MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF
|
|
- Lenka Krausová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF RNDr. Petr Rádl RNDr. Bohumil Černá RNDr. Ludmil Strá 0
2 Petr Rádl, 0 ISBN
3 OBSAH Předmluv... Poždvky k přijímcí zkoušce z mtemtiky.. Řešené příkldy. Test. Test... Příkldy n procvičení. Číselné výrzy.. Algebrické goniometrické výrzy... Lineární rovnice nerovnice... Kvdrtické rovnice nerovnice 9. Rovnice nerovnice s neznámou ve jmenovteli... Rovnice nerovnice s bsolutní hodnotou..7 Grfy funkcí... Anlytická geometrie v rovině..9 Posloupnosti...0 Ircionální rovnice... Eponenciální rovnice. Logritmické rovnice.. Výsledky... Litertur 7
4
5 PŘEDMLUVA Tto sbírk příkldů je určen pro uchzeče o studium n Provozně ekonomické fkultě Mendelovy univerzity v Brně. Sbírk je rozdělen do tří kpitol obshuje řešených 0 neřešených příkldů. V. kpitole jsou uvedeny obecné poždvky k přijímcí zkoušce. Řešené příkldy tvoří kpitolu. Ve. kpitole jsou uvedeny příkldy n procvičení. Jejich výsledky jsou uvedeny n konci publikce. Sbírku společně zprcovli učitelé mtemtiky Mendelovy univerzity v Brně RNDr. Bohumil ČERNÁ, RNDr. Petr RÁDL, RNDr. Ludmil STARÁ. Z cenné připomínky pečlivou recenzi děkujeme Doc. RNDr. Jiřímu Moučkovi, Ph.D. Autoři.
6 POŽADAVKY K PŘIJÍMACÍ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Předpokldem pro studium n Provozně ekonomické fkultě Mendelovy univerzity v Brně je znlost středoškolské mtemtiky. Přijímcí zkoušk z mtemtiky je přitom změřen zejmén n tyto témtické celky: Algebr reálných čísel Čísl přirozená, celá, rcionální ircionální. Absolutní hodnot reálného čísl její geometrický význm. Mocniny odmocniny reálných čísel. Logritmy jejich vlstnosti. Algebrické výrzy jejich úprv. Elementární funkce Definice, grf vlstnosti funkce lineární, kvdrtické, mocninné, eponenciální, logritmické, nepřímé úměrnosti funkce s bsolutní hodnotou. Goniometrické funkce Hodnoty goniometrických funkcí. Vzthy mezi goniometrickými funkcemi. Úprv goniometrických výrzů. Grfy goniometrických funkcí v zákldními posunutém tvru. Rovnice Lineární rovnice s jednou neznámou. Soustvy lineárních rovnic o dvou neznámých. Kvdrtické rovnice. Rovnice s neznámou ve jmenovteli. Rovnice s bsolutní hodnotou. Rovnice ircionální, eponenciální logritmické. Nerovnice Soustvy lineárních nerovnic s jednou neznámou. Kvdrtická nerovnice. Nerovnice s neznámou ve jmenovteli, nerovnice s bsolutní hodnotou. Užití nerovnic při určení definičního oboru funkce. Posloupnosti řdy reálných čísel Aritmetická posloupnost. Geometrická posloupnost. Nekonečná geometrická řd její součet.
7 Anlytická geometrie v rovině Rovnice přímky. Vzájemná poloh přímek. Anlytické vyjádření kružnice, elipsy, hyperboly prboly. Vzájemná poloh přímky kuželosečky. Komplení čísl Algebrický goniometrický tvr kompleního čísl. Čísl kompleně sdružená. Operce s kompleními čísly. Řešení kvdrtické rovnice v oboru kompleních čísel. Přijímcí zkoušk z mtemtiky má formu testu s výběrem odpovědí je relizován n PC. Uchzeč při ní řeší příkldů. Jednotlivé úlohy jsou uzvřené. Ke kždé z nich je nbízeno několik výsledků, z nichž právě jeden je správný. Z nesprávnou odpověď jsou strženy trestné body. Při zkoušce není povoleno používt žádné učebnice, sbírky, encyklopedie, notebooky přehledy vzorců v jkékoliv podobě. Při výpočtech je možno použít klkulčku. 7
8 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Test.. Vypočtěte log log log log A. B. C. 9 D. E. 9. Pro ± zjednodušte A. ( ) :. ( ) ( ) B. C. ( ) D. E. ( ). Soustv rovnic má v oboru R řešení: ( ) y y y y A., y B., y C. nekonečně mnoho D., y E. nemá řešení
9 . Rovnice 0 má v oboru kompleních čísel řešení: A. i, ± B., ± i C. nemá řešení D. i, ± E., ± i. Množin všech řešení nerovnice v oboru R je: A., B., D. (, ) C. (, ), E.,, ). Rovnice má v oboru R řešení: A. 7, B. 7, C ,, D.,, E., 7. K dnému grfu vyberte správný funkční předpis: A. y y B. ( ) C. y tg( ) y D. ( ) E. y 9
10 . Přímk, která prochází bodem B [, ] je kolmá n přímku m KL, K [, ], L [,], má obecnou rovnici: A. y 7 0 B. y 0 C. y 0 D. y 0 E. y 0 9. Je-li posloupnost n ( ) n n geometrická, vypočtěte s. A. 0 B. 970 C. není GP D. 9 9 E Rovnice má v oboru R řešení: A. B. ; C. ; D. E. nemá řešení. Rovnice A. má v oboru R řešení: B. C. 0 D. E.. Rovnice log ( ) log ( ) řešení: má v oboru R A. ± B. C. D. E. nemá řešení 0
11 Řešení Příkld. Podle prvidel pro počítání s logritmy postupně dostneme log log log log log log log log log nyní postupně uprvíme složený zlomek ( ) log log log log log. Správná odpověď je D. Příkld. Nejdříve výrzy v obou závorkách převedeme n společného jmenovtele, potom uprvíme n součin krácením zjednodušíme: : : ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( Správná odpověď je E.
12 Příkld. V obou rovnicích nejdříve odstrníme zlomky tk, že je vynásobíme jejich společným jmenovtelem. ( ) y y y y / 0 / Dostneme 0 0 y 0 y 9 y y. Dále po úprvě 9y 0 y. Pro vyřešení této soustvy rovnic použijeme sčítcí metodu. Npříkld první rovnici vynásobíme číslem, druhou číslem obě rovnice sečteme. Potom y y 0 y y. Dosdíme-li y npř. do první rovnice, dostneme 0. Řešením soustvy je dvojice, y. Správná odpověď je B. Příkld. 0, b ± b c ± 0 0 ± 0 ± i ± i ± i. 0 0
13 Správná odpověď je D. Příkld. Nejprve převedeme konstntu n levou strnu nerovnice, kde potom výrzy sloučíme převedením n společného jmenovtele Nulový bod čittele je, jmenovtele. Tyto body dělí číselnou osu n tři intervly, n kterých vyšetřujeme znménko čittele, jmenovtele celého zlomku.,, (, ) Správná odpověď je D. Příkld. Podle definice bsolutní hodnoty pltí: je-li f ( ) 0 f ( ) f ( ), je-li f ( ) < 0 f ( ) f ( ). Musíme tedy rozepst výpočet podle toho, zd je výrz uvnitř bsolutní hodnoty záporný nebo nezáporný. Pro řešení rovnice nejdříve určíme nulové body výrzů uvnitř bsolutních hodnot: 0,. Tto čísl dělí množinu R n intervly. Zjistíme znménk výrzů v bsolutní hodnotě n kždém z nich pro přehlednost si výsledky zpíšeme do tbulky. (,0) 0, (, )
14 Dnou rovnici pk řešíme n jednotlivých intervlech: ) (,0 ) ( ) b) 0, ( ) > 7. tento bod nevyhovuje. c) (, ) ( ) 0 0. Správná odpověď je B. Příkld 7. Z tvru grfu funkce z toho, že grf prochází bodem [,] plyne, že: Správná odpověď je B. Příkld. Směrový vektor přímky m KL, K [, ], L [,] je normálovým vektorem hledné přímky p m. Tedy s r r m KL L K ( 9, ) (, ) np Tkže p : y c 0, B[, ] p : ( ) c 0, c 7, p : y 7 0. Hledná přímk má obecnou rovnici y 7 0. Správná odpověď je A.
15 Příkld 9. Pro podíl dvou po sobě následujících členů posloupnosti n ( ) n n 9 pltí:, 7 9,..., n n ( ) n ( ) n n n Jedná se tedy o geometrickou posloupnost s kvocientem q. Můžeme vypočítt součet prvních pěti členů s q q. 7 0 Správná odpověď je A. Příkld 0. Po umocnění rovnice n druhou dostneme,. Když opět umocníme, je 9, 0. Odtud ± ±,,,.
16 Zkoušk: L, P, L P. L, P, L P Řešením dné rovnice jsou čísl. Správná odpověď je B.. Příkld. Mocninu o zákldu necháme n levé strně, mocniny o zákldu převedeme n prvou strnu rovnice Postupnými úprvmi dále dostneme :. ( ), 7 7,, 0 Tedy 0. Zkoušk : L 0 7, P. Protože L P, je 0 řešením dné rovnice. Správná odpověď je C.,
17 Příkld. log ( ) log Rovnice je řešitelná pro > 0 > 0 >. Podle prvidel pro počítání s logritmy je: log ( ) log ( ) log [( )( ) ]. Tedy log ( 9) Po odlogritmování 9. Tkže ±. Z obou kořenů podmínkám řešitelnosti vyhovuje pouze, pro který provedeme zkoušku. Zkoušk: L log ( ) log log log log, P L P. Řešením dné rovnice je číslo. Správná odpověď je B. 7
18 Test. Npište komplení číslo c i v goniometrickém tvru. A. 7π 7 cos i sin π B. π cos i sin π C. π cos i sin π D. π cos i sin π E. π cos i sin π. Pro přípustné hodnoty rgumentu zjednodušte výrz sin sin cos sin A. sin cos B. sin C. D. cos E. sin cos cos. Soustv nerovnic ( ), < 0, ( )( ) ( )( ) má v oboru R řešení: A., 0 B. (, C., D., 0 0 E. Ø
19 . Množin všech řešení nerovnice > 0 R je: v oboru A. Ø B. (, ) (, ) C. (, ) D. (, ) E. (, ) (, ). Rovnice ( ) ( ) má v oboru R řešení: A. žádné B. nekonečně mnoho C. D. E. 7. Řešte v R nerovnici. A., B. Ø C., D., E., 7. K dnému grfu vyberte správný funkční předpis: A. y B. y C. y log ( ) D. y E. y log ( ) 9
20 . Zjistěte druh kuželosečky y y 0 určete: u kružnice střed poloměr, u elipsy hyperboly střed poloosy, u prboly vrchol prmetr. A. Kružnice: S [, ], r B. Hyperbol: S [, ],, b C. Elips: S [, ],, b D. Elips: S [, ],, b E. Hyperbol: S [, ],, b 9. Součet všech dvojciferných sudých přirozených čísel je: A. 7 B. 0 C. 700 D. 9 E Rovnice má v oboru R řešení: A. B. ; C. 0; D. E. ;. Rovnice log (7 ) má v oboru R řešení: A., B., 0 C. D. 0 E.. Rovnice ( ) log má v oboru R řešení: log ( ) A., B., 997 C. 7, 000 D., 7 E. nemá řešení
21 Řešení Příkld. Algebrický tvr kompleního čísl c bi máme c c cosϕ i sinϕ, kde převést n goniometrický tvr ( ) c b pro úhel ϕ musí součsně pltit vzthy cos ϕ, c b sin ϕ. c c, cos ϕ sinϕ. π 7π Ob tyto vzthy splňuje úhel ve. kvdrntu ϕ π. Tedy 7π 7 c cos i sin π. Správná odpověď je A. Příkld. sin sin cos sin sin (sin cos) sin cos sin cos sin cos cos cos cos Správná odpověď je D. Příkld. Kždou nerovnici budeme řešit zvlášť. V první nerovnici nejdříve odstrníme desetinná čísl potom zlomky.
22 ( ), < 0, ( ) < 9 <. / / Dále dostneme 0 < / ( ) >. 0 Ve druhé nerovnici roznásobíme závorky postupně obdržím ( )( ) ( )( ) 0 /. Společným řešením obou nerovnic je průnik dílčích výsledků, tj. intervl,. 0 Správná odpověď je A. Příkld. Grfem kvdrtické funkce n levé strně nerovnice je prbol. Kořeny rovnice 0 jsou souřdnice jejích průsečíků s osou. Jsou to čísl ± ±, ±
23 Z náčrtku uvžovné prboly plyne, že řešením zdné nerovnice je kždé (, ). Správná odpověď je C. Příkld. Rovnice je řešitelná pro. Nejdříve odstrníme zlomky 7 9 ( ) ( ) Postupně dostneme 7 7, což odporuje podmínce řešitelnosti. Tto rovnice tedy nemá řešení. / ( ) Příkld. Nulový bod výrzu v bsolutní hodnotě je. ) Pro (,) je < 0 ( ) Správná odpověď je A.. Tedy <,.. b) Pro, ) je 0.
24 Tedy Ø Sjednocením výsledků, Ø,. Správná odpověď je D. Příkld 7. Z tvru grfu funkce z toho, že grf prochází bodem [, ] plyne, že: Správná odpověď je C. Příkld. Obecnou rovnici kuželosečky y y 0 převedeme n středový tvr. Abychom u kvdrtických členů získli koeficienty, vytkneme číslo ze členů s proměnnou ( ) ze členů s proměnnou y ( ) ( y y). Dvojčleny s proměnnou y doplníme n druhé mocniny dvojčlenů [( ) ] [( y ) ] Dále ( ) ( y ) / :, ( ) ( y ). Zkoumná kuželosečk je hyperbol se středem S [, ] poloosmi, b. Správná odpověď je E. Příkld 9. Všechn dvojciferná sudá přirozená čísl tvoří ritmetickou posloupnost 0,,,,,0,,,.,9,9, ve které 0, d, n 9. Ze vzthu pro n-tý člen n ( n )d postupně plyne 9 0 ( n )
25 n n Součet všech dvojciferných sudých přirozených čísel tedy je n s ( ) n ( 0 9) 0 0. Správná odpověď je B. Příkld 0. Po umocnění rovnice n druhou postupně dostneme, ( )( ), 9. Když opět umocníme, tk 9 9. Odtud 0 Tkže 0,. Zkoušk: 0 ( ) 0. L, P 0, L P. L, P, L P. Řešením dné rovnice je číslo. Správná odpověď je D.
26 Příkld. log (7 ) Rovnici uprvíme n tvr Dále dostneme 7 7 / ( ) 7. Použitím substituce obdržíme kvdrtickou rovnici t 7t 0, která má kořeny Tedy t, t. 7 ± 9 7 ± 7 ± 9 t,. Doszením do substituční rovnice dostneme: pro t : pro t rovnice Zkoušk : 0 0, nemá řešení. 0 L log (7 ) log(), P 0 Protože L P, je 0 řešením dné rovnice. Příkld. Rovnice je řešitelná pro t Správná odpověď je D. ( ) 0 > > 0 log. Obě podmínky jsou tedy splněny pro (, ) (, ) Tkže ( ) ( ). log / log( ) log
27 ( ) log( ) log ( ) log( ) 0 log. Substitucí ( ) z log převedeme logritmickou rovnici n kvdrtickou z z 0. Potom ( z )( z ) 0 z ; z. Výsledky dosdíme do substituční rovnice dostneme z : log ( ) z : log ( ) Kořeny vyhovují podmínkám řešitelnosti. Pro ob provedeme zkoušku. Zkoušk: 9 L log log 0 9 log 0, P L P. L ( ) log 997 log 997 ( ) 0 log000 log 0 log000, P L P 9 Řešením dné rovnice jsou čísl, Správná odpověď je B. 7
28 PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ. Číselné výrzy Vypočtěte: ( ) 0,0 0, ( ) ( ). 7. ( ) : Vypočtěte:. log log. log log
29 . log log log log. log log log. log log log. ( ) log log log log 7.. log log log 9 log 9 log log log 9 9. log log log 0. log log log Vypočtěte získné komplení číslo zpište v lgebrickém tvru (i je imginární jednotk):... i i i i i i i i i i i i i i i. ( i ). i i : i i i i ( )( ). ( ) i i i 7. ( i ). ( i ) ( i ) ( i ) i i i 9
30 9. i i i i i i 0. i i i Zpište dné komplení číslo v goniometrickém tvru:. c i. c i. c i. c i. c i. c i 7. i c. c i 9. c i 0. c i 0
31 . Algebrické goniometrické výrzy Zjednodušte:. ( ) [ ] ( ) y y. 7 0 : y z y z y. ) ( : z y y yz z y. ( ) b b b. ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n. : 0 m m m m m m m m. m m m m m :. y y y y.. b b :. :. b b b b b :
32 . : ) ( 7. ( ) v u v uv v u v uv :. v uv v u uv u 9. ( )( ) ( ) b b b b b b 0.. b b b b b b :.. ( ) :. sin sin cos cos. cos cos. cos sin cos 7. cos sin. sin cos cos sin 9. cos cos sin cos 0. sin sin cos cos. ( ) sin cos cos. sin cos sin. ) cos ( sin ) sin cos ( cos
33 . cos tg. tg cos tg sin. cos cos cotg 7. tg cotg tg. tg tg 9. ( ) tg tg 0. cotg tg
34 . Lineární rovnice nerovnice V oboru R řešte rovnici:. ( ) ( ) ( ) ( ) (9 ) ( ). ( 0,), ( 0,)( 0,) V oboru R řešte soustvy rovnic o dvou neznámých:. y. y, 7 y y 7.,, y, 9. ( y ) ( ) y, 0, 9y 0, 9 0, y 0, y 9. y 0. y y y
35 . y 7. y y y y y y.. 7y ( y ) y y y ( y ) y y y. y y 9. ( y ) ( 9y ) ( y ) 7( y ) 7 7. ( )( y ) ( )( y ) ( )( y ) ( )( y ). ( )( y ) ( )( y ) ( )( y 7) ( )( y ) y y 9. 0 ( )( y ) ( y)
36 0. y ) ( ) ( ) ( ) )( ( y y y y V oboru R řešte soustvy nerovnic:. ( ) ( ). 7,, 0,) ( < < 0, <. 7 <. < ( ) ( ) <. ) ( 7 ) ( > 7 ) ( ) (. ) ( ) )( ( < 7. ) ( 7
37 . ( ) ( ) ( ) 9. ( ) > ( ) 0, > 9 0. ( ) ( ) 0. > ( ). < < ( ) 7 ( ) ( ) <. < 7. > 7 7
38 . ) ( < 7 < Pro která přirozená čísl pltí: ) ( ) ( 9. > 0. >
39 . Kvdrtické rovnice nerovnice Řešte v oboru kompleních čísel: Sestvte kvdrtickou rovnici s reálnými koeficienty, jejíž jeden kořen je komplení číslo :. i. i. i. i. i. i V oboru R řešte nerovnice: 7. ( )( ) 0. > < 0 9
40 . ( 0,)( 7) 0. < 0. < < 0 7. > 0. > < Určete, pro které hodnoty reálného prmetru m má kvdrtická rovnice reálné různé kořeny:. ( m) m 0. m m m 0, m 0 Určete, pro které hodnoty reálného prmetru má kvdrtická rovnice reálný dvojnásobný kořen:. 0, 0. 0, 0 Určete, pro které hodnoty reálného prmetru r nemá kvdrtická rovnice reálné kořeny:. r (r ) r 0, r 0. ( r ) r ( r ) 0, r Určete v oboru R definiční obory funkcí: 7. y ( ). y 9. log [( )( ) ] y 0. y log( ) 0
41 . Rovnice nerovnice s neznámou ve jmenovteli Řešte v oboru R rovnici: ( )( ) ( )( ) 9 9. ( ) ( ) 0 0. ( )( ) ( )( ) ( )( ). ( )( ) 0. 0
42 ( ) V oboru R řešte nerovnice:.. 0 >.... > 7. > <
43 . <. < Určete v oboru R definiční obory funkcí:. y. y. y. y 7 7. y log. y log 9. y log 0. y log 0
44 . Rovnice nerovnice s bsolutní hodnotou Řešte v oboru R rovnice: V oboru R řešte nerovnice:. <. >..
45 . > > 0.. >.. >. >.. 7. <. < 9. > 9 0.
46 .7 Grfy funkcí Nkreslete grf funkce y f() určete průsečíky s osmi souřdnic:. y ( ). y ( ). y. y. y. y 7. y. y 9. y 0. y. y. y. y ( ). y. y. y log( ) 7. y log 0,. y log 9. y log 0. y. y. y. y
47 Nkreslete grf funkce y f ( ) pro π, π určete průsečíky s osmi souřdnic:. y sin. y cos. y cos 7. y sin. y sin 9. y cos 0. y cos. y cos π. y sin. y cos π. y sin. y sin. y cotg 7. y cotg π. y tg 9. y cotg π 0. y tg 7
48 . Anlytická geometrie v rovině Sestvte obecnou rovnici přímky, která prochází bodem B je rovnoběžná s přímkou m.. B [, ], m KL, K [, ], L [, ]. B [, ], m KL, K [, ], L [0, 0]. B [0, 0], m KL, K [, ], L [ 7, 7]. B [, ], m : y 0. B [, ], m : y Sestvte obecnou rovnici přímky, která prochází bodem B je kolmá n přímku m.. B [0, ], m KL, K [, ], L [, ] 7. B [0, 0], m KL, K [, ], L [0, ]. B [, ], m : y 7 Určete obecnou rovnici osy úsečky AB. 9. A [7, ], B [, ] 0. A [, ], B [, ] Určete vzájemnou polohu přímek p, q. V přípdě rovnoběžek rozhodněte, zd jsou splývjící nebo různé. U různoběžek určete souřdnice jejich průsečíku.
49 . p : y 0, q : y 0. p : y 0, q : y. p : y, q : y. 7 p : y, q : y t t. p : y 0, q : y t t. p : y 0, q : y t t 7. p : y, q : y t t. p : y, q : y t t Zjistěte druh kuželosečky určete: u kružnice střed poloměr, u elipsy hyperboly střed poloosy, u prboly vrchol prmetr. 9. y y 7, y 0. y 0 0y 0. y y 0 9
50 . y y 0. y 0. 0y 0y 0 0. y 0 y 0 7. y y 0. y 0 y y 0 0. y y 0. y y 0. 9y y y 0. 0 y 0 Určete vzájemnou polohu přímky kuželosečky souřdnice jejich společných bodů.. y y 0, y 0. y, y 9 7. y 7 y 0 0, y ( ) ( y )., y t t 9. y y 0, y 0 0. y, y 0 0
51 .9 Posloupnosti V ritmetické posloupnosti určete první člen, je-li dáno:. 9, ,.,., V ritmetické posloupnosti je dáno:. 7, d, určete s., d, určete s , d, určete s 9., d, určete s 9.,, určete s 0., 7 7, určete s 7., 0 7, určete s., 0 0, určete s Je-li dná posloupnost ritmetická, určete d s0:. n. n n n n
52 . n. n n n n 7. Určete součet všech sudých přirozených čísel menších než 0.. Určete součet všech lichých přirozených čísel menších než Určete součet všech přirozených dvojciferných čísel. 0. Určete součet všech přirozených trojciferných čísel. V geometrické posloupnosti určete člen, je-li dáno:., 9 7., 0.,., V geometrické posloupnosti určete s n, je-li dáno:., q, 79. n, q, n 7., q,. n,, q n
53 Je-li dná posloupnost geometrická, určete s : n n. n n n n n n n n Vypočtěte: log log log log log log log log...
54 .0 Ircionální rovnice Řešte v oboru R ircionální rovnice: ( ).. 7. ( )( ). ( )( 7)
55
56 . Eponenciální rovnice Řešte v oboru R eponenciální rovnice ( ) , 0, ,.. 0,
57 ) ( ) ( log. ) ( log 9. ) ( log 0. ) ( log
58 . Logritmické rovnice Řešte v oboru R logritmické rovnice:. ( ) ( ) ( ) log log log. log ( 7 ) log( ) log. log ( ) log ( ) log 9 9. log log log. log ( ) log( ) log. log ( ) log ( ) log 0 7. ( ) log ( ) log. log ( ) log 9. ( ) log ( ) 0 log 0. ( ) log ( ) log. log( ) log. log ( ) log ( )
59 . log log log ( ) ( 0). log log ( ) ( ). log log log ( ) 7. log ( ) 9. log ( ) log log ( ) log( ) log ( ).. log log ( ) log ( ) log ( ) ( ) log 0. log ( 0) log ( ) log ( ). log log log log ( ) log log log 0 log log log. ( ). log log log log. log log ( ) log ( ) log. log log. log log 0 7. log log log( ) log. log ( ) 9
60 9. ( ) log log 9 0. log log. log ( ). log ( ) log( ) log( ).. log. log log log 0 log log. log log log 7. ( log ) log. log log 9. log log 0. log log 0
61 VÝSLEDKY. Číselné výrzy , i. 7 i. i 0 0. i. i. 7. i. i 9. i π 0. i. cos i sin π π π π π. cos i sin. cos i sin π π π π. cos i sin. cos i sin π π π π. cos i sin 7. cos i sin π π π π. cos i sin 9. cos i sin π π 0. cos i sin.. Algebrické goniometrické výrzy. z. y. 9. ( ) 0.. y z. b.. m.. m 7. m 9. m.. b
62 . 7. u. b 9. uv b 0.. b. sin.. cotg. cotg. 7. tg. cos 9. sin 0. tg. sin. tg. cotg.. sin. tg 7. tg. sin cos 9. sin 0. tg.. Lineární rovnice nerovnice....,. [, ]. [, ;, ] 7. [, ]. nekonečně mnoho řešení 9. nemá řešení 0. nekonečně 7 9 mnoho řešení. [, ]. nekonečně mnoho řešení. nemá řešení. [ 7, ]. [, ]. nemá řešení 7 7. [, ]. [ 7, ] 9. [, ] 0. [, ]., 0 7. (, ). ( 9, ). (,.,., ) ,. prázdná množin 9. prázdná množin 0..,. (, ). prázdná množin. (, ).,. pro všechn N.,,..., 0 0. pro žádné N. 9. { }. Kvdrtické rovnice nerovnice 7. {,, } 9 7. ± i. ± i. ± i. ± i
63 . ± i. ± i 7. ± i. ± i 9. ± i 0. ± i (,, ). (, ) 9., 0. (, ) (, ). 7,. (, ) (, ). (, 0). (,,.. (, ) (, ) 7. Ø. Ø 9. (, ) 0. (, ). (, ) (, ). (, 0).. pro žádné R. (, ). (, ) 7. (, 0, )., 9. (, ) (, ) 0. (, ). Rovnice nerovnice s neznámou ve jmenovteli R { 0; }. nemá řešení 7 7. R. nemá řešení 9. nemá řešení 0. nemá řešení... nemá řešení. nemá řešení. 0,. nemá řešení 7. ±. 0, 9. 0, 0. ±. (, ), ). (, 7). (,., ). (, (, ). (, ) 7. (, ) (, )., ) 9. 0, ) 0. (, )., ) 0.,. (, ) (, ). (, ) 0, ). (, 0), )
64 . (, ) 7. (, ). (, ) (, ), 0.,. 9. ( ) (, ). Rovnice nerovnice s bsolutní hodnotou. 7,, 7.,. nemá řešení.,.,,., 7.., 9., 0.,. 9,,. nemá řešení. 9,, 9.,.. nemá řešení 7. 0., nemá řešení. 9,., (, ). ( ;0,.,. (, ). (,, ) 7. R., ) 9. (,0 ) 0. R 7. (, ) (, ).. R. (, ),., ). (, 7.. ( 0,; ) 9. (, ) (, ) 0. R.. Anlytická geometrie v rovině. y 0. y 0. y 0. y 0 0. y 0. 0y 0 7. y 0. 7 y 0 9. y 0 0. y 0. různoběžky, P [, 0]. různoběžky, 0 P [, 0]. různoběžky, P [, ]. různoběžky, P [, ]. různé rovnoběžky. splývjící rovnoběžky 7. různé rovnoběžky. splývjící rovnoběžky 9. kružnice, S [, ],
65 r 0. kružnice, S [, 0], r. kružnice, S [, ], r. kružnice, S [, ], r. elips, S [0, ],, b. elips, S [, 0],, b. elips, S [0,], 0, b 0. elips, S [, ],, b 7. hyperbol, S [,], 0, b. hyperbol, S [, ],, b 9. hyperbol, S [,0],, b 0. hyper- bol, S [0,],, b. prbol, V [, ], p. prbol, V [, ], p,. prbol, V [, ], p,. prbol, V [,0], p 0,. sečn, A [, ], B [, ]. sečn, A [0, ], B [, 0] 7. tečn,t [, ]. tečn, T [, ] 9. nesečn 0. nesečn.9 Posloupnosti ,., není AP. 00. není AP není GP.. není GP.. nemá řešení nemá řešení 0. log..0 Ircionální rovnice.. nemá řešení.. nemá řešení nemá
66 řešení. 9. nemá řešení 0..,. nemá řešení., 9.,. ±. ± ,., 7.. nemá řešení , ,.. Eponenciální rovnice., 7.,.,., nemá řešení. 0. nemá řešení., 7., , 0.,. 0. 0,... 0, Logritmické rovnice...., ± 7., ± nemá řešení 0. nemá řešení nemá řešení , 9. 9,. 0, 0 9.., ,
67 LITERATURA BENDA, P. kol. Sbírk mturitních příkldů z mtemtiky. 9. vyd. Prh: SPN, 9. 00s. HUDCOVÁ, M. KUBIČÍKOVÁ, L. Sbírk úloh z mtemtiky pro SOŠ, SOU nástvbové studium.. vyd. Prh: PROME- THEUS, 00. s. ISBN JANEČEK, F. Algebrické výrzy, rovnice, nerovnice jejich soustvy.. upr. vyd. Prh: PROMETHEUS, 99. 7s. ISBN KRIŽALKOVIČ, K. kol. Riešené úlohy z modernej mtemtiky.. vyd. Brtislv: ALFA, 9. s. Mtemtik. Sbírk úloh pro společnou část mturitní zkoušky.. vyd. Prh: TAURIS, Zákldní obtížnost. 9s. ISBN Vyšší obtížnost. s. ISBN PETÁKOVÁ, J. Mtemtik příprv k mturitě k přijímcím zkouškám n vysoké školy.. vyd. Prh: PROMETHEUS, 00. 0s. ISBN RÁDL, P. kol. Sbírk příkldů z mtemtiky pro přijímcí řízení.. vyd. Brno: MZLU, 99. s. ISBN RÁDL, P. kol. Mtemtik - příkldy pro přijímcí zkoušky.. přeprc. vyd. Brno: MZLU, 00. s. ISBN
68 RNDr. Petr Rádl RNDr. Bohumil Černá RNDr. Ludmil Strá MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF Mendelov univerzit v Brně Zemědělská, 00, Brno Tisk, Ediční středisko Mendelovy univerzity v Brně Dotisk, 0 První vydání, 0 Nákld 000 ks ISBN
3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
VíceJsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.
Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
Více( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled
řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo
VícePOŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY
TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy
Více2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]
- FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé
VíceLogaritmická funkce teorie
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvlity výuky technických oorů Klíčová ktivit IV Inovce zkvlitnění výuky směřující k rozvoji mtemtické grmotnosti žáků středních škol Tém IV Algerické výrzy, výrzy s mocninmi odmocninmi Kpitol
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 11. červenec 2012 Název zpracovaného celku: LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM
Předmět: Ročník: Vytvořil: Dtum: MATEMATIA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁ 11. červenec 01 Název zrcovného celku: LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM Rovnice s rmetrem obshuje kromě neznámých
VíceDUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla
projekt GML Brno Docens DUM č. v sdě M- Příprv k mturitě PZ geometrie, nltická geometrie, nlýz, komlení čísl 4. Autor: Mgd Krejčová Dtum: 3.8.3 Ročník: mturitní ročník Anotce DUMu: Anltická geometrie v
VíceHyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
VíceOpakování ke státní maturitě didaktické testy
Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..
VíceOpakovací kurs středoškolské matematiky podzim
. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou
VíceŘíkáme, že přímka je tečnou elipsy. p T Přímka se protíná s elipsou právě v jednom bodě.
7.5. Elips přímk Předpokldy: 7504, 7505, 7508 Př. : epiš všechny možné vzájemné polohy elipsy přímky. Ke kždému přípdu nkresli obrázek. Z obrázků je zřejmé, že existují tři přípdy vzájemné polohy kružnice
VíceLineární nerovnice a jejich soustavy
teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice
VíceLogaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice
Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >
VíceCVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23
CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
VíceVZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava
VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,
VíceKřivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
VíceSprávné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010
právné řešení písemné koušky mtemtiky- vrint A Přijímcí říení do NMgr. studi učitelských oborů Příkld. Vyšetřete průběh funkce v jejím mimálním definičním oboru nčrtněte její grf y Určete pritu (sudá/lichá),
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceM - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně
VíceVZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
Více3. Kvadratické rovnice
CZ..07/..08/0.0009. Kvdrtické rovnice se v tetice oznčuje lgebrická rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznáé, ve které neznáá vystupuje ve druhé ocnině (²). V zákldní tvru vypdá následovně:
VíceZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,
ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých
VícePřehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
Více3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru
Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
VíceCVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
VíceDigitální učební materiál
Digitální učení mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo název šlony klíčové ktivity III/ Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce
VíceMatematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné
Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log
Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání
Více9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
Více( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t
7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
Více2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic
..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
Více( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.
Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
VíceINTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE
INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceSymbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky
Symbolicko - komplexní metod I pkování komplexních čísel z mtemtiky Použité zdroje: Blhovec,.: Elektrotechnik II, Informtorium spol.s r.o., Prh 005 Wojnr, J.: Zákldy elektrotechniky I, Tribun EU s.r.o.,
VíceHyperbola a přímka
7.5.8 Hperol přímk Předpokld: 75, 75, 755, 756 N orázku je nkreslen hperol = se středem v počátku soustv souřdnic. Jká je vzájemná poloh této hperol přímk, která prochází počátkem soustv souřdnic? E B
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
VíceKonzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia
- - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin
VíceMaturitní témata z Matematiky
Mturitní témt z Mtemtik. Výrz jejich úprv. Lineární rovnice nerovnice, lineární rovnice s prmetrem. vdrtická rovnice nerovnice, kvdrtická rovnice s prmetrem. Rovnice nerovnice v součinovém podílovém tvru.
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
Víceskripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81
skript MZB.doc 8.9. /8 skript MZB.doc 8.9. /8 Osh Osh... Zlomk... Dělitelnost v množině přirozených čísel... Trojčlenk... 9 Výrz s mocninmi s celočíselným eponentem ()... Výrz s mocninmi s rcionálním eponentem...
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
VíceCVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Více( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?
1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
VíceM - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy P a VK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu dovoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
Více( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306
7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
VíceVýpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceOpakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <
8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární
VíceÚlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C
52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
VíceAnalytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme
VícePřijímací řízení akademický rok 2015/2016 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímcí řízení kemický rok 0/06 Bc. stuium Kompletní znění testových otázek mtemtik Koš Znění otázk Opověď ) Opověď ) Opověď c) Opověď ) Správná opověď. Které číslo oplníte místo otzníku? 7 6 8 6?. Které
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
VíceZáklady matematiky pracovní listy
Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky
VíceVZOROVÝ TEST PRO 2. ROČNÍK (2. A, 4. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 4. C) max. body 1 Vypočtěte danou goniometrickou rovnici a výsledek uveďte ve stupních a radiánech. cos x + sin x = 1 4 V záznamovém archu uveďte celý postup řešení. Řešte
VíceVětu o spojitosti a jejich užití
0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
VíceSBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU
SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceDIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17
DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník
VíceII. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
VíceCVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu
VíceKRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
Vícec) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice
Několik dalších ukázek: Eponenciální rovnice. Řešte v R: a) 5 +. 5 - = 5 - b) 5 9 4 c) 7 + = 5 d) = e) + + = f) 6 4 = g) 4 8.. 9 9 S : a) na každé straně rovnice musí být základ 5, aby se pak základy mohly
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou
VíceObsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
Více1.2 Množina komplexních čísel... 10
Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................
Více