ÚVOD DO TEORIE HER MGR. LENKA PLOHÁKOVÁ RNDR. DAVID BARTL, PH.D.

Transkript

1 ÚVOD DO TEORIE HER MGR. LENKA PLOHÁKOVÁ RNDR. DAVID BARTL, PH.D. ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ.1.07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: OP VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST ČÍSLO OBLASTI PODPORY: ZVYŠOVÁNÍ ODBORNÝCH KOMPETENCÍ AKADEMICKÝCH PRACOVNÍKŮ OSTRAVSKÉ UNIVERZITY V OSTRAVĚ A SLEZSKÉ UNIVERZITY V OPAVĚ REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/2.2.00/ OSTRAVA 2013

2 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Recenzent: Ing. Eva Moravcová, CSc. Název: Úvod do teorie her Autor: Mgr. Lenka Ploháková, RNDr. David Bartl, Ph.D. Vydání: první, 2013 Počet stran: 78 Studijní materiály pro distanční kurz: Úvod do teorie her Jazyková korektura nebyla provedena, za jazykovou stránku odpovídá autor. Mgr. Lenka Ploháková, RNDr. David Bartl, Ph.D. Ostravská univerzita v Ostravě

3 Mgr. Lenka Ploháková RNDr. David Bartl, Ph.D. 2013

4 Obsah Obsah Předmluva 3 1 Úvod 6 2 Maticové hry Příklady maticových her Smíšené rozšíření maticových her Symetrické hry Dominování v maticových hrách Vztah maticových her a úloh lineárního programování Dvojmaticové hry a obecné hry n hráčů ve strategickém tvaru Další příklady dvojmaticových her Smíšené rozšíření dvojmaticové hry Kompaktní metrické prostory Heineho-Borelova pokrývací věta Spernerovo lemma Brouwerova věta o pevném bodě Věta Nikaidô-Isody Kooperativní hry Kooperativní hry s přenosnou výhrou ve tvaru koaliční funkce Kooperativní hry ve tvaru funkce koaliční struktury Koncepty řešení kooperativních her s přenosnou výhrou Jádro Vyjednávací množina Kernel Nukleolus

5 Obsah Shapleyova hodnota Von Neumannovo-Morgensternovo řešení Příloha: Vysvětlivky k používaným symbolům 78 3

6 Předmluva Předmluva Předkládaný text Úvod do teorie her je určen především jako podpůrný stu dijní materiál k předmětu Teorie her (KMA/TEHER), který probíhá preze nční formou a je zařazen ve studijním plánu zaměření Optimalizace a operační výzkum oboru Aplikovaná matematika navazujícího magisterského studia na Přírodovědecké fakultě Ostravské univerzity v Ostravě. Uvedený předmět je zařazen rovněž ve studijních plánech některých dalších oborů (Aplikace matematiky v ekonomii) navazujícího magisterského studia na PřF OU. Sepsání tohoto studijního textu bylo vyžádáno potřebou nějaký studijní mate riál k předmětu Teorie her vytvořit. Text by měl posloužit také těm studen tům, kteří z nějakého důvodu nemohou přednášky z Teorie her pravidelně navštěvovat. Pokud jde o obsah tohoto studijního materiálu, ten je ovlivněn nyní (jaro/léto 2013) probíhající změnou pojetí uvedeného předmětu. Zatímco ještě donedávna platilo, že studenti Aplikované matematiky a dalších oborů se s teorií her poprvé setkávali až v navazujícím magisterském studiu (a tudíž předmět Teorie her musel být pojat více elementárně: musel být podán vše obecný úvod a zařazena základní teorie maticových her; v dalších oblastech již nebylo lze jít do větších hloubek), nyní už tomu tak není. V současné době se studenti všech matematických oborů PřF OU seznámí se základy maticových her již v povinném předmětu Úvod do lineárního programování a teorie her (KMA/ULPTH) bakalářského stupně studia. Předkládaný studijní text tedy vzniká v přechodném období. Protože změna bakalářského studia se v navazujícím studiu projeví až po nějaké době (něk teří současní studenti navazujícího magisterského studia předmět Úvod do lineárního programování a teorie her nemuseli absolvovat), je stále zařazena úvodní část týkající se teorie maticových her, které by v budoucnu měly z před mětu Teorie her vymizet. Naopak již jsou zařazeny některé pokročilejší části, například klasická věta Nikaidô-Isody o existenci bodu Nashovy rovnováhy nebo hlubší vztahy mezi koncepty řešení kooperativních her s přenosnou vý hrou. Zmíněné části teorie her pokud je autorům tohoto předkládaného textu 4

7 Předmluva známo nejsou v české (popř. slovenské) literatuře příliš zpracovány. Rovněž je nutné poznamenat, že teorie her je již neuvěřitelně rozsáhlou oblastí, kterou v žádném případě nebude možné pokrýt během jednoho (ani několika) jed nosemestrálního kursu. Obsah předmětu Teorie her je tedy do značné míry ovlivněn volbou přednášejícího. Zájemce o další oblasti teorie her nezbývá než odkázat na samostatné studium další literatury (které je nepřeberné množství). Doporučit lze například monografii Owen, G. Game Theory. 3rd edition. Academic Press, ISBN Širší přehled lze získat z kolektivních prací Aumann, R. J., Hart, S. (Eds.) Handbook of Game Theory with Economic Applications: Volume 1. Amsterdam: North Holland, ISBN Aumann, R. J., Hart, S. (Eds.) Handbook of Game Theory with Economic Applications: Volume 2. Amsterdam: Elsevier, ISBN Aumann, R. J., Hart, S. (Eds.) Handbook of Game Theory with Economic Applications: Volume 3. Amsterdam: North Holland, ISBN Další znalosti lze čerpat z odborných časopisů, například Games and Economic Behavior, Journal of Economic Theory nebo International Journal of Game Theory. Jak vyplývá, právě předkládaný studijní text Úvod do teorie her je spíše jeho první verzí, která se dozajista bude vyvíjet spolu s vývojem obsahu předmětu Teorie her (KMA/TEHER). Autoři proto uvítají Vaše upozornění na chyby v textu i jakékoliv další podněty a připomínky. 5

8 1 Úvod 1 Úvod Klíčová slova Teorie her, konfliktní situace, rozhodovací situace, hra, dělení her, hra ve stra tegickém tvaru, množina hráčů, prostor strategií, výplatní funkce, Nashova rovnováha. V této části zavedeme základní pojmy potřebné ke studiu. Teorie her se zabývá studiem modelů konfliktních nebo rozhodovacích situací. Model je popis situace matematickými prostředky (pomocí pojmu množiny, funkce, čísla atd.). Konfliktní situace nastává mezi dvěma nebo více účastníky ve chvíli, kdy jsou zájmy těchto účastníků protichůdné. Rozhodovací situace pak zobecňuje konfliktní situaci v tom smyslu, že zájmy účastníků nemusí být (nutně) protichůdné. Účelem je nalézt nejlepší rozhod nutí. Rozhodovací situaci nazýváme hrou a účastníky rozhodovací situace nazýváme hráči. Hry můžeme dělit podle různých kritérií. Pro základní představu, čím se te orie her zabývá, zde uvedeme některá základní dělení vycházející z knihy [Maňas ]. Dělení podle dějiště: 1. hry salónní šachy, dáma, karetní hry apod., 2. hry venkovní fotbal, hokej, tenis apod. 6

9 1 Úvod Toto dělení má důležité opodstatnění při studiu analogií s reálnými konflikty. Hry salónní jsou k tomuto účelu vhodné, hry venkovní již méně. Vychází to z faktu, že u her salónních můžeme dobře rozlišit jednotlivé fáze hry (při hře v šachy například jednotlivé tahy). Dělení podle počtu hráčů ve hře: 1. hry s jedním hráčem, 2. hry se dvěma hráči, 3. hry n hráčů (kde n je přirozené číslo), 4. hry s nekonečně mnoha hráči. Dělení podle spolupráce: 1. hry nekooperativní (hráči nespolupracují), 2. hry kooperativní (hráči spolupracují) (a) s přenosnou výhrou, (b) s nepřenosnou výhrou. Dělení podle počtu strategií (pouze u nekooperativních her): 1. hry konečné každý hráč má na výběr pouze z konečně mnoha možností, 2. hry nekonečné ostatní hry. Dělení podle informovanosti hráčů: 1. hry s úplnou informací všichni hráči mají úplný přehled o herní situaci (například hra v šachy, dáma), 2. hry s neúplnou informací některá informace je skryta (například karetní hry). 7

10 1 Úvod V těchto skriptech se budeme zabývat hrami se dvěma nebo více (konečně mnoha) hráči, nekooperativními hrami, konečnými i nekonečnými a koopera tivními hrami s přenosnou výhrou. V další části se budeme zabývat hrami nekooperativními, a to konkrétně hrami ve strategickém tvaru. Poznámka 1 V literatuře se lze setkat také s pojmenováním hra v normálním tvaru. Ačkoliv obě pojmenování mají stejný význam, v tomto učebním textu používáme pojmenování hra ve strategickém tvar pro jeho větší výstižnost. Definice 1.1 Hra n hráčů ve strategickém tvaru je zadána: 1. množinou hráčů N = {1,..., n}, 2. prostory strategií X 1,..., X n, 3. výplatními funkcemi F 1,..., F n. Množina hráčů N je souborem účastníků dané rozhodovací situace (hráči jsou označeni čísly, např. v případě dvou hráčů N = {1, 2}). Každý z těchto hráčů se může rozhodnout, jak bude jednat. Všechna rozhod nutí, která i-tý hráč může učinit, vložíme do množiny X i, kterou nazýváme prostor strategií i-tého hráče (množina X i je neprázdná pro i = 1,..., n). Hráči jsou v nějakém prostředí a každé rozhodnutí, které hráč (nebo hráči) provedou, působí na toto prostředí i na ostatní hráče. Výsledkem takového rozhodnutí pak je, že i-tý hráč dostane nějakou výplatu (například peníze, po chvalu, cement atd.). Pro účely modelu se předpokládá, že výplata je reálné číslo. Každý hráč i = 1,..., n má svou výplatní funkci F i : X 1 X 2 X n 1 X n R, F i : [x 1, x 2,..., x n 1, x n ] F i (x 1, x 2,..., x n 1, x n ). 8

11 1 Úvod Hra pak probíhá následovně: 1. každý hráč i zvolí jednu strategii x i ze svého prostoru strategií X i, 2. hra se sehraje, 3. každý hráč i obdrží svou výplatu F i (x 1,..., x n ). Poznámka 2 Výplata každého hráče i = 1,..., n závisí na rozhodnutích všech hráčů, tj., hráči svými rozhodnutími navzájem ovlivňují své výplaty. Uvažujeme, že zadaná hra ve strategickém tvaru je nekooperativní a že každý z hráčů chce určit strategii, která je pro něj nejlepší. Učiníme následující tři předpoklady: 1. každý hráč se rozhoduje samostatně, tj. nezávisle na ostatních, 2. každý hráč se snaží maximalizovat svou vlastní výhru (bez ohledu na ostatní), 3. (princip pomalé reakce) jestliže jediný hráč změní svou strategii, pak ostatní hráči na tuto změnu nereagují, tj., své strategie nemění. Řešením takovéto situace je bod Nashovy rovnováhy. Definice 1.2 Mějme hru ve strategickém tvaru. Řekneme, že bod [x 1, x 2,..., x n] z kartézského součinu X 1 X 2 X n všech prostorů strategií je bodem Nashovy rovnováhy právě tehdy, když pro každé x i z prostoru strategií X i platí, že F i (x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x n) F i (x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x n), (1) pro každé i = 1,..., n. 9

12 1 Úvod Poznámka 3 To znamená, že jestliže kterýkoli hráč i = 1,..., n zvolí ji nou strategii x i, pak ostatní hráči na tuto změnu nereagují. Nadále používají strategie x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n. Potom výplata i-tého hráče poklesne (resp. nevzroste). Tato skutečnost protože i-tý hráč podle druhého předpokladu chce svou výplatu maximalizovat jej přiměje vrátit se zpět ke své rovnovážné strategii x i. To znamená, že systém se po tomto druhu vychýlení vrátí zpět do rovnovážného bodu. Poznámka 4 Nashova rovnováha pak představuje koncept řešení nekoopera tivních her (her ve strategickém tvaru), a to v tom smyslu, že se herní situace v tomto bodě časem ustálí. Otázka 1 Co se stane, pokud má hra více bodů Nashovy rovnováhy? Pokud existuje více bodů Nashovy rovnováhy, nevíme, kde se hra nakonec ustálí, jelikož každý z hráčů může preferovat jiný bod Nashovy rovnováhy. K řešení takovéto situace využíváme dominující bod Nashovy rovnováhy. Definice 1.3 Bod [x 1,..., x n ] je dominujícím bodem Nashovy rovnováhy právě tehdy, když je bodem Nashovy rovnováhy a zároveň pro každý další bod Nashovy rovnováhy [x 1,..., x n] platí, že pro každé i = 1,..., n. F i (x 1,..., x n) F i (x 1,..., x n ) Cvičení 1.1 Uvažujme hru dvou hráčů (N = {1, 2}) s prostory strategií X 1 = {a, b, c} a X 2 = {x, y, z}, kde výplaty jsou určeny následující tabulkou: 2. hráč x y z a hráč b c

13 1 Úvod (Tedy F 1 (a, x) = 4, F 2 (a, x) = 3, F 1 (a, y) = 0 atd.) (a) Určete všechny body Nashovy rovnováhy v této hře. (b) Který z bodů Nashovy rovnováhy je dominující? 11

14 2 Maticové hry 2 Maticové hry Obsah lekce 2.1. Příklady maticových her Smíšené rozšíření maticových her Symetrické hry Dominování v maticových hrách Vztah maticových her a úloh lineárního programování Klíčová slova Hra s konstantním součtem, hra s nulovým součtem, maticová hra, sedlový bod, smíšené rozšíření, symetrická hra, dominování. V této kapitole se seznámíme s pojmem maticové hry. Maticové hry jsou speci álním případem nekooperativních her ve strategickém tvaru. Podrobněji: ma ticové hry jsou speciálním případem her dvou hráčů s nulovým součtem, které jsou speciálním případem her n hráčů s konstantním součtem, a tyto jsou speciálním případem nekooperativních her n hráčů. S nekooperativními hrami ve strategickém tvaru jsme se seznámili v předchozí kapitole. Nyní si vysvětlíme zbývající pojmy. Definice 2.1 Hra ve strategickém tvaru (viz definice 1.1 ) má konstantní součet právě tehdy, když pro každé x X 1 X 2 X n platí F 1 (x) + F 2 (x) + + F n (x) = c, kde c je konstanta. Definice 2.2 V případě, že se jedná o hru s konstantním součtem s konstantou c = 0, říkáme, že jde o hru s nulovým součtem. 12

15 2 Maticové hry Poznámka 5 Ve hře s nulovým součtem si hráči své výplaty přerozdělí, tj., co jedni vyhrají, druzí prohrají. V této chvíli je vhodné se zamyslet nad existencí vztahu mezi hrami s kon stantním a nulovým součtem. Definice 2.3 Mějme dvě hry se stejnou množinou hráčů N = {1,..., n} a stejnými prostory strategií X 1,..., X n. Dále nechť F 1,..., F n jsou výplatní funkce v první hře a G 1,..., G n jsou výplatní funkce v druhé hře. Pak řekneme, že uvedené hry jsou strategicky ekvivalentní právě tehdy, když pro každé x, y X 1 X n platí F 1 (x) F 1 (y) G 1 (x) G 1 (y) F 2 (x) F 2 (y) G 2 (x) G 2 (y). F n (x) F n (y) G n (x) G n (y). Věta 2.1 Každou hru s konstantním součtem lze převést na hru s nulovým součtem, která je s původní hrou strategicky ekvivalentní. Důkaz Například od každé výplatní funkce F i stačí odečíst konstanu c/n pro i = 1,..., n. Jak jste si jistě všimli, v předchozích definicích se hovoří o obecné množině hráčů N. Nás ale pro účely maticových her bude zajímat pouze případ hry dvou hráčů, tj. N = {1, 2}. Ve hře dvou hráčů s nulovým součtem je vztah hráčů antagonistický (výhra jednoho je prohrou druhého hráče). Tedy v takovémto případě platí, že F 1 = F 2 a naopak F 2 = F 1, proto stačí zadat pouze jednu z těchto výplatních funkcí, například funkci F 1, kterou pak budeme značit pouze F. Prostory strategií X 1 resp. X 2 budeme značit X resp. Y. Definice 2.4 Hra dvou hráčů s nulovým součtem se nazývá antagonistická hra. 13

16 2 Maticové hry Otázka 2 Co znamená pojem Nashovy rovnováhy v případě hry dvou hráčů s nulovým součtem? Mějme hru dvou hráčů s nulovým součtem s prostory strategií X 1 a X 2 a výplatními funkcemi F 1 a F 2. Položíme X = X 1 a Y = X 2. Podle definice 1.2 bod [x, y ] X Y je bodem Nashovy rovnováhy právě tehdy, když pro každé x X a každé y Y platí F 1 (x, y ) F 1 (x, y ), (2) a F 2 (x, y) F 2 (x, y ). (3) Položíme-li F = F 1 = F 2, potom uvedené vztahy (2) a (3) lze ekvivalentně zapsat jako F (x, y ) F (x, y ) F (x, y). Bod Nashovy rovnováhy tedy ve hře dvou hráčů s nulovým součtem odpovídá sedlovému bodu výplatní funkce F. Definice 2.5 Nechť X a Y jsou množiny, dále nechť F : X Y R je funkce. Bod [x, y ] nazveme sedlovým bodem funkce F právě tehdy, když pro každé x X a každé y Y platí, že F (x, y ) F (x, y ) F (x, y). Nyní si uvedeme větu týkající se vlastností sedlového bodu. Věta 2.2 (o sedlových bodech) Nechť X a Y jsou množiny a nechť F : X Y R je funkce. Jestliže [x, y ] X Y a [x, y ] X Y jsou sedlové body funkce F, pak body [x, y ] a [x, y ] jsou také sedlové a navíc platí F (x, y ) = F (x, y ) = F (x, y ) = F (x, y ). 14

17 2 Maticové hry Důkaz Víme, že body [x, y ] a [x, y ] jsou sedlové, tedy F (x, y ) F (x, y ) F (x, y) a F (x, y ) F (x, y ) F (x, y) pro každé x X a každé y Y. Odtud plyne, že F (x, y ) F (x, y ) F (x, y ) F (x, y ) F (x, y ). Tudíž F (x, y ) = F (x, y ) = F (x, y ) = F (x, y ) = F (x, y ). Máme dokázat, že body [x, y ] a [x, y ] jsou sedlové. Na základě předchozího a protože body [x, y ] a [x, y ] jsou sedlové, platí F (x, y ) F (x, y ) = F (x, y ) = F (x, y ) F (x, y) a F (x, y ) F (x, y ) = F (x, y ) = F (x, y ) F (x, y) pro každé x X a každé y Y. Tedy body [x, y ] a [x, y ] jsou také sedlové. Z této věty vyplývá, že hodnota výplatní funkce F v sedlovém bodě je určena jednoznačně. Definice 2.6 Má-li antagonistická hra dvou hráčů sedlový bod, potom hod notu výplatní funkce F v sedlovém bodě nazýváme hodnotou hry. Poznámka 6 Hodnota hry se nazývá také cenou hry. Nyní se již dostáváme k maticovým hrám. Pouze připomeneme, že konečnou hrou rozumíme hru, v níž jsou prostory strategií konečné množiny. To v případě hry dvou hráčů znamená, že X = {1,..., m} a Y = {1,..., n}. Definice 2.7 Maticovou hrou rozumíme konečnou hru dvou hráčů s nulovým součtem. 15

18 2 Maticové hry Připomeneme, co rozumíme pojmem matice. Definice 2.8 Maticí reálných čísel typu m n rozumíme zobrazení A: {1,..., m} {1,..., n} R, A: [i, j] a ij. Matici také můžeme zaznamenat tabulkou a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =... a m1 a m2 a mn. V případě maticové hry tedy výplatní funkce F : X Y R splývá s pojmem matice. To znamená, že výplaty prvního hráče lze zaznamenat jako matici A = (a ij ), kde a ij = F (i, j). Nyní ale vzniká otázka. Otázka 3 Jak najít sedlový bod maticové hry? Jak zjistit, zda sedlový bod maticové hry existuje? Sedlový bod maticové nalezneme následujícím postupem: 1. postupně procházíme všechny řádky matice A a v daném řádku i určíme minimum, tj. min a ij, resp. min F (x, y), j y Y 2. z takto získaných minim vybereme maximum, tj. max min a ij, resp. max i j min x X y Y F (x, y); 3. dále postupně procházíme všechny sloupce matice A a v daném sloupci j určíme maximum, tj. max a ij, resp. max F (x, y), i 16 x X

19 2 Maticové hry 4. z takto získaných maxim vybereme minimum, tj. min max a ij, resp. min j i max y Y x X 5. Jestliže nastává rovnost min max a max min, tj. resp. max i max min x X y Y min j a ij = min max a ij, j i F (x, y) = min max y Y x X F (x, y). F (x, y), pak sedlový bod existuje a nalezneme jej v průsečících řádků a sloupců, v nichž tato rovnost nastává. 6. Jestliže rovnost nenastává, tj. platí resp. max i max min x X y Y pak sedlový bod neexistuje. min j a ij < min max a ij, j i F (x, y) < min max y Y x X F (x, y), Příklad 2.1 Mějme matici A = Naším úkolem je zjistit, zda existuje sedlový bod, a pokud ano, určit jej. 1. Ve všech řádcích matice A určíme minimum: min j a 1j = 1, min j a 2j = 3, min j a 2j = 1, 2. z těchto dvou minim určíme maximum: max i min j a ij = 3, 3. dále ve všech sloupcích matice A určíme maximum: max i a i1 = 8, max i a i2 = 3, max i a i2 = 9, 17

20 2 Maticové hry 4. z těchto dvou maxim určíme minimum: min j max i a ij = 3, 5. nyní už vidíme, že sedlový bod matice A existuje a jeho hodnota je rovna 3, neboť max i min j a ij = 3 = min max a ij. j i // Příklad 2.2 Mějme matici A = ( ). Naším úkolem je zjistit, zda existuje sedlový bod, a pokud ano, určit jej. 1. V obou řádcích matice A určíme minimum: min j a 1j = 1, min j a 2j = 1, 2. z těchto dvou minim určíme maximum: max i min j a ij = 1, 3. dále v obou sloupcích matice A určíme maximum: max i a i1 = 1, max i a i2 = 1, 4. z těchto dvou maxim určíme minimum: min j max i a ij = 1, 5. nyní už vidíme, že sedlový bod matice A neexistuje, neboť max i min j a ij = 1 1 = min max a ij. j i // 18

21 2 Maticové hry Jak si pozorný čtenář jistě všimnul, v předchozím příkladě nastala zvláštní situace, že max i min j Podle následující věty vždy platí nerovnost max i min j a ij < min max a ij. j i a ij min max a ij. j i Věta 2.3 Nechť F : X Y R je funkce. Pak sup inf F (x, y) inf sup F (x, y). x X y Y y Y x X Důkaz Z vlastností suprema a infima víme, že pro každé x X a každé ȳ Y platí inf y Y F ( x, y) F ( x, ȳ) sup F (x, ȳ). x X Odtud pak plyne, že pro každé x X a každé y Y platí inf y Y F (x, y) sup F (x, y), x X ekvivalentně sup inf F (x, y) inf sup F (x, y). x X y Y y Y x X Následující věta podává charakteristiku sedlového bodu funkce F. Věta 2.4 Nechť F : X Y R je funkce a nechť bod [x, y ] X Y je zvolen libovolně. Potom následující dva výroky jsou ekvivalentní: 1. bod [x, y ] je sedlovým bodem funkce F, 2. platí max inf F (x, y) = inf x X y Y y Y F (x, y) = F (x, y ) = sup x X F (x, y ) = min y Y sup F (x, y). x X 19

22 2 Maticové hry Poznámka 7 To znamená, že funkce inf y Y F (x, y) nabývá svého maxima na množině X v bodě x a že funkce sup x X F (x, y) nabývá svého minima na množině Y v bodě y. Důkaz Podle předpokladu víme, že a tudíž sup F (x, y ) = F (x, y ) = inf F (x, y), x X y Y F (x, y ) sup F (x, y ) = F (x, y ) = inf F (x, y) F (x, y) x X y Y pro každé x X a každé y Y, což znamená, že bod [x, y ] je sedlový Podle předpokladu, protože bod [x, y ] je sedlový, platí pro každé x X a každé y Y neboli F (x, y ) F (x, y ) F (x, y) a tudíž sup F (x, y ) F (x, y ) inf F (x, y), x X y Y inf y Y sup x X F (x, y) sup F (x, y ) F (x, y ) inf x X y Y F (x, y) sup inf F (x, y). x X y Y Ovšem nerovnost sup x X inf y Y F (x, y) inf y Y sup x X F (x, y) platí podle předcházející věty 2.3. Platí tedy rovnost inf y Y sup x X F (x, y) = sup F (x, y ) = F (x, y ) = inf x X y Y F (x, y) = sup inf F (x, y). x X y Y Vidíme, že infimum funkce sup x X F (x, y) resp. supremum funkce inf y Y F (x, y) se nabývá v bodě y resp. x jako minimum resp. maximum. Dohromady do stáváme, že max inf F (x, y) = inf x X y Y y Y F (x, y) = F (x, y ) = sup x X F (x, y ) = min y Y sup F (x, y). x X 20

23 2 Maticové hry Cvičení 2.1 Postupem z odpovědi na otázku 3 rozhodněte, zda maticová hra zadaná maticí má sedlový bod, a určete jej Cvičení 2.2 Postupem z odpovědi na otázku 3 rozhodněte, zda maticová hra zadaná maticí má sedlový bod, a určete jej Cvičení 2.3 Postupem z odpovědi na otázku 3 rozhodněte, zda maticová hra zadaná maticí má sedlový bod, a určete jej Příklady maticových her V této podkapitole uvedeme základní příklady maticových her. Příklad 2.3 (Blotto hry) 1. Vojenská interpretace: Jedná se o hru dvou generálů, z nichž každý má k dispozici a resp. b jednotek. Bojují o n území o hodnotách v 1,..., v n tak, že každý z nich na dané území vyšle určitý počet jednotek. Ten, který pošle jednotek více, dané území získá, v případě shody se území dělí na půl. 21

24 2 Maticové hry Formálně se hra zavádí takto: množina hráčů N = {1, 2}, prostory strategií M 1 = {x R n ; x x n = a, x 1,..., x n 0, x 1,..., x n N 0 }, M 2 = {y R n ; y y n = b, y 1,..., y n 0, y 1,..., y n N 0 }, výplatní funkce: F 1 (x, y) = F 2 (x, y) = n i=1 n i=1 v i jestliže x i > y i v i 2 jestliže x i = y i 0 jestliže x i < y i v i jestliže y i > x i v i 2 jestliže y i = x i 0 jestliže y i < x i Jedná se o hru s konstantním součtem. Lze ji převést na hru s nu lovým součtem. Tato hra obecně nemá sedlový bod. 2. Ekonomická interpretace aukce obálkovou metodou: Hráči jsou dva investoři, z nichž každý má k dispozici a resp. b peněžních prostředků. V aukci je n budov o hodnotách v 1,..., v n. Investor napíše svou peněžní nabídku za jednotlivé budovy na papír, který zalepí do obálky. Obálku doručí komisi, která obálky rozlepí a danný objekt připadne tomu, kdo za něj nabídl více peněz, v případě rovnosti rozhodne los. 3. Získání zakázek na trzích: Hráči jsou dvě firmy, které se ucházejí o zakázky na n trzích. Na těchto trzích je možné získat zakázky o hodnotách v 1,..., v n. Výši získaných zakázek lze ovlivnit vynaložením peněz na propagaci. 22

25 2 Maticové hry První resp. druhá firma má k dispozici a resp. b peněžních pro středků určených na propagaci. Zakázky na daném trhu se rozdělí mezi firmy v tom poměru, v jakém na daném trhu investovaly do propagace. // Příklad 2.4 (Hide and attack (napadení konvoje)) Za druhé světové války byla Velká Británie zásobována konvoji lodí z USA přes Atlantik. Německé ponorky se snažily konvoj potopit. Konvoj může volit svou trasu (např. A, B nebo C), přičemž ponorky mohou čekat na různých místech (A, B nebo C). V případě, že se minou, konvoj dopluje, pokud se potkají, je konvoj poškozen. Výplatní matice hry (kde číslo p i, 0 p i 1, znamená míru poškození konvoje): konvoj A B C A p ponorky B 0 p 2 0 C 0 0 p 3 Jedná se o diagonální matici. Nemá sedlový bod. // 23

26 2 Maticové hry Příklad 2.5 (Prstová hra Morra) Tato hra má dlouhou tradici. Pochází z antiky a v Itálii je populární dodnes. Hrají dva hráči. Oba hráči ve stejném okamžiku ukáží určitý počet prstů 1,..., n a vysloví číslo 1,..., n udávající počet prstů, které si myslí, že protihráč ukáže. V případě, že oba hráči hádají správně nebo oba špatně, výplaty jsou nulové. V opačném případě hráč, který hádal špatně, zaplatí protihráči tolik zápalek, kolik činí součet ukázaných prstů. Výplatní matice (pro n = 2, kde a/b znamená, že hráč ukazuje a a b prstů hádá): 2. hráč 1/1 1/2 2/1 2/2 1/ hráč 1/ / / // 24

27 2 Maticové hry Příklad 2.6 (Model protivzdušné obrany) Za druhé světové války probíhaly nálety na města pomocí bombardérů. Tato města se proti těmto náletům bránila stíhačkami. Hráči jsou velitel bombardérů, který chce provést nálet na město, a velitel stíhaček, který chce město ubránit. Velitel bombardérů se může rozhodnout, zda provede nálet v malé nebo velké výšce. Velitel stíhaček se může rozhodnout, zda bude očekávat nálet v malé nebo velké výšce. Úspěšnost náletu (resp. obrany) závisí na tom, zda se bombardéry a stíhačky potkají ve stejné výšce. Matice hry (pro úspěšnost náletu): stíhačky vysoko nízko bombardéry vysoko 10 % 70 % nízko 100 % 40 % Tato hra nemá sedlový bod. // Příklad 2.7 (Operace zraněného) Do nemocnice přivezli zraněného. Zranění může být X, Y nebo Z. Na přesné vyšetření není čas. Lékaři mohou operovat způsobem A nebo B. 25

28 2 Maticové hry Uspěšnost zákroku: příroda X Y Z lékaři A 70 % 50 % 60 % B 60 % 30 % 100 % V tomto případě jde o rozhodování za nejistoty, neboť neznáme (nebylo uvedeno) rozdělení pravděpodobnosti, jímž se výskyt jevů X, Y nebo Z řídí. Kdybychom toto rozdělení znali, hovořili bychom o rozhodování při riziku. V obou případech jde o takzvané hry proti přírodě, která je do plněna jako druhý hráč bez výplatní funkce. Jeden z možných způsobů jejího řešení je ji jako antagonistickou hru pojmout, pak hledáme sedlový bod. Obecněji lze použít princip minimaxu, kdy hledáme max min x X y Y F (x, y). // 2.2 Smíšené rozšíření maticových her Mějme maticovou hru s maticí hry A R m n, s prostory strategií X = {1,..., m} a Y = {1,..., n} a s výplatní funkcí F (i, j) = a ij. Tato maticová hra nemusí mít sedlový bod. Tuto situaci řešíme tak, že budeme uvažovat smíšené rozšíření této maticové hry. 26

29 2 Maticové hry Definice 2.9 Smíšeným rozšířením maticové hry s maticí hry A R m n rozumíme hru s prostory strategií X = {x R m ; x e = 1, x 0} a Ȳ = {y R n ; f y = 1, y 0}, kde e je vektor m jedniček a f je vektor n jedniček, a výplatní funkcí F (x, y) = x Ay = m n x i a ij y j. i=1 j=1 Poznámka 8 Smíšené rozšíření v sobě vždy obsahuje původní hru: čistým strategiím i X = {1,..., m} resp. j Y = {1,..., n} odpovídají kanonické jednotkové vektory e i resp. f j. Vektor e i resp. f j má celkem m resp. n složek, a to jedničku na i-tém resp. j-tém místě a nuly na ostatních m 1 resp. n 1 místech. Lemma 2.1 Sedlový bod smíšeného rozšíření maticové hry se nezmění, jestliže ke všem prvkům matice A přičteme stejnou konstantu c. Důkaz Nechť [x, y ] je sedlový bod smíšeného rozšíření maticové hry, tedy pro každé x X a každé y Ȳ platí Naším úkolem je dokázat, že x Ay x Ay x Ay. (4) x (A + ce)y x (A + ce)y x (A + ce)y, kde E R m n je matice samých jedniček. Pro libovolné x X a ȳ Ȳ platí x (A + ce)ȳ = x Aȳ + c x Eȳ = = x Aȳ + c m i=1 n j=1 x i1y j = = x Aȳ + c m i=1 x i n j=1 y j = = x Aȳ + c, 27

30 2 Maticové hry tedy máme dokázat, že x Ay + c x Ay + c x Ay + c, což ale plyne ze vztahu (4) přičtením konstanty c. Lemma 2.2 Bod [x, y ] X Ȳ je sedlovým bodem smíšeného rozšíření maticové hry s maticí A a v = x Ay je hodnota hry právě tehdy, když jsou splněny soustavy Ay ev a vf x A. Důkaz Nejdříve ukážeme směr zleva doprava. Mějme sedlový bod [x, y ]. Tedy víme, že pro každé x X a každé y Ȳ platí x Ay x Ay x Ay. Tato nerovnost platí i pro jednotkové vektory x = e 1,..., e m, tj. e 1 Ay x Ay = v. Ay ev. e may x Ay = v Analogicky pro jednotkové vektory y = f 1,..., f n platí v = x Ay x Af 1. vf x A. v = x Ay x Af n Nyní ukážeme směr zprava doleva. Víme, že platí nerovnosti Ay ev a vf x A, neboli e 1 Ay v, e may v,. (5) 28

31 2 Maticové hry a v x Af 1,. v x Af n. Máme dokázat, že pro každé x X a každé y Ȳ platí (6) x Ay v x Ay, a že v = x Ay. Nechť je dáno x X o složkách x 1,..., x m, pak vynásobením nerovnic (5) tímto x, tj. i-tou nerovnici násobíme číslem x i, získáme x 1 e 1 Ay x 1 v,. x m e may x m v, po sečtení ekvivalentně m m x i e i Ay x i v, i=1 i=1 x Ay v. Analogicky nechť je dáno y Ȳ o složkách y 1,..., y n, pak vynásobením ne rovnic (6) tímto y, tj. j-tou nerovnici násobíme číslem y j, získáme vy 1 x Af 1 y 1,. vy n x Af n y n, po sečtení ekvivalentně Tedy získáváme, že n n v y j x A f j y j, j=1 j=1 v x Ay. x Ay v x Ay pro všechna x X a všechna y Ȳ. Volbou x = x a y = y dostáváme x Ay v x Ay, tedy v = x Ay. 29

32 2 Maticové hry Nyní můžeme vyslovit hlavní větu maticových her. Věta 2.5 (hlavní maticových her). Smíšené rozšíření maticové hry má vždy alespoň jeden sedlový bod. Důkaz Mějme dánu maticovou hru s maticí hry A R m n. Máme dokázat, že existuje bod [x, y ] X Ȳ takový, že pro každé x X a každé y Ȳ platí x Ay x Ay x Ay. Podle lemmatu 2.1 se sedlový bod nezmění, když ke všem prvkům matice A přičteme stejnou konstantu c > 0. Bez újmy na obecnosti budeme předpokládat, že již A > 0. Pak podle lemmatu 2.2 stačí nalézt x X, y Ȳ a v R tak, aby platilo Ay ev a vf x A. Budou-li uvedené soustavy platit, bude nutně v > 0. Číslem v tedy můžeme dělit a dostáváme Ay v Nyní provedeme substituci e a f x A v. p = y v a q = x v. Naším úkolem je nyní vyřešit následující soustavy: Ap e, p 0 a q A f q 0 a f p = q e. Budeme tedy řešit následující úlohy lineárního programování (P ) max f p Ap e p 0 (D) min q e q A f q 0. Obě úlohy (P ) a (D) jsou přípustné v úloze (P ) stačí uvažovat např. bod p = 0 a v úloze (D) stačí uvažovat např. bod q = ek pro K + a podle 30

33 2 Maticové hry věty o existenci optimálních řešení mají obě úlohy optimální řešení p a q. Podle principu duality platí, že f q = q e, a zřejmě platí, že f p = q e > 0. (Jistě je f p = q, neboť p 0 i q 0, e 0. Kdyby q e = 0, muselo by být q = 0, což není možné.) Stačí tedy položit v = 1 f p = 1 q e a x = q v, y = p v. Pak bod [x, y ] je sedlovým bodem zadané maticové hry. Cvičení 2.4 Napište smíšené rozšíření hry modelu protivzdušné obrany (viz příklad 2.6 ). 2.3 Symetrické hry Tato podkapitola se zabývá speciálním druhem hry dvou hráčů s nulovým součtem. Tato hra je speciální v tom, že oba hráči mají stejné prostory strategií a antisymetrické výplatní funkce. Nyní symetrickou hru zavedeme formálně. Definice 2.10 Hra dvou hráčů s nulovým součtem se nazývá symetrická právě tehdy, když prostory strategií splývají, tj. X = Y, a výplatní funkce je antisy metrická, tj., pro každé x X a každé y Y platí F (x, y) = F (y, x). Poznámka 9 V případě maticové hry s maticí hry A R m n je hra syme trická právě tehdy, když je matice hry A antisymetrická, tj., platí, že m = n a A = A. Věta 2.6 Má-li symetrická hra sedlový bod [x, y ], pak body [y, x ], [x, x ] a [y, y ] jsou také sedlové a společná hodnota hry je rovna nule. 31

34 2 Maticové hry Důkaz Pro sedlový bod platí, že F (x, y ) F (x, y ) F (x, y), tudíž F (y, x) F (y, x ) F (y, x ), F (y, x ) F (y, x ) F (y, x), tedy bod [y, x ] je sedlovým bodem a podle věty 2.2 o sedlových bodech jsou body [x, x ] a [y, y ] také sedlovými. Dále platí, že F (x, y ) = F (y, x ) = F (x, y ), a tedy F (x, y ) = Dominování v maticových hrách Dominování v maticových hrách nám umožňuje zmenšit matici hry v případě, že se v této matici vyskytují řádky resp. sloupce, které odpovídají strategiím, které si žádný z hráčů nezvolí. Mějme maticovou hru s maticí hry A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a m1 a m2 a mn. Pak 1. první hráč se snaží maximalizovat svou výhru, tedy pokud a i1 j a i2 j pro nějaká i 1, i 2 a pro každé j = 1,..., n, lze řádek i 1 vynechat a zmenšit tak matici A, 32

35 2 Maticové hry 2. druhý hráč se snaží minimalizovat svou prohru, tedy pokud a ij1 a ij2 pro nějaká j 1, j 2 a pro každé i = 1,..., m, lze sloupec j 2 vynechat a zmenšit tak matici A. Definice 2.11 Říkáme, že řádek i 1 z předchozího odstavce je dominován řád kem i 2, a sloupec j 2 z předchozího odstavce je dominován sloupcem j 1. Uvedený postup lze po zmenšení matice A opakovat. Definice 2.12 (obecněji) Uvažujeme-li smíšené rozšíření, pak 1. řádek i 1 je dominován konvexní kombinací ostatních řádků, existují-li čísla x 1,..., x i1 1, x i1 +1,..., x m 0 taková, že x x i1 1 + x i x m = 1 a pro každé j, a i1 j m x i a ij i=1 i i 1 2. sloupec j 2 je dominován konvexní kombinací ostatních sloupců, existují-li čísla y 1,..., y j2 1, y j2 +1,..., y n 0 taková, že y y j2 1 + y j y n = 1 a n pro každé i. a ijy j a ij2 j=1 j j 2 Příklad 2.8 V matici hry je druhý a třetí sloupec dominován prvním sloupcem (lze je vynechat), první a druhý řádek je dominován třetím řádkem (lze je vynechat). Zůstává matice typu 1 1 obsahující pouze prvek 7. Matice A má sedlový bod průsečík třetího řádku a prvního sloupce a hodnta hry je 7. // 33

36 2 Maticové hry Příklad 2.9 V matici hry je čtvrtý sloupec dominován např. třetím sloupcem (resp. libovolnou konvexní kombinací prvních tří sloupců; čtvrtý sloupec lze vynechat) a druhý řádek je dominován např. aritmetickým průměrem prvního a třetího řádku (lze jej vynechat). // Cvičení 2.5 Zmenšete matici hry A = vynecháním dominovaných řádku a sloupců. Cvičení 2.6 Zmenšete matici hry A = vynecháním dominovaných řádku a sloupců. Uvažujte smíšené rozšíření. 2.5 Vztah maticových her a úloh lineárního programování Z hlavní věty maticových her (viz věta 2.5 ) víme, že řešením úloh lineárního programování lze nalézt sedlový bod smíšeného rozšíření maticové hry. Otázka 4 Lze nalezením sedlového bodu vyřešit úlohy lineárního programo vání? 34

37 2 Maticové hry Mějme úlohy lineárního programování. (P ) max c x Ax b x 0 (D) min y b y A c y 0. Věta 2.7 Nechť ( x, ȳ, z) je rovnovážný vektor ve hře s maticí hry 0 A c A 0 b. c b 0 Jestliže z > 0, potom x = x/ z, a y = ȳ/ z jsou optimální řešení úloh (P ) a (D). Věta 2.8 Nechť x a y jsou optimální řešení úloh (P ) a (D). Potom ( x, ȳ, z) je rovnovážný vektor ve hře s maticí hry 0 A c A 0 b, c b 0 kde x = x z, ȳ = y z a z = e x + y f. Důkazy obou vět jsou velice snadné. Dokazují se pomocí lemmatu 2.2 Příklad 2.10 Uvažujme úlohy lineárního programování (P ) max 8x + 6y (D) min 12u + 10v 3x + 4y 12, 3u + 5v 8, 5x + 2y 10, 4u + 2v 6, x, y 0, u, v 0. Poměrně snadno určíme, že optimální řešení uvedených úloh jsou x = 8 7, y = 15 7 a u = 1, v = 1. 35

38 2 Maticové hry čtenář nechť ihned ověří optimalitu obou řešení užitím věty o slabé dualitě (přípustnost řešení a rovnost hodnot cílových funkcí)! Výše uvedeným úlohám (P ) a (D) odpovídá symetrická hra s maticí hry à = Podle věty 2.8 určíme hodnotu z = a další hodnoty x + y + u + v = = x = x z = 8 44, ȳ = y z = 15 44, ū = u z = 7 44, v = v z = Tedy vektor x 8/44 ȳ 15/44 ū = 7/44 v 7/44 z 7/44 je vektorem rovnovážných smíšených strategií ve hře s maticí hry nechť tuto skutečnost ihned ověří řešením soustav podle lemmatu 2.2! Obráceně, víme-li, že 8/44 15/44 7/44 7/44 7/44 je vektorem rovnovážných smíšených strategií ve hře s maticí hry Ã. čtenář Ã, potom položíme z = 7/44 (poslední souřadnice vektoru) a, protože z > 0, podle věty 2.7 určíme řešení úloh (P ) a (D) takto: x = x z = 8 7, y = ȳ z = 15 7, u = ū z = 1, v = v z = 1. 36

39 2 Maticové hry čtenář ověří, že řešení jsou přípustná a optimální (porovnáním hodnot cílových funkcí v těchto řešeních). // Korespondenční úkol 1 Vypočtěte rovnovážné smíšené strategie prstové hry Morra. 37

40 3 Dvojmaticové hry 3 Dvojmaticové hry a obecné hry n hráčů ve strategickém tvaru 3.1. Další příklady dvojmaticových her Smíšené rozšíření dvojmaticové hry Kompaktní metrické prostory Heineho-Borelova pokrývací věta Spernerovo lemma Brouwerova věta o pevném bodě Věta Nikaidô-Isody Klíčová slova Dvojmaticová hra, vězňovo dilema, smíšené rozšíření, simplex, barycentrické souřadnice, Spernerovo lemma, pevný bod, Brouwerova věta o pevném bodě, konvexní hra, věta Nikaidô-Isody. S příkladem dvojmaticové hry jsme se setkali již ve cvičeni 1.1 na konci úvodní kapitoly. Pojem dvojmaticové hry je obecnější než pojem hry maticové v tom smyslu, že každá maticová hra je zároveň hrou dvojmaticovou. Na rozdíl od maticových her vztah hráčů ve dvojmaticové hře nemusí být antagonistický, tj., výhra jednoho hráče nemusí znamenat prohru druhého hráče. Může tedy dojít například ke smírnému řešení, kdy každý z hráčů vyhraje, nebo k situaci, v níž oba hráči prohrají. Uvedený jev ilustrujeme pomocí následujícího příkladu. Příklad 3.1 (Vězňovo dilema) Předpokládejme, že dva lupiči byli dopadeni po zločinu a nyní jsou vyslýchání, přičemž každý z nich může postupovat jedním z následujících způsobů: 38

41 3 Dvojmaticové hry 1. přizná se (P), 2. bude zapírat (Z). Pak důsledky jednotlivých rozhodnutí obou lupičů můžeme zaznamenat do následující tabulky: 2. hráč P Z 1. hráč P Z Dvojicí rovnovážných strategií je poněkud překvapivě [P, P], ačkoliv pro oba účastníky by bylo výhodnější volit [Z, Z]. // Nyní formálně zavedeme definici dvojmaticových her. Definice 3.1 Dvojmaticovou hrou rozumíme konečnou hru dvou hráčů. Poznámka 10 Dvojmaticová hra je tedy zadána množinou dvou hráčů N = {1, 2}, prostory strategií X = {1,..., m} a Y = {1,..., n} a výplatními funk cemi F 1, F 2 : X Y R. S ohledem na definici 2.8 vidíme, že výplatní funkce F 1 a F 2 splývají s pojmem matice. To znamená, že výplaty prvního resp. dru hého hráče lze zaznamenat jako matici A = (a ij ) resp. B = (b ij ), kde a ij = F 1 (i, j) resp. b ij = F 2 (i, j). 39

42 3 Dvojmaticové hry 3.1 Další příklady dvojmaticových her Příklad 3.2 (Manželský spor) V manželském páru probíhá spor o trávení společného volného času. Manželka má zájem predevším o kulturu (K), kdežto manžel převážne o sport (S). V případě, že se oba hráči zúčastní kulturní akce, manžel bude mít nižší užitek. V opačném případě, kdy se zúčastní akce sportovní, má nižší užitek manželka. Dalším řešením je rozdělení manželů, kdy se každý zúčastní akce, která jej zajímá, přičemž tato situace má za následek rozladění účastníků a žádný užitek. Situaci shrnuje následující tabulka. manžel K S manželka K S Dvojice [K, K] a [S, S] zřejmě tvoří rovnovážné strategie. Jak se ale hráči mezi těmito strategiemi rozhodnou, v případě nekooperativním záleží pouze na nich a v rámci čistých strategií jim nelze poskytnout žádný racionální návod k jednání. // Příklad 3.3 (Konflikt typu kuřata) Dva mladíci se baví tím, že se proti sobě rozjedou v autech středem vozovky a první z hráčů, který uhne (U), oproti druhému, který neuhne (N), ztratí prestiž. V případe, že oba mladíci zvolí strategii neuhnout, skončí zábava havárií. Situaci popisuje následující tabulka. 2. hráč U N 1. hráč U N

43 3 Dvojmaticové hry Tato hra má opět dva rovnovážné body a to [N, U] a [U, N] a v rámci čistých strategií hráčům nelze poskytnout žádný racionální návod k jednání. // 3.2 Smíšené rozšíření dvojmaticové hry Mějme dvojmaticovou hru s maticemi A a B typu m n. Z předchozích ka pitol víme, že hra nemusí mít bod Nashovy rovnováhy. V takovém případě využíváme tzv. smíšeného rozšíření. Definice 3.2 Smíšeným rozšířením dvojmaticové hry s maticemi A a B ro zumíme hru s prostory strategií X = {x R m ; x e = 1, x 0}, Ȳ = {y R n ; f y = 1, y 0}, kde e resp. f je vektor m resp. n jedniček, a výplatními funkcemi F 1 (x, y) = x Ay a F 2 (x, y) = x By. Věta 3.1 Smíšené rozšíření dvojmaticové hry má vždy alespoň jeden bod Nashovy rovnováhy. Důkaz Tvrzení této věty je důsledkem věty Nikaidô-Isody, kterou uvedeme později. Důkazy následujích dvou lemmat jsou snadné. Věta 3.2 se pak snadno dokáže pomocí obou lemat. Důkazy proto neuvádíme. Čtenář se může pokusit dokázat uvedená tvrzení samostatně. 41

44 3 Dvojmaticové hry Lemma 3.1 Rovnovážný bod smíšeného rozšíření dvojmaticové hry se ne změní, jestliže ke všem prvkům matice A resp. B přičteme stejnou konstantu c resp. d. Lemma 3.2 Nechť [x, y ] X Ȳ je nějaký bod z prostoru strategií. Položme u = x Ay a v = x By. Potom bod [x, y ] je rovnovážným bodem právě tehdy, když Ay eu a zároveň x B vf. Věta 3.2 Nechť A a B jsou matice typu m n s kladnými členy, dále [x, y ] je libovolný bod a u, v > 0 jsou libovolná čísla. Potom bod [x, y ] je rovnovážným bodem a platí u = x Ay a v = x By právě tehdy, když pro vektory p = x 1 v a q = y 1 platí u za podmínek Aq e p B f q 0 p 0 q 0 p 0 p (Aq e) = 0 (p B f )q = 0. Poznámka 11 Bod [p, q] řešící LCP (linear complementarity problem) uve dený v předchozí větě je ekvivalentně netriviálním řešením úlohy kvadratického programování: ( p q ) ( 0 A + B 0 0 ) ( p q ) ( p q ) ( e o ) ( o f ) ( p q ) max za podmínek Aq e p B f q 0 p 0 q 0 p 0. 42

45 3 Dvojmaticové hry 3.3 Kompaktní metrické prostory Tato podkapitola se věnuje kompaktním metrickým prostorům a jejich vlast nostem nutným pro vyslovení Heineho-Borelovy pokrývací věty. Tu využijeme později v důkazu věty Nikaidô-Isody, která mj. zaručuje, že smíšené rozšíření dvojmaticové hry má alespoň jeden bod Nashovy rovnováhy. Definice 3.3 Metrickým prostorem rozumíme dvojici (X, ρ), kde X je libo volná množina a ρ je metrika, tj. zobrazení ρ: X X R, které pro libovolná x, y, z X splňuje následující axiomy. 1. Axiom nezápornosti: ρ(x, y) Axiom totožnosti: ρ(x, y) = 0 x = y. 3. Axiom symetrie: ρ(x, y) = ρ(y, x). 4. Trojúhelníková nerovnost: ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z). Definice 3.4 Vzdáleností bodu x X od množiny K X rozumíme ρ(x, K) = inf{ρ(x, k); k K}. Definice 3.5 Uzávěrem množiny K X rozumíme množinu cl(k) = {x X; ρ(x, K) = 0}. Definice 3.6 Podmnožinu K metrického prostoru X nazveme hustou právě tehdy, když jejím uzávěrem je celý metrický prostor. Definice 3.7 Metrický prostor X nazveme separabilním právě tehdy, když má hustou spočetnou podmnožinu. 43

46 3 Dvojmaticové hry Definice 3.8 Báze metrického prostoru je soustava otevřených množin ta ková, že každou otevřenou množinu lze napsat jako stejdnocení prvků báze. Věta 3.3 Nechť X je metrický prostor. Následující vlastnosti jsou ekviva lentní. a) Metrický prostor X je separabilní. b) Metrický prostor X má spočetnou bázi. c) Z každého pokrytí metrického prostoru X otevřenými množinami lze vybrat spočetné podpokrytí. Definice 3.9 Metrický prostor X se nazývá úplný, jestliže každá jeho cauchy ovská posloupnost je konvergentní. Definice 3.10 Metrický prostor X se nazývá totálně omezený, jestliže ke ka ždému ε > 0 existuje konečná množina K ε X taková, že pro každé x X platí ρ(x, K ε ) < ε. Pozorování 1 Kompaktní metrický prostor je totálně omezený. Pozorování 2 Každý totálně omezený metrický prostor je separabilní. Věta 3.4 V totálně omezeném metrickém prostoru lze z každé posloupnosti vybrat posloupnost cauchyovskou. Věta 3.5 Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když je úplný a totálně omezený. 44

47 3 Dvojmaticové hry Definice 3.11 Bod x M je hromadným bodem podmnožiny M metrického prostoru (X, ρ) právě tehdy, když v každém okolí bodu x existuje bod y M takový, že y x. Pozorování 3 Metrický prostor (X, ρ) je kompaktní právě tehdy, když každá nekonečná množina má hromadný bod. Definice 3.12 Nechť K je množina. Pak pokrytím množiny K rozumíme sys tém množin {G α ; α A} takový, že α A G α K. V případě, kdy jsou všechny množiny systému {G α ; α A} otevřené, hovoříme o otevřeném pokrytí množiny K. Definice 3.13 Nechť K je množina. Dále mějme otevřené pokrytí {G α ; α A} této množiny. Pak konečným podpokrytím pokrytí {G α ; α A} rozumíme systém množin {G β ; β B} takový, že B je konečná podmnožina množiny A a je sám pokrytím množiny K. 3.4 Heineho-Borelova pokrývací věta V této části vyslovíme Heineho-Borelovu pokrývací větu, kterou využijeme při důkazu věty Nikaidô-Isody. Věta 3.6 (Heineho-Borelova pokrývací) Metrický prostor (X, ρ) je kom paktní právě tehdy, když z každého jeho otevřeného pokrytí lze vybrat konečné podpokrytí. 45

48 3 Dvojmaticové hry Důkaz U obou směrů použijeme důkaz sporem. Předpokládejme, že metrický prostor není kompaktní. Tedy existuje nekonečná množina M taková, že pro každé x X platí, že x není hromadným bodem množiny M. Tedy ke každému x X existuje okolí U x takové, že U x M 1, to znamená, že mají společný nejvýše jeden bod (bod x). Systém {U x ; x X} je pokrytím a můžeme z něj vybrat konečné podpokrytí {U x1,..., U xn } tedy platí n M X U xi. Víme, že M je nekonečná, ale množin U xi je jen konečně mnoho, tedy mohou pokrýt jen konečně mnoho bodů množiny M (neboť U x M 1), ale M je pokrytá celá, čímž se dostáváme ke sporu. i=1 Předpokládejme, že X je kompaktní a zároveň existuje pokrytí, z něhož nelze vybrat konečné podpokrytí. Jelikož je X kompaktní, pak je separabilní, a tedy lze vybrat spočetné podpokrytí. Označme jej U 1, U 2,..., U n,... Bez újmy na obecnosti budeme z tohoto pokrytí vybírat jiné pokrytí V 1,..., V k tak, že V 1 bude první neprázdné U n, položíme n 1 = n, dále budeme volit V k+1 = U n tak, aby U nk+1 V 1 V k a n k+1 > n k. Tedy V 1, V 2,..., V k,... je opět pokrytí a navíc k V k+1 \ V l. l=1 Označme symbolem x k prvek z tohoto doplňku, tj. k x k V k+1 \ V l. Pak {x k } je nekonečná množina, a má tedy hromadný bod x X, který byl pokryt. Existuje tedy n N takové, že platí x V n, ale V n neobsahuje žádné x k pro k > n což znamená, že V n obsahuje jen konečně mnoho bodů x k, tedy existuje ε 0 > 0 takové, že Ω(x, ε 0 ) V n = {x}, 46 l=1

49 3 Dvojmaticové hry což je spor. 3.5 Spernerovo lemma Nejprve zavedeme několik pojmů, abychom v další části mohli vyslovit a do kázat Spernerovo lemma. To uplatníme při elementárním důkazu Brouwerovy věty o pevném bodě, kterou rovněž využijeme v důkazu již předesílané věty Nikaidô-Isody. Definice 3.14 Konvexním obalem množiny V R n rozumíme množinu všech konvexních kombinací bodů množiny V, tj. conv V = {x 1 v x N v N ; N N, v 1,..., v N V x 1,..., x N 0 x x N = 1 }. Pojmem N-simplex rozumíme konvexní obal N + 1 bodů v 0, v 1,..., v N, tj. tj. M = conv{v 0, v 1,..., v N }, M = {x 0 v 0 + x 1 v x N v N ; x 0, x 1,..., x N 0 x 0 + x x N = 1 } O bodech v 0, v 1,..., v N hovoříme jako o vrcholech simplexu M. Hraničním elementem simplexu M rozumíme množinu bodů M p1...p s = {x 0 v 0 + x 1 v x N v N ; x 0, x 1,..., x N 0 x 0 + x x N = 1 x p1 = = x ps = 0 }, kde 1 s N a p 1,..., p s jsou navzájem různá čísla od 0 do N. Poznámka 12 Jestliže s = N, pak M p1...p s je vrcholem simplexu M, jestliže s = N 1, pak M p1...p s je hranou simplexu M atd. Pro s = 1 je M p1 fasetou (tj. boční stěnou) simplexu M. 47

50 3 Dvojmaticové hry Nechť n 1 je přirozené číslo. Pak n-tým barycentrickým podrozdělením sim plexu M rozumíme množinu D M,n = { k 0 n v0 + k 1 n v1 + + k N n vn ; k 0, k 1,..., k N N 0 k 0 + k k N = n }. O bodech množiny D M,n hovoříme jako o vrcholech n-tého barycentrického podrozdělení simplexu M. Nyní nechť každý vrchol x z n-tého barycentrického podrozdělení D M,n sim plexu M je označen přirozeným číslem m(x) od 0 do N, a to tak, že jestliže x M p1...p s, potom m(x) {0, 1,..., N} \ {p 1,..., p s }. Uvažujme n-té barycentrické podrozdělení D M,n simplexu M. Pak N 1 -buňkou tohoto podrozdělení, kde 1 N 1 N, rozumíme konvexní obal N 1 sousedních bodů tohoto rozdělení x 1 = k1 0 n v 0 + k1 1 n v k1 N n v N,. x N 1 = kn 1 0 n v 0 + kn 1 1 n v kn 1 N n v N, kde takových, že k i 0, k i 1,..., k i N N 0, k i 0 + k i k i N = n, k i 0 k j 0, k i 1 k j 1,..., k i N k j N 1 pro i, j = 1,..., N 1. O bodech x 1,... x N hovoříme jako o vrcholech a říkáme, že daná N 1 -buňka je jimi tvořena. Uvažujeme N 1 -buňku n-tého barycentrického podrozdělení tvořenou vrcholy x 1,..., x N 1, které jsou označeny čísly m(x 1 ),..., m(x N 1 ). Potom typem této bu ňky rozumíme množinu všech N 1 -prvkových sekvencí, které lze z čísel m(x 1 ),..., 48

51 3 Dvojmaticové hry m(x N 1 ) vytvořit, tj. [ m(x 1 ),..., m(x N 1 ) ] = { (m(x 1 ),..., m(x N 1 )),..., (m(x N 1 ),..., m(x 1 ) } tato množina obsahuje nejvýše N 1! sekvencí. Sekvence (m(x 1 ),..., m(x N 1 )) je reprezentantem typu uvažované buňky. To znamená jestliže m 1, m 1,..., m N 1, m N 1 {0, 1,..., N} že dva reprezentanti resp. sekvence (m 1,..., m N 1 ) a (m 1,..., m N 1 ) jsou ekvivalentní právě tehdy, když každé číslo obsahují se stejnou četností, avšak na pořadí těchto čísel v sekvenci nezáleží, tedy [m 1,..., m N 1 ] = [m 1,..., m N 1 ]. Nechť m 1,..., m N1 {0, 1,..., N}. Potom jako F (m 1,..., m N1 ) označíme počet buněk n-tého podrozdělení takových, že (m 1,..., m N1 ) je reprezentan tem jejich typu. Neboli F (m 1,..., m N1 ) je počet buněk typu [m 1,..., m N1 ]. Lemma 3.3 (Spernerovo) Počet F (0, 1,..., N) je lichý. Důsledek F (0, 1,..., N) 1. Důkaz (Spernerovo lemma) K důkazu Spernerova lemmatu využijeme ma tematickou indukci. 1. N = 1 Máme dokázat, že počet F (0, 1) je lichý. Zabývejme se buňkami typu [0]. Nechť F u (0) je počet buněk typu [0], které jsou uvnitř simplexu M (tj., nejsou jeho hraničními elementy), a nechť F h (0) je počet buněk typu [0], které jsou jeho hraničními elementy. Snadno si uvědomíme, že 2F (0, 0) + F (0, 1) = 2F u (0) + F h (0), protože buňka typu [0, 0] resp. [0, 1] obsahuje dvě resp. jednu buňku typu [0]. Zatímco buňka typu [0], která je obsažena v hraničním elementu sim plexu M, je započítána jednou, buňky typu [0], které jsou uvnitř simplexu M, jsou započítány dvakrát, neboť jsou sdíleny dvěma buňkami. Je ovšem zřejmé, že F h (0) = 1, protože 1-simplex má právě dva hraniční elementy, z nichž jeden musí být označen číslem 0 a druhý číslem