Dvou-maticové hry a jejich aplikace
|
|
- Stanislava Musilová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Dvou-maticové hry a jejich aplikace Obsah kapitoly. Hry s konstantním součtem Hra v normálním tvaru (ryzí strategie) Smíšené strategie. Hry s nekonstantním součtem Nekooperativní hra Dvou-maticová hra Modelové konflikty o The Prisoner s Dilemma (Vězňovo dilema) o Chicken (Kuře, ale spíše Zbabělec) o The Battle of the Sexes (Manželský spor) Studijní cíle Cílem tohoto tematického bloku je pochopení elementárního modelu teorie her, kterým je dvou-maticová hra. Doba potřebná ke -4hod studiu Pojmy k zapamatování Úvod Výkladová část maticová a dvoumaticová hra, hry s konstantním součtem, hra v normálním tvaru, ryzí strategie, smíšené strategie, hry s nekonstantním součtem, nekooperativní hra, modelové konflikty V tomto tematickém bloku se seznámíme se základním typem her. Půjde o nekooperativní hry bez opakování a jejich další dělení. Nejprve si vysvětlíme maticovou hru a následně dvou-maticovou hru. Jde o základní model, který je využíván v následujících kapitolách a v praxi se s ním setkáváme nejčastěji. Hry s konstantním součtem - Hra v normálním tvaru Jde o základní model teorie her, který je určen třemi množinami: množina hráčů {,,,, N} množina prostorů strategií {X, X, X,, XN} množina výplatních funkcí {f(x, x, x,, xn},, {fn(x, x, x,, xn} ty jsou definovány na kartézském součinu prostoru strategií, u hry dvou hráčů postačí označení f(x, y) pro výplatní funkci. hráče a f(x, y) pro výplatní funkci. hráče. Kartézský součin Jde o součin dvou množin, např. A a B. Například mějme množiny A = <,6> a B = <,7>, pak jejich součin vypadá takto:
2 Předpoklady modelu jsou: inteligentní (racionální) hráči; dokonalá informovanost; Definice hry: jde o antagonistický konflikt, kdy jeden získá a druhý ztrácí; hra s konstantním (nulovým) součtem, kde platí:,, onst, í,,, Ten, kdo se odchýlí od optimálních strategií, si nemůže polepšit. To je princip, na kterém je založena Nashova rovnováha, nebo též Nashovo rovnovážné řešení nebo také rovnovážná strategie. Tyto pojmy si dobře zapamatujte, budou nás provázet celou dobu. Ve hře s nulovým součtem a s konečným prostorem strategií, můžeme pro znázornění využít matici, pomocí které nalezneme rovnováhu: Řádky reprezentují i-té strategie hráče a sloupce j-té strategie hráče. Model je nazýván maticová hra. Řešením je nalezení sedlového prvku matice A. Sedlový prvek (Nashovo rovnovážné řešení) najdeme tak, že určíme maxima ve sloupcích a minima v řádcích. Mohou nastat tyto případy: matice má jeden sedlový prvek, matice má více sedlových prvků, matice nemá žádný sedlový prvek. Příklad.: Nalezněte sedlový prvek v těchto maticích:
3 Matice A Matice B Matice C Řešení naleznete na konci učebního textu. Hry s konstantním součtem - Smíšené strategie Pro matice, ve kterých se nepodařilo najít sedlový prvek, se používá k řešení smíšeného rozšíření maticové hry, kde prostory strategií představují vektory, s jakou pravděpodobností je budou volit jednotliví hráči strategie. Využívá se zde smíšených pravděpodobnostních strategií. Platí opět, že ten kdo se odchýlí od rovnovážné strategie, nemůže získat a naopak ztrácí. K N P K N P Jako příklad můžeme použít hru kámen, nůžky, papír. Matice nemá sedlový prvek, přesto víme o pravděpodobnosti, s jakou nastane ta či ona varianta. V tomto konkrétním případě je to (/; /; /). Úkol: Nalezněte vlastní hru, která má řešení pouze ve smíšených strategiích.
4 Hry s nekonstantním součtem Nekooperativní hra - Dvou-maticová hra Uvažujeme dále pouze dva hráče. V tomto typu hry má každý z hráčů k dispozici vlastní výplaty na základě zvolených strategií. Tedy pro nelezení sedlového prvku musíme obě matice spojit do jedné dvou-matice. Kde Matice A reprezentuje dostupné strategie hráče a Matice B hráče. Matice A hráč 4 - Hráč volí své strategie z řádků. Tedy má k dispozici dvě strategie, řádek a řádek. Matice B hráč 5 7 Hráč volí své strategie ze sloupců. Tedy má k dispozici dvě strategie, sloupec a sloupec. Spojením obou matic dostaneme jednu dvou-matici: Hráč Strategie Strategie Hráč Strategie 5 4 Strategie - 7 Matice spojíme tak, že výplaty z matice A a z matice B napíšeme vedle sebe přesně tak, jak jsou uvedeny v původních maticích. V matici A (tj. ve výplatní matici prvního hráče) je třeba výplata v levém horním rohu (tuto pozici v matici lze označit symbolem (;)) ve výši. V matici B (tj. ve výplatní matici druhého hráče) je výše výplaty v levém horním rohu 5. Tyto hodnoty pak napíšeme vedle sebe v dvou-matici opět do levého horního rohu a získáme tak hodnoty výplat (;5). Přičemž hodnota je výplatou hráče, pokud tento hráč zvolí svoji první strategii, a hodnota 5 je výplatou hráče, pokud tento hráč zároveň zvolí svoji první strategii. V pravém horním rohu (;) matice A je výplata 4 a v matici B je. Spojením do dvou-matice dostaneme v pravém horním rohu výplaty (4;). Přičemž hodnota 4 je výplatou hráče, pokud tento hráč zvolí svoji první strategii, a hodnota 5 je výplatou hráče, pokud tento hráč zároveň zvolí svoji druhou strategii. Takto budeme postupovat i u levého a pravého dolního rohu. Sedlový prvek najdeme tak, že v matici A (prvky v levé části dvou-matice) nalezneme maxima ve sloupcích (nadále budeme používat modré podbarvení pro lepší přehled) a v matici B (prvky v pravé části matice) maxima v řádcích (nadále budeme používat zelené podbarvení). Nashovo rovnovážné řešení, tj. řešení výhodné pro prvního i druhého hráče, je v této matici pouze jedno (potom v terminologii teorie her nastává tzv. čistá Nashova rovnováha) a sedlový prvek je levý horní roh matice (tam kde se vyskytuje podbarvení u obou prvků, jak modré tak zelené) 4
5 podrobněji viz příklad. Tato pozice se označuje (;) a výplaty jsou (;5). Hledání sedlového prvku je matematické zjednodušení komplikovanějšího popisu. Nyní si tento popis uvedeme, přičemž dále již budeme využívat převážně matematické zjednodušení. Hráč (původní matice A) má k dispozici dvě strategie, které vybírá ze dvou řádků. Jeho protihráč (hráč B) vybírá ze sloupců. Proto hráč vybere takovou strategii, která mu přinese nejvyšší výplatu na základě rozhodnutí Hráče. Hráči a se přitom nemohou domluvit, že každý z nich uplatní určitou strategii. Hráč se potom ptá: Pokud hráč zvolí určitou strategii reprezentovanou sloupcem, jaká je moje nejlepší odpověď na tuto strategii? Čísla v každém řádku pro příslušný sloupec (strategii hráče ) tak reprezentují výplaty, které může hráč obdržet při zvolení svých řádkových strategií a zároveň při volbě strategie hráče. Hráč zde hledá takovou svoji strategii, která mu při dané strategii hráče maximalizuje jeho výplatu, tedy maximální řádkovou hodnotu příslušného sloupce. Stejná je situace i u hráče (původní matice B) tento hráč má na výběr také dvě strategie, které reprezentují sloupce, ale vybírá je z řádků, protože musí přizpůsobit své rozhodnutí možnostem, které má k dispozici zbývající hráč (tj. hráč ). Hráč se tudíž ptá, jaká je jeho nejlepší strategie, pokud hráč zvolí určitou strategii (reprezentovanou řádkem). Čísla v každém sloupci pro příslušný řádek (strategii hráče ) tak reprezentují výplaty, které může hráč obdržet při zvolení svých sloupcových strategií a zároveň při volbě strategie hráče. Hráč zde hledá takovou svoji strategii, která mu při dané strategii hráče maximalizuje jeho výplatu, tedy maximální sloupcovou hodnotu příslušného řádku. Modelové hry Základními modely sociálních dilemat jsou tyto následující:. The Prisoner s Dilemma (Vězňovo dilema). Chicken (Zbabělec). The Battle of the Sexes (Manželský spor) The Prisoner s Dilemma - Vězňovo dilema Jde o základní model pro ostatní modelové situace, který se používá k označení všech ostatních modelů tohoto typu, zkráceně PD Games. V originálním modelu se jedná o situaci dvou vězňů, kteří spáchali nějaký trestný čin a byli dopadeni. Při výslechu jsou oba odděleni a mají na výběr dvě možnosti, buď se přiznat, nebo se nepřiznat. Pro řešení výběru jejich rozhodovací strategie použijeme opět dvou-matici (záměrně jsou použity záporné hodnoty, výplaty mají charakter trestu): Vězeň Přiznat Nepřiznat Přiznat Vězeň Nepřiznat Vězeň zkoumá, jaká strategie je pro něj výhodnější, pokud vězeň uplatní strategii přiznat se. V takovém případě je pro vězně výhodná strategie přiznat se dostane trest odnětí svobody ve 5
6 výši roky, pokud by se nepřiznal, dostal by 4 roky. Vězeň dále zkoumá, jaká strategie je pro něj výhodnější, pokud vězeň uplatní strategii nepřiznat se. I zde je pro vězně výhodná strategie přiznat se dostane trest odnětí svobody ve výši roku, pokud by se nepřiznal, dostal by roky. Obdobně je na tom i vězeň. Pokud se vězeň přizná, je pro vězně výhodné přiznat se (dostane roky, jinak by dostal 4 roky). Pokud se vězeň nepřizná, tak je pro vězně rovněž výhodné přiznat se při přiznání dostane rok, jinak by dostal roky. Nashova rovnováha (v ryzích strategiích) v této hře tedy existuje, dominantní strategií každého hráče bude přiznání (;) s výplatami (-;-). Tato strategie je však pro oba hráče horší, než kdyby se nepřiznali. Problém ovšem je, že pokud se jeden hráč nepřizná a druhý se přizná, pak nepřiznání bude stát více. Každý hráč bude tedy volit jistotu a přizná se. Lze namítnout, že ve výše zmíněné podobě je hra Vězňovo dilema málo realistická. V realitě vskutku nelze jednoznačně stanovit trest jen na základě toho, zda-li se nějaký pachatel přizná, zda se přitom přizná jiný pachatel apod. Popularitu získala daná hra kvůli něčemu jinému ukazuje, že mohou nastat situace, kdy se všechny osoby chovají určitým jednotným způsobem (všechny osoby uplatňují stejnou strategii) s cílem maximalizovat svůj užitek, uplatněním této strategie si však všichni jednající pohorší. Jinými slovy, pokud by jednotliví hráči zvolili jinou než pro ně nejvýhodnější strategii, tak by na tom byli lépe, než když všichni hráči tuto nejvýhodnější strategii zvolí. Podmínkou toho, aby se jednalo o hru typu Vězňovo dilema, je, že v případě všech hráčů jsou splněny následující nerovnosti: výplata hráče v případě, že hráč nespolupracuje (přizná se) a druhý hráč spolupracuje (nepřizná se), je větší než výplata, když se oba přiznají, výplata hráče v případě, že se oba nepřiznají, je větší než výplata, když se oba přiznají, výplata hráče v případě, když se oba hráči přiznají, je větší než jeho výplata, když že se nepřizná a druhý hráč přizná. Schematicky lze tyto podmínky vyjádřit takto: NK > KK > NN > KN, kde: první symbol znamená strategii nějakého hráče (jedno zda-li prvního nebo druhého), druhý symbol znamená strategii zbývajícího hráče; N znamená, že daný hráč nespolupracuje, čili používá nekooperativní strategii (přizná se); K znamená, že spolupracuje, tj. použije kooperativní strategii (nepřizná se). Za hodnoty dosadíme hodnoty z výplatní matice některého hráče (např. prvního), pokud jednotliví hráči zvolí v podmínce uvedené strategie. Čísla tedy reprezentují výplaty nějakého hráče při zvolených strategiích. V případě prvního hráče jsou tyto výplaty ve výše uvedeném příkladě následující: - > - > - > -4 Např., pokud se první hráč přizná a druhý nepřizná (NK), obdrží první hráč trest rok. Pokud se oba hráči přiznají (KK), obdrží první hráč roky. Atd. Stejné výplaty má ovšem i druhý hráč. I pro něj tedy platí: - > - > - > -4 Každý hráč tak má dominantní strategii přiznat se. Pokud se přizná, bude jeho výplata vyšší nezávisle na tom, jak se rozhodne druhý hráč (- > -4; - > -). Nashova rovnováha v ryzích strategiích v této hře tedy existuje, ale je pro oba horší, než kdyby se nepřiznali (tj. spolupracovali). Jak jsme již uvedli, tento typ her se vyskytuje velmi často, např.: Dvě firmy uzavřely kartelovou dohodu a mohou ji porušit, nebo dodržet. Dvě politické strany uzavřely dohodu o tom, že jejich výdaje na volební kampaň nepřekročí určitou částku a mohou ji porušit, nebo dodržet. Dvě velmoci uzavřely dohodu o snížení počtu zbraní a mohou ji porušit, nebo dodržet. Při vyplnění výplatní matice u tohoto typu her můžeme využít různé postupy. V případě kartelové 6
7 dohody lze příslušné hodnoty získat kalkulací, v ostatních případech používáme spíše expertní odhad. Úkol: Vyberte si některý konkrétní případ her typu Vězňova dilema a pokuste se sestavit jeho výplatní matici. Chicken - Zbabělec Model řeší situaci, kdy dva hráči volí strategii ustoupit od devastujícího rozhodnutí (kooperativní strategie), nebo strategii neustoupit (nekooperativní strategie). Ten kdo ustoupí, prohrává. Pokud by ustoupili oba hráči, celkově nedojde k devastaci, žádný z hráčů však nic nezíská. Příkladem může být rozhodnutí dvou hochů zamilovaných do stejné dívky, že (s jejím vědomím) vyřeší svůj (momentální) životní problém tím, že se rozjedou autem proti sobě vysokou rychlostí. Kdo uhne, dívku ztrácí. V případě, že neuhne žádný z nich, ztrácí ovšem oba svůj život. Pro řešení použijeme opět matici: Hráč Ustoupit Neustoupit Hráč Ustoupit Neustoupit V ryzích strategiích existují v této hře dvě Nashovy rovnovážné strategie (;) a (;). Každá je však výhodná pouze pro jednoho hráče. Pokud však oba hráči budou volit pro sebe vhodnější strategii (tj. neustoupit), bude to pro oba nevýhodné - výsledkem je strategie (;) a výplaty (-;- - ). Podmínkou toho, aby se jednalo o hru typu Kuře (Zbabělec), je, že u každého hráče platí následující nerovnosti: NK > KK > KN > NN, kde stejně jako u hry Vězňovo dilema znamená první symbol strategii nějakého hráče (je jedno, zda-i prvního nebo druhého), druhý symbol strategii zbývajícího hráče; K znamená kooperovat (ustoupit) a N nekooperovat (neustoupit). Přičemž hodnota prohry je velmi vysoká oproti zisku, který lze navíc dosáhnout jen v případě, že hráč, který jej dosáhne, zvolí nekooperativní strategii, zatímco druhý kooperativní. Konkrétní výplaty prvního hráče (na základě výše uvedené tabulky) při uplatnění daných strategii jsou u dané nerovnosti: 5 > > - 5 > - Stejné hodnoty má i druhý hráč. Připomínáme, že zde první číslo v závorce obsahuje strategii prvního hráče, druhé číslo v závorce strategii druhého hráče. 7
8 The Battle of the Sexes - Manželský spor Tento model si lze přiblížit na následující situaci, po které je model nazván: Manželé mohou strávit večer společně, ale každý z nich má jiné představy o tom jak. Manžel chce jít na fotbalový zápas a žena na nákupy. Oba manželé spolu rádi tráví čas a mají alespoň nějaký (větší) užitek ze společného večera, i když není vybrána jejich preference, než z večera, kdy je každý z manželů sám. Každý z manželů se rozhoduje samostatně. Pro řešení použijeme opět matici: Manželka Kopaná Nákupy Manžel Kopaná Nákupy Existují dvě rovnovážná řešení (celkem tedy dva sedlové prvky (;) a (;)) s výplatami (;) a (;). Pokud bude muž teoreticky volit pro sebe výhodnější první sloupec, ale žena pro sebe výhodnější druhý řádek, tak bude paradoxně výsledkem výplata (;). Z hlediska každého z hráčů lze rozlišit strategie na tu, která je výhodná pro něj (V), a tu, která je pro něj nevýhodná, ale je výhodná pro druhého hráče (N). Podmínkou toho, aby se jednalo o hru typu manželský spor, je, že pro každého hráče jsou splněny následující nerovnosti: VN > NV > VV = NN, kde opět první symbol znamená strategii nějakého hráče (jedno, zda prvního nebo druhého), druhý symbol strategii zbývajícího hráče. Například z pohledu muže mají jeho výplaty při uplatnění daných strategií obsažených v nerovnosti následující podobu: > > =. Stejnou podobu mají výplaty i z pohledu ženy. Většinu těch, co se s tímto schématem seznámí, logicky napadne, že nejlépe pro oba hráče bude, pokud se domluví např. jeden týden půjdou manželé nakupovat, druhý týden na fotbal. Jenže to by již byla zcela jiná hra obsahující vyjednávání. Zde předpokládáme, že oba hráči činí rozhodnutí nezávisle, současně, a bez toho, aby věděli, jak se rozhodne druhý hráč. Může tak dojít i k tomu, že každý chce vyhovět tomu druhému (žena je ochotna podřídit se muži a jít s ním na fotbal, muž je ochoten podřídit se ženě a jít s ní na nákup, protože jeden druhého velmi miluje), výsledkem však bude situace, kdy každý půjde jinam a užitek každého bude nejmenší. Rozšiřující text Shrnutí Pro další dobrovolné rozšíření znalostí si můžete nastudovat zbývající čtyři dilemata, k tomu použijte učebnici Mikroekonomie, středně pokročilý kurz, Heissler, Valenčík, Wawrosz. V tomto tematickém bloku jsme se seznámili s maticovými a dvoumaticovými hrami a jejich řešením. Dále s rozdělením základních sociálních dilemat a jejich podrobným popisem a aplikovatelností na 8
9 Kontrolní otázky a úkoly Seznam použitých zkratek Studijní literatura Odkazy ekonomii. Definujte vlastní model dvou-matice. Co je to dominovanost? Navrhněte vlastní model, kde prohozením výplat dostanete jiný výsledek hry a zdůvodněte ho. PD (Games) - Prisonner's dilemma - obecně pro modely vězňovo dilema DLOUHÝ M., FIALA P. Úvod do teorie her.. přepracované vydání. Praha 9. VŠE Oeconomica. ISBN (nebo. vydání z roku 7) MAŇAS, M. Teorie her a konflikty zájmů.. vydání. Praha. VŠE - Oeconomica. ISBN (nebo pozdější vydání) ŘEŠENÍ DVOUMATICOVÝCH HER html ŘEŠENÍ MATICOVÝCH HER (maximálně 5x5 strategií) OPAKOVANÉ VĚZŇOVO DILEMA KÁMEN, NŮŽKY, PAPÍR Klíč k úkolům Řešení příkladu.: Matice A má pouze jeden sedlový prvek a to (;) s výplatou Matice B má dva sedlové prvky (;) a (;) s výplatami Matice C nemá sedlový prvek
10
Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry)
Teorie her a ekonomické rozhodování 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) 3.1 Neantagonistický konflikt Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada
VíceKoaliční hry. Kooperativní hra dvou hráčů
Koaliční hry Obsah kapitoly. Koalice dvou hráčů 2. Koalice N hráčů Studijní cíle Cílem tohoto tematického bloku je získání základního přehledu o kooperativních hrách a jejich aplikovatelnosti. Student
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
VíceModely oligopolu. I. Dokonalý trh II. Nedokonalý trh 1. Modely oligopolu. Dokonalý trh. Nedokonalý trh
Modely oligopolu Obsah kapitoly Studijní cíle I. Dokonalý trh II. Nedokonalý trh 1. Modely oligopolu Student získá komplexní přehled teorií oligopolu, které lze úspěšně aplikovat v realitě. Doba potřebná
VíceMikroekonomie magisterský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 1 Teorie her pro manažery Obsah 5.1 Teorie her jako součást mikroekonomie 5.2 Základní pojmy teorie
VíceOperační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.
Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky
Více3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
Více4EK201 Matematické modelování. 10. Teorie rozhodování
4EK201 Matematické modelování 10. Teorie rozhodování 10. Rozhodování Rozhodování = proces výběru nějaké možnosti (varianty) podle stanoveného kritéria za účelem dosažení stanovených cílů Rozhodovatel =
VíceHry v rozvinutém tvaru a opakované hry. Hry v rozvinutém tvaru
Hry v rozvinutém tvaru a opakované hry Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Výkladová část 1) Hry v rozvinutém tvaru 2) Opakované hry I. Konečně opakované hry
Více1. dílčí téma: Úvod do teorie her a historie
Cíl tematického celku: Cílem tohoto tematického celku je seznámit se se základy teorie her, její historií proniknout do matematických základů. Tento tematický celek je rozdělen do následujících dílčích
VíceANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry (chybějící či chybná indexace ve skriptech) 5.1 Opakovaná hra Hra až dosud hráči hráli hru jen jednou v reálu se konflikty neustále opakují (firmy nabízí
VíceTGH13 - Teorie her I.
TGH13 - Teorie her I. Jan Březina Technical University of Liberec 19. května 2015 Hra s bankéřem Máte právo sehrát s bankéřem hru: 1. hází se korunou dokud nepadne hlava 2. pokud hlava padne v hodu N,
Více5.7 Kooperativní hry 5.7.1 Kooperativní hra 2 hráčů 5.7.2 Kooperativní hra N hráčů 5.8 Modely oligopolu 5.9 Teorie redistribučních systémů 5.
Mikroekonomie bakalářský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 6 Teorie her, volby teorie redistribučních systémů a teorie veřejné Obsah 5.7 Kooperativní hry 5.7.1
VíceDva podniky vedou mezi sebou spor, k jehož vyřešení může každý z nich podniknout jednu
Zadání příkladu: Dva podniky vedou mezi sebou spor, k jehož vyřešení může každý z nich podniknout jednu ze tří akcí: a/ žalovat druhý podnik u soudu strategie Z b/ nabídnout druhému podniku spojení strategie
Více1. dílčí téma: Rozhodování při riziku, neurčitosti a hry s neúplnou informací
Cíl tematického celku: Student získá komplexní přehled teorií oligopolu, které lze úspěšně aplikovat v realitě. Druhým cílem je naučit se chápat obsah komunikace, která se vede při projednávání nejrůznějších
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 7. Hry s neúplnou informací
Teorie her a ekonomické rozhodování 7. Hry s neúplnou informací 7.1 Informace Dosud hráči měli úplnou informaci o hře, např. znali svou výplatní funkci, ale i výplatní funkce ostatních hráčů často to tak
VíceAplikace teorie her. V ekonomice a politice Ing. Václav Janoušek
Aplikace teorie her V ekonomice a politice Ing. Václav Janoušek Co je teorie her a její využití Teorie her obor aplikované matematiky a operační analýzy, sloužící k analýze konfliktních a strategických
VíceÚvod do teorie her ZVYŠOVÁNÍ ODBORNÝCH KOMPETENCÍ AKADEMICKÝCH PRACOVNÍKŮ OSTRAVSKÉ UNIVERZITY V OSTRAVĚ A SLEZSKÉ UNIVERZITY V OPAVĚ
ZVYŠOVÁNÍ ODBORNÝCH KOMPETENCÍ AKADEMICKÝCH PRACOVNÍKŮ OSTRAVSKÉ UNIVERZITY V OSTRAVĚ A SLEZSKÉ UNIVERZITY V OPAVĚ Úvod do teorie her David Bartl, Lenka Ploháková OSNOVA Úvod (hra n hráčů ve strategickém
VíceKooperativní hra N hráčů
Hry bez opakování - kooperativní hra N hráčů Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu 1) Hry bez opakování - kooperativní hra N hráčů a) Úvod b) Volební hry c) Teorie formování koalic I. Nepolitické
VíceTEORIE HER. Základní pojmy teorie her. buď racionální (usiluje o optimální výsledek hry) nebo indiferentní (výsledek hry je mu lhostejný)
TEORIE HER V dosavadních přednáškách jsme probírali jedno či vícekriteriální optimalizaci, ale v těchto úlohách byly předem pevně dané podmínky a ty se nijak neměnily v závislosti na našem rozhodnutí Také
VíceTEORIE HER - ÚVOD PŘEDNÁŠKA. OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáška 2. Zuzana Bělinová
PŘEDNÁŠKA 2 TEORIE HER - ÚVOD Teorie her matematická teorie rozhodování dvou racionálních hráčů, kteří jsou na sobě závislí Naznačuje, jak by se v takové situaci chovali racionální a informovaní hráči.
Vícecharakteristika oligopolu kartel Cournotův model duopolu oligopol s dominantní firmou Sweezyho model (se zalomenou křivkou poptávky) Nashova
charakteristika oligopolu kartel Cournotův model duopolu oligopol s dominantní firmou Sweezyho model (se zalomenou křivkou poptávky) Nashova rovnováha Soukupová et al.: Mikroekonomie. Kapitola 11, str.
VíceÚvod do teorie her
Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu
VíceKOOPERATIVNI HRY DVOU HRA CˇU
8 KOOPERATIVNÍ HRY DVOU HRÁČŮ 291 V této kapitole se budeme zabývat situacemi, kdy hráči mohou před začátkem hry uzavřít závaznou dohodu o tom, jaké použijí strategie, vygenerovaný zisk si však nemohou
VíceOperační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.
Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty
VíceÚvod do teorie her. druhé upravené vydání. Martin Dlouhý Petr Fiala
Úvod do teorie her druhé upravené vydání Martin Dlouhý Petr Fiala 2009 2 Teorie her: analýza konfliktů a spolupráce Teorie her: analýza konfliktů a spolupráce 3 Obsah Předmluva... 5 1. Úvod do teorie her
Více(Ne)kooperativní hry
(Ne)kooperativní hry Tomáš Svoboda, svobodat@fel.cvut.cz katedra kybernetiky, centrum strojového vnímání 5. října 2015 Tomáš Svoboda, svobodat@fel.cvut.cz / katedra kybernetiky, CMP / (Ne)kooperativní
VíceTeorie her. Kapitola 1. 1.1 Základní pojmy. 1.1.1 Základní pojmy
Kapitola 1 Teorie her Dosud jsme se věnovali jednokriteriální či vícekriteriální optimalizaci, kde ve všech úlohách byly předem pevně dané podmínky a ty se nijak neměnily v závislosti na našem rozhodnutí.
VíceRozhodování při riziku, neurčitosti a hry s neúplnou informací. Rozhodování při riziku
Rozhodování při riziku, neurčitosti a hry s neúplnou informací Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Výkladová část 1) Rozhodování při riziku a neurčitosti I. Rozhodování
VíceMezi firmami v oligopolu dochází ke strategickým interakcím. Při zkoumání strategických interakcí používáme teorii her.
Teorie her a oligopol Varian: Mikroekonomie: moderní přístup, oddíly 26.1-9, 27.1-3 a 27.7-8 Varian: Intermediate Microeconomics, Sections 27.1-9, 28.1-3, 28.7-8 () 1 / 36 Obsah přednášky V této přednášce
VíceCharakteristika oligopolu
Oligopol Charakteristika oligopolu Oligopol v ekonomice převažuje - základní rysy: malý počet firem - činnost několika firem v odvětví vyráběný produkt může být homogenní (čistý oligopol) nebo heterogenní
VíceÚvod do teorie her
Úvod do teorie her. Formy her a rovnovážné řešení Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 208 ÚTIA AV ČR Program. Definujeme 2 základní formy pro studium různých her: rozvinutou, strategickou. 2.
VíceKOOPERATIVNÍ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, JÁDRO HRY, HRA VE TVARU CHARAKTERISTICKÉ FUNKCE, SHAPLEYOVA HODNOTA CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ?
KOOPERATIVNÍ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, JÁDRO HRY, HRA VE TVARU CHARAKTERISTICKÉ FUNKCE, SHAPLEYOVA HODNOTA CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekonomická vědní disciplína, která se
VíceMATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ
MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ Podklady k soustředění č. 1 Řešení úloh 1. dílčí téma: Řešení úloh ve stavovém prostoru Počáteční období výzkumu v oblasti umělé inteligence (50. a 60. léta) bylo charakterizováno
VíceStručný úvod do teorie her. Michal Bulant
Stručný úvod do teorie her Michal Bulant Čím se budeme zabývat Alespoň 2 hráči (osoby, firmy, státy, biologické druhy apod.) Každý hráč má určitou množinu strategií, konkrétní situace (outcome) ve hře
VícePŘÍKLADY DVOJMATICOVÉ HRY
PŘÍKLADY DVOJMATICOVÉ HRY Příklad 1 SOUTĚŽ O ZAKÁZKY Investor chce vybudovat dva hotely Jeden nazveme Velký (zkratka V); ze získání zakázky na něj se očekává zisk ve výši 30 milionů Druhý nazveme Malý
VíceMikroekonomie magisterský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 2 Teorie her pro manažery Desková hra GO 548 př. n. l. kronika pana Cuo vznik Čína 2 hráči pokládají
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 9. Modely nedokonalých trhů
Teorie her a ekonomické rozhodování 9. Modely nedokonalých trhů 9.1 Dokonalý trh Dokonalý trh Dokonalá informovanost kupujících Dokonalá informovanost prodávajících Nulové náklady na změnu dodavatele Homogenní
Více12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ
12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ 543 Ne v každé hře mají všichni hráči úplné informace o výplatních funkcích ostatních. Ve skutečnosti je většina situací s informací neúplnou. Například: V aukcích zpravidla
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 8. Vyjednávací hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 8. Vyjednávací hry 8. Vyjednávání Teorie her Věda o řešení konfliktů Ale také věda o hledání vzájemně výhodné spolupráce Teorie vyjednávání Odvětví teorie her dohoda
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 4. Hry v rozvinutém tvaru
Teorie her a ekonomické rozhodování 4. Hry v rozvinutém tvaru 4.1 Hry v rozvinutém tvaru Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada po sobě následujících
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování 6. Kooperativní hry více hráčů
Teorie her a ekonomické rozhodování 6. Kooperativní hry více hráčů (chyby ve skriptech) 6.1 Koaliční hra Kooperativní hra hráči mají možnost před samotnou hrou uzavírat závazné dohody dva hráči (hra má
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 11. Aukce
Teorie her a ekonomické rozhodování 11. Aukce 11. Aukce Příklady tržních mechanismů prodej s pevnou cenou cenové vyjednávání aukce Využití aukcí prodej uměleckých předmětů, nemovitostí, prodej květin,
VíceTeorie her v konkurenčním prostředí
Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko správní Ústav ekonomiky a managementu Teorie her v konkurenčním prostředí Bc. Kateřina Nováková Diplomová práce 2013 PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem tuto práci
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
Vícenutně znamenat ztrátu), ve které mají oba hráči dvě možnosti kooperovat nebo zradit.
Vě zň ovo dilěma Vojtěch Ptáčník K tomuto tématu jsem se dostal úplnou náhodou. Měli jsme udělat projekt dle své vlastní volby. V té době jsem vůbec nevěděl, jaké téma si mám zvolit. Jednoho dne nám do
VíceVzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN
Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Základní charakteristiky a značení symbol verbální vyjádření interval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá varianta i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. n v j x ij
VíceVĚZŇOVO DILEMA. Markéta Reichenbachová II.B. Gymnázium a Střední odborná škola Cihelní 410
VĚZŇOVO DILEMA Markéta Reichenbachová II.B Gymnázium a Střední odborná škola Cihelní 410 Vězňovo dilema je typ hry s nenulovým součtem, ve které mají oba hráči dvě možnosti spolupracovat (cooperate) nebo
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceHRY V NORMÁLNÍM TVARU
HRY V NORMÁLNÍM TVARU Příklad 6 Cournotovy modely Monopol: Monopolista vyrábí jistý druh výrobků. Nejvyšší cena, za kterou může prodat jeden kus tak, aby vyprodal veškerou produkci, je dána poptávkovou
Více7 Kardinální informace o kritériích (část 1)
7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru
Více{Q={1,2};S,T;u(s,t)} (3.3) Prorovnovážnéstrategie s,t vehřesnulovýmsoučtemmusíplatit:
3 ANTAGONISTICKÉ HRY 3. ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
VíceTeorie her. Nepřiznat se 1 rok; 1 rok 20 let; 0 let Lupič Dale Přiznat se 0 let; 20 let 10 let; 10 let
Teorie her Teorie her je definována jako analýza matematických modelů konfliktu a spolupráce mezi inteligentními a racionálními subjekty. Teorie her tedy nabízí obecné matematické techniky využitelné pro
VíceMikroekonomie magisterský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2013 Téma 4 Teorie her pro manažery Obsah 5.7 Kooperativní hry 5.7.1 Kooperativní hra 2 hráčů 5.7.2 Kooperativní
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceRozhodovací procesy v ŽP HRY A SIMULAČNÍ MODELY
Rozhodovací procesy v ŽP HRY A SIMULAČNÍ MODELY Teorie her proč využívat hry? Hry a rozhodování varianty her cíle a vítězné strategie (simulační) Modely Operační hra WRENCH Cv. Katedra hydromeliorací a
VíceSimplexová metoda. Simplexová tabulka: Záhlaví (účelová funkce) A ~ b r βi. z j c j. z r
Simplexová metoda Simplexová metoda, je jedním ze způsobů, jak řešit úlohy lineárního programování. Tato metoda vede k cíly, nelezení optimálního řešení, během konečného počtu kroků, pokud se při prvním
VíceÚvod do teorie her. David Bartl, Lenka Ploháková
Úvod do teorie her David Bartl, Lenka Ploháková Abstrakt Předložený text Úvod do teorie her pokrývá čtyři nejdůležitější, vybrané kapitoly z této oblasti. Nejprve je čtenář seznámen s předmětem studia
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VícePřednáška #8. Základy mikroekonomie TEORIE HER
Přednáška #8 Základy mikroekonomie TEORIE HER 14.11.2012 V minulé přednášce jsme si vysvětlili, co je to oligopolistické tržní uspořádání Oligopol jako tržní uspořádání stojí mezi monopolem a režimem dokonalé
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceVysoká škola finanční a správní, o.p.s. Teorie her pro manažery
Vysoká škola finanční a správní, o.p.s. Teorie her pro manažery Vypracovala: Bc. Lucie Částová UČO:13211 Datum: 6. Května 2011 Obsah ÚVOD... 2 Náplň Teorie her... 3 Vlastnosti a druhy her... 4 Ukázka teorie
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
VíceObecné, centrální a normované momenty
Obecné, centrální a normované momenty Obsah kapitoly 4. Elementární statistické zpracování - parametrizace vhodnými empirickými parametry Studijní cíle Naučit se počítat centrální a normované momenty pomocí
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
VíceMetodický list předmětu Ekonomické aplikace teorie her Bc
Metodický list předmětu Ekonomické aplikace teorie her Bc Úvodní poznámka ke třem soustředěním kombinovaného studia - Pojďte pane, budeme si hrát! Jo? - Já znám ty vaše hry. To jsou vypečený hry. Teorie
VíceTeorie her. RNDr. Magdalena Hykšová, Ph.D. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.
Teorie her RNDr. Magdalena Hykšová, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,
VíceVÍCEKRITERIÁLNÍ MANAŢERSKÉ ROZHODOVÁNÍ V PODMÍNKÁCH RIZIKA A NEJISTOTY
Internetový časopis o jakosti Vydavatel: Katedra kontroly a řízení jakosti, FMMI, VŠB-TU Ostrava VÍCEKRITERIÁLNÍ MANAŢERSKÉ ROZHODOVÁNÍ V PODMÍNKÁCH RIZIKA A NEJISTOTY ÚVOD Všemi sekvenčními manažerskými
VíceOtázky ke státní závěrečné zkoušce
Otázky ke státní závěrečné zkoušce obor Ekonometrie a operační výzkum a) Diskrétní modely, Simulace, Nelineární programování. b) Teorie rozhodování, Teorie her. c) Ekonometrie. Otázka č. 1 a) Úlohy konvexního
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)
Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje
VíceDokažte Větu 2(Minimax) ze třetího dílu seriálu pro libovolnou hru s nulovým součtem, ve kterémákaždýhráčnavýběrprávězedvoustrategií.
Teorie her º Ö ÐÓÚ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò º Ù Ò ¾¼½ ÐÓ ½º HráčIsitajněnapíšenapapírnějaképřirozenéčíslozrozmezíaž noznačmeho ivestejnou chvílisirovněžhráčiinapíšenapapírnějaképřirozenéčíslozrozmezíaž noznačmeho
VíceStrategické hry v bezpečnostním inženýrství
Strategické hry v bezpečnostním inženýrství Strategic games in security engineering Bc. Jan Cibulka Diplomová práce 2010 ABSTRAKT Diplomová práce je zaměřena na vyuţití teorie her a optimálního rozhodování
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceNáhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
VíceVYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Model tahové hry s finančními odměnami
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Obor: Statistika a ekonometrie Název bakalářské práce Model tahové hry s finančními odměnami Autor: Vedoucí bakalářské práce: Rok: 009 Markéta
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. Úvodní informace Obsah kursu 1. Úvod do teorie her
Teorie her a ekonomické Úvodní informace Obsah kursu 1. Úvod do teorie her Úvodní informace Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Místnost: 433 NB Konzultace: Středa 6:30 7:30, 19:30 20:30 Čtvrtek E-mail: jana.seknickova@vse.cz
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceMatice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např.
Matice přechodu Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např. u příkladu 7 (v ) dostaneme: Nyní bychom mohli postupovat jako u matice homomorfismu
Více( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204
9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Více2. KONEČNÉ HRY 2 HRÁČŮ
Markl: Konečné hry 2 hráčů /TEH_2_2006.doc/ Strana 1 2. KONEČNÉ HRY 2 HRÁČŮ Definice 2.1: Konečná hra dvou (racionálních) hráčů je speciální případ hry v normálním tvaru (viz definice 1.1.2)
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
VíceMODELY OLIGOPOLU COURNOTŮV MODEL, STACKELBERGŮV MODEL
MODELY OLIGOPOLU COURNOTŮV MODEL, STACKELBERGŮV MODEL DOKONALÁ KONKURENCE Trh dokonalé konkurence je charakterizován velkým počtem prodávajících, kteří vyrábějí homogenní produkt a nemohou ovlivnit tržní
VíceObr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel
Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
VíceUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Teorie her v praxi. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Šárka Hezoučká Teorie her v praxi Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Petr Lachout,
Více13. cvičení z PSI ledna 2017
cvičení z PSI - 7 ledna 07 Asymptotické pravděpodobnosti stavů Najděte asymptotické pravděpodobnosti stavů Markovova řetězce s maticí přechodu / / / 0 P / / 0 / 0 0 0 0 0 0 jestliže počáteční stav je Řešení:
Více