Matematické pozadí důkazu Shannonova-Nyquistova teorému

Transkript

1 Matematické pozadí důkazu Sannonova-Nyquistova teorému Pave Stracota 9. února 205 Poznámka. Pro jednoducost budou všecny pojmy vysvětovány na jednorozměrném případu. Fourierovy řady V obecném Hibertově prostoru H s úpným ortogonáním souborem X x n ) n N ze každý vektor u vyjádřit jako u α k x k kde α k u x k x k..) 2 k0 Číso α k se nazývá k-tý Fourierův koeficient vektoru u v bázi X a daná řada se nazývá Fourierova řada vektoru u. Trigonometrické Fourierovy řady Uvažujme interva a, b) R a označme b a. Jako OG bázi Hibertova prostoru L 2 a, b)) ze voit soubor funkcí ) cos 2πnx ) sin 2πnx. Pode.) je Fourierovou řadou funkce f L n N 0 2 a, b)) řada n N f x) a 0 kde Fourierovy koeficienty mají odnotu a n 2 b n b a b a n a n cos 2πnx + b n sin 2πnx f x) cos 2πnx dx n N 0, f x) sin 2πnx dx n N. Fourierovy řady a Fourierovy koeficienty ze zapsat i v exponenciáním tvaru.2) Fourierova řada v exponenciáním tvaru f x) 2 c n exp 2πinx ),.3) Jde v podstatě o ortogonání bázi H. Patí u H, u 0) n N) u x n 0). Detaiy viz MAA3 nebo VYMA.

2 kde Fourierovy koeficienty c n 2 b a ) 2πinx f x) exp dx.4) Lze se přesvědčit, že oba tvary.2) a.3) jsou skutečně ekvivaentní. Použitím Euerova vzorce dostáváme c n 2 b a f x) cos 2πnx dx + i sin 2πnx ) dx,.5) takže c 0 a 0 a pro n > 0 máme c n a n + ib n a c n a n ib n. Po dosazení pak postupně dostáváme c n exp 2πinx ) a n + ib n ) cos 2πnx dx i sin 2πnx ) 2 2 a a n + ib n ) cos 2πnx dx i sin 2πnx ) + a n ib n ) cos 2πnx dx + i sin 2πnx ) 2 n n a a n cos 2πnx + b n sin 2πnx. Fourierova řada funkce f konverguje na ceém R k tzv. normaizovanému periodickému prodoužení f, pro které patí im 2 t a+ f t) + im t b f t)) x a, f x) 2 Fourierova transformace im 2 t t+ f t) + im t x f t)) x a, b), f x ) x R. Fourierovým obrazem funkce f : R R rozumíme funkci F F [ f ], která spňuje pro každé u R.6) Fourierův obraz F u) f x) e 2πiux dx 2.) srovnej s.3)). Inverzní Fourierovou transformací funkce F rozumíme funkci F [F], která spňuje Fourierův vzor F [F] x) F u) e +2πiux du. 2.2) 2

3 Za určitýc okoností patí ae obecně tomu tak není. F [F] f, Scwartzův prostor S a věta o inverzi Prostorem S nazýváme třídu všec funkcí ϕ : R R, které v ± kesají ryceji než ibovoná mocnina x n n N, a totéž patí pro všecny jejic derivace. Příkadem takové funkce může být např. ϕ x) e x2. Třída S je vektorový prostor, který je navíc uzavřený vůči násobení poynomem a derivaci. Lze ukázat, že pro všecny prvky ϕ S patí rovněž F [ ϕ ] S a je spněna Fourierova inverzní formue Poissonův sumační vzorec pro funkce) F [ F [ f ]] f. 2.3) Uvažujme funkci f S, která je nenuová pouze na intervau a, b) déky b a. Její normaizované periodické prodoužení má potom zřejmě tvar f x) k f x k). 2.4) Pro x R je odnota tooto prodoužení rovna součtu Fourierovy řady funkce f, tj. f x) 2 kde pro Fourierovy koeficienty patí pode.5) a 2.) c n 2 b a ) 2πinx f x) exp dx 2 c n exp 2πinx ), 2.5) 2πinx f x) exp kde F F [ f ]. Srovnáním 2.4) s 2.5) je vidět, že pro každé x R patí f x k) F n ) exp 2πinx ) a konkrétně pro x 0 k k f k) F n ). ) dx 2 F n ). Po formání substituci sčítacíc indexů k n vevo a n n vpravo dostáváme Poissonův sumační vzorec f n) n F ). 2.6) 3

4 3 Konvouce Nect f, g L 2 R). Konvoucí funkcí f, g rozumíme funkci f g definovanou jako Konvouce funkcí f g) x) f t) g x t) dt 3.) Jestiže má funkce g omezený support, ovoříme o ní často jako o konvoučním jádru. Předpokádejme, že Potom ze psát f g) x) f t) g x t) dt supp g a, a). f x z) g z) dt +a f x z) g z) dt x+a f t) g x t) dt. a x a Z posedníc dvou vztaů je vidět, odnota f g) x) je v podstatě váženým průměrem odnot funkce f na okoí bodu x. Konvouční teorém Konvouce a Fourierova transformace spou vemi úzce souvisí. Nect f, g L 2 R). Potom:. Fourierův obraz, resp. vzor konvouce funkcí je součin Fourierovýc obrazů, resp. vzorů funkcí F [ f g ] F [ f ] F [ g ]. 3.2) F [ f g ] F [ f ] F [ g ]. 3.3) 2. Fourierův obraz, resp. vzor součinu funkcí je konvouce Fourierovýc obrazů, resp. vzorů funkcí Např. první tvrzení ze dokázat spoečným přímým výpočtem: F ± [ f g ] u) f t) g x t) dt e±2πiux dx f t) e ±2πiut dt F [ f g ] F [ f ] F [ g ]. 3.4) F [ f g ] F [ f ] F [ g ]. 3.5) f t) e ±2πiut g x t) e ±2πiux t) dx dt g x) e ±2πiux dx F u) G u) F ± [ f ] F ± [ g ] ) u). Drué tvrzení pyne z prvnío za předpokadu, že pro f, g patí Fourierova inverzní formue 2.3). 4

5 4 Distribuce Uvažujme prostor D C R) nekonečněkrát diferencovatenýc funkcí s kompaktním supportem. Duánímu prostoru D všec ineárníc funkcionáů na D říkáme prostor distribucí zobecněnýc funkcí). Apikaci distribuce T D na tzv. testovací funkci ϕ D značíme T ϕ. Řekneme, že distribuce T je reguární, jestiže existuje funkce f L 2 R) tak, že T ϕ f ϕ, kde f ϕ f x) ϕ x) dx je skaární součin na L 2 R). Diracova δ- funkce je ve skutečnosti distribuce s vastností δ ϕ ϕ 0). Nejedná se o reguární distribuci, ae formáně se často píše δ x) ϕ x) dx ϕ 0) a tedy i δ x) dx. Operace s distribucemi Operace s distribucemi ze definovat tak, aby pro reguární distribuce odpovíday operacím s přísušnými funkcemi. Kromě operací na vektorovém prostoru D ze zavést: T + S ϕ T ϕ + S ϕ ϕ D, αt ϕ α T ϕ ϕ D. Operaci posunutí. Jestiže operátor posunutí τ funguje na funkce jako potom pro distribuce jej ze definovat pomocí vztau Je-i T reguární a odpovídá funkci f, tak potom patí τ T ϕ T τ ϕ τ f ) x) f x ), 4.) τ T ϕ T τ ϕ. 4.2) f x) ϕ x + ) dx f x ) ϕ x) dx τ f ϕ, tj. distribuce τ T je rovněž reguární a odpovídá funkci τ f, což bycom očekávai. 2. Násobení distribuce funkcí g ze definovat gt ϕ T gϕ ϕ D. 5

6 3. Derivaci distribuce definujeme ϕ D jako T ϕ T ϕ. Potom totiž pro reguární distribuce definované funkcí f aespoň třídy C R) dostáváme T ϕ T ϕ f x) ϕ x) dx f x) ϕ x) dx f ϕ, tj. distribuce T je rovněž reguární a odpovídá funkci f. Okrajový čen v per-partes vypadne, nebot ϕ má omezený support. Distribuce mají na rozdí od funkcí vždy všecny derivace, což umožňuje vemi efektivně použít teorii distribucí v teorii parciáníc) diferenciáníc rovnic. Temperované distribuce a jejic Fourierova transformace Temperované distribuce jsou ineární funkcionáy definované na Scwartzově prostoru S. Protože evidentně D S, je každá temperovaná distribuce definována ϕ D a je tedy i distribucí. Existují však distribuce, které nejsou temperované. Proto patí S D. Temperované distribuce nemají obecně všecny derivace. Protože pro každou ϕ S patí rovněž F [ ϕ ] S, je možné definovat Fourierovu transformaci temperované distribuce T jako temperovanou distribuci F [T], spňující vzta Fourierova transformace temperované distribuce F [T] ϕ T F [ ϕ ]. 4.3) Je i distribuce T reguární a definovaná funkcí f, potom pro každou ϕ S patí F [T] ϕ T [ ] F ϕ f u) F [ ϕ ] u) du f u) ϕ x) e 2πiux dx du f u) ϕ x) e 2πiux dxdu f u) e 2πiux du ϕ x) dx F [ f ] ϕ, tj. distribuce F [T] je rovněž reguární a je definovaná funkcí F [ f ]. Příkad. Fourierovou transformací δ-distribuce je identita, tj. reguární distribuce definovaná funkcí f x). Patí totiž F [δ] ϕ δ [ ] [ ] F ϕ F ϕ 0) ϕ x) e 2πi 0 x dx Fourierova transformace Diracova řebenu Tzv. Diracův řeben s 6 ϕ x) dx ϕ. τ n δ, 4.4)

7 je součet δ-distribucí rozmístěnýc vede sebe s pravideným krokem. Potom ϕ S s konečným supportem dostáváme z definice F [s] ϕ s F [ ϕ ] τn δ F [ ϕ ] δ τ n F [ ϕ ] Po záměně n n a pode Poissonova sumačnío vzorce 2.6) dáe získáme F [ ϕ ] n) Posední sumu ze přepsat zpět z definice distribuce n ϕ ) ϕ n ) F [ ϕ ] n) δ τ n ϕ Srovnáním evé strany 4.5) s pravou stranou 4.6) docázíme k rovnosti F τ n δ Konvouce temperované distribuce s funkcí n ϕ. ) F [ ϕ ] n). 4.5) τ n δ ϕ. 4.6) τ n δ. 4.7) Konvouci temperované distribuce T s funkcí konvoučním jádrem) g definujeme jako temperovanou distribuci T g, která spňuje ϕ S T g ϕ T ϕ g kde g x) g x). Jestiže je temperovaná distribuce reguární a definovaná funkcí f, potom T g ϕ T ϕ g f ϕ g f x) f x) ϕ g) x) dx ϕ t) g t x) dt dx tj. distribuce f T je rovněž reguární a je definovaná funkcí f g. V daším textu někoikrát využijeme konvouci s posunutou δ-distribucí τ δ) g ϕ τ δ ϕ g δ τ ϕ g) ϕ g) ) tj. patí rovnost distribucí Z definičnío vztau rovněž získáme konvouční teorém pro distribuce f x) g t x) dx ϕ t) dt f g ϕ, ϕ t) g t ) dt τ g ϕ, 4.8) τ δ) g τ g. 4.9) F [ T g ] F [T] F [ g ], 4.0) resp. F [ Tg ] F [T] F [ g ], 4.) 7

8 nebot např. v případě 4.) patí F [ Tg ] ϕ Tg F [ ϕ ] T gf [ ϕ ] F [T] F [ gf [ ϕ ]] F [T] F [ g ] ϕ F [T] F [ g ] ϕ F [T] F [ g ] ϕ. V prvním řádku úprav byy využity definice Fourierovy transformace distribuce 4.3), součinu distribuce s funkcí a opět 4.3) spou s Fourierovou inverzní formuí 2.3) na S. Ve druém řádku by využit konvouční teorém 3.5), vzta F [ g ] u) g x) e 2πiux dx a nakonec opět definice Fourierovy transformace 4.3). g x) e 2πi u)x dx F [ g ] u) F [ g ] u) 5 Sannonův-Nyquistův vzorkovací teorém Sannonův teorém se zabývá kritériem pro dokonaou rekonstrukci spojitéo signáu z jeo vzorků. Nejprve je nutné formaizovat, co rozumíme pod pojmem signá a jeo vzorkování. Mode diskrétnío signáu Uvažujme jednorozměrná data signá) definovaná pomocí funkce f : R R. Tento signá zaznamená digitání zařízení samper) v intervaec s pravideným rozestupem periodou). Vzorkováním signáu tedy rozumíme zúžení funkce f na spočetnou množinu diskrétníc izoovanýc) odnot tj. f H. Lze navíc zavést označení n-téo vzorku H {n n Z}, > 0, f n f n). Sestrojme nyní temperovanou) distribuci f d f s, kde s je Diracův řeben 4.4). Tato distribuce je z ediska informace) ekvivaentní s vzorkováním f H, tj. distribuce f d je určena jednoznačně vzorkováním f H a naopak. Skutečně, pro ibovonou ϕ S patí f d ϕ f τ n δ ϕ τ n δ f ϕ τ n δ f ϕ δ τ n f ϕ) τ n δ τ n f ϕ)) 0) f ϕ) n) f n ϕ n), tj. f H definuje jednoznačně f a naopak, z tvaru f ze získat odnotu ibovonéo k-téo vzorku f k speciání vobou testovací funkce ϕ, napříkad pro x n, ϕ x) 0 jinak. Distribuci f d budeme také říkat diskrétní signá. 8

9 Rekonstrukce signáu - interpoace Rekonstrukcí signáu rozumíme naezení funkce f r : R R definované pouze pomocí vzorků f n, resp. diskrétnío signáu f d. To ze jistě provést mnoa způsoby, ae my se budeme snažit najít takový způsob a takové předpokady, které nám zaručí rovnost f r f, tj. rekonstruovaný signá bude přesně roven původnímu signáu, který by vzorkován. Zvome nejprve ibovoné konvouční jádro g a vypočítejme f d g. Jedná se o distribuci, která pro každé ϕ S spňuje f d g ϕ f τ n δ g ϕ f τ n δ ϕ g f n ϕ g) n) f n ϕ t) g t n) dt f n g t n) ϕ t) dt f n τ n g ϕ. Posední výraz už je skaární součin na L 2 R). Distribuce f d g je tedy reguární a je definována funkcí tj. f r f r x) f n τ n g, f n g x n). Lze si např. rozmyset, že pokud zvoíme x pro x, g x) 0 pro x >, výsedná funkce f r vznikne ineární interpoací vzorků f. Konvouce diskrétnío signáu f d s různými konvoučními jádry tedy představuje různé způsoby interpoace vzorků f. Proto se někdy konvouci říká obecná interpoace. Nyquistova mez S pomocí teorie srnuté výše je snadné odvodit spektrum diskrétnío signáu f d. Pro Fourierův obraz diskrétnío signáu patí pode konvoučnío teorému 4.) F d : F [ f d ] F [ f s ] F [ f ] F [s]. Pro Fourierův obraz Diracova řebenu s jsme již dříve odvodii vzta 4.7), tj. F [s] Po dosazení a při označení F F [ f ] dostáváme díky 4.9) F d F τ n δ. τ n δ Jinými sovy, spektrum diskrétnío signáu vznikne sečtením spekter původnío signáu posunutýc o násobky, tj. o vzorkovací frekvenci. Původní signá f bude možné přesně rekonstruovat právě tedy, když se podaří rekonstruovat jeo spektrum. To však půjde jen tedy, když vzorkovací frekvence bude větší než dvojnásobek maximání frekvence W obsažené ve spektru f obrázky 5. a 5.2). Této odnotě se říká Nyquistova mez. Máme tedy 9 τ n F.

10 F d u) W u Obrázek 5.: Dostatečná vzorkovací frekvence. F d u) W u Obrázek 5.2: Nedostatečná vzorkovací frekvence - docází k překrytí spekter. 0

11 Sannonův Nyquistův vzorkovací teorém 2W. 5.) Ideání interpoant Je zřejmé, jak při dostatečné vzorkovací frekvenci izoovat původní spektrum F ze spektra diskrétnío signáu F d. Stačí vynásobit F d funkcí pro u < G u), 2 0 jinak. To znamená, že F G F d. Provedeme-i inverzní Fourierovu transformaci, získáme díky konvoučnímu teorému 4.0) f F G F d ) F [G] f d. Provádíme tedy konvouci diskrétnío signáu s konvoučním jádrem g F [G]. Jeo tvar umíme vypočítat: přičemž definujeme g x) πx G u) e 2πiux du sin πx i) i 2 2 πx sin πx [ e 2πiux du ) sinc 2πix e2πiux ] 2 2 πx ), 5.2) sinc x sin x x. Jak již byo řečeno, konvouce ibovoné funkce g s diskrétním signáem představuje jistý dru interpoace. S pomocí funkce g definované pomocí 5.2) však interpoací získáme přímo původní signá f. Proto se funkci 5.2) říká ideání interpoant. Reference [] L. Scwartz. Matematics for te Pysica Sciences, Addison-Wesey Frenc origina: Métodes matématiques pour es sciences pysiques, Hermann, Paris, 966). [2] R. Stricartz. A Guide to Distribution Teory and Fourier Transforms. CRC Press, 994. [3] F. G. Friedander, M. Josi. Introduction to te Teory of Distributions, Cambridge University Press, 998. [4] R. N. Bracewe. Te Fourier Transform and its Appications. McGraw Hi, 2000.