Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)"

Transkript

1 Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek 1 / 18

2 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův) integrál 2 Vlstnosti Riemnnov integrálu 3 Výpočet Riemnnov integrálu Michl Fusek 2 / 18

3 Dělení intervlu Určitý vlstní (Riemnnův) integrál Necht, b je uzvřený intervl x 0, x 1,..., x n 1, x n reálná čísl splňující = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. Potom množinu uzvřených intervlů D = { x 0, x 1, x 1, x 2,..., x n 1, x n } nzýváme dělením D intervlu, b čísl x 0, x 1,..., x n nzýváme dělicími body intervlu, b. Normou ν(d) dělení D rozumíme mximální vzdálenost sousedních dělicích bodů, tedy ν(d) = mx{x 1 x 0, x 2 x 1,..., x n x n 1 }. Michl Fusek 3 / 18

4 Integrální součet Určitý vlstní (Riemnnův) integrál Necht f je ohrničená funkce definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht D = { x 0, x 1, x 1, x 2,..., x n 1, x n } je dělení intervlu, b. Dále necht R = {ξ 1, ξ 2,..., ξ n } je tzv. výběr reprezentntů z dělení D, tj. čísl z intervlu, b splňující Potom součet x i 1 ξ i x i, i = 1,..., n. S(f, D, R) = n f (ξ i )(x i x i 1 ) nzýváme integrálním součtem funkce f příslušným dělení D výběru reprezentntů R z dělení D. i=1 Michl Fusek 4 / 18

5 Určitý vlstní (Riemnnův) integrál Geometricky je integrální součet S(f, D, R) kldné funkce f roven součtu obshů obdélníků, jejichž zákldny mjí délku x i x i 1 jejichž výšk je rovn f (ξ i ). Je-li funkční hodnot v reprezentntu záporná (obdélníček je pod osou x), pk příspěvek tohoto obdélníčku do integrálního součtu je záporný. Integrální součet je dán rozdílem obshů obdélníků nd osou x pod osou x. Michl Fusek 5 / 18

6 Určitý vlstní (Riemnnův) integrál Určitý (Riemnnův) integrál Necht f je ohrničená funkce definovná n uzvřeném intervlu, b. Řekneme, že f je Riemnnovsky integrovtelná n, b, jestliže existuje číslo I R tkové, že ke kždému ε > 0 existuje δ > 0 tk, že pro kždé dělení D intervlu, b s libovolným výběrem reprezentntů R, jehož norm ν(d) < δ, pltí S(f, D, R) I < ε. Číslo I nzýváme určitý integrál nebo též Riemnnův integrál funkce f n intervlu, b znčíme jej f (x) dx. Číslo nzýváme dolní mez číslo b horní mez Riemnnov integrálu. Michl Fusek 6 / 18

7 Určitý vlstní (Riemnnův) integrál Konstrukce Riemnnov integrálu pro spojitou funkci Necht f je spojitá funkce definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht {D 1, D 2,..., D n } je posloupnost dělení intervlu, b tková, že kždé nové dělení D k+1 vznikne z dělení D k přidáním nových dělicích bodů do středu kždého podintervlu x i 1, x i u dělení D k. Dále necht {R 1, R 2,..., R n } je libovolná posloupnost reprezentntů z těchto dělení. Potom lim ν(d n) = 0 n f (x) dx = lim n S(f, D n, R n ). Intervl rozdělíme n podintervly. Z kždého podintervlu vybereme reprezentnt určíme integrální součet. Dělení zjemníme tk, že přidáme středy původních podintervlů, čímž získáme dělení s menší normou. Opět vybereme reprezentnty určíme integrální součet. Postup opkujeme, dokud se integrální součty neustálí (Riemnnův integrál funkce f n intervlu, b ). Michl Fusek 7 / 18

8 Vlstnosti Riemnnov integrálu Vlstnosti Riemnnov integrálu Necht < b. Potom b f (x) dx = f (x) dx, f (x) dx = 0. Necht f je funkce integrovtelná n intervlu, b necht c (, b). Potom je f integrovtelná n intervlech, c c, b pltí f (x) dx = c f (x) dx + f (x) dx. c Michl Fusek 8 / 18

9 Vlstnosti Riemnnov integrálu Vlstnosti Riemnnov integrálu Necht f g jsou funkce integrovtelné n intervlu, b necht c R. Pk pltí [ f (x) ± g(x) ] dx = f (x) dx ± g(x) dx, c f (x) dx = c f (x) dx. Necht f g jsou funkce integrovtelné n intervlu, b tkové, že pro x (, b) je f (x) g(x). Pk pltí f (x) dx g(x) dx. Michl Fusek 9 / 18

10 Vlstnosti Riemnnov integrálu Vlstnosti Riemnnov integrálu Necht f je funkce integrovtelné n intervlu, b. Dále necht S je sudá funkce L lichá funkce, obě integrovtelné n intervlu,. Potom pltí 0 dx = 0 dx = b f (x) 0 n, b b f (x) dx f (x) dx S(x) dx = 2 0 S(x) dx L(x) dx = 0 f (x) dx 0 Michl Fusek 10 / 18

11 Vlstnosti Riemnnov integrálu Postčující podmínky integrovtelnosti Funkce f je Riemnnovsky integrovtelná n intervlu, b, pokud splňuje lespoň jednu z následujících podmínek: Funkce f je n, b spojitá. Funkce f je n, b monotonní. Funkce f je n, b ohrničená má n, b konečný počet bodů nespojitosti 1. druhu. Příkldem funkce, která není Riemnnovsky integrovtelná, je npř. funkce { 1 pro x Q, f (x) = 0 pro x I, která není Riemnnovsky integrovtelná n žádném intervlu. Michl Fusek 11 / 18

12 Výpočet Riemnnov integrálu Funkce horní meze (pro spojitou funkci) Mějme funkci Φ(x) = x f (t) dt, která kždému x přiřzuje obsh šedé plochy. Aproximujme přírůstek této funkce: Φ(x + h) Φ(x). = f (x) h f (x). = Φ(x + h) Φ(x) h Odtud limitním přechodem pro h 0 dostneme Φ(x + h) Φ(x) f (x) = lim = Φ (x), h 0 h tedy funkce horní meze Φ je primitivní funkcí k funkci f. Michl Fusek 12 / 18

13 Výpočet Riemnnov integrálu Funkce horní (dolní) meze Bud f :, b R integrovtelná funkce. Funkcí horní meze nzýváme funkci Φ :, b R definovnou předpisem Φ(x) = x f (t) dt. Obdobně funkcí dolní meze nzýváme funkci Ψ :, b R definovnou předpisem Ψ(x) = x f (t) dt. Je-li funkce f :, b R v okolí bodu x spojitá, má funkce horní meze Φ :, b R v bodě x derivci pltí Φ (x) = f (x), tj. Φ je primitivní funkce k f. Michl Fusek 13 / 18

14 Výpočet Riemnnov integrálu 1) Je-li f spojitá n, b, pk funkce horní meze Φ je její primitivní funkcí. 2) Je-li F libovolná primitivní funkce k funkci f n, b, jistě pltí Φ(x) = F(x) + c. 3) Položíme-li x =, určíme konstntu c: 4) Tedy Φ() = f (t) dt = 0 = F() + c c = F() Φ(x) = F(x) F() 5) Položíme-li x = b, dostáváme Φ(b) = F(b) F(), tj. f (x) dx = F (b) F(). Michl Fusek 14 / 18

15 Výpočet Riemnnov integrálu Newtonov Leibnitzov formule Jedn z nejdůležitějších vět mtemtické nlýzy dávjící do souvislosti derivci neurčitý určitý integrál. Necht f je Riemnnovsky integrovtelná funkce n intervlu, b. Dále necht F je primitivní funkce k funkci f n intervlu, b, tj. pro všechn x, b pltí F (x) = f (x). Potom f (x) dx = [ F(x) ] b = F(b) F(). Příkld 5 2 x 2 dx = Michl Fusek 15 / 18

16 Výpočet Riemnnov integrálu Metod per prtes pro určitý integrál Necht funkce u, v jejich derivce jsou spojité n intervlu, b. Potom pltí u(x)v (x) dx = [ u(x)v(x) ] b u (x)v(x) dx. Příkld 3 1 x ln x dx = 9 2 ln 3 2 [u = ln x, v = x] Michl Fusek 16 / 18

17 Výpočet Riemnnov integrálu Substituční metod pro určitý integrál Necht funkce f, ϕ ϕ jsou spojité n příslušných intervlech necht funkce ϕ je ryze monotonní. Potom pltí f (ϕ(x))ϕ (x) dx = f (x) dx = ϕ 1 (b) ϕ 1 () ϕ(b) ϕ() f (t) dt f (ϕ(t))ϕ (t) dt. Příkld () 5 1 2x 1 dx = 26 3 [2x 1 = t] (b) 1 0 x 2 (5 2x 3 ) 4 dx = [ 5 2x 3 = t ] Michl Fusek 17 / 18

18 Příkld Výpočet Riemnnov integrálu Ověřte podmínky existence vypočítejte integrály: () π 4 0 tg2 x dx (b) 4 0 (c) π 3 π 4 (d) 1 2 (e) π 2 π 3 (f) π 0 x 1+ x dx [ x = t 2 ] [ ] x dx u = x, v = 1 sin 2 x sin 2 x 0 rcsin x dx [ u = rcsin x, v = 1, pk 1 x 2 = t ] [ 1 sin x dx sin x sin 3 x dx cos x = t, ] 1 dx = 1 x 2 A 2 2A ln x A x+a + c [sin x = t, pozor n bs. hod.] Řešení: () 1 π 4 (b) ln 9 (c) π 36 (9 4 3) ln 3 2 (d) π (e) 1 2 ln 3 (f) 4 3 Michl Fusek 18 / 18

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace) Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26 Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.

Více

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál) Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ

Více

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje. 4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Limity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban

Limity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban Limity, derivce integrály Tomáš Bárt, Rdek Erbn Úvod Definice. Zobrzení(téžfunkce) f M Njemnožinuspořádnýchdvojic(x, y) tková,žekekždému xexistujeprávějedno y,žedvojice(x,y) f.tj.kždývzor xmáprávějedenobrz

Více

5.5 Elementární funkce

5.5 Elementární funkce 5.5 Elementární funkce Lemm 5.20. Necht x R. Potom existuje kldné C R (závisející n x) tkové, že pro kždé n N h ( 1, 1) pltí (x + h) n x n nhx n 1 h 2 C n. Definice. Exponenciální funkci exp definujme

Více

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5. 10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány

Více

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/

Více

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro

Více

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,

Více

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu. Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze

Více

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4) KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1

Více

Ur itý integrál. Úvod. Denice ur itého integrálu

Ur itý integrál. Úvod. Denice ur itého integrálu V tomto lánku se budeme v novt ur itému integrálu, který dné funkci p i zuje íslo. My²lenk integrování pochází z geometrických poºdvk - zji² ování povrch, objem délek geometrických útvr. To znmená, ºe

Více

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x. VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální

Více

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze

2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze 8. Určitý integrál 8.1. Newtonův integrál Definice 8.1 Buďte,b R. Řekneme,žeNewtonůvintegrálzfunkce fnintervlu(,b) existuje(znčímejej(n) f(x)dx),jestliže 1.existuje primitivní funkce F k f n intervlu(,

Více

17 Křivky v rovině a prostoru

17 Křivky v rovině a prostoru 17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,

Více

Masarykova univerzita

Masarykova univerzita Msrykov univerzit Přírodovědecká fkult Diplomová práce Web k témtu: Integrální počet Bc. Ev Schlesingerová Brno 9 Prohlášení Prohlšuji, že jsem tuto diplomovou práci npsl sm s použitím uvedené litertury.

Více

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto

Více

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

II. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)

II. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y) . NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál

Více

Obsah na dnes Derivácia funkcie

Obsah na dnes Derivácia funkcie Johnnes Kepler Dec 2, 57- Nov 5, 63 Mtemtik I Prednášjúci: prof. RNDr. Igor Podlný, DrSc. http://www.tke.sk/podln/ # Osh n dnes Deriváci fnkcie 74 KAPITOLA 3. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Určitý integrál 8. Vlstnosti

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 /

Více

Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné

Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17 Obsh Derivce Integrály 6. Neurčité integrály.................. 6. Určité integrály....................3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Posloupnosti řdy funkcí 7 3. Posloupnosti funkcí.................

Více

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1 9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Řešené příklady k MAI III.

Řešené příklady k MAI III. Řešené příkldy k MAI III. Jkub Melk 28. říjn 2007 1 Obsh 1 Metrické prostory 2 1.1 Teoretickéotázky.... 2 1.2 Metriky..... 4 1.3 Anlýzmnožin... 4 1.3.1 Uzávěry... 4 1.3.2 Zkoumejtenásledujícímnožiny....

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 URČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Dněček, Oldřich Dlouhý,

Více

12.1 Primitivní funkce

12.1 Primitivní funkce Integrání počet. Primitivní funkce Již jsme definovli pojem derivce funkce, k funkci f(x) jsme hledli její derivci f (x). Nyní chceme ukázt opčný postup, tzn. k funkci f (x) njít funkci f(x). Přesněji,

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejz Dohnl, CSc. IV. ákldy integrálního počtu 1 Mtemtik I. I. Lineární lgebr II. ákldy mtemtické nlýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Mtemtik I. IV. Integrální

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Integrální počet a jeho využití v ekonomii UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Integrální počet a jeho využití v ekonomii UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Integrální počet jeho využití v ekonomii Vedoucí diplomové práce: RNDr. Mrtin Pvlčková,

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

Numerické metody a statistika

Numerické metody a statistika Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 / Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 / Geometrický význam integrálu

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Přednáška 9: Limita a spojitost

Přednáška 9: Limita a spojitost 4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

Matematické metody v kartografii

Matematické metody v kartografii Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro

Více

Kapitola 1. Taylorův polynom

Kapitola 1. Taylorův polynom Kpitol Tylorův polynom Definice. Budeme psát f = o(g) v R, je-li lim x ( f )(x) =, f = O(g) g v R, je-li ( f ) omezená n nějkém U (). g Příkld. lim x (x + x + 3) 5 (x 5 x 3 + 7x 9) = lim x + o(x ) x x

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Fakulta aplikovaných věd

Fakulta aplikovaných věd Zápdočeská univerzit v Plzni Fkult plikovných věd Diplomová práce Mgr. Ev Kleknerová RŮZNÉ TYPY INTEGRÁLŮ A JEJICH APLIKACE Fkult plikovných věd Vedoucí diplomové práce: RNDr. Petr Tomiczek, CSc. - KMA

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním

Více

množina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,

množina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n, Náplní předmětu bude klkulus R n R (přípdně R m ). Proč se zbývt funkcemi více proměnných? V prxi je čsto třeb uvžovt veličiny, které závisejí n více než jedné proměnné, npř. objem rotčního kužele závisí

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2.

1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. 1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. Množinu komplexních čísel znčíme C. N množině C definujeme operce sčítání + jko v R 2 násobení. předpisem (x, y).(u,

Více

Matematika II: Listy k přednáškám

Matematika II: Listy k přednáškám Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

(5) Primitivní funkce

(5) Primitivní funkce (5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Preklkulus 7. Reálná čísl................................................ 7. Funkce jejich zákldní vlstnosti...................................

Více

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii

Více

6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }.

6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }. 6.1. Limit funkce Číslo R nzveme hromdným bodem množiny A R, pokud v kždém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů z množiny A. Body z A, které neptří mezi hromdné body A, se nzývjí izolovné. Alterntivně

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

Učební text k přednášce Matematická analýza II (MAI055)

Učební text k přednášce Matematická analýza II (MAI055) Učební text k přednášce Mtemtická nlýz II (MAI055) Mrtin Klzr 20. červn 2007 Přednášk pokrývá v letním semestru následující látku:. Riemnnův integrál. 2. Posloupnosti řdy funkcí, mocninné řdy Fourierovy

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více