Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
|
|
- Stanislav Vávra
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nzývá reálná funkce reálné proměnné. Grfem f se rozumí množin {, f) ) D f } R 2. U hezkých funkcí bude možno grf nmlovt. Zdlek ne všechny funkce mjí tuto vlstnost. Definujeme dvě tkové funkce: Dirichletov funkce: Riemnnov funkce: f) = {, když Q 0, když R Q. { f) =, když = p, kde p Z, q N, nsdp, q) = q q 0, když R Q. Zto poslední funkce, kterou ted zvedeme, zvná signum z ltinského znmení ), má velice jednoduchý tvr nčrtnout její grf je sndné. Definujeme, když > 0 sgn) = 0, když = 0, když < 0. Zvedeme několik užitečných pojmů: Definice.2. Necht f je reálná funkce reálné proměnné. Řekneme, že funkce f je omezená, resp. shor omezená, resp. zdol omezená, když obor hodnot H f je množin omezená, resp. shor omezená, resp. zdol omezená, funkce f je rostoucí, když, 2 D f ) < 2 f ) f 2 )), funkce f je ostře rostoucí, když, 2 D f ) < 2 f ) < f 2 )), funkce f je klesjící, když, 2 D f ) < 2 f ) f 2 )), funkce f je ostře klesjící, když, 2 D f ) < 2 f ) > f 2 )),
2 funkce f je monotonní, když je rostoucí nebo klesjící, funkce f je ryze monotonní, když je ostře rostoucí nebo ostře klesjící. Poznámky. ) Omezenost funkce lze symbolicky zpst tkto: K R) D f ) f) K). Podobně lze zpst omezenost shor, resp. zdol. 2) Když je funkce f ryze monotonní, pk je f prostá. Proto eistuje inverzní funkce f, přičemž se zchovává typ monotonie, tj. f je ostře rostoucí f je ostře rostoucí, f je ostře klesjící f je ostře klesjící. 3) Prostá funkce nemusí být ryze monotonní. Příkldem prosté funkce, která není ni klesjící ni rostoucí, je f) = s definičním oborem R {0}. Definice.3. Necht f je reálná funkce reálné proměnné, jejiž definiční obor D f podmínce D f ) D f ). Řekneme, že funkce f je sudá, když D f )f) = f )); funkce f je lichá, když D f ) f) = f )). vyhovuje Definice.4. Necht f je reálná funkce reálné proměnné, pro niž eistuje kldné l R tkové, že ) D f ) + l, l D f ); 2) D f )f + l) = f)). Funkci f říkáme periodická číslu l period funkce f. Příkld.5. Aplikujme zvedené pojmy n výše zmíněné funkce. ) Funkce signum je lichá, není periodická. 2) Konstntní funkce je vždy sudá. Konstntní funkce je lichá pouze v přípdě, že f) je identicky rovno 0. Konstntní funkce je periodická, její periodou je libovolné kldné reálné l, nejmenší period neeistuje. 3) Dirichletov funkce je sudá, nvíc je periodická s periodou libovolné rcionální kldné l. Ani zde neeistuje nejmenší period. 4) Riemnnov funkce je sudá periodická s periodou libovolné přirozené l, nejmenší periodou je tedy číslo..2 Definice ity funkce Než přistoupíme k definici ity funkce, musíme si vyjsnit, v jkých bodech má smysl uvžovt o itě funkce. 2
3 Definice.6. Řekneme, že R je hromdným bodem množiny A R, když eistuje prostá posloupnost n ) tková že n =. Příkld.7. Uved me n několik příkldech, jk mohou vypdt hromdné bodů množiny. Konečná množin nemá žádný hromdný bod. Množin A = { n n N} má jediný hromdný bod 0. Intervl 0, ) má z hromdný bod libovolný prvek intervlu 0,. Tento příkld ukzuje, že hromdný bod množiny A může, le tké nemusí ptřit do množiny A. Množin přirozených čísel má jediný hromdný bod, to +. Množin celých čísel má dv hromdné body, to ±. Množin Q má z své hromdné body celou množinu R. Definice.8. Necht R je hromdným bodem definičního oboru D f funkce f necht c R. Řekneme, že funkce f má v bodě itu c, pokud pro kždou posloupnost n ), jejiž členy n jsou z množiny D f \ {}, pltí n = = f n ) = c. Zpisujeme f) = c nebo zkráceně f = c. Definice, kterou jsme uvedli, je připisován německému mtemtikovi Heinrichu Heinemu. Původní definice ity funkce nevyužívá pojmu it posloupnosti. Její zákldy položil Bernhrd Bolzno, mtemtik, který celý svůj život prožil v Čechách. Bolznovu definici všk zpíšeme v moderní symbolice. Definice.9. Necht R je hromdným bodem definičního oboru D f funkce f necht c R. Řekneme, že funkce f má v bodě itu c, pokud pltí Hc ) H ) Df \ {} ) H = f) H c ). V přípdě, kdy body c leží v R, tj. jsou to konečné hodnoty, lze Bolznovu definici formulovt v symbolice nzývné v mtemtické hntýrce ε δ. Okolí H c bodu c je totiž intervl H c = c ε, c + ε) pro nějké ε > 0, tedy výrok f) H c lze přepst jko f) c < ε. Podobně okolí bodu je tvru H = δ, + δ) pro nějké kldné δ. Fkt, že c R je itou funkce f v bodě R lze zpst i tkto: ε > 0) δ > 0 ) Df \ {} ) < δ = f) c < ε ). Necháme n čtenáři, by si rozmyslel, jk lze přepst itu funkce bez použití symbolů H H c v přípdě, kdy = c R, nebo v přípdě, kdy R = +, tp. celkově 9 možností). 3
4 Příkld.0. Pro libovolný bod R pltí e = e, protože podle věty o posloupnostech vzth n implikuje e n e. Ze stejného důvodu je pro kždé 0, + ). ln = ln Příkld.. Ukážeme, že 0 + ) = e. ) Abychom určili itu, podle definice máme uvžovt posloupnosti n ) tkové, že n = 0, kde nvíc n 0 pro kždé n N. Zřejmě pro bsolutní hodnotu pltí n = +. Připomeňme vzth z kpitoly, kde jsme zvedli číslo e : p n = + = + ) pn = e. p n Úlohu posloupnosti p n ) ted hrje posloupnost n. Proto f n) = + n ) n = + n ) n = e. Poznámk.2. Udělejme několik důležitých komentářu k definci. Definice nevyžduje, by byl bod z definiční ho oboru funkce f. Npř. funkce sgn 2 definovná v bodě 0, přesto je sgn =. 0 2 není Je-li bod D f, nemá číslo f) žádný vliv n hodnotu ity funkce v bodě. Npř. sgn 0 2 = sgn 0 2 = 0. Poždvek, by byl bod hromdným bodem množiny D f je nezbytný k tomu, bychom nšli lespoň jednu posloupnost n D f \ {}, která má z itu. Poznámk.3. Když se nám podří njít dvě posloupnosti n ) y n ) bodů z D f \ {} tkové, že n = y n = f n ) fy n ) Pk f) neeistuje. 4
5 Příkld.4. Ukžme, že Zkoumejme dvě posloupnosti 0 sin neeistuje. n = 2πn y n = 2πn + π 2. Pro obě pltí n = y n = 0, le sin n = sin2πn) = 0 sin y n = sin2πn + π 2 ) =. Příkld.5. Zkoumejme dvě ity O první z it sndno ukážeme, že neeituje. Položíme-li totiž z n = n z y n = n, obě posloupnosti mjí itu = 0, zto f n ) = n = n + f n ) = n = n Zto zřejmě it 0 2 = +. Funkce se chová velice rozdílně podle toho, zd doszujeme z proměnnou hodnoty vprvo nebo vlevo od nuly. Tkové chování postihuje pojem jednostrnné ity. Definice.6. Necht bod R je hromdným bodem množiny D f, + ) necht c R. Řekneme, že c je itou funkce f v bodě zprv, pokud pro kždou posloupnost n ), jejiž členy n jsou z množiny D f, + ), pltí n = = f n ) = c. Zpisujeme f) = c nebo zkráceně f = c. + + Obdobně Necht bod R je hromdným bodem množiny D f, ) necht c R. Řekneme, že c je itou funkce f v bodě zlev, pokud pro kždou posloupnost n ), jejiž členy n jsou z množiny D f, ), pltí n = = f n ) = c. Zpisujeme f) = c nebo zkráceně f = c. 5
6 Příkld = + 0 = sgn = sgn = 0+ 0 Poznámk.8. Z defince ity jednostrných it hned plyne tvrzení: f = c právě tehdy, když součsně + f = c f = c. Rozdílnost jednostrnných it indikuje tedy neeistenci ity celkové..3 Výpočet ity funkce Protože n hodnotu c ity funkce v bodě se lze dívt jko n itu posloupnosti f n ), lze všechny výpočetní věty o itách posloupnosti získt přímo z podobných vět pro výpočet itu posloupnosti. Vět.9. f ± g) = f ± g, f.g) = f. g, f g ) = f g z předpokldu, že je hromdným bodem množiny D f±g, resp. D f.g, resp. D f g prvých strnách rovnosti mjí smysl. výrzy n Příkld.20. Uvžujme funkci f) = zkoumejme její ity postupně v bodech =,, 2,. Protože zřejmě = mužeme s použitím předchozí věty spočítt itu pro kždý bod R, pro který bude výrz f) definován. Proto = f ) = 0. Hodnoty f) f2) nejsou definovány. To znmená, že 2 jsou kořeny polynomu Sndno uprvíme = 2 + 3) + ) ) ) 2) Nyní už můžeme určit prostým doszením 2 + 3) + ) f) = 2) Pro výpočet ity v bodě = 2 uprvíme dále 2 + 3) + ) 2 2) = 2 + 3) + ) 2) = 8. = ) + ) 6 2
7 Limit prvního zlomku je 7, druhý zlomek itu nemá, protože it zprv zlev je + resp.. Proto ni celková it neeistuje. Pro výpočet ity v bodě = musíme provádět uprvy jiného druhu, bychom mohli využít toho, že = = = =. = 2 Následující vět hrje při výpočtu ity funkce důležitou roli; roli dleko význmnější než je role obdobné věty u posloupnosti, tedy věty o itě vybrné posloupnosti. Vět.2. o itě složené funkce) Necht R je hromdným bodem definičního oboru složené funkce f g) ), necht b, c R necht jsou splněny tyto tři podmínky:. b f) = c, 2. g) = b, 3. bud H ) D g H {})g) b) nebo b D f fb) = c). Pk f g) ) = c. Příkld.22. Odvodíme důležitou itu Větu o itě složené funkce použijeme n ln + ) 0 =. 2) vnější funkci f) = ln bod b = e vnitřní funkci g) = + ) bod = 0. Protože podle vzthu ) je 0 g) = e = b, je splněn 2. podmínk vety. Stčí položit je splněn i. podmínk. Protože c := e f) = ln e = fg)) = ln + ) = ln + ) stčí k důkzu tvrzení 2) ověřit splnění 3. podmínky. Jelikož b = e D f = D ln fb) = ln e = c = je prvdivá druhá, část 3. podmínky. Příkld.23. Dokážeme e =. 3) 0 Opět použijeme větu o itě složené funkce. Tentokráte f) = ln + ) bod b = 0 g) = e bod = 0. 7,
8 Stčí položit c = f) = =, protože g) = e = 0 = b je vyhověno podmínce. V tomto přípdě, všk b = 0 / D f. Nicméně 0 ln+) g) = e 0 = b pro kždé 0 =, je vyhověno i 3. podmínce, kde z okolí H lze zvolit libovolné okolí bodu 0. Celkově do doszení máme z čehož už 3) plyne. ln + e ) fg)) = 0 0 e = 0 ln e e = 0 e =, Poznámk.24. N jendoduchém příkldě ukážeme, že podmínk 3. ve znění věty není zbytečná. Uvžujme funkci f) = sgn 2 bod b = 0. Jk jsme ukázli v poznámce.2 je f) = = b c. Je-li vnitřní funkce konstntně rovn 0, tj. g) = 0, pk g) = 0 = b. Přesto.4 Nerovnosti v itách fg)) = 0 = 0 = f). b Anlogicky, jk tomu bylo u it posloupností, it zchovává nerovnosti mezi funkcemi. Vět.25. Necht eistují obě ity f) g) necht nvíc eistuje okolí H tkové, že H \ {} D f H \ {} D g. Pk pltí implikce. H \ {}) f) g) ) = f) g). 2. f) < g) = H H ) H \ {}) f) < g) ). Přímým důsledkem této věty je vět o itě sevřené funkce. Vět.26. Necht pro funkce f, g, h body, c R pltí:. eistuje okolí H tkové, že H \ {} D f Dg Dh ; 2. f) g) h) pro kždé H \ {} ; 3. eistují f) = h) = c. Pk eistuje i it g) je rovn c. Připomeňme si definice funkcí sin, cos tg. Pro hodnoty 0, π ) je z geometrické předstvy 2 zřejmé, že 0 < sin <. Protože funkce sin je lichá, pltí tké < sin < pro kždé π 2, π 2 ) {0} 8
9 Jelikož 0 = 0, dostneme z předchozí věty sin = 0. 4) 0 Jelikož cos 2 + sin 2 = cos π, π ) je kldný, odvodíme pomocí prvidel pro výpočet 2 2 ity cos = sin 2 =. 5) 0 0 Využijeme ještě jednu nerovnost, kterou vyčteme z grfického znázornění trigonometrických funkcí Jelikož tg = sin cos dostneme 0 < sin < < tg pro 0, π 2 ). cos < sin < pro 0, π 2 ). Protože funkce cos i funkce sin jsou sudé, lze pltnost předchozích nerovnosti rozšířit n π, π ) {0}. Z věty o itě sevřené funkce odvodíme 2 2 Pro nlogický vzth s fukcí cos dostneme sin 0 =. 6) cos 0 neeistuje, protože ity zprv zlev jsou různé totiž +. Příkld.27. Pro výpočet následující ity využijeme známého vzthu sin 2 + cos 2 =. cos 0 = 0.5 Dlší důležité ity = 0 cos )cos + ) cos + ) cos +. 0 sin 2 = 0 cos + ) = ) 2 sin. =.. 0 = Ztím jsme se věnovli hlvně výpočtu ity funkce v bodě 0. Odvodili jsme ln + ) y 0 =, 0 e = 0 sin = Tyto ity větu o itě složené funkce použijeme při výpočtu dlších důležitých it v obecném bodě R. 9
10 N zčátku kpitoly jsme přímo z definice ity viděli, že e = e ln = ln. Abychom ukázli, že rovněž sin = sin, budeme potřebovt součtový vzorec pro funkci sin sinα + β) = sin α cos β + cos α sin β. Můžeme proto pst sin = sin ) + ) = sin ) cos + cos ) sin, tedy sin = cos sin ) + sin cos ) = = cos y 0 sin y + sin y 0 cos y = cos. 0 + sin. = sin V posledním kroku úprv jsem využili větu o itě složené funkce, kde z vnitřní funkci bereme y = g) =, rovněž jsme použili vzthy 4) 5). Ze znlosti součtového vzorce pro cosα + β) obdobně odvodíme, že cos = cos. Příkld.28. Pro R odvod te Uprvujeme e e = e e ) e e = e. = e e = e y 0 e y y = e. = e. Pro předposlední rovnost jsme využili větu o itě složené funkce, kde z vnitřní funkci jsme vzli g) =. Příkld.29. Pro > 0 odvod te Uprvujeme ln ln ln ln ) ln ln + = = ) =. ) = ln + = ln + y) y 0 y =. Opět jsme využili větu o itě složené funkce, tentokráte z vnitřní funkci jsme vzli g) =. Příkld.30. S použitím binomické věty vypočítme itu 5 5 = ) ) Stejným postupem dostneme n n = nn, pro kždé n N. 0 = ) = 5 4.
11 Opustíme-li podmínku celočíselnosti eponentu n, musíme využít složitější prát. Připomeňme, že funkce e ln jsou k sobě nvzájem inverzní, tedy jejich složením dostneme identitu. Proto pltí e ln b = b pro kždé b > 0. Příkld.3. Uvžujme nyní prmetry α R > 0 dokžme Uprvujeme α α = α e α ln α α = αα. α ) ) α = α ln α ln = αα e α ln = α α e y ln ln. y 0 y ) α e α ln = α ln = ln ln = α α.. = αα Pro závěr výpočtu jsme použili příkld.29 větu o itě složené funkce s vnější funkcí fy) = e y y vnitřní funkci g) = α ln. Příkld.32. Odvodíme, že sin sin = cos. K výpočtu této ity postupně využijeme součtový vzorec pro sinα + β), výsledek příkldu.27 větu o itě složené funkce. sin sin = sin ) cos + cos ) sin sin sin ) cos ) = cos. + sin. = = = cos. + sin.0 = cos.
Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
VíceSpojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu
10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VícePřehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
VícePřednáška 9: Limita a spojitost
4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
Víceje parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné
1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
Více3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
Vícemnožina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,
Náplní předmětu bude klkulus R n R (přípdně R m ). Proč se zbývt funkcemi více proměnných? V prxi je čsto třeb uvžovt veličiny, které závisejí n více než jedné proměnné, npř. objem rotčního kužele závisí
Více17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
Více6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }.
6.1. Limit funkce Číslo R nzveme hromdným bodem množiny A R, pokud v kždém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů z množiny A. Body z A, které neptří mezi hromdné body A, se nzývjí izolovné. Alterntivně
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
Více2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic
..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci
VíceJsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.
Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce
VíceI Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3
Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
Více3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE
.. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
VíceTechnická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika)
Technická univerzit v Liberci Pedgogická fkult Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky Mtemtik I (Obor: Informtik logistik) Václv Finěk Kpitol Zákldní pojmy Cílem této kpitoly je vysvětlit význm zákldních pojmů
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceIntegrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.
Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,
Více10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
VíceI Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5
Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Preklkulus 7. Reálná čísl................................................ 7. Funkce jejich zákldní vlstnosti...................................
Vícevás seznámí s učivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování měli umět.
POKYNY KE STUDIU Pokyny ke studiu V úvodu si vysvětlíme jednotnou pevnou strukturu kždé kpitoly tetu, která by vám měl pomoci k rychlejší orientci při studiu Pro zvýrznění jednotlivých částí tetu jsou
VíceZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,
ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých
Více( a) Okolí bodu
0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8
VíceDefinice limit I
08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí
VíceKřivkový integrál funkce
Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd
Více3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru
Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém
Vícef k nazýváme funkční řadou v M.
6. Funční řdy posloupnosti. Bodová stejnoměrná onvergence. Nechť pro N jsou f omplení či reálné funce omplení či reálné proměnné, teré mjí společný definiční obor M. Posloupnost {f ; N} nzýváme funční
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
Více( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t
7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách
VíceLogaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice
Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >
VíceURČITÝ INTEGRÁL FUNKCE
URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()
Více2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]
- FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé
Více( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?
1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6
VíceLogaritmické rovnice I
.9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceLineární nerovnice a jejich soustavy
teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice
VíceŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log
Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VíceLimity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban
Limity, derivce integrály Tomáš Bárt, Rdek Erbn Úvod Definice. Zobrzení(téžfunkce) f M Njemnožinuspořádnýchdvojic(x, y) tková,žekekždému xexistujeprávějedno y,žedvojice(x,y) f.tj.kždývzor xmáprávějedenobrz
Více1.2 Množina komplexních čísel... 10
Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................
VíceMatematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček
Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Obsh Úvod.........................................
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
Více7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo
7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
VíceVěta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak
Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm
VíceSpojitost a limita funkce
Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
VíceLogaritmická funkce teorie
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
VíceNerovnosti a nerovnice
Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
VíceFI: JARO 2017 Verze: 9. února 2017
FI: JARO 7 Verze: 9. únor 7 Přednášky k předmětu MB Autor: Romn Šimon Hilscher Přednášející: Petr Hsil Obsh Přehled přednášek podle strny ukončení iii. Polynomy interpolce.. Interpolce.. Lgrngeův interpolční
VícePůjdu do kina Bude pršet Zajímavý film. Jedině poslední řádek tabulky vyhovuje splnění podmínky úvodního tvrzení.
4. Booleov lger Booleov lger yl nvržen v polovině 9. století mtemtikem Georgem Boolem, tehdy nikoliv k návrhu digitálníh ovodů, nýrž jko mtemtikou disiplínu k formuli logikého myšlení. Jko příkld použijeme
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
VícePoznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).
v 8--7 Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky, doplnění it, suprem/infim, řezy R \ Q ircionální čísl, π, e, ) C komplení čísl:
VíceA DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).
A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
VíceII. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)
. NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál
VíceDefinice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
Více2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909
.9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).
VíceM - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně
Více8. cvičení z Matematiky 2
8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,
Více