LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
|
|
|
- Dominik Musil
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ..7/../8.) z přispění finnčních prostředků EU státního rozpočtu České republiky. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
2 Motivce obsh plochy pod křivkou Předpokládejme, že funkce f je nezáporná spojitá n intervlu, b. Jký je obsh rovinné množiny ohrničené grfem funkce y = f(x), osou x přímkmi x = x = b? Obsh této množiny můžeme přibližně vypočítt pomocí součtu obshů obdélníků tkto: Intervl, b rozděĺıme n několik podintervlů kždý z těchto podintervlů tvoří zákldnu obdélník. Z kždého podintervlu vybereme libovolný bod hodnot funkce f v tomto bodě určuje výšku obdélník. Určíme obshy všech tkto získných obdélníků sečteme. Výpočet bude tím přesnější, čím budou obdélníky užší (tj. zákldny menší) ( tedy čím větší bude počet obdélníků). Hledný obsh plochy je tedy roven limitě součtu obshů těchto obdélníků, pokud se délky záklden všech obdélníků bĺıží k nule ( počet obdélníků se bĺıží nekonečnu). Tkovou limitu lze definovt i pro obecnější funkce (nejen nezáporné spojité) nzývá se určitý integrál. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
3 Konstrukce určitého integrálu Necht f je funkce, která je definovná ohrničená n intervlu, b. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
4 Konstrukce určitého integrálu Necht f je funkce, která je definovná ohrničená n intervlu, b. Dělením intervlu, b (ozn. D) rozumíme množinu bodů D = {x, x, x,..., x n }, pro něž pltí = x < x < x < < x n = b. Intervly x, x, x, x,..., x n, x n se nzývjí děĺıcí intervly tohoto dělení. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
5 Konstrukce určitého integrálu Necht f je funkce, která je definovná ohrničená n intervlu, b. Dělením intervlu, b (ozn. D) rozumíme množinu bodů D = {x, x, x,..., x n }, pro něž pltí = x < x < x < < x n = b. Intervly x, x, x, x,..., x n, x n se nzývjí děĺıcí intervly tohoto dělení. Normou dělení D (ozn. ν(d)) rozumíme délku největšího z děĺıcích intervlů, tj. ν(d) = mx{x i x i, i =,,..., n}. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
6 Konstrukce určitého integrálu Necht f je funkce, která je definovná ohrničená n intervlu, b. Dělením intervlu, b (ozn. D) rozumíme množinu bodů D = {x, x, x,..., x n }, pro něž pltí = x < x < x < < x n = b. Intervly x, x, x, x,..., x n, x n se nzývjí děĺıcí intervly tohoto dělení. Normou dělení D (ozn. ν(d)) rozumíme délku největšího z děĺıcích intervlů, tj. ν(d) = mx{x i x i, i =,,..., n}. Z kždého děĺıcího intervlu vyberme libovolné číslo: ξ x, x, ξ x, x,..., ξ n x n, x n. Množinu Ξ = {ξ, ξ,..., ξ n } těchto čísel nzýváme výběr reprezentntů dělení D sumu (která v přípdě kldné funkce předstvuje součet obshů n obdélníků) σ(f, D, Ξ) = n f(ξ i )(x i x i ) nzýváme integrální součet příslušný funkci f, dělení D výběru reprezentntů Ξ. i= Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
7 Integrální součet: ξ ξ ξ ξ 4 ξ 5 ξ 6 = x x x x x 4 x 5 x 6 = b σ(f, D, Ξ) = f(ξ )(x x ) + f(ξ )(x x ) + f(ξ )(x x ) +f(ξ 4 )(x 4 x ) + f(ξ 5 )(x 5 x 4 ) + f(ξ 6 )(x 6 x 5 ) 6 = f(ξ i )(x i x i ) i= Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
8 Jemnější dělení: ξ ξ ξ ξ n = x x x x n x n = b σ(f, D, Ξ) = f(ξ )(x x ) + f(ξ )(x x ) + + f(ξ n )(x n x n ) n = f(ξ i )(x i x i ) i= Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 5 / 6
9 Definice (Riemnnův určitý integrál) Necht f je funkce definovná ohrničená n intervlu, b. Funkce f se nzývá (Riemnnovsky) integrovtelná n, b, jestliže pro libovolou posloupnost dělení D, D, D,..., D n,..., pro kterou pltí lim ν(d n) = (tj. norm dělení tedy délky všech děĺıcích intervlů se bĺıží n k nule, pokud n se bĺıží k nekonečnu) pro libovolnou posloupnost Ξ, Ξ, Ξ,..., Ξ n,... příslušných výběrů reprezentntů existuje stejná limit lim σ(f, D n, Ξ n ). n Hodnot této limity se nzývá Riemnnův určitý integrál z funkce f n, b znčí se f(x) dx. Číslo se nzývá dolní mez integrálu číslo b se nzývá horní mez integrálu. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 6 / 6
10 Funkce f je tedy Riemnnovsky integrovtelná n, b, pokud se pro stále jemnější dělení (norm dělení se bĺıží nule) ustlují hodnoty integrálních součtů (při libovolném výběru reprezentntů) kolem nějké hodnoty (která se nzývá Riemnnův určitý integrál). Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
11 Pojmy neurčitý určitý integrál je potřeb rozlišovt, kždý vyjdřuje něco jiného: Neurčitý integrál je množin funkcí. Určitý integrál je limit (číslo). Přestože neurčitý určitý integrál vyjdřují kždý něco jiného, uvidíme, že mezi těmito pojmy existuje vzájemný vzth, který umožňuje počítt určitý integrál s využitím neurčitého integrálu. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 8 / 6
12 Vět (Postčující podmínky pro integrovtelnost) Necht funkce f splňuje lespoň jednu z podmínek: f je spojitá n, b, f je monotonní n, b, f je n intervlu, b ohrničená má zde nějvýše konečný počet bodů nespojitosti. Pk je funkce f n, b integrovtelná, tj. existuje určitý integrál f(x) dx. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 9 / 6
13 Vlstnosti určitého integrálu Vět (Aditivit homogenit vzhledem k integrndu) Necht f g jsou funkce integrovtelné n, b, c R. Pk funkce f ± g cf jsou tké integrovtelné n, b pltí: [f(x) ± g(x)] dx = cf(x) dx = c f(x) dx ± f(x) dx. g(x) dx, Vět (Aditivit vzhledem k integrčnímu oboru) Necht f je funkce definovná n, b necht c (, b). Pk je funkce f integrovtelná n, b právě tehdy, když je integrovtelná n kždém z intervlů, c c, b pltí: f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
14 Vět Necht f g jsou funkce integrovtelné n, b necht f(x) g(x) pro x, b. Pk f(x) dx Z předchozí věty vyplývá, že pokud g(x), pk tedy integrál z nezáporné funkce je nezáporný. g(x) dx. g(x) dx, Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
15 Výpočet určitého integrálu Vět (Newton - Leibnizov formule) Necht f je funkce integrovtelná n, b necht F je primitivní funkce k funkci f spojitá n, b. Pk f(x) dx = [F (x)] b = F (b) F (). Předchozí vět říká, že pro výpočet určitého integrálu z funkce f n, b stčí njít primitivní funkci F k funkci f, spočítt rozdíl hodnot F (b) F (). Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
16 Příkld x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
17 Příkld [ x x dx = ] Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
18 Příkld [ x x dx = ] = Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
19 Příkld [ x x dx = ] = = 9. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
20 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
21 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
22 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
23 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
24 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
25 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. x dx = ( x) dx + x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
26 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. x dx = ( x) dx + x dx = ] [ x + [ x ] Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
27 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. x dx = ( x) dx + x dx = ] [ x + [ x = ] Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
28 Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. x dx = ( x) dx + x dx = ] [ x + [ x ] = = 5. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
29 Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
30 Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
31 Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x v = x v = x Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
32 Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x v = x v = x [ x = ] ln x x x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
33 Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x = 4 ln ln v [ = x x v = x = x dx ] ln x x x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
34 Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x v [ = x x v = x = ] ln x x x dx [ ] x = 4 ln ln x dx = ln Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
35 Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x v [ = x x v = x = ] ln x x x dx [ ] x = 4 ln ln = ln [ 4 ] x dx = ln Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
36 Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x v [ = x x v = x = ] ln x x x dx [ ] x = 4 ln ln x dx = ln = ln [ 4 ] = ln 4. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
37 Vět (Substituční metod pro určitý integrál) Necht f je funkce spojitá n, b necht funkce ϕ má spojitou derivci ϕ n α, β. Dále předpokládejme, že ϕ(x) b pro x α, β. Pk β α f[ϕ(x)]ϕ (x) dx = ϕ(β) ϕ(α) f(t) dt. Vzorec v předchozí větě lze použít zlev doprv (. substituční metod) nebo zprv dolev (. substituční metod). V některých konkrétních přípdech se může stát, že dolní mez vyjde po trnsformci větší nebo rovn horní mezi. Z tohoto důvodu zvádíme následující rozšíření: Rozšíření Symbol f(x) dx lze rozšířit i n přípdy, kdy b tkto: f(x) dx =, f(x) dx = b f(x) dx. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 5 / 6
38 Při výpočtu určitého integrálu s použitím substituční metody máme dvě možnosti: S použitím předchozí věty trnsformujeme nejenom funkci le tké meze integrálu poté plikujeme Newton-Leibnizovu formuli s těmito novými mezemi přímo n primitivní funkci k trnsformovné funkci (tj. do primitivní funkce již původní proměnnou zpět nedoszujeme). Předchozí větu nepoužijeme, njdeme neurčitý integrál (tedy po substituci se vrátíme zpět k původní proměnné) poté plikujeme Newton-Leibnizovu formuli s původními mezemi. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 6 / 6
39 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
40 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
41 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = t dt Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
42 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
43 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] =. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
44 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] =. Bez trnsformce mezí: sin x cos x dx = t = sin x dt = cos x dx = t dt = t = sin x + c. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
45 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] =. Bez trnsformce mezí: sin x cos x dx = t = sin x dt = cos x dx = t dt = t = sin x + c. Tedy [ sin sin x x cos x dx = ] π Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
46 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] =. Bez trnsformce mezí: sin x cos x dx = t = sin x dt = cos x dx = t dt = t = sin x + c. Tedy [ sin sin x x cos x dx = ] π = sin π sin Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
47 Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] =. Bez trnsformce mezí: sin x cos x dx = t = sin x dt = cos x dx = t dt = t = sin x + c. Tedy [ sin sin x x cos x dx = ] π = sin π sin =. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
48 Geometrické plikce určitého integrálu Obsh plochy pod křivkou mezi dvěm křivkmi Necht f je nezáporná spojitá funkce n, b. Obsh S rovinné množiny ohrničené grfem funkce y = f(x), osou x přímkmi x = x = b je roven: S = f(x) dx Necht f g jsou spojité funkce necht f(x) g(x) pro x, b. Obsh S rovinné množiny ogrničené grfy funkcí y = f(x), y = g(x) přímkmi x = x = b je roven: S = [f(x) g(x)] dx (Znménk funkcí f g jsou libovolná.) Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 8 / 6
49 Objem rotčního těles I Necht f je nezáporná spojitá funkce n, b. Objem V těles, které vznikne rotcí rovinné množiny ohrničené grfem funkce y = f(x), osou x přímkmu x = x = b kolem osy x je roven: V = π f (x) dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 9 / 6
50 Objem rotčního těles II Necht f g jsou nezáporné spojité funkce necht f(x) g(x) pro x, b. Objem V těles, které vznikne rotcí rovinné množiny ohrničené grfy funkcí y = f(x), y = g(x) přímkmi x = x = b kolem osy x je roven: V = π [ f (x) g (x) ] dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
51 Uvedených vzorců lze využít i k výpočtu ploch nebo objemů rotčních těles jiných tvrů, to tk, že dnou rovinnou plochu rozděĺıme n několik ploch, které již budou tvru poždovného ve výše uvedených vzorcích. Všechny tyto dílčí plochy (objemy) spočteme pk sečteme. S = S + S = c [f(x) h(x)] dx + c [g(x) h(x)] dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
52 Příkld (Objem kužele) Odvod te vzorec pro výpočet objemu kužele s poloměrem podstvy r výškou v. Řešení: Kužel získáme, pokud necháme kolem osy x rotovt trojúhelník viz obrázek: V = π v ( r v x ) dx = πr v v x dx = πr v [ x ] v = πr v v = πr v Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
53 Příkld (Objem koule) Odvod te vzorec pro výpočet objemu koule o poloměru r. Řešení: Rovnice kružnice o poloměru r středem v počátku je x + y = r. Horní půlkružnice je grfem funkce y = r x, dolní půlkružnice je grfem funkce y = r x. Kouli získáme, pokud necháme rotovt půlkruh kolem osy x. Pro výpočet je pohodlnější necht rotovt pouze čtvrtkruh kolem osy x. Tím získáme objem poloviny koule výsledek vynásobíme dvěm. r V = π = π r (r x ) dx = π [r x x ] r = π r (r r (r x ) dx ) = 4πr Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
54 Fyzikální plikce určitého integrálu Necht hmotná rovinná oblst je ohrničen grfy funkcí y = f(x), y = g(x) přímkmi x =, x = b, přičemž g(x) f(x) n, b. Předpokládejme, že oblst má kostntní plošnou hustotu ρ. Pk pro následující veličiny pltí: Hmotnost oblsti: Sttické momenty k osám x, y: Těžiště: m = ρ [f(x) g(x)] dx S x = ρ [ f (x) g (x) ] dx, S y = ρ x [f(x) g(x)] dx T = [ ] Sy m, Sx m Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
55 Příkld (Těžiště) Vypočtěte souřdnice těžište trojúhelník s vrcholy [, ], [, ], [, ]. Předpokádáme, že plošná hustot ρ je konstntní. Hmotnost trojúhelník: [ ] x m = ρ x dx = ρ = ρ 9 = ρ Sttické momenty: S x = ρ 4 9 x dx = [ ] x 9 ρ = 9 ρ 9 = ρ S y = ρ Těžiště: T = S y m =, x x dx = ρ x dx = ρ [ x T = S x m = = T = [, ] ] = ρ 9 = 6ρ Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 5 / 6
56 Využití systémů počítčové lgebry Využití systémů Sge, Mxim, Wolfrm Alph: Geometrické plikce Mtemtické výpočty online (MAW): Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 6 / 6
Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.
I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce
7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
II. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
![10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí](/thumbs/54/33422824.jpg "10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí")
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
Masarykova univerzita
Msrykov univerzit Přírodovědecká fkult Diplomová práce Web k témtu: Integrální počet Bc. Ev Schlesingerová Brno 9 Prohlášení Prohlšuji, že jsem tuto diplomovou práci npsl sm s použitím uvedené litertury.
Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné
Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.
Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro
Ur itý integrál. Úvod. Denice ur itého integrálu
V tomto lánku se budeme v novt ur itému integrálu, který dné funkci p i zuje íslo. My²lenk integrování pochází z geometrických poºdvk - zji² ování povrch, objem délek geometrických útvr. To znmená, ºe
Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
Matematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
x + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž 17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
f(x)dx, kde a < b < c
URČITÝ INTEGRÁL jeho plikce Newton-Leibnizov formule f(x)=f(b) F(), kde F (x)=f(x). Vlstnosti ) ) ) 4) Substituce f(x)+ c f(x)= f(x)= f(x)= b f(g(x))g (x)= f(x)= f(x) c f(x), kde < b < c pro fsudou, =
je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E
Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
Obsah na dnes Derivácia funkcie
Johnnes Kepler Dec 2, 57- Nov 5, 63 Mtemtik I Prednášjúci: prof. RNDr. Igor Podlný, DrSc. http://www.tke.sk/podln/ # Osh n dnes Deriváci fnkcie 74 KAPITOLA 3. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Určitý integrál 8. Vlstnosti
Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
12.1 Primitivní funkce
Integrání počet. Primitivní funkce Již jsme definovli pojem derivce funkce, k funkci f(x) jsme hledli její derivci f (x). Nyní chceme ukázt opčný postup, tzn. k funkci f (x) njít funkci f(x). Přesněji,
Obsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
Diferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejz Dohnl, CSc. IV. ákldy integrálního počtu 1 Mtemtik I. I. Lineární lgebr II. ákldy mtemtické nlýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Mtemtik I. IV. Integrální
Obsah. Perspektivy krajinného managementu - inovace krajinářských discipĺın. Jakob Steiner švýcarský matematik - geometr. vzorce, integrační metody
Moment setrvčnosti průřezů - použití určitýc integrálů v ecnické mecnice Dn Říová, Pvl Kotásková Mendelu Brno Perspektiv krjinnéo mngementu - inovce krjinářskýc discipĺın reg.č. CZ..7/../5.8 Os Moment
II. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)
. NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál
Funkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2
Výpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 URČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Dněček, Oldřich Dlouhý,
ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme
MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Ostrv Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Vsoká škol áňská Technická univerzit
Limity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban
Limity, derivce integrály Tomáš Bárt, Rdek Erbn Úvod Definice. Zobrzení(téžfunkce) f M Njemnožinuspořádnýchdvojic(x, y) tková,žekekždému xexistujeprávějedno y,žedvojice(x,y) f.tj.kždývzor xmáprávějedenobrz
4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE
URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()
Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t
![KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t](/thumbs/88/114636682.jpg "KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t")
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti
Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)
DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
Digitální učební materiál
Digitální učení mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo název šlony klíčové ktivity III/ Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce
Parciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Parciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Matematické metody v kartografii
Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími
8.6. Aplikace určitého integrálu ve fyzice Index
8 Určitý integrál 8.. Integrování - sčitání mnoh mlých příspěvků.......................... 3 8.. Výpočet určitého integrálu.............................................9 8.3. Zákldní vlstnosti určitého
Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.
Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,
NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17
Obsh Derivce Integrály 6. Neurčité integrály.................. 6. Určité integrály....................3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Posloupnosti řdy funkcí 7 3. Posloupnosti funkcí.................
Geometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu. = b a. je v intervalu a, b záporná, je integrál rovněž záporný.
4. přednášk Geometické zikální plikce učitého integálu Geometické plikce. Osh ovinného útvu A. Pokud se jedná o ovinný útv omezený osou přímkmi gem spojité nezáponé unkce pk je jeho osh dán učitým integálem
5.5 Elementární funkce
5.5 Elementární funkce Lemm 5.20. Necht x R. Potom existuje kldné C R (závisející n x) tkové, že pro kždé n N h ( 1, 1) pltí (x + h) n x n nhx n 1 h 2 C n. Definice. Exponenciální funkci exp definujme
Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
A DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).
A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu
3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU
APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít
Kapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
Matematika II: Listy k přednáškám
Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11
V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2
Odození zorců pro ýpočet objemů porchů některých těles užitím integrálního počtu Objem rotčního těles, které znikne rotcí funkce y f(x) n interlu, b kolem osy x, lze spočítt podle zorce b V f (x) dx Porch
1.1 Numerické integrování
1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme
Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
Křivkový integrál funkce
Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd
Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Integrální počet a jeho využití v ekonomii UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Integrální počet jeho využití v ekonomii Vedoucí diplomové práce: RNDr. Mrtin Pvlčková,
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
Limita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze
8. Určitý integrál 8.1. Newtonův integrál Definice 8.1 Buďte,b R. Řekneme,žeNewtonůvintegrálzfunkce fnintervlu(,b) existuje(znčímejej(n) f(x)dx),jestliže 1.existuje primitivní funkce F k f n intervlu(,
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
![Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1](/thumbs/103/161289080.jpg "Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1")
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
Matematická analýza II Osnova cvičení
Mtemtická nlýz II Osnov cvičení Cvičení 2. 2. 207 22. 2. 207. Rovinná křivk její průběh Křivk (prmetrizovná, hldká, regulární, sm sebe protínjící v nejvýše konečně mnoh bodech). Průběh křivky: první druhá
Matematika II: Listy k přednáškám
Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11
PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná Vybraná spojitá rozdělení
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Vybrná spojitá rozdělení Zákldní soubor u spojité náhodné proměnné je nespočetná množin. Z je tedy podmnožin množiny reálných čísel (R). Distribuční funkce
NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6