Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Transkript

1 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta

2 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné řady Taylorovy řady Fourierovy řady Táto otázka je vyracovaná hlavne odľa skrít rof. Kalendu, takže je možné že niektoré vety (nar. od rof. Pultra) budú mať iné znenie. Hlavne časť o Fourierových funkciách vyzerá byť rednášaná odlišne (menej obecne)... ;-( 3.1 Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence andree (Bodová/stejnoměrná konvergence oslounosti funkcí) Řekneme, že oslounost funkcí f n konverguje bodově k funkci f na množině M (značíme f n f), jestliže ro každé x M latí lim n f n (x) = f(x), tj. jestliže x M ε > 0 n 0 N n N, n n 0 : f n (x) f(x) < ε Řekneme, že oslounost f n konverguje stejnoměrně k funkci f na množině M (značíme f n f), jestliže ε > 0 n 0 N n N, n n 0 x M : f n (x) f(x) < ε Řekneme že oslounost funkcí je stejnoměrně konvergentní na M, jestliže konverguje k nějaké funkci na M. {f n } konverguje lokálně stejnoměrně k funkci f na množině M (značíme f n loc f na M), jestliže ro každé x M existuje ε > 0 takové, že f n f na M (x ε, x + ε). Věta (Kritérium stejnoměrné konvergence) Nechť M je (nerázdná) množina, f funkce definovaná na M a {f n } oslounost funkcí definovaných na M. Pak f n f, rávě když: lim su{ f n(x) f(x) ; x M} = 0, n tj. existuje n 0 N takové, že ro n n 0 je su{ f n (x) f(x) ; x M} definováno (a konečné) a tato oslounost má limitu 0. Věta (Bolzano-Cauchyho odmínka ro stejnoměrnou konvergenci) Nechť M je (nerázdná) množina, {f n } oslounost funkcí definovaných na M. Pak oslounost f n je stejnoměrně konvergentní na M, rávě když: ε > 0 n 0 N m, n N, m n 0, n n 0 x M : f n (x) f m (x) < ε 2

3 Věta (O záměně limit, Moore-Osgoodova) Nechť a, b R, a < b, f je funkce definovaná na (a, b) a {f n } oslounost funkcí definovaných na (a, b). Dále nechť f n f na (a, b) a ro každé n N existuje vlastní lim x a+ f n (x) = c n. Pak existují vlastní limity lim n c n a lim x a+ f(x) a latí: lim c n = lim f(x) n x a+ Analogicky v bodě b zleva... Jiný záis je, že latí: lim lim f n(x) = lim lim f n(x) x a+ x a+ n n a navíc jsou tyto limity vlastní, okud ro každé n N existuje vlastní limita lim x a+ f n (x) a oslounost f n je stejnoměrně konvergentní na (a, b) ro nějaké b > a. Tato věta latí i ro oboustranné limity. Věta (Sojitost limitní funkce) Nechť I R je interval, f funkce definovaná na I a {f n } oslounost funkcí definovaných na I. Jestliže f n je sojitá na I ro každé n N a f n loc f na I, ak f je sojitá na I. Věta (Záměna limity a derivace) Nechť a, b R, a < b a {f n } je oslounost funkcí definovaných na intervalu (a, b), které mají v každém bodě (a, b) vlastní derivaci. Nechť dále latí: 1. Existuje takové x 0 (a, b), že oslounost {f n (x 0 )} je konvergentní 2. Poslounost {f n} je stejnoměrně konvergentní na (a, b) Pak oslounost {f n } je stejnoměrně konvergentní na (a, b), a označíme-li f její limitu, ak funkce f má v každém bodě x (a, b) vlastní derivaci a latí f (x) = lim n f n(x). (Bodová/stejnoměrná konvergence řady funkcí) Řekneme, že řada u n konverguje bodově na množině M, okud oslounost jejich částečných součtů je bodově konvergentní na M, tj, ro každé x M konverguje řada u n(x). Součtem řady u n nazveme funkci S(x) = u n (x) = lim n s n (x), x M, okud řada konverguje bodově na M. Řekneme, že řada u n konverguje stejnoměrně na množině M, okud oslounost jejich částečných součtů je stejnoměrně konvergentní na M. Je-li navíc M R, řekneme, že řada u n konverguje lokálně stejnoměrně na množině M, okud oslounost jejich částečných součtů je lokálně stejnoměrně konvergentní. 3

4 Věta (Nutná odmínka stejnoměrné konvergence řady) Nechť řada u n konverguje stejnoměrně na množině M. Pak u n 0 na M. Věta (Srovnávací kritérium ro stejnoměrnou konvergenci) Nechť M je (nerázdná) množina a {u n }, {v n } dvě oslounosti funkcí definovaných na M, ro které latí u n (x) v n (x) ro všechna x M. Jestliže řada v n konverguje stejnoměrně na M, ak i řada u n konverguje stejnoměrně na M. Věta (Weierstrassovo kritérium) Nechť M je (nerázdná) množina, {u n } oslounost funkcí definovaných na M a c n konvergentní řada reálných čísel. Pokud ro každé x M latí u n (x) c n, ak řada u n konverguje stejnoměrně na M. Věta (Leibnizovo kritérium ro stejnoměrnou konvergenci) Nechť M je (nerázdná) množina, {u n } oslounost funkcí definovaných na M slňujících obě odmínky: 1. Pro všechna x M a n N je u n (x) u n+1 (x) 0 2. u n 0 na M Pak řada ( 1)n u n konverguje stejnoměrně na M. Věta (Dirichletovo a Abelovo kritérium) Nechť M je (nerázdná) množina a {u n }, {v n } dvě oslounosti funkcí definovaných na M, řičemž ro každé x M a každé n N latí v n (x) v n+1 (x) 0. Nechť navíc latí alesoň jedna z odmínek: 1. (Abelovo) Řada u n konverguje stejnoměrně na M, ro každé evné x je oslounost hodnot funkcí {v n (x)} monotónní (klidně ro každé x jinak) a existuje K R takové, že n N x M : v n (x) < K (tj. {v n } je stejnoměrně omezená na M). 2. (Dirichletovo) Existuje K R takové, že ro všechna x M a n N je u 1 (x) + + u n (x) K (tj. oslounost část. součtů { n i=1 u n(x)} je stejnoměrně omezená na M) a dále v n 0 na M (konverguje stejnoměrně k nulové funkci). Pak řada u n v n konverguje stejnoměrně na M. (Pozn. autora: Dále latí i věty ekvivalentní větám o záměně limit ři oslounostech... ) 3.2 Mocninné řady Nechť a R a {c n } je oslounost reálných čísel. Nekonečnou řadu funkcí tvaru c n(x a) n nazýváme mocninnou řadou o středu a. 4

5 c n(x a) n je mocninná řada o středu a. Jejím oloměrem konvergence rozumíme číslo R = su{r 0, + ) ; c n r n konverguje}, je-li uvedená množina shora omezená. Není-li shora omezená, klademe R = +. Věta c n(x a) n je mocninná řada o středu a a R její oloměr konvergence. 1. Je-li x a < R, ak řada c n(x a) n konverguje absolutně; Je-li x a > R, ak řada c n(x a) n diverguje. 2. Je-li r (0, R), ak řada c n(x a) n konverguje stejnoměrně na množině B(a, r) = {x R; x a r} = a r, a + r. 3. Řada c n(x a) n konverguje lokálně stejnoměrně na množině B(a, R) = {x R; x a < R}. Body 2. a 3. jsou vlastně ekvivalentní. Je-li R =, ak řada konverguje lokálně stejnoměrně na celém R. Množině B(a, R), kde R je oloměr konvergence mocninné řady c n(x a) n, se říká kruh konvergence. Věta (Výočet oloměru konvergence) c n(x a) n je mocninná řada o středu a a R její oloměr konvergence. 1. Jestliže L = lim su n n c n, ak { 1 R =, L > 0, L +, L = 0 c 2. Týž vzoreček latí, je-li L = lim su n+1 n c n První bod lyne z Cauchyova odmocninového kritéria konvergence řady, druhý z D Alembertova odílového kritéria. Stejné tvrzení latí i ro limity daných výrazů v říadě, že existují. Věta (... jen omocná ro následující) c n(x a) n je mocninná řada o středu a a R její oloměr konvergence. Pak i mocninné řady n.c n(x a) n 1 a c n (x n+1 a)n+1 mají oloměr konvergence R. Věta (Derivace a integrace mocninné řady) c n(x a) n je mocninná řada o středu a a R > 0 její oloměr konvergence. Definujme funkci f(x) = c n(x a) n, x B(a, R). Pak latí: 1. Funkce f je sojitá na B(a, R). 2. Funkce f má v každém bodě x B(a, R) vlastní derivaci a latí f (x) = n c n(x a) n Funkce F (x) = c n (x n+1 a)n+1 je rimitivní funkcí k f na B(a, R). 5

6 3.3 Taylorovy řady Nechť funkce f má v bodě a derivace všech řádů. Pak řadu f (n) (a) (x a) n n! nazýváme Taylorovou řadou funkce f o středu a v bodě x. Nechť funkce f má v bodě a derivace všech řádů a x R. Pak funkce f je v bodě x součtem své Taylorovy řady o středu a, rávě když lim n (f(x) T a n(x)) = 0. Věta Nechť x > a a funkce f má v každém bodě intervalu a, x derivace všech řádů. Jestliže latí odmínka existuje C R takové, že ro každé t (a, x) a každé n N je f (n) (t) C, ak funkce f je v bodě x součtem své Taylorovy řady o středu a. Analogicky ro říad x < a. Věta c n(x a) n je mocninná řada o středu a a R > 0 její oloměr konvergence. Definujme funkci f(x) = c n(x a) n, x B(a, R). Pak řada c n (x a) n je Taylorovou řadou funkce f o středu a, tj. ro každé n N {0} latí c n = f (n) (a) n!. Význam Taylorových řad: aroximace funkcí říklady (Taylorovy řady elementárních funkcí): x R : ex x = k=0 1 k! xk x R : sin x = k=0 ( 1) k 1 (2k 1)! x2k 1... zjednodušení důkazů říklad (Důkaz binomické věty): Rozvineme funkci f(x) = (1 + x) α v okolí nuly. Indukcí lze ověřit, že f (k) (x) = α(α 1) (α k + 1) (1 + x) α k. Taylorova řada funkce f(x) = (1 + x) α konverguje na ( 1, 1) a je rovna hodnotě (1 + x) α : (1 + x) α = k=0 a to dává binomickou větu. α(α 1) (α k + 1) x k = k! k=0 ( ) α x k k 6

7 3.4 Fourierovy řady Obecné Fourierovy řady Nechť {ϕ n } je oslounost komlexních funkcí na a, b, z nichž žádná není konstantně nulová. Řekneme, že tato oslounost tvoří ortogonální (krátce OG) systém na a, b, jestliže ro každá dvě různá m, n N latí: Pokud navíc a a ϕ m ϕ n = 0 ϕ n 2 = 1 ro všechna n N, říkáme, že jde o ortonormální systém. Příklady OG systémů: Systém tvořený funkcemi ex 2kπix, k Z je OG na intervalu a, a + ro každé a R Systém tvořený funkcemi 1, cos 2kπx, sin 2kπx, k N je OG na intervalu a, a + ro každé a R Věta Nechť {ϕ n } je oslounost komlexních funkcí na a, b, {a n } je oslounost komlexních čísel. Jestliže f(x) = a n ϕ n (x), x a, b, a uvedená řada konverguje stejnoměrně na a, b, ak ro každé n N latí a n = fϕ a n ϕ a n. 2 (o částech sojitá funkce) Řekneme, že funkce f je o částech sojitá na a, b, jestliže existuje D = {x i } N j=0 dělení intervalu a, b takové, že ro každé j {1,..., N} je funkce f sojitá na intervalu (x j 1, x j ) a v krajních bodech tohoto intervalu má vlastní jednostranné limity. 7

8 Nechť {ϕ n } je OG systém na a, b a funkce f je o částech sojitá na a, b. Pro n N oložme a a n = fϕ n ϕ a n. 2 Tato čísla nazýváme Fourierovými koeficienty funkce f vzhledem k OG systému {ϕ n } na a, b a řadu a n ϕ n nazýváme Fourierovou řadou f vzhledem k OG systému {ϕ n } na a, b Trigonometriké Fourierovy řady (o částech sojitá eriodická funkce) Buď funkce f eriodická s eriodou > 0. Řekneme, že je o částech sojitá, je-li o částech sojitá na intervalu 0,. Nechť f je -eriodická funkce a a, b R. 1. Pak f je očástech sojitá na a, a +, rávě když je o částech sojitá na b, b a+ a f = + f, okud alesoň jeden z těchto integrálů existuje. b Nechť funkce f je -eriodická o částech sojitá funkce. Jejími trigonometrickými Fourierovými koeficienty rozumíme čísla a n = 2 0 b n = 2 f(x) cos 2πnx dx, n N {0} 0 f(x) sin 2πnx dx, n N Trigonometrickou Fourierovou řadou funkce f ak rozumíme řadu a ( a n cos 2πnx + b n sin 2πnx ) 8

9 (Besselova nerovnost) Besselova nerovnost ro trigonometrické Fourierovy řady má tvar a ( a n 2 + b n 2 ) 2 f 2. Podobná nerovnost latí i ro obecné Fourierovy řady. (Riemann-Lebesgue) důsledkem této nerovnosti je fakt, že lim a n = lim b n = 0. Věta (Persevalova rovnost) Pro trigonometrické Fourierovy řady latí v Besselově nerovnosti rovnost. Pro funkce s eriodou 2π otom latí: 1 π f 2 = a π π 2 ( a n 2 + b n 2 ) (jedna z variant záisu) 0 Nechť f je -eriodická o částech sojitá funkce taková, že všechny její trigonometrické Fourierovy koeficienty jsou nulové. Pak f(x) = 0 ro všechna x 0, s výjimkou konečně mnoha bodů. Věta (Symetrie funkce a Trigonometrické Fourierovy koeficienty) Nechť f je -eriodická o částech sojitá funkce, a n, n N {0} a b n, n N, její trigonometrické Fourierovy koeficienty. Pak latí 1. Pro všechna n N {0} je a n = 0, rávě když f( x) = f(x) ro všechna x 0, s výjimkou konečně mnoha bodů. 2. Pro všechna n N je b n = 0, rávě když f( x) = f(x) ro všechna x 0, s výjimkou konečně mnoha bodů. Nechť f je -eriodická o částech sojitá funkce. Řekneme, že f je o částech hladká, jestliže f je o částech sojitá. Věta (O konvergenci Fourierových řad) Nechť f je o částech hladká -eriodická funkce. Pak latí: 1. Trigonometrická Fourierova řada funkce f konverguje bodově na R a její součet v bodě x R je 1 2 (lim t x f(t) + lim t x+ f(t)) 2. Je-li f navíc sojitá na intervalu (a, b), ak její trigonometrická Fourierova řada konverguje lokálně stejnoměrně na (a, b) a její součet je f(x) ro každé x (a, b). 3. Je-li navíc sojitá na R, ak její trigonometrická Fourierova řada konverguje stejnoměrně na R a její součet je f(x) ro každé x R. 9