Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Transkript

1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c, pltí f() ( ɛ, ɛ) Nevlstní it v bodě = : f() = K, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() > K Nevlstní it v bodě = : f() = K, c > 0 tk, že pro : > c, pltí f() > K vlstnosti f() = f() = f() = f() = f( 1 y 0 y ) [f()] n = n f() = n [ ] n f() f() α f() = α f() pro f() 0, n N pro f() 0, n N pro α > 0 jestliže funkce f, g mjí vlstní ity f() = g() = B, pk pltí [f() ± g()] = ± B [f() g()] = B [ f() g() ] = B pro B 0 jesliže, f() = 0, pk f() = 0 věty o itě sevřené funkce jestliže, v okolí bodu pltí d() f() h() pltí d() = h() =, pk f() = vybrné ity (1 ± ) = (1 ±0 )1/ = e = 0, = pro 0 < < 1 =, = 0 pro > 1 sin 0 = 1 sin = 0 sin 0 = tg 0 = e 1 0 = = ln pro > 0 = 0 pro R, b > 0 e b

2 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku. Derivce funkcí Derivce funkce f() v bodě 0 je f ( 0) = prvidl pro derivování f() f( 0 ) 0 0 (konst) = 0 (f 1 () f ()...) = f 1() f ()... (f 1 ()f ()) = f 1()f () f 1 ()f (), pokud it n prvé strně rovnice eistuje ( f1() f () ) = f 1 ()f() f1()f () f () pro f () 0 (f 1 (f ())) = f 1(f ())f () (derivce složené fce) (ln f()) = f () f() pro f() > 0 ( (f ()) (g())) ( ) ( ) = e g() ln(f()) g() = (f ()) g () ln (f()) g() f () f() pro f() > 0 jestliže = g(y) je inverzní funkce k funkci y = f() eistuje-li v bodě c derivce f (c) 0, pk v bodě d = f(c) eistuje g (d) pltí g (d) = 1 f (c) derivce vybrných elementárních funkcí ( n ) = n n 1 pro n N ( n ) = n n 1 pro n N, 0 ( ) = 1 pro R, > 0 ( ) = ln pro > 0 speciálně (e ) = e (log ) = 1 ln pro > 0, > 0, 1 speciálně (ln ) = 1 (sin ) = cos (cos ) = sin (tg) = 1 cos (cotg) = 1 sin pro (k 1) π ; k Z pro kπ; k Z (rcsin ) = 1 1 pro < 1 (rccos ) = 1 1 pro < 1 (rctg) = 1 1 (rccotg) = 1 1 (sinh ) = cosh (cosh ) = sinh (tgh) = 1 cosh (cotgh) = 1 sinh pro 0 (rgsinh) = 1 1 (rgcosh) = 1 1 pro > 1 (rgtgh) = 1 1 pro < 1 (rgcotgh) = 1 1 pro > 1

3 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 3 3. použití derivcí vyšetřování průběhu funkcí nutná podmínk pro eistenci lokálního etrému v bodě 0 : f ( 0 ) = 0 jesliže f ( 0 ) = 0 f ( 0 ) < 0, pk funkce f() má v bodě 0 lokální mimum jesliže f ( 0 ) = 0 f ( 0 ) > 0, pk funkce f() má v bodě 0 lokální minimum nutná podmínk pro inflei v bodě 0 : f ( 0 ) = 0 neurčité výrzy it typu 0/0 nebo / (l Hospitlov prvidl) Jestliže f() = g() = 0 eistuje f ()/g (), pk eistuje f()/g() pltí f () g () = Jestliže g() = eistuje f ()/g (), pk eistuje f()/g() pltí f () g () = it typu 0 převedeme n itu typu 0/0 nebo / : f() g() f() g() f() g() = ity typu 0, 0 1 převedeme n itu typu 0/0 nebo / : f()g() = ity typu převedeme n itu typu 0/0 nebo / : nebo u it typu využijeme vzth b = b b Tylorův rozvoj f() g() = f() 1 g() e g() ln(f()) dostáváme f() g() = 1 g() 1 f() 1 f() g() f () g () f()g() (Nechť reálná funkce reálné proměnné f() má n intervlu, ( > ) spojité derivce ž do n-tého řádu n intervlu (, ) má spojitou derivci n 1-ního řádu, pk lze funkci rozvést v mocninou řdu Tylorov typu) f() = f() f () ( ) f () ( )... f (n) () n! ( ) n R n1 kde zbytek R n1 lze vyjádřit npříkld ve tvru R n1 = f (n1) (ϑ( )) (n1)! ( ) n1, ϑ (0, 1) specilně pro = h pltí f( h) = f() f () h f () h... f (n) () n! h n R n1 specilně pro = 0 dostneme Mclurinův vzorec f() = f(0) f (0) () f (0) ()... f (n) (0) n! () n R n1 e = 1 = 1 ln..., pro < ( ln )..., pro <, > 0 ln = 1 ( 1) ( 1)3 3!..., pro 0 < ln (1 ) = 3 3!..., pro 1 < 1 sin = 3 3! 5 5!..., pro < cos = 1 4 4!..., pro < rcsin = , pro < rccos = π 1..., pro < 1 rctg = , pro 1 rccotg = π , pro 1

4 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 4 4. Integrály elementárních funkcí prvidl pro integrování (předpokládáme, že funkce f, g jsou integrovtelné c je konstnt) [f() ± g()] d = f() d ± g() d [c f()] d = c f() d substituční metod: nechť F () je libovolná primitivní funkce k f() f (ϕ (t)) ϕ (t) d = F (ϕ (t)) C metod per prtes u()v () d = u()v() u ()v() d integrály vybrných funkcí n d = n1 n1 C pro > 0; n R \ { 1} ( b) n d = (b)n1 (n1) C pro, b 0; n N d = ln C pro 0 b d = 1 ln b C pro, b 0 e d = e C e c d = 1 c ec C pro c 0 d = ln C pro > 0; 1 ln d = ln C pro > 0 (ln ) d = (ln ) ln C pro > 0 (ln )3 (ln ) ln d = ln ln. 3.3! C pro > 0 ln d = ln ln C pro > 0 sin d = cos C sin(c) d = 1 c cos(c) C pro c 0 sin(c) d = c (c)3 3.3! (c)5 5.5! pro c 0 sin(c) d = 1 c ln tg c C pro c 0 1±sin(c) d = 1 c tg( c ) π 4 C pro c 0 d = cotg C pro kπ, k Z sin cos d = sin C cos(c) d = 1 c sin(c) C pro c 0 cos(c) d = ln c (c). (c)4 4.4! pro c 0 1cos(c) d = 1 c tg( ) c C pro c 0 1 cos(c) d = 1 c cotg( ) c C pro c 0 cos d = tg C tg(c) d = 1 c ln cos(c) C cotg(c) d = 1 c ln sin(c) C (k1)π pro, k Z sinh d = cosh C cosh d = sinh C d = tgh C cosh d = cotgh C pro 0 sinh

5 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 5 1 d = rcsin C = rccos C pro < 1 d = rcsin C 1 d = rgsinh C = ln ( 1 ) C d = rgsinh C = ln C pro d = rgcosh C pro > 1 1 d = rgcosh C pro > d = ln 1 C pro > 1 1 ( ) 1 d = ln C pro > 1 d = rctg C = rccotg C d = 1 rctg C = rccotg C 1 d = rgtgh C pro < 1 d = 1 rgtgh C pro < 1 d = rgcotgh C pro > 1 d = 1 rgcotgh C 1 d = 1 1 ln 1 d = 1 ln C čsto se vyskytující substituce pro > C pro = 1 t = b d = 1 dt pro 0 t = d = dt pro 0 t = d = t dt pro 0; 0 t = d = 1 t ln dt pro 1; > 0 t = e d = 1 t dt t = ln d = e t dt pro > 0 t = 1 d = dt pro > 0 nebo < 0 t t = d = t dt pro 0 t = t d = dt t t = d = t dt pro < t pro

6 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 6 integrce rozkldem n prciální zlomky - pro funkce typu Pn() Q m(), kde P n Q m jsou polynomy () pokud n m, pk eistují polynomy R n m Pñ (ñ < m) tkové, že Pn() Q = R m() n m Pñ() Q m() řešíme rozkld pro podíl polynomů, kde polynom ve jmenovteli Q m () má vyšší stupeň než polynom v čitteli P n () (b) polynom Q m () má jednoduché reálné kořeny 1.,..., m pk eistují reálná čísl, B, C,... P n () Q m () = 1 B C 3... koeficienty, B, C,... určíme porovnáním koeficientů u týchž mocnin proměnných nebo podle vzthů = Pn(1) Pn() Pn(3) Q m (1), B = Q m (), C = Q (3),... m (c) polynom Q m () má reálné kořeny, z nichž některé jsou vícenásobné: 1 je α-násobný, je β násobný kořen..., pk eistují reálná čísl 1,,..., α, B 1, B,..., B β, C 1, C,... P n () Q m () = 1 ( 1 ) ( 1 )... α ( 1 ) α B 1 ( )... B β ( ) β C ( 3 )... (d) polynom Q m () má jednoduché komplení kořeny 1,,..., m/ k nim vždy kořeny kompleně sdružené 1,,..., m/, pk eistují reálná čísl P 1, P,..., Q 1, Q... P n () Q m () = P 1 Q 1 p 1 q 1 P Q p q... kde pltí p i 4q i < 0 řešením rovnic p i q i = 0 jsou kompleně sdružené kořeny i i. (e) polynom Q m () má vícenásobné komplení kořeny 1, 1 jsou α-násobné kořeny,, jsou β násobné kořeny..., pk pltí P n () Q m () = P 1 Q 1 P Q p 1 q 1 ( p 1 q 1 )... P α Q α ( p 1 q 1 ) α P α1 Q α... p q příkldy n rozkld prciálních zlomků () = 3 (1)(3) = 3 porovnáním koeficientů dostneme 3 1 (b) = 1 ( 3) 3 1 ( 3) = ( 3) ( 3) (c) = 1 ( 1) 1 ( 1) porovnáním koeficientů dostneme 7 (d) = ddsdssdfghgfh fb (1) B = 3 B = } B (3)B (1) (3) = 3 (1)(3) = = B = 4 porovnáním koeficientů dostneme 1 = = 1 } = 1 = 3 = 10 B1 1 B = 1 ( 1)(1) (1) B 1 ( 1) (1)B ( 1) (1) ( 1) (1) 1 B 1 = 3 1 B 1 B = 10 1 B 1 B = 1 1 B 1 B = 0 = 1 P Q 4 13 = ( 4 13)(P Q)(1) (1)( 4 13) porovnáním koeficientů dostneme P = 7 4 P Q = Q = 37 1 = 4 = 3 B 1 = 1 B = = 3 = P = 4 Q =