Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)

Transkript

1 Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18

2 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův) integrál 2 Vlstnosti Riemnnov integrálu 3 Výpočet Riemnnov integrálu Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 18

3 Dělení intervlu Určitý vlstní (Riemnnův) integrál Necht, b je uzvřený intervl x 0, x 1,..., x n 1, x n reálná čísl splňující = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. Potom množinu uzvřených intervlů D = { x 0, x 1, x 1, x 2,..., x n 1, x n } nzýváme dělením D intervlu, b čísl x 0, x 1,..., x n nzýváme dělicími body intervlu, b. Normou ν(d) dělení D rozumíme mximální vzdálenost sousedních dělicích bodů, tedy ν(d) = mx{x 1 x 0, x 2 x 1,..., x n x n 1 }. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 18

4 Integrální součet Určitý vlstní (Riemnnův) integrál Necht f je ohrničená funkce definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht D = { x 0, x 1, x 1, x 2,..., x n 1, x n } je dělení intervlu, b. Dále necht R = {ξ 1, ξ 2,..., ξ n } je tzv. výběr reprezentntů z dělení D, tj. čísl z intervlu, b splňující Potom součet x i 1 ξ i x i, i = 1,..., n. S(f, D, R) = n f (ξ i )(x i x i 1 ) nzýváme integrálním součtem funkce f příslušným dělení D výběru reprezentntů R z dělení D. i=1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 18

5 Určitý vlstní (Riemnnův) integrál Geometricky je integrální součet S(f, D, R) kldné funkce f roven součtu obshů obdélníků, jejichž zákldny mjí délku x i x i 1 jejichž výšk je rovn f (ξ i ). Je-li funkční hodnot v reprezentntu záporná (obdélníček je pod osou x), pk příspěvek tohoto obdélníčku do integrálního součtu je záporný. Integrální součet je dán rozdílem obshů obdélníků nd osou x pod osou x. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 5 / 18

6 Určitý vlstní (Riemnnův) integrál Určitý (Riemnnův) integrál Necht f je ohrničená funkce definovná n uzvřeném intervlu, b. Řekneme, že f je Riemnnovsky integrovtelná n, b, jestliže existuje číslo I R tkové, že ke kždému ε > 0 existuje δ > 0 tk, že pro kždé dělení D intervlu, b s libovolným výběrem reprezentntů R, jehož norm ν(d) < δ, pltí S(f, D, R) I < ε. Číslo I nzýváme určitý integrál nebo též Riemnnův integrál funkce f n intervlu, b znčíme jej f (x) dx. Číslo nzýváme dolní mez číslo b horní mez Riemnnov integrálu. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 6 / 18

7 Určitý vlstní (Riemnnův) integrál Konstrukce Riemnnov integrálu pro spojitou funkci Necht f je spojitá funkce definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht {D 1, D 2,..., D n } je posloupnost dělení intervlu, b tková, že kždé nové dělení D k+1 vznikne z dělení D k přidáním nových dělicích bodů do středu kždého podintervlu x i 1, x i u dělení D k. Dále necht {R 1, R 2,..., R n } je libovolná posloupnost reprezentntů z těchto dělení. Potom lim ν(d n) = 0 n f (x) dx = lim n S(f, D n, R n ). Intervl rozdělíme n podintervly. Z kždého podintervlu vybereme reprezentnt určíme integrální součet. Dělení zjemníme tk, že přidáme středy původních podintervlů, čímž získáme dělení s menší normou. Opět vybereme reprezentnty určíme integrální součet. Postup opkujeme, dokud se integrální součty neustálí (Riemnnův integrál funkce f n intervlu, b ). Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 7 / 18

8 Vlstnosti Riemnnov integrálu Vlstnosti Riemnnov integrálu Necht < b. Potom b f (x) dx = f (x) dx, f (x) dx = 0. Necht f je funkce integrovtelná n intervlu, b necht c (, b). Potom je f integrovtelná n intervlech, c c, b pltí f (x) dx = c f (x) dx + f (x) dx. c Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 8 / 18

9 Vlstnosti Riemnnov integrálu Vlstnosti Riemnnov integrálu Necht f g jsou funkce integrovtelné n intervlu, b necht c R. Pk pltí [ f (x) ± g(x) ] dx = f (x) dx ± g(x) dx, c f (x) dx = c f (x) dx. Necht f g jsou funkce integrovtelné n intervlu, b tkové, že pro x (, b) je f (x) g(x). Pk pltí f (x) dx g(x) dx. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 9 / 18

10 Vlstnosti Riemnnov integrálu Vlstnosti Riemnnov integrálu Necht f je funkce integrovtelné n intervlu, b. Dále necht S je sudá funkce L lichá funkce, obě integrovtelné n intervlu,. Potom pltí 0 dx = 0 dx = b f (x) 0 n, b b f (x) dx f (x) dx S(x) dx = 2 0 S(x) dx L(x) dx = 0 f (x) dx 0 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 10 / 18

11 Vlstnosti Riemnnov integrálu Postčující podmínky integrovtelnosti Funkce f je Riemnnovsky integrovtelná n intervlu, b, pokud splňuje lespoň jednu z následujících podmínek: Funkce f je n, b spojitá. Funkce f je n, b monotonní. Funkce f je n, b ohrničená má n, b konečný počet bodů nespojitosti 1. druhu. Příkldem funkce, která není Riemnnovsky integrovtelná, je npř. funkce { 1 pro x Q, f (x) = 0 pro x I, která není Riemnnovsky integrovtelná n žádném intervlu. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 11 / 18

12 Výpočet Riemnnov integrálu Funkce horní meze (pro spojitou funkci) Mějme funkci Φ(x) = x f (t) dt, která kždému x přiřzuje obsh šedé plochy. Aproximujme přírůstek této funkce: Φ(x + h) Φ(x). = f (x) h f (x). = Φ(x + h) Φ(x) h Odtud limitním přechodem pro h 0 dostneme Φ(x + h) Φ(x) f (x) = lim = Φ (x), h 0 h tedy funkce horní meze Φ je primitivní funkcí k funkci f. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 12 / 18

13 Výpočet Riemnnov integrálu Funkce horní (dolní) meze Bud f :, b R integrovtelná funkce. Funkcí horní meze nzýváme funkci Φ :, b R definovnou předpisem Φ(x) = x f (t) dt. Obdobně funkcí dolní meze nzýváme funkci Ψ :, b R definovnou předpisem Ψ(x) = x f (t) dt. Je-li funkce f :, b R v okolí bodu x spojitá, má funkce horní meze Φ :, b R v bodě x derivci pltí Φ (x) = f (x), tj. Φ je primitivní funkce k f. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 13 / 18

14 Výpočet Riemnnov integrálu 1) Je-li f spojitá n, b, pk funkce horní meze Φ je její primitivní funkcí. 2) Je-li F libovolná primitivní funkce k funkci f n, b, jistě pltí Φ(x) = F(x) + c. 3) Položíme-li x =, určíme konstntu c: 4) Tedy Φ() = f (t) dt = 0 = F() + c c = F() Φ(x) = F(x) F() 5) Položíme-li x = b, dostáváme Φ(b) = F(b) F(), tj. f (x) dx = F (b) F(). Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 14 / 18

15 Výpočet Riemnnov integrálu Newtonov Leibnitzov formule Jedn z nejdůležitějších vět mtemtické nlýzy dávjící do souvislosti derivci neurčitý určitý integrál. Necht f je Riemnnovsky integrovtelná funkce n intervlu, b. Dále necht F je primitivní funkce k funkci f n intervlu, b, tj. pro všechn x, b pltí F (x) = f (x). Potom f (x) dx = [ F(x) ] b = F(b) F(). Příkld 5 2 x 2 dx = Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 15 / 18

16 Výpočet Riemnnov integrálu Metod per prtes pro určitý integrál Necht funkce u, v jejich derivce jsou spojité n intervlu, b. Potom pltí u(x)v (x) dx = [ u(x)v(x) ] b u (x)v(x) dx. Příkld 3 1 x ln x dx = 9 2 ln 3 2 [u = ln x, v = x] Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 16 / 18

17 Výpočet Riemnnov integrálu Substituční metod pro určitý integrál Necht funkce f, ϕ ϕ jsou spojité n příslušných intervlech necht funkce ϕ je ryze monotonní. Potom pltí f (ϕ(x))ϕ (x) dx = f (x) dx = ϕ 1 (b) ϕ 1 () ϕ(b) ϕ() f (t) dt f (ϕ(t))ϕ (t) dt. Příkld () 5 1 2x 1 dx = 26 3 [2x 1 = t] (b) 1 0 x 2 (5 2x 3 ) 4 dx = [ 5 2x 3 = t ] Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 17 / 18

18 Příkld Výpočet Riemnnov integrálu Ověřte podmínky existence vypočítejte integrály: () π 4 0 tg2 x dx (b) 4 0 (c) π 3 π 4 (d) 1 2 (e) π 2 π 3 (f) π 0 x 1+ x dx [ x = t 2 ] [ ] x dx u = x, v = 1 sin 2 x sin 2 x 0 rcsin x dx [ u = rcsin x, v = 1, pk 1 x 2 = t ] [ 1 sin x dx sin x sin 3 x dx cos x = t, ] 1 dx = 1 x 2 A 2 2A ln x A x+a + c [sin x = t, pozor n bs. hod.] Řešení: () 1 π 4 (b) ln 9 (c) π 36 (9 4 3) ln 3 2 (d) π (e) 1 2 ln 3 (f) 4 3 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 18 / 18