Diferenciální geometrie křivek

Transkript

1 Diferenciání geometrie křivek Poární souřadnice Kartézské souřadnice Poární souřadnice. y y M r M f x x rcosf y r sin f, r r x x y y f arctan x 1

2 Spiráy Archimedova spiráa r af r ae Logaritmická spiráa bf 3 Způsoby zadání rovinné křivky Parametrické rovnice Impicitní rovnice Expicitní rovnice, X t x t y t x y F x, y, např , např. ( 3) y f x y x e x extremy1.ggb Příkad: 1 3, X t t t x 3y y x 3 3 4

3 z Popis pohybu hmotného bodu x r(t) y(t) z(t) x(t) y Parametrické rovnice dráhy pohybu: V časovém okamžiku t je hmotný bod v místě popsaném poohovým vektorem r(t) = [x(t), y(t), z(t)] Průvodič bodu je vektorovou funkcí času. Průměrná rychost je rovna dráze (déce dráhy) vykonané za jednotku času. s v ; t t t1; s s( t ) s( t1 ) t Průměrná rychost hodnotí rychost hmotného bodu na ceém úseku dráhy s, ae nevypovídá o okáním pohybovém stavu v jednotivých okamžicích. Okamžitá rychost Rychost v daném čase. V určitém časovém okamžiku je hmotný bod také na určitém místě dráhy, tj. v nějakém jejím bodě. s s( t t) s( t) ds v im im tt t t dt Okamžitá rychost je definována jako podí diferenciáních částí (diferenciáů) dráhy a času. Příkad: Voný pád 1 s gt ds v gt dt Težké objekty padají rycheji než ehké. Rychost pádu je přímo úměrná tíze. Aristotéēs (384 3) 6 3

4 Okamžitá rychost pomocí poohového vektoru Diferenciá průvodiče: d r im r t d r r ( t dt) r ( t) d r ds Vektor rychosti má směr tečny: ds v v dt d r r v im dt t t d r d r ds d d v t vx t, vy t xt, y t dt dt Okamžité zrychení pomocí vektoru rychosti Diferenciá rychosti: d v im v t d v v( t dt) v( t) Vektor rychosti nemusí mít směr normáy: d v v a im dt t t t t vt v d at im vt t t dt d d at ax t, ay t vx t, vy t dt dt 4

5 Rozkad vektoru zrychení do tečného a normáového směru Dostředivé (normáové) zrychení je způsobené změnou směru rychosti: v r Podobnost trojúheníků kde r je pooměr křivosti, v r v v r v an pro t t r t r Tečné zrychení je způsobené změnou veikosti rychosti: a t d v dt t Rovnoměrný pohyb po kružnici s r.cos ( t), r.sin ( t) Okamžitá obvodová rychost Okamžitá úhová rychost ds d d d v r sin ( t); r cos ( t) ; v r dt dt dt dt d v dt r v v () t dt t r r 5

6 Mechanický harmonický osciátor periodicky se přeměňuje potenciání a kinetická energie. Matematické kyvado g ( t) ( t) za předpokadu sin ( t) ( t) g ( t) cos t X t t t sin ( ); cos ( ) Osciator.ggb Perioda T g 11 Křivka třídy C n Množinu ke 3 nazýváme křivkou třídy C n jestiže souřadnice bodů křivky ze vyjádřit zobrazením IR 3, t X(t) s vastnostmi X(t) je spojitá na intervau I X(t) je prostá X(t) má na intervau I spojité derivace do n-tého řádu Vektor derivace X (t) není nuový. Rovinná křivka Prostorová křivka ; ; ; X t x t y t X t x t y t z t 1 6

7 Cykoida Parametrizace prosté cykoidy úhem otočení X ( t) rt r sin t; r r cos t y(t) x(t) Cykoida.ggb 13 Transformace parametru Nechť je funkcí X(t) dána křivka k třídy C n, ti. Na intervau J nechť je definována funkce t = f(u) s násedujícími vastnostmi 1. f(u) je prostá na J. f(u) zobrazuje J na I 3. f(u) má spojité derivace až do n-tého řádu, pak vektorová funkce Y(u)=X(f(u)) vyjadřuje tutéž křivku jako funkce X(t). 14 7

8 15 Tečna křivky Tečna křivky X(t) v reguárním bodě X(t ): X t h X t im h h X t X(t +h) X (t ) t X(t ) X(t) T( r) X t r X t, r R X(t ) X(t) Př: Tečna grafu funkce y=f(x)v bodě f(x ): y f ( x) X ( t) [ t, f ( t)] X ( t ) t, f ( t ) X ( t) [1, f ( t)] X ( t ) 1, f ( t ) x t r y f ( t ) r f ( t ) 16 8

9 Tečna křivky Tečna křivky X(t) v reguárním bodě X(t ): T( r) X t r X t, r R Pojem tečny je nezávisý na parametrizaci. K( t) [cos( t),sin( t)]; dk [ sin( t),cos( t)], dt směrový vektor tečny v bodě K(): dk ( t ) [,1] dt L( u) [cos( u),sin( u)]; dl [ sin( u),cos( u)], du směrový vektor tečny v bodě L(): dl ( u ) [,] du 17 Šroubovice 18 9

10 Šroubovice Šroubový pohyb vzniká sožením rotace koem osy o a posunutí ve směru osy o. Šroubovice je dána pooměrem r, parametrem v a osou šroubového pohybu o = z. X ( ) r cos ; r sin ; v 19 Tečna šroubovice Šroubovice: tečný vektor: půdorys tečného vektoru: X r cos, r sin, v t r sin, r cos, v t r sin, r cos, 1 Spád šroubovice: tan v t 1 v r Šroubovice je křivka konstantního spádu 1

11 Frenetův doprovodný trojhran Tečná rovina křivky každá rovina, která obsahuje tečnu křivky Normáová rovina křivky rovina komá na tečnu křivky Oskuační rovina křivky tečná rovina, určená vektory první a druhé derivace. X t r X t s X t ; r, s R Normáa křivky každá přímka, která je komá na tečnu křivky a prochází daným bodem. Havní normáa průsečnice oskuační a normáové roviny. k b T t n Frenetův doprovodný trojhran je tvořen jednotkovými směrovými vektory přímek t, n, b t tečna n havní normáa b binormáa = (t,n) oskuační rovina = (b,n) normáová rovina 1 Frenetův doprovodný trojhran šroubovice tečna havní normáa binormáa 11

12 Výpočet Frenetova trojhranu X Jednotkový vektor tečny t X Jednotkový vektor binormáy X X b X X Jednotkový vektor havní normáy n t b k b T n t X V infexním bodě není určen Frenetův doprovodný trojhran. 3 Infexní bod Bod X(t ) křivky X(t) se nazývá infexní bod křivky, jestiže jsou vektory první a druhé derivace ineárně závisé. X t X t V infexním bodě není určena oskuační rovina prostorové křivky. 4 1

13 Ekvidistanta křivky k Definice konstrukcí: V reguární bodě rovinné křivky k sestrojíme normáu n a na ni naneseme úsečku, jejíž veikost je rovna distanci d. Ek( t) X ( t) d n( t) n( t) Ekvidistanta křivky k je obáka systému kružnic se středem na křivce k a s pooměrem rovným distanci r=d 5 Déka obouku křivky X(t) mezi body X(a) a X(b) X(t 1 ) X(t ) X(t 3 ) X(t) X(t ) b=x(t n ) Déka omené čáry n1 X t X t i i1 i b a b X t dt X t X t dt a 6 13

14 Déka obouku křivky t t Parametrizace dékou obouku Funkci t X u du nazýváme oboukem křivky. Říkáme, že křivka je parametrizovaná oboukem, když její parametr měří déku křivky. X(t)=X(t()), kde t = t() je funkce inverzní k obouku křivky (t). 4 X() X(3) x t t y, t R X(1) parametrizace_oboukem.ggb 14

15 Oskuační kružnice oskuačni_paraboa.ggb 9 Oskuační kružnice eipsy 3 15

16 Křivost křivky Křivost křivky je mírou vychýení křivky od tečny. k X s im s s 31 Geometrický význam křivosti Bod křivky je infexní právě tehdy, je-i v něm první křivost nuová. Je-i bod V vrcho křivky, pak v něm má funkce první křivosti extrém. Difgeo4_krivost.ggb 3 16

17 Křivka parametrizovaná dékou obouku Křivka X() je parametrizovaná oboukem právě tehdy, když je v každém bodě vektor X () jednotkový. Je-i křivka parametrizovaná oboukem, pak je vektor X() směrový vektor havní normáy. Veikost vektoru X() je křivost k křivky. Jestiže je křivka X() parametrizovaná oboukem, pak pro jednotkové vektory Frenetova doprovodného trojhranu patí: t X X n X b nt k X b k T t n 33 Výpočet křivosti křivky 1. Je-i křivka X() parametrizovaná oboukem k X. Je-i křivka X(t) dána obecným parametrem 3. Je-i křivka dána jako graf funkce y = f(x) k k X X X X y 3 1 y 3 y x x Př: Vypočítejte funkci křivosti paraboy y = x kx 1 4x 3 y x y x y 1 4x 3 k 34 17

18 Evouta křivky Obáka normá dané křivky Množina středů oskuačních kružnic Evouta je množina singuárních bodů ekvidistantních křivek n () E( ) X ( ) k () X() E( ) X ( ) X() 35 Oskuační kružnice křivky V bodě T=X(t ) sestrojme havní normáu křivky. Na havní normáe sestrojme bod S, ST =1/k. Kružnici se středem S a pooměrem r =1/k ežící v oskuační rovině křivky nazýváme oskuační kružnice křivky v bodě T. Oskuační kružnice a daná křivka mají v bodě T stejnou tečnu a křivost. Př: Určete oskuační kružnici paraboy py = x ve vrchou V[,]. r =1/k pooměr křivosti S střed křivosti x y p x y p 1 y p 1 k x p 1 p 1 k() p r() p, S, p

19 Parametrizace šroubovice dékou křivky xrcos y rsin z v ; R t r sin, r cos, v t r v r v t d r v d r v xrcos y rsin r r z v ; s R r v v v 37 Křivost a havní normáa šroubovice v X ( ) r cos ; r sin ; r v r v r v r r v X( ) sin ; cos ; r v r v r v r v r v r r X( ) cos ; sin ; r v r v r v r v r k X () r v Šroubovice je křivka konstantní křivosti. t X ( ); t 1 X () n cos ; sin ; k r v r v 38 19

20 Dotyk křivek O dvou křivkách řekneme, že mají v bodě P dotyk n-tého řádu (n+1 bodový), jestiže parametrizace oboukem X(), Y(s) existují hodnoty parametru s,, pro které patí: Dotyk nutého řádu X Y s P dx d d X d s n d X d s n dy ds d Y ds n d Y s ds n1 n1 d X d Y d s ds n1 n1 n Dotyk 1.řádu Dotyk. řádu n O t k k 39 Dotyk rovinných křivek zadaných expicitně Jsou-i křivky v rovině dány funkcemi y = f(x), y = g(x) a patí-i f x g x f x g x f x g x n n f x g x n1 n1 f x g x pak tyto křivky mají v bodě x dotyk n-tého řádu. Křivka y = f(x) a její Tayorův poynom n-tého stupně mají v bodě x dotyk aespoň n-tého řádu. n f x f x f x T x f x x x x x x x 1!! n! n 4

21 Tayorův rozvoj funkce y=sin(x) 41 Tayorův rozvoj kružnice tayor_k := k := [ cos( t ), sin( t )] 1 1 t 1 4 t4 1, 7 t6 1 t 6 t3 1 1 t t7 4 1

22 Přechodnice křivky, používané v siniční i žeezniční dopravě pro napojení přímého úseku a kružnicového obouku. a n a n Spojitý průběh křivosti. s s Kubická paraboa užívaa se v ČR v žeezniční dopravě. Bernouiova emniskáta používaa se pro zatáčku menších pooměrů, na žeeznicích, vodních cestách i tramvajových koejích. ( x y ) a ( x y ) 43 Kotoida Křivost je přímo úměrná déce obouku k() = a. cos,sin sin, cos X X a k X a x y at cos dt at sin dt 44

23 Kotoida a kubická paraboa Sestrojíme v bodě X() = [,] Tayorův rozvoj kotoidy stupně 3. n X t X t X t T t X t t t t t t t 1!! n! n at at X dt dt X cos ; sin, a a X X cos ; sin 1, a a X a a X sin ; cos, a a a a X a a a a X a sin cos ; cos sin ;,, a [1,] [,] T t [, ] t t t 1!! 3! 3 3 at T t t, 3! 45 Vzestupnice Ke snížení účinků odstředivé síy se v koeji obouku zřizuje převýšení koeje. Zvyšuje se vnější koejnicový pás v obouku. Vzestupnice pynuý přechod z úseků bez převýšení do úseků s převýšením ineárni 1:1.v na déku přechodnice kubická pro Boosovu přechodnici 11,8 v p () r 46 3

24 Bossova přechodnice Déka přechodnice je stejná jako déka vzestupnice L. Křivost zatáčky k(l) je převrácená hodnota pooměru zatáčky r. Křivost k() je kubickou funkcí déky obouku. Křivost je přímo úměrná hodnotě převýšení p() vzestupnice. Cekové převýšení vzestupnice - p n 3 p( ) a b c d p() d p() c p( L) p p p a, b 3 p( L) L L n n n 3 p( ) p n 3 L v L v 3 47 Bossova přechodnice 3 p( ) pn 3 L L Převýšení je přímo úměrné křivosti 1 p( ) konst k( ) konst 3 r () r r L L pn konst k( L) konst r Bossova přechodnice X() bude parametrizovaná oboukem,tj. X 1 X cos,sin X sin, cos Kde () je orientovaný úhe, který svírá tečna Bossovy přechodnice s rovným úsekem. 48 4

25 Bossova přechodnice Parametrické rovnice - přechodnice je parametrizovaná dékou t t t t X cos dt, sin dt 3 3 r L r L r L r L Pro odchyku tečny v bodě napojení na zatáčku (L) patí L r L r L L r 49 Zákadní vytyčovací parametry x 14r L 16r L 7r L 31r L 168r L 4r L 768r L 658r L y rL 1rL 6r L 44r L 96r L 64r L Pro koncový bod přechodnice =L. 3 3 L L X L L 14r 16r L L YL 4r 1r Souřadnice středu kružnicového obouku S X L r sin L, Y L r cos L Odchyka tečny přechodnice od přímého úseku L r L r L L r 5 5