6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }.

Transkript

1 6.1. Limit funkce Číslo R nzveme hromdným bodem množiny A R, pokud v kždém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů z množiny A. Body z A, které neptří mezi hromdné body A, se nzývjí izolovné. Alterntivně lze říci, že je hromdný bod množiny A, pokud existuje posloupnost (x n ) čísel z množiny A {} mjící z limitu bod. Množinu všech hromdných bodů množiny A budeme znčit A. Množin {1,2,3} nemá žádný hromdný bod. Jkákoliv konečná množin nemá žádný hromdný bod. Množin N má jediný hromdný bod: +. Tedy N ={+ }. Množin Z má dv hromdné body: ±. Tedy Z ={+, }. Intervly ( 1,2), 1,2) i 1,2 mjí z hromdné body všechny prvky z 1,2. Množin Q má nespočetně mnoho hromdných bodů: tvoří celou množinu R. Tké množin R má z hromdné body všechny prvky R. Buď hromdným bodem definičního oboru funkce f, tj. D f. Řekneme, že funkce f má v bodě limitu c R, pokud ( )( ) ( ε>0)( δ>0) x D f H (δ) {} f(x) H c (ε). Zpisujeme lim f =c nebo trdičněji lim x f(x)=c. 79

2 Podobně jko u limity poslouponosti dná funkce může mít v dném bodě nejvýš jednu limitu. Podle toho, zd c jsou reálná čísl nebo nekonečn, lze definici přepst různými ekvivlentními způsoby. Nejdůležitější přípd je, pokud,c R. Pk lim f =c ( ε>0)( δ>0)( x D f, 0< x <δ)( f(x) c <ε). Reálná posloupnost je speciální přípd reálné funkce s definičním oborem N. Definice limity posloupnosti se shoduje s definicí výše, neboť = + (jiné hromdné body definiční obor posloupnosti nemá) H + =(K,+ ). Limit vůbec nezávisí n tom, zd funkce f je či není v bodě definovná, ni n hodnotě f(). Přímo z definice limity funkce lze ukázt npř., že lim x 2 x 2 = å 2ä

3 Souvislost limity posloupnosti limity funkce je ptrná z tzv. Heineovy věty: Nechť D f. Pk lim f(x)=c lim f(x x n)=c pro kždou posloupnost (x n ), pro kterou pltí n + ( n N)(x n D f {}) lim n + x n =. Přitom vlevo je limit funkce f v bodě, vprvo pk limit posloupnosti f(x n ). Důležitý příkld. Podle Heineovy věty máme lim x α e x =e α pro všechn α R, lim ln x=ln pro všechn >0, x lim ln x=. x 0 Dlší důležitý příkld. Podle Heineovy věty je ( 1+ 1 ) x =e, x lim x + neboť víme, že pro kždou posloupnost (p n ) splňující lim p n =+ pltí n + ( lim 1+ 1 ) pn =e. n + p n Podobně se dá odvodit, že ( 1+ 1 ) x =e. x lim x 81

4 Heineov vět jde užít i pro důkz neexistence limity funkce. Npř. lim x + sin x neexistuje, protože lim sin(2nπ)=0 n + (2nπ+ lim sin π ) =1. n + 2 Řekneme, že funkce f má v bodě limitu c vzhledem k množině A, pokud zúžení f/ A má v bodě limitu c. Znčíme lim f příp. lim,a x f(x). x A Řekneme, že funkce f má v bodě limitu zlev resp. zprv rovnu c, pokud zúžení f/ (,) resp. f/ (,+ ) má v bodě limitu c. Znčíme lim f resp. lim f, přípdně lim f(x) resp. lim f(x). + x x + Pltí vět: Buď hromdným bodem D f (,) D f (,+ ). Pk funkce f má v bodě limitu c právě tehdy, když limit f zlev i zprv v bodě je rovn c. Npř. funkce sgn x má v bodě 0 jednostrnné limity různé, lim sgn x=1, lim x 0+ sgn x= 1, x 0 tkže limit v bodě 0 podle předchozí věty neexistuje

5 Podobně jko u posloupností monotonie opět zručuje existenci limity: Nechť existuje H + tk, že je hromdným bodem D f H + f je n D f H + monotónní. Pk existuje limit v bodě zprv. Přímo z definice limity pk plyne, že je-li npř. f rostoucí n D f H +, pk lim f =inf f, je-li klesjící, + H + pk lim f =sup f. Podobné tvrzení smozřejmě pltí nlogicky i pro D f H limitu zlev. + H + lim f = inf f + D H+ f 83

6 6.2. Výpočet limity funkce Následují nlogické věty jko u limit posloupností: Nechť D f±g resp. D fg resp. D f. Pk pltí vzorce g lim (f±g)=lim f±lim g, lim (fg)=(lim f)(lim g), pokud výrzy n prvé strně mjí smysl (!). lim f lim f g = lim g, K těmto vzorcům ptří opět vět o limitě z odmocniny Buď k N, f nezáporná. Pk pltí k lim f = k lim f, pokud výrz n prvé strně má smysl. vět o limitě bsolutní hodnoty: Pltí lim f =c lim f = c. Pokud c=0, pltí zde dokonce ekvivlence, tj. i směr! 84

7 Nejmocnějším nástrojem n výpočet limity, který nemá nlogii u posloupností, je ovšem vět o limitě složené funkce (umožňující činit substituce při počítání limity): Nechť D f g, nechť dále lim g=b, lim f =c konečně nechť pltí podmínk b ( H )( x H D g {})(g(x) =b) f(b)=c b D f. (!) Pk lim f g=c. Ověřovt podmínku (!) je velmi důležité. Mějme npř. ( x R)(g(x) = 0) f(y) = 1 pro y = 0, f(0)=2. Pk lim 0 f g=2 (neboť f g je konstntní funkce rovn 2), le přitom lim 0 g=0 lim 0 f =1 = f f g 2 1 g -1-1 Podmínk (!) je utomticky splněn tehdy, pokud je g n okolí H prostá. To je velmi čstý přípd. 85

8 že Důležitý příkld. Víme, že lim (x+ 1 ) x =e. Odtud dostneme pomocí věty o limitě složené funkce, x ± x lim (1+x) 1 x =e. x 0+ Podobně dostneme, že lim x 0 (1+x) 1 x =e. Odtud plyne závěr, že lim x 0 (1+x) 1 x =e. Důležitý příkld. Pomocí předchozího příkldu dostneme, že ln(1+x) lim =1. x 0 x 86

9 Důležitý příkld. Opět pomocí předchozího příkldu: e x 1 lim =1. x 0 x Důležitý příkld. Buď >0, =1. Jk jink než pomocí předchozího příkldu dostneme: x 1 lim =ln. x 0 x Důležitý příkld. Vypočtěme limitu posloupnosti lim n + n( n e 1). Heineov vět říká, že stčí počítt limitu funkce lim x + x(e 1 x 1). Pomocí předpředchozího příkldu lim x(e 1 x 1)=1. x + 87

10 Následující věty pltí podobně jko u limit posloupností: Věty o nerovnostech mezi limitmi: Pltí lim f<lim g ( H )( x D f D g H {})(f(x)<g(x)). Nechť existují lim f lim g, nechť existuje H tk, že H D f {}=H D g {}. Potom ( x H D f {})(f(x) g(x)) lim f lim g. Vět o limitě sevřené funkce: Nechť lim f =lim g=c. Nechť existuje H tk, že H D f {}=H D g {}=H D h {}. Pk pltí ( x H D f {})(f(x) h(x) g(x)) lim h=c Bolzno-Cuchyovo kritérium konvergence Podobně jko u posloupností existuje nutná postčující podmínk pro existenci konečné limity funkce: Nechť D f. Pk existuje konečná lim f právě tehdy, když ( ε>0)( H )( x,y D f H {})( f(x) f(y) <ε). 88

11 6.4. Spojitost Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě (či je bodem spojitosti f), pokud pltí ( ε>0)( δ>0)( x D f H (δ))(f(x) H f() (ε)). Spojitá tedy může být funkce pouze v bodě svého definičního oboru. Je zřejmé, že kždý izolovný bod D f je bodem spojitosti f. Nechť D f D f. Pk f je spojitá v bodě právě tehdy, když lim Důsledkem je nlogická vět jko u limit: f =f(). Nechť f g jsou spojité funkce v bodě. Pk funkce f, f ±g, fg, f g (pokud g() = 0) jsou spojité v bodě. Z věty o limitě složené funkce pk plyne: Nechť g je spojitá v bodě, f v bodě g(). Pk f g je spojitá v bodě. N cvičeních budeme soustvně používt následující silnou větu: Elementární funkce jsou spojité ve všech bodech svého definičního oboru. Důkz předchozího tvrzení je netriviální pouze u obecné mocniny ( logritmu) u goniometrických funkcí, viz předcházející stránky. Jednostrnnou spojitost zvádíme podobně jko u limit: f je v bodě vzhledem k množině A, pokud f/ A je spojitá v bodě. f je spojitá v bodě zprv, pokud f/,+ ) je spojitá v bodě. f je spojitá v bodě zlev, pokud f/ (, je spojitá v bodě. 89

12 Bod D f, který není bodem spojitosti f, se nzývá bodem nespojitosti f. Rozeznáváme následující druhy bodu nespojitosti funkce f: odstrnitelnou, která nstává, je-li lim f R, le není rovn f() nebo D f, skok, když existují nvzájem různé konečné lim f lim f, + druhého druhu, když se nejedná ni o odstrnitelnou nespojitost, ni o skok. odstrnitelná skok 2. druhu 90

13 Řekneme, že funkce je spojitá n množině M, pokud zúžení f/m je spojité v kždém bodě M. Tedy funkce spojitá n M nemusí být spojitá v kždém bodě M: 1 spojitá n M= 1,+ ), le ne v kždém bodě množiny M 91

14 Pro funkce spojité n intervlu pltí důležitá tvrzení: Buď f spojitá n,b f()f(b) < 0. Pk existuje c,b tk, že f(c)=0. Z věty ihned plyne, že f spojitá n,b dokonce nbývá všech hodnot mezi f() f(b). Je-li f nenulová spojitá n intervlu J, pk n tomto intervlu nemění znménko, je tedy n tomto intervlu buď kldná nebo záporná. c b Nechť f je spojitá n intervlu J. Pk obrz f(j) je intervl (nebo 1prvková množin). Spojitý obrz intervlu může být libovolného typu: uzvřený, polouzvřený, otevřený. b 92

15 Nechť f je spojitá n,b. Pk f je n,b omezená. Pro neuzvřený intervl podobné tvrzení nepltí, npř. tg x je spojitá n π ) ( 2,π, le není n 2 něm omezená. b Nechť f je spojitá n,b. Pk f nbývá n,b hodnot sup f inf f.,b,b Hodnoty suprem infim jsou tedy mximem minimem f n,b. V přípdě, že f není konstntní, je obrzem uzvřeného intervlu uzvřený intervl. Pro neuzvřený intervl podobné tvrzení opět nepltí. c d b f(c)=inf f, f(d)=sup f <,b> <,b> 93

16 Buď f n intervlu J spojitá prostá. Pk je n něm ryze monotónní f/ J 1 je spojitá ryze monotónní n f(j). Druh monotonie se zchovává. b 94

17 6.6. Derivce Limitu f(x) f() lim x x nzýváme derivce funkce f v bodě. Oznčujeme ji f (). Derivci funkce f má tedy smysl zjišťovt pouze v bodech D f D f. Pokud tto podmínk není splněn, říkáme, že derivce f v bodě nemá smysl. Pomocí věty o limitě složené funkce získáme ekvivlentní definici: f f(+h) f() ()=lim. h 0 h Pro derivci zprv/zlev používáme znčky f +() resp. f (). Pokud je f () R (tj. konečná), říkáme, že f má vlstní derivci v bodě neboli f je v bodě diferencovtelná. Pokud je f ()=±, mluvíme o nevlstní derivci. Npř. (e x ) =e x. 1 Npř. (sgn x) = 0 pro x =0, + pro x=

18 Pltí následující vět: Funkce diferencovtelná v bodě je v tomto bodě spojitá. Opčně vět nepltí, npř. x je spojitá v bodě 0, le není v něm diferencovtelná Výpočet derivce Pro výpočet derivcí máme tři velmi důležitá tvrzení, které z derivování elementárních funkcí činí mechnickou záležitost: Aritmetik derivcí. Nechť f, g jsou diferencovtelné v bodě nechť D f±g D f±g resp. D fg D fg resp. D f D f. Pk pltí g g (f±g) ()=f ()±g (), (fg) ()=f ()g()+f()g (), ( f ) ()= f ()g() f()g () g g 2. () Vět o derivci složené funkce. Nechť g je diferencovtelná v bodě, f v bodě g(). Pk f g je diferencovtelná v bodě pltí (f g) ()=f (g())g (). Vět o derivci inverzní funkce. Nechť f je spojitá prostá v otevřeném intervlu J, x 0 J, f (x 0 ) =0. Pk pltí f/ J 1 (f(x 0 ))= 1 f (x 0 ). 98

19 Vypočtěme npř. (rctg x) pro x R. Předpokldy věty o derivci inverzní funkce jsou splněny; podle vzorce f/ J 1 (f(x 0 ))= 1 f (x 0 ) dostneme (rctg x) = 1 x Užitečná tbulk derivcí: (x α ) = αx α 1 pro α R, x >0, (e x ) = e x pro x R, 1 ( x ) = x ln pro >0, x R, (ln x) = x pro x >0, (sin x) = cos x pro x R, (sinh x) = cosh x pro x R, (cos x) = sin x pro x R, (cosh x) = sinh x pro x R, (tg x) = 1 cos 2 x pro x R,x = π 2 +kπ, k Z, (tgh x) = 1 cosh 2 x x R, (cotg x) = 1 sin 2 x pro x R, x = kπ, k Z, (cotgh x) = 1 (rcsin x) = 1 1 x 2 pro x ( 1,1), (rgsinh x) = sinh 2 x x R {0}, 1 x R, 1+x 2 (rccos x) = 1 1 x 2 pro x ( 1,1), (rgcosh x) = 1 x2 1 pro x >1, (rctg x) = 1 1+x 2 pro x R, (rgtgh x) = 1 pro x ( 1,1), 1 x2 (rccotg x) = 1 1+x 2 pro x R, (rgcotgh x) = 1 1 x 2 prox R 1,1. 99

20 6.8. Derivce vyšších řádů Symbolem f oznčíme funkci s definičním oborem {x R f (x) R} definovnou předpisem f (x)=f (x) (kde vlevo stojí hodnot funkce f f(x+h) f(x) v bodě x vprvo limit lim ). Nzýváme jí první h 0 h derivce f. Lze opět zkoumt, kde je f je diferencovtelná, v těchto bodech nlogicky definovt druhou, třetí td. derivci f. Užíváme znčení f, f nebo f (2), f (3) td. Čsto kldeme též f (0) =f. Pro m-tou derivci n-té derivce pltí zřejmý vzth (f (m) ) (n) =f (n+m). Pro n-tou derivci součinu lze indukcí z prvidl pro derivci součinu odvodit tzv. Leibnizův vzorec: n ( (fg) (n) n = k) f (k) g (n k). k=0 100

21 6.9. Věty o přírůstku funkce Věty o přírůstku funkce umožňují proximovt hodnotu přírůstku (poklesu) funkce n mlém okolí dného bodu pomocí hodnoty první derivce v tomto bodě. První z nich je vět Rolleov, která říká, že je-li funkce f spojitá n,b, f() = f(b) existuje derivce f v kždém bodě (,b), pk existuje bod c (,b) tk, že f (c)=0. Nejdůležitější je její bezprostřední důsledek, vět Lgrngeov: Lgrngeov vět (o přírůstku funkce). Nechť f je spojitá n,b v kždém bodě (,b) má derivci. Pk existuje c (,b) tk, že f (c)= f(b) f(). b Aneb jede-li uto z bodu do bodu b průměrnou rychlostí 80 km/h, jistě existuje n trse spoň jeden bod c, ve kterém má okmžitou rychlost 80 km/h. Nebo jink: pro spojitou funkci n,b mjící derivci v kždém bodě (,b) existuje v intervlu (,b) lespoň jeden bod c, ve kterém je tečn ke grfu rovnoběžná se spojnicí bodů (,f()) (b,f(b)). Lgrngeov vět jde zobecnit: Cuchyov vět (zobecněná vět o přírůstku funkce). Nechť f,g jsou spojité n,b v kždém bodě (,b) mjí derivci; nechť derivce g je n (,b) konečná nenulová. Pk existuje c (,b) tk, že f (c) g (c) = f(b) f() g(b) g(). f(b) f() c b 101

22 6.10. Drbouxov vět o spojitosti derivce Občs se stne, že n výpočet derivce nelze použít větu o derivci složené či inverzní funkce, neboť jejich předpokldy nejsou splněny (typicky n krjích intervlů definičních oborů). Někdy se lze s úspěchem vyhnout počítání derivce z definice pomocí následující věty: Drbouxov vět. Nechť f je spojitá v bodě zprv f je diferencovtelná n nějkém H +. Pk pltí f +()= lim x + f (x), pokud limit vprvo existuje. Anlogicky pltí vět pro derivci zlev. Počítejme f +( 1), kde f(x)=rcsin x. Větu o derivci inverzní funkce nelze použít, protože π 2 leží n krji intervlu příslušného zúžení funkce sin. Pomocí Drbouxovy věty máme sndno, že f +( 1)=+. 102

23 6.11. Lokální extrémy Řekneme, že funkce má v bodě lokální mximum, pokud ( ε>0)( x H (ε))(f(x) f()), lokální minimum, pokud ( ε>0)( x H (ε))(f(x) f()), ostré lokální mximum, pokud ( ε>0)( x H (ε) {})(f(x) < f()), ostré lokální minimum, pokud ( ε>0)( x H (ε) {})(f(x) > f()). V předchozích přípdech též říkáme, že funkce má v bodě lokální extrém. Zákldní pomůckou, jk zjistit, zd funkce má v bodě lokální extrém, je tto vět: Nechť f má v bodě lokální extrém. Pk f ()=0 nebo f () neexistuje. Vět tedy specifikuje nutnou, nikoliv postčující podmínku pro lokální extrém. Přímo z definice extrému plyne jko postčující podmínk tto vět: Nechť funkce f je spojitá v bodě H ± tk, že f je (ostře) Pk f má v bodě (ostré) lokální rostoucí klesjící mximum minimum. v H f je (ostře) Někdy lze pro zjištění druhu extrému použít tuto větu: klesjící rostoucí v H+. Nechť existuje H tk, že f je n H diferencovtelná. Nechť f () = 0 f () bodě ostré lokální minimum mximum. 103 > < 0. Pk f má v

24 6.12. Monotonie Věty o přírůstku funkce umožňují formulci podmínek pro monotonii funkce n intervlu. Pro intervl I =,b či,b) či (,b či (,b) oznčme I 0 = (,b) (tj. intervl I okleštěný o krjní body). Pltí následující vět, která udává postčující ( v neostrých přípdech i nutnou) podmínku pro monotonii funkce n intervlu I: Nechť f je spojitá n intervlu I, nechť f má derivci v kždém bodě I 0. Pk: ( x I 0 )(f (x) 0) f je n I rostoucí, ( x I 0 )(f (x) 0) f je n I klesjící, ( x I 0 )(f (x)=0) f je n I konstntní, ( x I 0 )(f (x)>0) f je n I ostře rostoucí, ( x I 0 )(f (x)<0) f je n I ostře klesjící. U ryzí monotonie (poslední dv přípdy) implikci nelze obrátit. Npř. funkce f(x)=x 3 je ostře rostoucí n celém R, le v bodě 0 není její derivce kldná: 1 f (0)=3x 2 x=0 =

25 6.13. Tečny Řekneme, že f má v bodě tečnu o rovnici x=, je-li f spojitá v bodě f ()=+ nebo, o rovnici y=f()+f ()(x ), je-li f diferencovtelná v bodě. Bodu (,f()) říkáme bod dotyku. Npř. funkce 3 x 2 má v bodě 2 tečnu o rovnici x=2 v bodě 1 tečnu o rovnici y= (x 1)

26 6.14. Konvexnost konkávnost Řekneme, že funkce f je n intervlu J (ostře či ryze) konvexní konkávní, pokud ( ) ( x 1,x 2,x 3 J, x 1 <x 2 <x 3 ) f(x 2 ) (<) (>) f(x 3 ) f(x 1 ) (x 2 x 1 )+f(x 1 ). x 3 x 1 Definice říká, že bod (x 2,f(x 2 )) musí ležet pod/nd úsečkou spojující body (x 1,f(x 1 )) (x 3,f(x 3 )) (nebo n ní v přípdě neostré nerovnosti). f(x 1 ) f(x 3 ) f(x 2 ) x 1 x 2 x 3 ryze konvexní konvexní ryze konkávní 106

27 Postčující podmínku pro konvexnost/konkávnost funkce n intervlu dává následující vět: Nechť f je spojitá n intervlu I, nechť f je diferencovtelná n I 0. Pk: Je-li f (ostře) rostoucí klesjící n I0, je f (ryze) Tto vět má v prxi používnější důsledek: Nechť f je spojitá n intervlu I. Pk: ( ( x I 0 ) f (x) (>) (<) 0 ) f je n I (ryze) konvexní konkávní n I. konvexní konkávní. Souvislost konvexity/konkávity funkce tečny: pltí, že je-li funkce f n I ryze konvexní diferencovtelná v bodě I, pk ( x I {})(f(x)>f()+f ()(x )). Má-li funkce f n otevřeném intervlu I druhou derivci, pk pltí, že f je ryze konvexní n I právě tehdy, když v kždém bodě I pltí podmínk ( H )( x H {})(f(x)>f()+f ()(x )). Obdobně tvrzení pltí smozřejmě i pro funkce ryze konkávní. 107

28 Říkáme, že funkce f má v bodě tzv. inflexi (inflexní bod) je diferencovtelná v bodě pltí ( ) ( ) ( H )( x H )( x< f(x) < > f()+f ()(x ) x> f(x) > ) < f()+f ()(x ). Pro nlezení inflexních bodů mohou být užitečné následující věty: Nechť f má inflexi v bodě. Nechť n nějkém okolí H je f diferencovtelná. Pk f () = 0 nebo f () neexistuje. Nechť existuje ε>0 tk, že f je konečná n H (ε). Nechť f () =0 f () = 0. Pk f má v bodě inflexní bod. 108

29 109

30 6.15. Asymptoty Přímku o rovnici y = kx+q, kde k,q R, nzveme symptotou funkce f v bodě + (resp. ), pokud ( ) f(x) (kx+q) =0. lim x + (resp. ) Buď R. Přímku o rovnici x = nzveme svislou symptotou funkce f v bodě, pokud existuje lespoň jedn z limit lim f či lim f je rovn + nebo. + N hledání symptot funkcí je užitečná tto vět: f má v bodě + symptotu o rovnici y = kx+q f(x) ( ) lim =k R lim f(x) kx =q R. x + x x + (Podobně vět pltí i pro bod.) symptoty 110

31 6.16. Vyšetřování funkcí Vyšetřování funkcí je proces, kdy se (zprvidl pomocí diferenciálního počtu) snžíme o funkci dozvědět co nejvíce informcí, bychom mohli nčrtnout věrně její grf. Jde zejmén o definiční obor, obor hodnot, průsečíky s osmi souřdnic jiné důležité funkční hodnoty, přípdnou sudost, lichost, periodicitu, spojitost, druhy bodů nespojitosti, existenci symptot, monotonii funkce, lokální extrémy, konvexnost konkávnost funkce, inflexní body. Zdlek ne vždy jsme schopni zjistit všechny vyjmenovné skutečnosti. 111