integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
|
|
- Otto Šmíd
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze integrovt. Obecně lze le říct, že pokud eistuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny tkové definice stejnou hodnotu. Nejznámější jsou Newtonův integrál, protože pomocí tohoto integrálu se počítjí v podsttě všechny určité integrály funkce jedné reálné proměnné, Riemnnův integrál, protože má velmi názornou interpretci lze jej jednoduše rozšířit n integrál přes plochy těles, Lebesgueův integrál, který má mezi jinými určitými integrály podobnou vlstnost úplnosti, jko mjí reálná čísl mezi rcionálními čísly limit posloupnosti rcionálních čísel může být reálné číslo) je definován pro největší množinu funkcí. V přednášce budeme definovt Newtonův integrál pk se budeme podrobněji zbývt konstrukcí Riemnnov integrálu. Lebesgueovým integrálem se zbývt nebudeme, protože by to vyždovlo mnohem více čsu. Newtonův určitý integrál Uvžujme bod, který se pohybuje. Dráhu, kterou urzil v t oznčme st). Pk v čsovém intervlu t 1, t 2 urzí dráhu st 1, t 2 ) = st 2 ) st 1 ). Protože okmžitá rychlost bodu v čse t je definován jko st + ) st) vt) = lim = s t), je funkce st) podle definice jedn z primitivních funkcí k funkci vt). Jestliže tedy známe rychlost bodu vt) v intervlu t 1, t 2 ), njdeme dráhu, který urzil bod v tomto čsovém intervlu jko st 1, t 2 ) = st 2 ) st 1 ), kde st) je primitivní funkce k funkci vt) n intervlu t 1, t 2 ). Protože jde o primitivní funkci n intervlu, liší se všechny primitivní funkce o konstntu, tj. jsou-li s 1 t) s 2 t) dvě primitivní funkce k funkci vt) n intervlu t 1, t 2 ), eistuje konstnt c tková, že s 2 t) = s 1 t) + c pro kždé t t 1, t 2 ). Proto pro dráhu, kterou urzil bod v čsovém intervlu t 1, t 2, pltí st 1, t 2 ) = s 2 t 2 ) s 2 t 1 ) = s 1 t 2 ) s 1 t 1 ), tedy nezávisí n tom, jko primitivní funkci zvolíme. Pro dráhu st 1, t 2 ), kterou urzil bod v čsovém intervlu t 1, t 2, pk používáme oznčení st 1, t 2 ) = t2 t 1 vt) dt = [ st) ] t2 t 1 = st 2 ) st 1 ), kde st) je primitivní funkce k funkci vt) n intervlu t 1, t 2 ). To nás vede k následující definici. 1
2 Definice. Necht je F ) primitivní funkce k funkci f) n intervlu, b. Pk se reálné číslo f) d = [ F ) ] b = F b) F ) 1) nzývá Newtonův určitý integrál funkce f) přes intervl, b. Jk jsme se zmínili dříve, nezávisí hodnot výrzu v 1) n volbě primitivní funkce F ). Riemnnův integrál v R Podstt konstrukce Riemnnov integrálu je stejná pro všechny dimenze. Proto se ji pokusíme vysvětlit n příkldě těles V v R 3, tj. v obyčejném trojrozměrném prostoru. Těleso V rozdělíme n konečný počet nepřekrývjících se mlých těles V i, pro která umíme spočítt objem V i, tkové rozdělení oznčíme D. Nyní záleží n tom, co chceme spočítt. Jestliže chceme spočítt npříkld hmotnost celého těles, spočítáme hmotnost všech mlých těles V 1, která je m i = ρ i, y i, z i ) V i, kde ρ i, y i, z i ) je hustot v nějkém bodě i, y i, z i ) V i, jestliže počítáme npříkld moment setrvčnosti vzhledem k ose z, spočítáme moment setrvčnosti vzhledem k ose z pro kždé mlé těleso V i, který je možná znám z fyziky) J i = ρ i, y i, z i ) 2 i + yi 2 ) V i, kde bod i, y i, z i ) leží ve V i. Obecně spočítáme pro kždé mlé těleso V i hodnotu výrzu f i, y i, z i ) V i, kde bod i, y i, z i ) V i. Pro dné rozdělení D njdeme součet I D = n f i, y i, z i ) V i. 2) Tento součet závisí n tom, jk jsme těleso V rozdělili jk jsme vybrli body i, y i, y i ) V i. Oznčíme D = m ) V 1, V 2,..., V n objem největšího kousku, n který jsme těleso V rozdělili, ve výrzu 2) přejdeme jistým způsobem k limitě D. Tuto limitu oznčíme f, y, z) dv V budeme ji nzývt Riemnnův integrál funkce f, y, z) přes těleso V. Problém je v tom, že musíme zjistit, by limit nezávisel n rozdělení těles V n výběru bodu i, y i, y i ) V i. V této přednášce se budeme zbývt touto konstrukcí pro funkce jedné proměnné, tj. funkce f) bude funkce jedné proměnné těleso V bude intervl I =, b R. Je-li funkce f) nezáporná, budeme vlstně počítt obsh oblsti v rovině omezené osou, tj. přímkou y =, křivkou y = f) přímkmi = = b. Ale neměli byste si myslet, že těmito integrály počítáme pouze obshy tkových oblstí v rovině. Význm toho, co počítáme, závisí n interpretci funkce f). Npříkld pro těleso, které vznikne rotcí křivky y = f) kolem osy, je objem válečku v intervlu, + ) přibližně roven πf 2 ) integrál πf 2 ) d bude objem těles mezi rovinmi = = b. Nyní popíšeme konstrukci Riemnnov integrálu funkce y = f) přes intervl, b přesněji. Definice. Necht je I =, b omezený intervl. Kždou konečnou množinu bodů = < 1 < 2 <... < n = b 3) 2
3 nzveme dělení intervlu I budeme ji znčit D. Pro dné dělení D oznčíme I i intervly i 1, i, kde i = 1,..., n, i = i i 1 délku intervlu I i. Definice. Necht je f) omezená funkce n intervlu I =, b D je dělení intervlu I. Oznčme m i = inf f), i = sup f). I i I i Součty ) n ) n s D f) = m i i, resp. S D f) = i i nzveme dolní, resp. horní, integrální součet funkce f) příslušný dělení D. Protože pro kždé i pltí m i i, je zřejmé, že pro kždou omezenou funkci f) kždé dělení D je s D f) S D f). 4) Předpokld, že intervl I je omezený funkce f) je omezená n intervlu I, zručují, že pro kždé dělení D jsou součty s D f) S D f) konečné. Přesněji pro kždé dělení D pltí b ) inf f) s Df) S D f) b ) sup f). I Uvžujme množinu všech dělení D intervlu I. Protože je množin { } s D f) ; D shor omezená číslem b ) sup f), eistuje v R její supremum protože je množin I { } S D f) ; D omezená zdol číslem b ) inf f), eistuje v R její infimum. I Definice. Necht je I omezený intervl funkce f) je omezená n intervlu I. Reálná čísl sf) = sup sd f) ), resp. Sf) = inf SD f) ), D D nzýváme dolní, resp. horní, Riemnnův integrál funkce f) přes intervl I. Z nerovnosti 4) plyne, že pro kždou omezenou funkci f) pltí nerovnost sf) Sf). Pro funkci f) jsme v podsttě ztím udělli to, že jsme do oblsti O omezené osou, grfem funkce y = f) přímkmi = = b vepsli opsli obdélníky spočítli obsh tkových vepsných opsných obrzců, tj. s D f) S D f). Pk jsme vzli největší obsh vepsných obrzců sf) nejmenší obsh opsných obrzců Sf). Je-li největší obsh vepsných obrzců roven nejmenšímu obshu opsných obrzců, je přirozené nzvt toto číslo obshem oblsti O. Problém nstne, pokud dostneme při proimci obshu 3 I
4 oblsti O pomocí vepsných obrzců menší obsh, než když ji proimujeme opsnými obrzci. V tom přípdě prostě prohlásíme, že nemá smyslu mluvit o obshu oblsti O, tj. že obsh oblsti O neeistuje. Proto definujeme Definice. Necht je I =, b omezený intervl funkce f) je omezená n intervlu I. Jestliže sf) = Sf) nzýváme toto číslo Riemnnův integrál funkce f) přes intervl I budeme jej znčit I f) d = f) d = sf) = Sf). Funkce f), pro které eistuje Riemnnův integrál přes intervl I se nzývjí integrovtelné, přesněji Riemnnovsky integrovtelné, n intervlu I. Eistují funkce, které nejsou Riemnnovsky integrovtelné. Známý je příkld tzv. Dirichletovy funkce { 1 pro rcionální, D) = pro ircionální. Pro tuto funkci je pro kždé dělení D intervlu, 1 s D D) = S D D) = 1. Proto je sd) = < SD) = 1 Riemnnův integrál neeistuje. Je proto užitečné znát spoň nějké podmínky, které zručují eistenci Riemnnov integrálu funkce f) přes intervl I. Jednoduchá podmínk, které se používá při odvození dlších užitečnějších podmínek je dán v následující větě. Vět. Funkce f) je integrovtelná n intervlu I právě tehdy, když ke kždému ε > eistuje dělení D intervlu I tkové, že pltí S D f) s D f) < ε. 5) Z obecných vět uvedeme ještě jednu větu, ze které plyne, že pro integrovtelnou funkci f) n intervlu, b lze integrál njít tk, že zvolíme libovolnou posloupnost dělení D n s dělícími body n,i, i =, 1,..., k n, tkovou, že délk nejdelšího úseku D n dělení D n se blíží k nule, body ξ n,i n,i 1, n,i libovolně, je Vět. Necht eistuje Riemnnův integrál kn f) d = lim f ) ) ) ξ n,i n,i n,i 1. 6) n f) d. Pk ke kždému ε > eistuje δ > tkové, že pro kždé dělení D intervlu, b, pro které je D = mi i 1 ) < δ, pro kždou posloupnost bodů ξ i i 1, i, pltí I n fξ i ) i i 1 ) < ε. 4
5 Uvedeme spoň dv příkldy tříd funkcí, které jsou integrovtelné. Vět. Je-li funkce f) n intervlu, b monotonní, je integrovtelná. Důkz: Pro monotonní funkce totiž víme, ve kterých bodech nbývá funkce f) hodnoty m i i z definice horního dolního součtu. Necht je npříkld funkce f) neklesjící. Je-li fb) = f) je funkce konstntní integrál eistuje. Necht je fb) > f). Pk pro kždé dělení D dostneme m i = f i 1 ) i = f i ). Proto pltí S D f) s D f) = n f i ) i i 1 ) n f i 1 ) i i 1 ) = n fi ) f i 1 ) ) i i 1 ). ε Necht je dáno ε >. Zvolme dělení D tkové, že pro kždé i je i i 1 < fb) f). Protože je funkce f) neklesjící, je f i ) f i 1 ), proto pltí nerovnost S D f) s D f) < n fi ) f i 1 ) Tedy podle 5) integrál eistuje. ε fb) f) = fb) f) ) Vět. Je-li funkce f) n intervlu, b spojitá, je integrovtelná. ε fb) f) = ε. Důkz této věty je zložen n tvrzení, že kždá funkce spojitá n kompktní množině je tzv. stejnoměrně spojitá nebudeme jej uvádět. Dlší vět pojednává závislosti určitého integrálu n intervlu I umožňuje nám rozšířit definici. Vět. Funkce f) je integrovtelná n intervlu, b právě tehdy, když je pro kždé c, b) integrovtelná n obou intervlech, c c, b. Pk pltí rovnost f) d = c f) d + c f) d. 7) Proztím jsme integrál definovli pouze pro < b. Předešlá vět nám umožňuje definovt pro b Pk pltí f) d = f) d = b f) d. f) d = vzth 7) pltí pro kždou trojici čísel, b c z předpokldu, že spoň dv integrály eistují. Riemnnův integrál lze ještě dále zobecnit n integrál přes omezenou množinu. Definice. Necht je omezená podmnožin R f) funkce omezená n množině. Necht je I =, b omezený intervl tkový, že I. Definujme funkci f) předpisem f) = { f) pro, pro I \. 5
6 Pokud eistuje Riemnnův integrál n množině píšeme f) d, řekneme, že je funkce f) integrovtelná f) d = f) d. Dlší vlstnost integrálu je jeho linerit vzhledem k integrndu, tj. pltí Vět. Necht jsou funkce f 1 ) f 2 ) integrovtelné n intervlu, b c 1, c 2 R. Pk je n intervlu, b integrovtelná funkce f) = c 1 f 1 ) + c 2 f 2 ) pltí c1 f 1 ) + c 2 f 2 ) ) d = c 1 f 1 ) d + c 2 f 2 ) d. Poznmenejme, že jsou-li n intervlu, b integrovtelné funkce f) g), je integrovtelný tké jejich součin f)g), le obecně nepltí rovnost f)g) d = b f) d g) d. Když je funkce f), interpretovli jsme geometricky Riemnnův integrál f) d jko obsh obrzce omezeného osou, grfem funkce y = f) přímkmi = = b. Dejme ještě geometrickou interpretci Riemnnov integrálu pro libovolnou integrovtelnou funkci. Necht je dán funkce f). Definujme funkce f + ) = m f), ) f ) = m f), ). Funkce f + ) se obvykle nzývá nezáporná část funkce f) funkce f ) její nekldná část. Pltí f + ), f ) rovnosti f) = f + ) f ) f) = f+ ) + f ). Vět. Funkce f) je integrovtelná n množině právě tehdy, když jsou n integrovtelné obě funkce f + ) f ), tj. je integrovtelná tké funkce f), pltí f) d = f + ) d f ) d, f) d = f + ) d+ f ) d. Z toho je zřejmé, že pro libovolnou integrovtelnou funkci f) je Riemnnův integrál rozdíl obshu plochy, která leží nd osou, obshu plochy, která leží pod osou. Nyní uvedeme některé nerovnosti, které jsou potřebné k důkzu dlších důležitých vět. Vět. Necht je funkce f) integrovtelná n intervlu I =, b pro kždé I pltí k f) K. Pk pltí nerovnost kb ) f) d Kb ). 6
7 Důkz: Pro kždé dělení D intervlu I pltí nerovnost kb ) s D f) S D Kb ). Jestliže přejdeme n levé strně k supremu n prvé strně k infimu, dostneme nerovnost kb ) sf) = f) d = Sf) Kb ). Vět. Necht jsou funkce f) g) integrovtelné n množině pro kždé pltí g) f). Pk je g) d f) d. 8) Důkz: plyne z nerovnosti f) g) předchozí věty. Vět. Je-li funkce f) integrovtelná n množině, pltí nerovnost f) d f) d. Důkz: plyne z nerovností f) f) f) předchozí věty. Riemnnův integrál jko funkce horní meze Je-li funkce f) integrovtelná n intervlu, b, je integrovtelná tké n intervlu, c pro kždé c, b. Proto můžeme n intervlu, b definovt funkci Nyní se budeme zbývt touto funkcí. F ) = ft) dt. 9) Vět. Je-li funkce f) integrovtelná n intervlu, b, je funkce F ) definovná vzthem 9) n intervlu, b spojitá. Důkz: áme dokázt, že pro kždé, b je F + h) F ) ) =. Podle definice funkce F ) je lim h F + h) F ) = +h ft) dt ft) dt = +h ft) dt. Protože je funkce f) omezená, eistuje číslo K tkové, že f) K. Podle výše uvedených nerovností je +h F + h) F ) = ft) dt +h +h ft) dt K dt = Kh. 7
8 Tedy pltí ) lim F + h) F ) =, tj. lim F + h) F ) =. h h Vět. Necht je funkce f) integrovtelná n intervlu, b eistuje konečná limit lim h + f ± h) = A ±. Pk je F ± h) F ) lim h + h = A ±. 1) Důkz: Tvrzení dokážeme pouze pro limitu zprv, tj. pro znménko +. Pro limitu zlev je důkz nlogický. Jk jsme ukázli dříve, je Proto je F + h) F ) = +h ft) dt. F + h) F ) A+ h +h ) +h = ft) A+ dt ft) A+ dt. Protože lim t + ft) = A +, eistuje ke kždému ε > číslo δ > tkové, že pro kždé t, pro které je < t < + δ, je ft) A+ < ε. Zvolíme-li tedy < h < δ, dostneme pro tková h nerovnost F + h) F ) A+ h +h < ε dt = hε. Proto pro kždé ε > eistuje δ > tkové, že pro kždé h, < h < δ je F + h) F ) F + h) F ) A + < ε, tj. lim = A +. h h + h Vět. Necht je funkce f) integrovtelná n intervlu, b spojitá v bodě. Pk je F ) = d d ) ft) dt = f). 11) Důkz: Je-li funkce f) spojitá v bodě, je lim f + h) = lim f h) = f), je h + h + tvrzení věty důsledkem vzthu 1). Příkld: Njděte limitu lim 1 cos t) dt. + 2 Řešení: Protože se jedná o limitu typu, můžeme použít l Hospitlovo prvidlo. Tk dostneme lim + 1 cos t) dt 2 = lim + 1 cos 2 8 sin = lim + 4 = lim cos + 4 = 1 4.
9 Víme, že když je funkce f) n intervlu, b spojitá, je n tomto intervlu integrovtelná. Vzth 11) le znmená, že funkce F ) definovná vzthem 9) je její primitivní funkce. Tedy pltí Vět. Je-li funkce f) spojitá n intervlu, b, eistuje k ní n tomto intervlu primitivní funkce. Vzth 11) nám poměrně jednoduše umožňuje počítt Riemnnův integrál. Pltí totiž Vět. Necht je funkce f) spojitá n intervlu, b. Pk je f) d = [ F ) ] b = F b) F ), 12) kde F ) je libovolná primitivní funkce k funkce f) n intervlu, b. Důkz: Necht je F ) primitivní funkce k funkci f) n intervlu, b. Protože je funkce definovná vzthem 9) primitivní funkce n tomto intervlu, eistuje konstnt c tková, že pro kždé, b pltí F ) = F b) F ) = ft) dt + c ft) dt + c. Tedy pltí ) ft) dt + c = ft) dt. Z této věty plyne, že pro omezenou spojitou funkci n intervlu, b je Riemnnův integrál roven Newtonovu. Následující věty jsou obdobou podobných vět pro neurčitý integrál. Vět o integrci per prtes). Necht jsou funkce f) g) spojitě diferencovtelné n intervlu, b. Pk pltí Důkz: Protože jsou funkce F ) = f ) g) d = fb) gb) f) g) f) g ) d. 13) f t) gt) dt F ) = f)g) f)g) ft) g t) dt dvě primitivní funkce k funkci f ) g) n intervlu, b, mohou se lišit pouze o konstntu. Ale protože pro = je F ) = F ) =, jsou tyto funkce rovny pro kždé, b. Rovnost 13) je pk rovnost F b) = F b). Příkld: Njděte integrál π/2 sin n d, kde n 2. Řešení: Oznčme f ) = sin g) = sin n 1. Protože f) = cos g ) = n 1) sin n 2 cos, dostneme z 13) π/2 sin n d = cos π 2 sinn 1 π 2 + cos sinn 1 + n 1) = n 1) π/2 sin n 2 cos 2 d. 9 π/2 sin n 2 cos 2 d =
10 Jestliže použijeme vzth cos 2 = 1 sin 2, dostneme π/2 S této rovnice plyne sin n d = n 1) π/2 π/2 sin n d = n 1 n Podobně lze ukázt, že pro n 2 pltí π/2 cos n d = n 1 n sin n 2 d n 1) π/2 π/2 π/2 sin n 2 d. cos n 2 d. Pomocí těchto vzthů lze snižovt v integrálech mocniny, ž dostneme π/2 sin d = 1 nebo π/2 sin d = π/2 sin n d. d = π 2. Nyní uvedeme dvě věty o substituci v určitém integrálu. Podobně jko v přípdě neurčitého integrálu mjí obě tyto věty tvr f) d = β α f ϕt) ) ϕ t) dt, 14) le předpokldy se liší podle toho, zd známý integrál, pomocí něhož počítáme druhý, je v rovnosti 14) integrál vprvo nebo vlevo. Vět první vět o substituci). Necht je funkce f) spojitá n intervlu A, B funkce ϕ : α, β A, B má spojitou derivci. Necht pltí ϕα) = ϕβ) = b. Pk pltí rovnost β α f ϕt) ) ϕ t) dt = V této větě předpokládáme, že známe integrál f) d. f) d počítáme druhý integrál. Důkz: Je-li F ) n intervlu A, B primitivní funkce k funkci f), je podle první věty o substituci pro neurčitý integrál funkce Φt) = F ϕt) ) n intervlu α, β primitivní funkcí k funkci f ϕt) ) ϕ t). Proto je integrál vlevo roven β α f ϕt) ) ϕ t) dt = Φβ) Φα) = F ϕβ) ) F ϕα) ) = F b) F ) = f) d. Vět druhá vět o substituci). Necht je funkce f) spojitá n intervlu, b funkce ϕ : α, β, b je spojitě diferencovtelná funkce, která zobrzuje intervl α, β n intervl, b. Necht je ϕ t). Pk pltí f) d = Zde předpokládáme, že známe integrál β α β α f ϕt) ) ϕ t) dt. f ϕt) ) ϕ t) dt počítáme integrál Důkz: je obdobný jko v přípdě první věty o substituci. 1 f) d.
11 Věty o střední hodnotě integrálního počtu Uvedeme ještě dvě věty, které jsou známy jko věty o střední hodnotě integrálního počtu. Vět první vět o střední hodnotě). Necht jsou funkce f) g) integrovtelné n intervlu, b, g) pltí k f) K. Pk pltí nerovnost k g) d f) g) d K g) d. Je-li nvíc funkce f) n intervlu, b spojitá, eistuje c, b) tkové, že f) g) d = fc) Důkz: Protože je g), pltí pro kždé, b nerovnost kg) f) g) Kg) g) d. 15) protože jsou funkce g) f) g) integrovtelné, plyne uvedená nerovnost z 8). Je-li nvíc funkce f) spojitá, zobrzuje intervl, b n intervl k, K, kde k = min f) K = m f). Tedy eistuje c, b) tkové, že pltí 15).,b,b Vět druhá vět o střední hodnotě). Necht je f) spojitá n intervlu, b g) je monotonní funkce, která má n, b spojitou derivci. Pk eistuje c, b) tkové, že f) g) d = gb) c f) d + g) c f) d. 16) Důkz: Z uvedených předpokldů lze druhou větu o střední hodnotě dokázt integrcí per prtes. Necht je F ) primitivní funkce k funkci f). Pk je podle 13) f) g) d = F b)gb) F )g) F )g ) d. Protože je funkce g) monotonní, nemění její derivce n intervlu, b znménko. Proto lze n poslední integrál použít první větu o střední hodnotě 15). Podle ní eistuje c, b) tkové, že f) g) d = F b)gb) F )g) F c) g ) d = = F b)gb) F )g) F c) gb) g) ) = = gb) F b) F c) ) + g) F c) F ) ). Ale protože je F ) primitivní funkce k funkci f), je tento vzth rovnost 16). 11
12 Použití Riemnnov integrálu Riemnnův integrál jsme zvedli tk, by pro nezápornou funkci f), byl jeho hodnot rovn obshu plochy omezené osou, grfem funkce y = f) přímkmi = = b. Postup, kterým jsme zvedli při definici Riemnnov integrálu lze plikovt i při výpočtu obshu jiných obrzců. Je-li npříkld oblst omezen spojitou křivkou r = rϕ), kde = r cos ϕ, y = r sin ϕ, polopřímkmi ϕ = α ϕ = β, lze postupovt tk, že intervl α, β rozdělíme n mlé úseky Φ i, které mjí délku ϕ i spočítáme přibližně obsh těchto mlých výsečí. Ten je S i = 1 2 r2 ϕ i ) ϕ i, kde ϕ i Φ i. Pro obsh celé výseče pk dostneme S i S i = i 1 2 r2 ϕ i ) ϕ i. A přejdeme-li k limitě ϕi, dostneme pro obsh výseče vzth S = 1 2 β α r 2 ϕ) dϕ. Z mnohých dlších použití Riemnnov integrálu ukážeme ještě výpočet délky křivky, která je dán prmetrickými rovnicemi = t), y = yt) z = zt), t b, kde funkce t), yt) zt) mjí n intervlu, b spojité derivce. Intervl, b rozdělíme n mlé dílky T i, které mjí délku t i. Obrz kždého dílku v prostoru oznčíme X i, Y i, Z i ). Podle Pythgorovy věty je délk křivky přibližně rovn s i i ) 2 + y i ) 2 + z i ) 2, kde i je délk intervlu X i, y i je délk intervlu Y i z i je délk intervlu Z i. Ty mjí přibližně velikost i t i ) t i, yi y t i ) t i, zi z t i ) t i, kde t i T i. Jestliže použijeme tuto proimci, dostneme po sečtení zjistíme, že s i t i ) ) 2 + y t i ) ) 2 + zti ) ) 2 ti s i s i = i t i ) ) 2 + y t i ) ) 2 + zti ) ) 2 ti. Když přejdeme k limitě ti, vede tto konstrukce k vyjádření délky křivky pomocí Riemnnov integrálu s = t) ) 2 + y t) ) 2 + zt) ) 2 dt. 12
6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
Více10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Více18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.
I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
VíceII. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)
. NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál
Více17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
VíceMatematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné
Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
VícePřehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
VíceURČITÝ INTEGRÁL FUNKCE
URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
VíceKřivkový integrál funkce
Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd
Víceje daná funkce. Množinu všech primitivních funkcí k f na I nazveme neurčitým f(x)dx nebo f.
MATEMATICKÁ ANALÝZA INTEGRÁLNÍ POČET PŘEDNÁŠEJÍCÍ ALEŠ NEKVINDA. Přednášk Oznčme R = R {, } jko v minulém semestru. V tomto semestru se budeme zbývt opčným úkonem k derivování. Primitivní funkce. Definice.
VíceNewtonův a Riemannův integrál
Kpitol Newtonův Riemnnův integrál Motivem této kpitoly je konstrukce obecného postupu, kterým bychom zjistili obsh obrzce M f {(, y); (, b), y (, f())}, kde f je dná nezáporná funkce, b R. Množin M se
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
VíceMasarykova univerzita
Msrykov univerzit Přírodovědecká fkult Diplomová práce Web k témtu: Integrální počet Bc. Ev Schlesingerová Brno 9 Prohlášení Prohlšuji, že jsem tuto diplomovou práci npsl sm s použitím uvedené litertury.
Více2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme
VíceSpojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu
10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceVěta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak
Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
VíceI Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3
Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3
Více12.1 Primitivní funkce
Integrání počet. Primitivní funkce Již jsme definovli pojem derivce funkce, k funkci f(x) jsme hledli její derivci f (x). Nyní chceme ukázt opčný postup, tzn. k funkci f (x) njít funkci f(x). Přesněji,
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.
Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
VíceIntegrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.
Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
VíceŘešené příklady k MAI III.
Řešené příkldy k MAI III. Jkub Melk 28. říjn 2007 1 Obsh 1 Metrické prostory 2 1.1 Teoretickéotázky.... 2 1.2 Metriky..... 4 1.3 Anlýzmnožin... 4 1.3.1 Uzávěry... 4 1.3.2 Zkoumejtenásledujícímnožiny....
Víceje parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné
1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
VíceDefinice limit I
08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
VíceUr itý integrál. Úvod. Denice ur itého integrálu
V tomto lánku se budeme v novt ur itému integrálu, který dné funkci p i zuje íslo. My²lenk integrování pochází z geometrických poºdvk - zji² ování povrch, objem délek geometrických útvr. To znmená, ºe
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Bylo uvedeno, že rozdíl F (b) F () funkčních hodnot primitivní funkce k
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
VíceI Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5
Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Preklkulus 7. Reálná čísl................................................ 7. Funkce jejich zákldní vlstnosti...................................
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
VíceKapitola 1. Taylorův polynom
Kpitol Tylorův polynom Definice. Budeme psát f = o(g) v R, je-li lim x ( f )(x) =, f = O(g) g v R, je-li ( f ) omezená n nějkém U (). g Příkld. lim x (x + x + 3) 5 (x 5 x 3 + 7x 9) = lim x + o(x ) x x
VíceDefinice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VícePřednáška 9: Limita a spojitost
4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty
Více2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic
..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
Více2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze
8. Určitý integrál 8.1. Newtonův integrál Definice 8.1 Buďte,b R. Řekneme,žeNewtonůvintegrálzfunkce fnintervlu(,b) existuje(znčímejej(n) f(x)dx),jestliže 1.existuje primitivní funkce F k f n intervlu(,
Více2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem
2.8.5 Lineární nerovnice s prmetrem Předpokldy: 2208, 2802 Pedgogická poznámk: Pokud v tom necháte studenty vykoupt (což je, zdá se, jediné rozumné řešení) zere tto látk tk jednu půl vyučovcí hodiny (první
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Více5.5 Elementární funkce
5.5 Elementární funkce Lemm 5.20. Necht x R. Potom existuje kldné C R (závisející n x) tkové, že pro kždé n N h ( 1, 1) pltí (x + h) n x n nhx n 1 h 2 C n. Definice. Exponenciální funkci exp definujme
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
VíceKřivka a její délka. Kapitola 5. 1 Motivace a základní pojmy
Kpitol 5 Křivk její délk 1 Motivce zákldní pojmy Křivk je pojem, který je v mtemtice zkoumán již od ntického strověku. Intuitivně vždy vyjdřovl objekt, který vznikne spojitou deformcí intervlu n reálné
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
VíceA DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).
A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu
VíceUčební text k přednášce Matematická analýza II (MAI055)
Učební text k přednášce Mtemtická nlýz II (MAI055) Mrtin Klzr 20. červn 2007 Přednášk pokrývá v letním semestru následující látku:. Riemnnův integrál. 2. Posloupnosti řdy funkcí, mocninné řdy Fourierovy
VíceLimity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban
Limity, derivce integrály Tomáš Bárt, Rdek Erbn Úvod Definice. Zobrzení(téžfunkce) f M Njemnožinuspořádnýchdvojic(x, y) tková,žekekždému xexistujeprávějedno y,žedvojice(x,y) f.tj.kždývzor xmáprávějedenobrz
VíceVýpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
Vícef dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou
Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání
VíceTechnická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika)
Technická univerzit v Liberci Pedgogická fkult Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky Mtemtik I (Obor: Informtik logistik) Václv Finěk Kpitol Zákldní pojmy Cílem této kpitoly je vysvětlit význm zákldních pojmů
Více( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306
7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu
Více6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }.
6.1. Limit funkce Číslo R nzveme hromdným bodem množiny A R, pokud v kždém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů z množiny A. Body z A, které neptří mezi hromdné body A, se nzývjí izolovné. Alterntivně
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejz Dohnl, CSc. IV. ákldy integrálního počtu 1 Mtemtik I. I. Lineární lgebr II. ákldy mtemtické nlýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Mtemtik I. IV. Integrální
VícePoznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).
v 8--7 Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky, doplnění it, suprem/infim, řezy R \ Q ircionální čísl, π, e, ) C komplení čísl:
Více8. cvičení z Matematiky 2
8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,
VíceObsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
VícePetr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
VíceVětu o spojitosti a jejich užití
0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě
VícePoznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).
Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky úseček, doplnění limit, suprem, infim, des rozvoj:,, Z, n {,, 9} pro n N R \ Q ircionální
VíceIII.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E
Více