Správné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010

Transkript

1 právné řešení písemné koušky mtemtiky- vrint A Přijímcí říení do NMgr. studi učitelských oborů Příkld. Vyšetřete průběh funkce v jejím mimálním definičním oboru nčrtněte její grf y Určete pritu (sudá/lichá), periodická /neperiodická, průsečíky s osmi, obor hodnot, intervly monotónnosti, intervly n kterých je konvení /konkávní, inflení body symptoty. Definiční obor- vyloučíme nulu ve jmenovteli, tj. D ( f) R{ ±} v kždém bodě definičního oboru., funkce je spojitá Funkce není periodická, není sudá, le je lichá, protože f( ) f( ) nám stčí vyšetřit průběh funkce poue v polovině definičního oboru, tj. n [, ) (, ) Etrémy- použijeme derivci funkce. ( ) ( ) ( ). To tké nmená, že. y. Body podeřelé etrému jsou tm, kde y nebo kde neeistuje. Řešením rovnice y dostneme,,. Určením nménk pk dostneme, že funkce je n, klesjící. ( ) (, ) klesjící. n (, ) rostoucí. V bodě je tedy ostré lokální minimum. Konvenost konkávnost určíme druhé derivce. Po úprvě dostneme 6 y. Řešením rovnice ( ) ( ) komplení (neleží v R ). Jelikož. < f dostneme, bylé dv kořeny jsou y ( ) je funkce n (, ) konkávní, y ( ) > tedy n (, ) Asymptoty: Přímk je svislá symptot, symptot pro je y. Grf funkce je je konvení.

2 y Příkld. Řešte soustvu lineárních lgebrických rovnic. Určete dimeni vektorového prostoru řešení lespoň jednu jeho bái. Jedná se o soustvu lineárních lgebrických rovnic homogenních. Elementárními řádkovými trnsformcemi můžeme uprvit n Tedy podprostor řešení má dimeni, volíme prmetr t, pk dostneme t 7t, tedy řešení je lineární obl ( ) T,, 7. Příkld. Vypočtěte obsh rovinného obrce ohrničeného křivkmi y y. Nleneme průsečíky prboly s osou obsh plochy rodělíme n dílčí části. U obshu určíme nménko s ohleme n to, d je příslušná část nd nebo pod osou. ( ) ( ) ( )d d d Po úprvě vypočtení integrálů dostneme 9.

3 Příkld. Rohodněte, d struktur ( Z,, ) bytkových tříd modulo spolu s opercí sčítání násobení modulo tvoří okruh, obor integrity nebo těleso. Zbytkové třídy modulo jsou definovány jko rokld množiny celých čísel podle b mod b. kongruence ( ) Množin Z obshuje bytkové třídy modulo, ončme je Z {,,, }. polu s opercí sčítání modulo tvoří komuttivní grupu, vi. tbulk (uvřenost n operci, komuttivit, neutrální prvek je tříd, invere). Ale poor, s opercí násobení modulo netvoří grupu, neboť npříkld prvek nemá inveri. * Tříd je ároveň tv. dělitelem nuly, protože, le. truktur tvoří poue okruh.

4 Příkld : Vyšetřete průběh funkce f () e ( ). Je D(f) {} f() je spojitá v D(f). ndno se též jistí, že f() není ni sudá ni lichá. e ( ) (je totiž, e e, ( ) ); obdobně e ( ). Dále e ( ), protože e, e ( ), protože e,. f () e. ( ) e e. e. pro. Vhledem k tomu, že e. > pro všechn D(f), rohoduje o nménku f () výr. Především je f (), tj. pro,. V intervlu (, ) je f () >, tj. f () je v (, rostoucí. V intervlu (, ) je f () <, tj. f () je v, ) klesjící. V intervlu (, ) je f () <, tj. f () je v (, klesjící. V intervlu (, ) je f () >, tj. f () je v, ) rostoucí. V bodě nstává lokální mimum s hodnotou f( ) e. V bodě nstává lokální minimum s hodnotou f() e. f () e. ( ) e.. e ( ). pro. e. ( ). ( )

5 Je f () pro o nménku f () rohoduje činitel. V intervlu (, ) je f () <, tj. funkce f() je v (, konkávní. V intervlech (, ) i (, ) je f () >, tkže funkce f () je v, ) (, ) konvení. Bod I [, f ( ) ] je inflením bodem grfu funkce f(). Průsečíkem grfu funkce f() s osou je bod [, ]. Nleněme teď symptoty: pro hledáme přímku o rovnici y k q, čísl k, q njdeme e vthů k f( ), q ( f () k ). e ( ). e.., tj. k. ( e ) ( ). e ( ) e.. e e e ( ) q; při tomto výpočtu jsme převedli neurčitý výr. n, užili jsme substituci nkonec i L' Hospitlovo prvidlo. Je tedy rovnice symptoty grfu funkce f() pro y. Obdobnými úvhmi se le přesvědčit o tom, že stejnou rovnici má symptot i pro. Vypočteme druhou souřdnici infleního bodu: f ( ) 8 grfu v levém okolí bodu vypočteme., protože, e, f () e. e,. K upřesnění ( ),. Jde o itu typu, tj.. Pišme proto e. t e t ( t t )

6 t ( t t ) e t prvidl máme ( t t ) t e t ( t t ) t, což je it typu. Dvojím užitím L' Hospitlov t e t t t e t, tj. e t f (). y Příkld. Řešte soustvu lineárních lgebrických rovnic Zpíšeme mtici soustvy tedy soustv nemá řešení Příkld. y Vypočtěte objem těles, které je vytvořeno rotcí vnitřku elipsy kolem osy. b b Vyjádříme y ( ) b V π Příkld., objem určíme pomocí integrálu: b ( ) dπ πb.

7 Rohodněte, d struktur (,, ) Z 6 bytkových tříd modulo 6 spolu s opercí sčítání násobení modulo 6 tvoří okruh, obor integrity nebo těleso. Zbytkové třídy modulo 6 jsou definovány jko rokld množiny celých čísel podle b mod 6 6 b. kongruence ( ) Množin Z 6 obshuje 6 bytkové třídy modulo 6, ončme je Z 6 {,,,,, }. polu s opercí sčítání modulo 6 tvoří komuttivní grupu, vi. tbulk (uvřenost n operci, komuttivit, neutrální prvek je tříd, invere). Ale poor, s opercí násobení modulo 6 netvoří grupu, neboť npříkld prvek nemá inveri. * Tříd je ároveň tv. dělitelem nuly, protože, le. truktur tvoří poue okruh.