivce funkce f() f( 1, 2,..., n ). 1. f( 1, 2,..., n ) n k1 k 2 k. Definičním oborem funkce je množin R n 2. f( 1, 2,..., n ) n k1 2 k. i 2 i i, 1 i n. Definičním oborem funkce je množin R n pro R n {0}. i i n 2 k k1, 1 i n 3. f( 1, 2,..., n ) 1 n. 2 k k1 Definičním oborem funkce je množin R n {0} i i n 3 2 k k1, 1 i n. 4. f( 1, 2,..., n ) e n k1 2 k. Definičním oborem funkce je množin R n n 2 i e k1 i 2 k, 1 i n. ( n ) 5. f( 1, 2,..., n ) ln 2 k. k1 Definičním oborem funkce je množin R n {0} 6. f( 1, 2,..., n ) n k,j1 i kj k j. 2 i n 2 k k1 Definičním oborem funkce je množin R n i 2 ii i + n k1,k i, 1 i n. ( ki + ik ) k, 1 i n. 10