LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26"

Transkript

1 Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ..7/../8.) z přispění finnčních prostředků EU státního rozpočtu České republiky. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

2 Motivce obsh plochy pod křivkou Předpokládejme, že funkce f je nezáporná spojitá n intervlu, b. Jký je obsh rovinné množiny ohrničené grfem funkce y = f(x), osou x přímkmi x = x = b? Obsh této množiny můžeme přibližně vypočítt pomocí součtu obshů obdélníků tkto: Intervl, b rozděĺıme n několik podintervlů kždý z těchto podintervlů tvoří zákldnu obdélník. Z kždého podintervlu vybereme libovolný bod hodnot funkce f v tomto bodě určuje výšku obdélník. Určíme obshy všech tkto získných obdélníků sečteme. Výpočet bude tím přesnější, čím budou obdélníky užší (tj. zákldny menší) ( tedy čím větší bude počet obdélníků). Hledný obsh plochy je tedy roven limitě součtu obshů těchto obdélníků, pokud se délky záklden všech obdélníků bĺıží k nule ( počet obdélníků se bĺıží nekonečnu). Tkovou limitu lze definovt i pro obecnější funkce (nejen nezáporné spojité) nzývá se určitý integrál. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

3 Konstrukce určitého integrálu Necht f je funkce, která je definovná ohrničená n intervlu, b. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

4 Konstrukce určitého integrálu Necht f je funkce, která je definovná ohrničená n intervlu, b. Dělením intervlu, b (ozn. D) rozumíme množinu bodů D = {x, x, x,..., x n }, pro něž pltí = x < x < x < < x n = b. Intervly x, x, x, x,..., x n, x n se nzývjí děĺıcí intervly tohoto dělení. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

5 Konstrukce určitého integrálu Necht f je funkce, která je definovná ohrničená n intervlu, b. Dělením intervlu, b (ozn. D) rozumíme množinu bodů D = {x, x, x,..., x n }, pro něž pltí = x < x < x < < x n = b. Intervly x, x, x, x,..., x n, x n se nzývjí děĺıcí intervly tohoto dělení. Normou dělení D (ozn. ν(d)) rozumíme délku největšího z děĺıcích intervlů, tj. ν(d) = mx{x i x i, i =,,..., n}. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

6 Konstrukce určitého integrálu Necht f je funkce, která je definovná ohrničená n intervlu, b. Dělením intervlu, b (ozn. D) rozumíme množinu bodů D = {x, x, x,..., x n }, pro něž pltí = x < x < x < < x n = b. Intervly x, x, x, x,..., x n, x n se nzývjí děĺıcí intervly tohoto dělení. Normou dělení D (ozn. ν(d)) rozumíme délku největšího z děĺıcích intervlů, tj. ν(d) = mx{x i x i, i =,,..., n}. Z kždého děĺıcího intervlu vyberme libovolné číslo: ξ x, x, ξ x, x,..., ξ n x n, x n. Množinu Ξ = {ξ, ξ,..., ξ n } těchto čísel nzýváme výběr reprezentntů dělení D sumu (která v přípdě kldné funkce předstvuje součet obshů n obdélníků) σ(f, D, Ξ) = n f(ξ i )(x i x i ) nzýváme integrální součet příslušný funkci f, dělení D výběru reprezentntů Ξ. i= Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

7 Integrální součet: ξ ξ ξ ξ 4 ξ 5 ξ 6 = x x x x x 4 x 5 x 6 = b σ(f, D, Ξ) = f(ξ )(x x ) + f(ξ )(x x ) + f(ξ )(x x ) +f(ξ 4 )(x 4 x ) + f(ξ 5 )(x 5 x 4 ) + f(ξ 6 )(x 6 x 5 ) 6 = f(ξ i )(x i x i ) i= Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6

8 Jemnější dělení: ξ ξ ξ ξ n = x x x x n x n = b σ(f, D, Ξ) = f(ξ )(x x ) + f(ξ )(x x ) + + f(ξ n )(x n x n ) n = f(ξ i )(x i x i ) i= Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 5 / 6

9 Definice (Riemnnův určitý integrál) Necht f je funkce definovná ohrničená n intervlu, b. Funkce f se nzývá (Riemnnovsky) integrovtelná n, b, jestliže pro libovolou posloupnost dělení D, D, D,..., D n,..., pro kterou pltí lim ν(d n) = (tj. norm dělení tedy délky všech děĺıcích intervlů se bĺıží n k nule, pokud n se bĺıží k nekonečnu) pro libovolnou posloupnost Ξ, Ξ, Ξ,..., Ξ n,... příslušných výběrů reprezentntů existuje stejná limit lim σ(f, D n, Ξ n ). n Hodnot této limity se nzývá Riemnnův určitý integrál z funkce f n, b znčí se f(x) dx. Číslo se nzývá dolní mez integrálu číslo b se nzývá horní mez integrálu. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 6 / 6

10 Funkce f je tedy Riemnnovsky integrovtelná n, b, pokud se pro stále jemnější dělení (norm dělení se bĺıží nule) ustlují hodnoty integrálních součtů (při libovolném výběru reprezentntů) kolem nějké hodnoty (která se nzývá Riemnnův určitý integrál). Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6

11 Pojmy neurčitý určitý integrál je potřeb rozlišovt, kždý vyjdřuje něco jiného: Neurčitý integrál je množin funkcí. Určitý integrál je limit (číslo). Přestože neurčitý určitý integrál vyjdřují kždý něco jiného, uvidíme, že mezi těmito pojmy existuje vzájemný vzth, který umožňuje počítt určitý integrál s využitím neurčitého integrálu. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 8 / 6

12 Vět (Postčující podmínky pro integrovtelnost) Necht funkce f splňuje lespoň jednu z podmínek: f je spojitá n, b, f je monotonní n, b, f je n intervlu, b ohrničená má zde nějvýše konečný počet bodů nespojitosti. Pk je funkce f n, b integrovtelná, tj. existuje určitý integrál f(x) dx. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 9 / 6

13 Vlstnosti určitého integrálu Vět (Aditivit homogenit vzhledem k integrndu) Necht f g jsou funkce integrovtelné n, b, c R. Pk funkce f ± g cf jsou tké integrovtelné n, b pltí: [f(x) ± g(x)] dx = cf(x) dx = c f(x) dx ± f(x) dx. g(x) dx, Vět (Aditivit vzhledem k integrčnímu oboru) Necht f je funkce definovná n, b necht c (, b). Pk je funkce f integrovtelná n, b právě tehdy, když je integrovtelná n kždém z intervlů, c c, b pltí: f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

14 Vět Necht f g jsou funkce integrovtelné n, b necht f(x) g(x) pro x, b. Pk f(x) dx Z předchozí věty vyplývá, že pokud g(x), pk tedy integrál z nezáporné funkce je nezáporný. g(x) dx. g(x) dx, Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

15 Výpočet určitého integrálu Vět (Newton - Leibnizov formule) Necht f je funkce integrovtelná n, b necht F je primitivní funkce k funkci f spojitá n, b. Pk f(x) dx = [F (x)] b = F (b) F (). Předchozí vět říká, že pro výpočet určitého integrálu z funkce f n, b stčí njít primitivní funkci F k funkci f, spočítt rozdíl hodnot F (b) F (). Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

16 Příkld x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

17 Příkld [ x x dx = ] Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

18 Příkld [ x x dx = ] = Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

19 Příkld [ x x dx = ] = = 9. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

20 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

21 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

22 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

23 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

24 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

25 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. x dx = ( x) dx + x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

26 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. x dx = ( x) dx + x dx = ] [ x + [ x ] Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

27 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. x dx = ( x) dx + x dx = ] [ x + [ x = ] Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

28 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. x dx = ( x) dx + x dx = ] [ x + [ x ] = = 5. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

29 Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6

30 Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6

31 Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x v = x v = x Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6

32 Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x v = x v = x [ x = ] ln x x x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6

33 Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x = 4 ln ln v [ = x x v = x = x dx ] ln x x x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6

34 Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x v [ = x x v = x = ] ln x x x dx [ ] x = 4 ln ln x dx = ln Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6

35 Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x v [ = x x v = x = ] ln x x x dx [ ] x = 4 ln ln = ln [ 4 ] x dx = ln Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6

36 Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x v [ = x x v = x = ] ln x x x dx [ ] x = 4 ln ln x dx = ln = ln [ 4 ] = ln 4. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6

37 Vět (Substituční metod pro určitý integrál) Necht f je funkce spojitá n, b necht funkce ϕ má spojitou derivci ϕ n α, β. Dále předpokládejme, že ϕ(x) b pro x α, β. Pk β α f[ϕ(x)]ϕ (x) dx = ϕ(β) ϕ(α) f(t) dt. Vzorec v předchozí větě lze použít zlev doprv (. substituční metod) nebo zprv dolev (. substituční metod). V některých konkrétních přípdech se může stát, že dolní mez vyjde po trnsformci větší nebo rovn horní mezi. Z tohoto důvodu zvádíme následující rozšíření: Rozšíření Symbol f(x) dx lze rozšířit i n přípdy, kdy b tkto: f(x) dx =, f(x) dx = b f(x) dx. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 5 / 6

38 Při výpočtu určitého integrálu s použitím substituční metody máme dvě možnosti: S použitím předchozí věty trnsformujeme nejenom funkci le tké meze integrálu poté plikujeme Newton-Leibnizovu formuli s těmito novými mezemi přímo n primitivní funkci k trnsformovné funkci (tj. do primitivní funkce již původní proměnnou zpět nedoszujeme). Předchozí větu nepoužijeme, njdeme neurčitý integrál (tedy po substituci se vrátíme zpět k původní proměnné) poté plikujeme Newton-Leibnizovu formuli s původními mezemi. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 6 / 6

39 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6

40 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6

41 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = t dt Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6

42 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6

43 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] =. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6

44 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] =. Bez trnsformce mezí: sin x cos x dx = t = sin x dt = cos x dx = t dt = t = sin x + c. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6

45 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] =. Bez trnsformce mezí: sin x cos x dx = t = sin x dt = cos x dx = t dt = t = sin x + c. Tedy [ sin sin x x cos x dx = ] π Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6

46 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] =. Bez trnsformce mezí: sin x cos x dx = t = sin x dt = cos x dx = t dt = t = sin x + c. Tedy [ sin sin x x cos x dx = ] π = sin π sin Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6

47 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] =. Bez trnsformce mezí: sin x cos x dx = t = sin x dt = cos x dx = t dt = t = sin x + c. Tedy [ sin sin x x cos x dx = ] π = sin π sin =. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6

48 Geometrické plikce určitého integrálu Obsh plochy pod křivkou mezi dvěm křivkmi Necht f je nezáporná spojitá funkce n, b. Obsh S rovinné množiny ohrničené grfem funkce y = f(x), osou x přímkmi x = x = b je roven: S = f(x) dx Necht f g jsou spojité funkce necht f(x) g(x) pro x, b. Obsh S rovinné množiny ogrničené grfy funkcí y = f(x), y = g(x) přímkmi x = x = b je roven: S = [f(x) g(x)] dx (Znménk funkcí f g jsou libovolná.) Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 8 / 6

49 Objem rotčního těles I Necht f je nezáporná spojitá funkce n, b. Objem V těles, které vznikne rotcí rovinné množiny ohrničené grfem funkce y = f(x), osou x přímkmu x = x = b kolem osy x je roven: V = π f (x) dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 9 / 6

50 Objem rotčního těles II Necht f g jsou nezáporné spojité funkce necht f(x) g(x) pro x, b. Objem V těles, které vznikne rotcí rovinné množiny ohrničené grfy funkcí y = f(x), y = g(x) přímkmi x = x = b kolem osy x je roven: V = π [ f (x) g (x) ] dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

51 Uvedených vzorců lze využít i k výpočtu ploch nebo objemů rotčních těles jiných tvrů, to tk, že dnou rovinnou plochu rozděĺıme n několik ploch, které již budou tvru poždovného ve výše uvedených vzorcích. Všechny tyto dílčí plochy (objemy) spočteme pk sečteme. S = S + S = c [f(x) h(x)] dx + c [g(x) h(x)] dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

52 Příkld (Objem kužele) Odvod te vzorec pro výpočet objemu kužele s poloměrem podstvy r výškou v. Řešení: Kužel získáme, pokud necháme kolem osy x rotovt trojúhelník viz obrázek: V = π v ( r v x ) dx = πr v v x dx = πr v [ x ] v = πr v v = πr v Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

53 Příkld (Objem koule) Odvod te vzorec pro výpočet objemu koule o poloměru r. Řešení: Rovnice kružnice o poloměru r středem v počátku je x + y = r. Horní půlkružnice je grfem funkce y = r x, dolní půlkružnice je grfem funkce y = r x. Kouli získáme, pokud necháme rotovt půlkruh kolem osy x. Pro výpočet je pohodlnější necht rotovt pouze čtvrtkruh kolem osy x. Tím získáme objem poloviny koule výsledek vynásobíme dvěm. r V = π = π r (r x ) dx = π [r x x ] r = π r (r r (r x ) dx ) = 4πr Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6

54 Fyzikální plikce určitého integrálu Necht hmotná rovinná oblst je ohrničen grfy funkcí y = f(x), y = g(x) přímkmi x =, x = b, přičemž g(x) f(x) n, b. Předpokládejme, že oblst má kostntní plošnou hustotu ρ. Pk pro následující veličiny pltí: Hmotnost oblsti: Sttické momenty k osám x, y: Těžiště: m = ρ [f(x) g(x)] dx S x = ρ [ f (x) g (x) ] dx, S y = ρ x [f(x) g(x)] dx T = [ ] Sy m, Sx m Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6

55 Příkld (Těžiště) Vypočtěte souřdnice těžište trojúhelník s vrcholy [, ], [, ], [, ]. Předpokádáme, že plošná hustot ρ je konstntní. Hmotnost trojúhelník: [ ] x m = ρ x dx = ρ = ρ 9 = ρ Sttické momenty: S x = ρ 4 9 x dx = [ ] x 9 ρ = 9 ρ 9 = ρ S y = ρ Těžiště: T = S y m =, x x dx = ρ x dx = ρ [ x T = S x m = = T = [, ] ] = ρ 9 = 6ρ Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 5 / 6

56 Využití systémů počítčové lgebry Využití systémů Sge, Mxim, Wolfrm Alph: Geometrické plikce Mtemtické výpočty online (MAW): Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 6 / 6

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace) Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál) Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.

Více

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál) Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu

Více

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,

Více

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto

Více

Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné

Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.

Více

Masarykova univerzita

Masarykova univerzita Msrykov univerzit Přírodovědecká fkult Diplomová práce Web k témtu: Integrální počet Bc. Ev Schlesingerová Brno 9 Prohlášení Prohlšuji, že jsem tuto diplomovou práci npsl sm s použitím uvedené litertury.

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

f(x)dx, kde a < b < c

f(x)dx, kde a < b < c URČITÝ INTEGRÁL jeho plikce Newton-Leibnizov formule f(x)=f(b) F(), kde F (x)=f(x). Vlstnosti ) ) ) 4) Substituce f(x)+ c f(x)= f(x)= f(x)= b f(g(x))g (x)= f(x)= f(x) c f(x), kde < b < c pro fsudou, =

Více

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5. 10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y

Více

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E

Více

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe

Více

Obsah na dnes Derivácia funkcie

Obsah na dnes Derivácia funkcie Johnnes Kepler Dec 2, 57- Nov 5, 63 Mtemtik I Prednášjúci: prof. RNDr. Igor Podlný, DrSc. http://www.tke.sk/podln/ # Osh n dnes Deriváci fnkcie 74 KAPITOLA 3. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Určitý integrál 8. Vlstnosti

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

12.1 Primitivní funkce

12.1 Primitivní funkce Integrání počet. Primitivní funkce Již jsme definovli pojem derivce funkce, k funkci f(x) jsme hledli její derivci f (x). Nyní chceme ukázt opčný postup, tzn. k funkci f (x) njít funkci f(x). Přesněji,

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4) KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejz Dohnl, CSc. IV. ákldy integrálního počtu 1 Mtemtik I. I. Lineární lgebr II. ákldy mtemtické nlýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Mtemtik I. IV. Integrální

Více

Obsah. Perspektivy krajinného managementu - inovace krajinářských discipĺın. Jakob Steiner švýcarský matematik - geometr. vzorce, integrační metody

Obsah. Perspektivy krajinného managementu - inovace krajinářských discipĺın. Jakob Steiner švýcarský matematik - geometr. vzorce, integrační metody Moment setrvčnosti průřezů - použití určitýc integrálů v ecnické mecnice Dn Říová, Pvl Kotásková Mendelu Brno Perspektiv krjinnéo mngementu - inovce krjinářskýc discipĺın reg.č. CZ..7/../5.8 Os Moment

Více

II. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)

II. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y) . NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 URČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Dněček, Oldřich Dlouhý,

Více

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x. VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

Limity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban

Limity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban Limity, derivce integrály Tomáš Bárt, Rdek Erbn Úvod Definice. Zobrzení(téžfunkce) f M Njemnožinuspořádnýchdvojic(x, y) tková,žekekždému xexistujeprávějedno y,žedvojice(x,y) f.tj.kždývzor xmáprávějedenobrz

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Ostrv Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Vsoká škol áňská Technická univerzit

Více

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje. 4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá

Více

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)

Více

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učení mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo název šlony klíčové ktivity III/ Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

8.6. Aplikace určitého integrálu ve fyzice Index

8.6. Aplikace určitého integrálu ve fyzice Index 8 Určitý integrál 8.. Integrování - sčitání mnoh mlých příspěvků.......................... 3 8.. Výpočet určitého integrálu.............................................9 8.3. Zákldní vlstnosti určitého

Více

Matematické metody v kartografii

Matematické metody v kartografii Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17 Obsh Derivce Integrály 6. Neurčité integrály.................. 6. Určité integrály....................3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Posloupnosti řdy funkcí 7 3. Posloupnosti funkcí.................

Více

5.5 Elementární funkce

5.5 Elementární funkce 5.5 Elementární funkce Lemm 5.20. Necht x R. Potom existuje kldné C R (závisející n x) tkové, že pro kždé n N h ( 1, 1) pltí (x + h) n x n nhx n 1 h 2 C n. Definice. Exponenciální funkci exp definujme

Více

Geometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu. = b a. je v intervalu a, b záporná, je integrál rovněž záporný.

Geometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu. = b a. je v intervalu a, b záporná, je integrál rovněž záporný. 4. přednášk Geometické zikální plikce učitého integálu Geometické plikce. Osh ovinného útvu A. Pokud se jedná o ovinný útv omezený osou přímkmi gem spojité nezáponé unkce pk je jeho osh dán učitým integálem

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi

Více

A DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).

A DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1). A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2

V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2 Odození zorců pro ýpočet objemů porchů některých těles užitím integrálního počtu Objem rotčního těles, které znikne rotcí funkce y f(x) n interlu, b kolem osy x, lze spočítt podle zorce b V f (x) dx Porch

Více

Matematika II: Listy k přednáškám

Matematika II: Listy k přednáškám Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne

Více

Křivkový integrál funkce

Křivkový integrál funkce Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Integrální počet a jeho využití v ekonomii UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Integrální počet a jeho využití v ekonomii UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Integrální počet jeho využití v ekonomii Vedoucí diplomové práce: RNDr. Mrtin Pvlčková,

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Limita a spojitost LDF MENDELU

Limita a spojitost LDF MENDELU Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze

2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze 8. Určitý integrál 8.1. Newtonův integrál Definice 8.1 Buďte,b R. Řekneme,žeNewtonůvintegrálzfunkce fnintervlu(,b) existuje(znčímejej(n) f(x)dx),jestliže 1.existuje primitivní funkce F k f n intervlu(,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Matematická analýza II Osnova cvičení

Matematická analýza II Osnova cvičení Mtemtická nlýz II Osnov cvičení Cvičení 2. 2. 207 22. 2. 207. Rovinná křivk její průběh Křivk (prmetrizovná, hldká, regulární, sm sebe protínjící v nejvýše konečně mnoh bodech). Průběh křivky: první druhá

Více

Matematika II: Listy k přednáškám

Matematika II: Listy k přednáškám Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná Vybraná spojitá rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná Vybraná spojitá rozdělení PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Vybrná spojitá rozdělení Zákldní soubor u spojité náhodné proměnné je nespočetná množin. Z je tedy podmnožin množiny reálných čísel (R). Distribuční funkce

Více

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6

Více

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0 Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm

Více

= b a. V případě, že funkce f(x) je v intervalu <a,b> záporná, je integrál rovněž záporný.

= b a. V případě, že funkce f(x) je v intervalu <a,b> záporná, je integrál rovněž záporný. 5. přednášk APLIKAE URČITÉHO INTERÁLU Pomocí integálního počtu je možné vpočítt osh ovinných útvů ojem otčních těles délk ovinných křivek. Velké upltnění má učitý integál tké ve zice chemii. eometické

Více

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku x 5 x 6 x 7 x 8 pitol 3 řivkové integrály 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: délk oblouku, délk křivky, křivkový integrál. druhu po oblouku, křivkový integrál. druhu po křivce, neorientovný křivkový

Více