Otázky. má objem V v. Orientace

Transkript

1 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Výroky operce s nimi vyučující:vítězslv Pěničk Účst Aleny, Báry, Cyril Dvid n koncertě skupiny PINK FLOYD je vázán těmito podmínkmi: Přijde spoň jeden chlpec, nejvýše jedn dívk právě jeden ze sourozenců Alen, Cyril Bár nepřijde bez Dvid, přitom je všk vyloučeno, by přišl Alen spolu s Dvidem Které skupiny z této čtveřice se mohou zúčstnit kdo n koncert určitě půjde? Petr Mrtin čekjí před kinem n své kmrády Ondru, Mtěje Dvid Petr tvrdí: Přijde-li Ondr Mtěj, přijde i Dvid Mrtin říká: Já si myslím, že když přijde Ondr nepřijde Dvid, nepřijde ni Mtěj N to Petr odvětí: To ovšem říkáš totéž co já Rozhodněte, zd ob skutečně říkjí totéž Některý z žáků A, B, C rozbil okno Je zjištěno, že v té době nebyl u okn žák A nebo u něho nebyl žák B Když B nebyl u okn, nebyl tm ni A Žák C nebyl u okn právě tehdy, když u něho nebyl žák A Určete pchtele, víte-li, že byl právě jeden Účst tří sourozenců A, B, C n koncertě je vázán podmínkmi: nepůjde A nebo nepůjde B Když B nepůjde, nepůjde ni A C půjde právě tehdy, když nepůjde A Jké možnosti účsti n koncertě jsou? 5 Ověřte pomocí tbulky prvdivostních hodnot, zd je tutologií výroková formule A B C A B A C A B A B 6 Ověřte, zd se jedná o tutologii Co je to výrok, co je to tutologie? Npište obměnu, obrácení negci výroku: k Z : / k / k Obměnu dokžte Znegujte výroky: )Dná rovnice má lespoň reálné kořeny b)aspoň žák řeší mtemtickou olympiádu c)kždý den je důvod k rdosti d)nikdy nevstávám před šestou hodinou ráno e)kždý Mrťn má dvě hlvy f)kždý den je důvod k rdosti nebo k pláči g)právě jsem v kině dobře se bvím Mtemtický výrok má tvr: tg sin Je-li R, k Z, k, pk pltí cot g Dokžte ho tg sin 5 Dokžte výrok: Kždý rotční kužel s poloměrem podstvy r výškou v má objem V v r (Užitím integrálního počtu) Orientce Definujte pojem funkce (reálná funkce reálné proměnné) Nčrtněte do jednoho obrázku grfy funkcí y, y log Nčrtněte kuželosečku o rovnici y Jk získáme v trojúhelníku následující body: těžiště, ortocentrum, střed kružnice opsné vepsné? 5 Npište komplení číslo z=+i v goniometrickém tvru tříd B školní rok 005/006

2 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Množiny operce s nimi vyučující:vítězslv Pěničk Pomocí Vennov digrmu zjednodušte množinový zápis, jsou-li A, B, C libovolné podmnožiny zákldní množiny U: C A C A B A B Pomocí Vennov digrmu rozhodněte, zd pro libovolné podmnožiny A, B, C zákldní množiny U pltí: B C A B A C tříd B školní rok 005/006 A Pomocí Vennov digrmu zjednodušte množinový zápis A B C A B C, kde A, B, C jsou libovolné podmnožiny zákldní množiny U Zákzník sděluje prodvčce své přání: Chci kbát s kpucí Přitom chci, by měl pásek zelenou brvu, nebo to může být kbát s teplou vložkou kpucí V žádném přípdě to nesmí být kbát s teplou vložkou bez pásku Prodvčk upozorňuje zákzník, že zelený kbát s kpucí, páskem teplou vložkou nemjí Zákzník si nkonec koupil hnědý kbát s vložkou, páskem kpucí Odpovídl tento kbát jeho původnímu přání? 5 Dv svtební svědci objednávjí v květinářství svtební kytici Prodvčk jim oznmuje, že mjí bílé, červené i růžové růže doporučuje jim kytici z bílých růží První svědek to odmítá říká: Předstvuji si kytici, ve které budou růžové růže, nesmí v ní být le žádná červená Nebo by se mi líbil kytice, ve které jsou červené růže, le přitom v ní pochopitelně nebude ni jedn bílá Druhý svědek s ním nesouhlsí říká: Mě by se líbil kytice, ve které jsou bílé růže přitom žádná červená, nebo kytice, ve které jsou červené růže, le nesmí v ní být pk ni jedn růžová Prodvčk připrvil kytici červených růží Vyhověl přání spoň jednoho svědk? Mohl připrvit jinou kytici přitom splnit poždvky obou svědků? 6 Ve městě jsou linky utobusů A, B, C N lince A je 8 zstávek, n lince B je 0 zstávek, n C 5 zstávek Počet společných stnic n linkách A, B je stejný jko n A,C, to o méně než n B C Smosttných zstávek n A je 0, stejně tk n B Zstávek n A nebo B, kde neství C, je Kolik je stnic, kde ství všechny utobusy kolik je všech stnic ve městě? Ověřte pomocí Vennov digrmu pltnost vzthu A B A B Ověřte pomocí Vennov digrmu pltnost vzthu A B C A B C' A Určete množinu B F, y E ; y y Určete množinu R; 0 F Určete množinu A R; 0 6 V Gussově rovině zobrzte množinu kompleních čísel z, která splňují vzthy z z 0 z i Orientce Definujte pojem sudá funkce Nčrtněte do jednoho obrázku grfy funkcí y cos, y rccos Určete NSD nsn čísel 00, 90 Nčrtněte do jednoho obrázku grfy funkcí y =, y = 5 n n Vypočtěte lim n n n 9

3 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Důkzové metody v mtemtice vyučující:vítězslv Pěničk Dokžte, že pro všechn n N pltí: n n Dokžte sporem, že je ircionální číslo Dokžte větu: n N : / 7 n Dokžte větu: r Z : r je sudé číslo r je sudé číslo 5 Dokžte sporem větu: r R 0 : r r 6 Dokžte, že pro všechn n N pltí: n n n n nn n 7 Dokžte, že pro všechn n N pltí: 6 / n n Vysvětlete, jké zákldní typy důkzů se v mtemtice používjí Dokžte větu: k Z : / k / k Dokžte sporem nerovnost n n Dokžte vzth i cos n isin n 5 Dokžte, že součet mocnin tří po sobě jdoucích přirozených čísel je dělitelný devíti n n 6 Dokžte pltnost vzthu i cosn isin n 7 Dokžte pltnost některé Euklidovy věty Orientce O jkou kuželosečku se jedná, má-li rovnici +y ++y-5=0? Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y, y Určete v rovnici log 5 Která shodná zobrzení v rovině či prostoru znáte? Určete jejich smodružné body či útvry 5 Vypočtěte cos d tříd B školní rok 005/006

4 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky vyučující:vítězslv Pěničk tříd B školní rok 005/006 Reálná čísl (lgebrické výrzy, dělitelnost Z) Uprvte výrz určete, z jkých podmínek má smysl: 5 0,,5,5 0,5,5 0 b b b b b b b b b Uprvte výrz určete, pro která R má smysl: 5 Uprvte výrz určete, pro která R má smysl:, b b b b Uprvte určete, pro která R y, má výrz i úprvy smysl : y y y 5 Uprvte výrz určete, z jkých podmínek má smysl: V oboru reálných čísel určete definiční obor funkce f 5 5 Zobrzte n číselnou osu reálné číslo 5 Konstrukci proveďte dvěm způsoby Dokžte, že pro všechn přirozená čísl n pltí, že číslo n n je dělitelné třemi Číslo 0, (kde počet nul mezi dvěm jedničkmi prvidelně roste o jednu) je ) číslo rcionální, b) není číslo rcionální c) převrácená hodnot jistého celého čísl d) součin dvou rcionálních čísel e) součet dvou rcionálních čísel Množin přirozených čísel je částí množiny čísel reálných Určete všechny dvojice,yn, pro něž je D(,y)=6, n(,y)=7 5 V oboru reálných čísel určete definiční obor funkce f: 6 log y 6 Určete všechn reálná čísl splňující rovnici Jsou dán reálná čísl, b, c>0 Sestrojte reálné číslo bc Orientce Definujte pojem limit posloupnosti Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí, y y Zderivujte funkci e y Sečtěte všechn přirozená čísl od do 99 5 Npište rovnici kružnice, která má střed n ose, os y je její tečnou jejíž poloměr je cm

5 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 5 Komplení čísl vyučující:vítězslv Pěničk V oboru kompleních čísel řešte rovnici 97 6 tříd B školní rok 005/006 0 Výsledek npište v lgebrickém i goniometrickém tvru znázorněte ho v Gussově rovině Řešte v oboru kompleních čísel rovnici 5 i 6 i 0 i Výsledek npište v lgebrickém i goniometrickém tvru znázorněte ho v Gussově rovině Řešte v oboru kompleních čísel rovnici s neznámou z: i z i z 9 i Výsledek npište v lgebrickém i goniometrickém tvru znázorněte ho v Gussově rovině Řešte v C rovnici i i i 0, kořeny vyjádřete v lgebrickém tvru 8 i 5 Řešte v C rovnici Řešte v C rovnici 0 7 Je dán prvidelný pětiúhelník se středem v počátku Gussovy roviny, jehož jeden vrchol je obrzem kompleního čísl i Určete komplení čísl, jejichž obrzy jsou zbývjící vrcholy pětiúhelníku 8 Vypočtěte součet s = , kde i lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ) 0 Vypočtěte: i i i i Vypočtěte: Vypočtěte: 8 i i i 5i i i i i i Užitím Moivreovy binomické věty vyjádřete cos pomocí cos sin 5 Řešte rovnici 0 pro C 6 Znázorněte v Gussově rovině všechn komplení čísl z, která splňují nerovnici z z i 7 V oboru kompleních čísel určete 8 8 Řešte rovnici z z v oboru kompleních čísel 9 Rovnice +p+7=0 má jeden kořen i Určete druhý kořen prmetr pr 0 Sečtěte prostřední členy rozvoje výrzu (-i) 00 Orientce Vysvětlete pojem určitý integrál (z geometrického názoru) Nčrtněte do jednoho obrázku grfy funkcí y, y log Npište vektor kolmý k vektoru v, Nčrtněte funkci y = f(), která splňuje tyto podmínky: Npište rovnici přímky, která prochází bodem A[,0] je rovnoběžná s přímkou y = +5

6 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 6 Úprv nelgebrických výrzů vyučující:vítězslv Pěničk Zjednodušte výrz určete, z jkých podmínek má smysl: tg sin tg cos cos Zjednodušte výrz určete, z jkých podmínek má smysl: sin cos 5 sin cos Zjednodušte výrz určete, z jkých podmínek má smysl: sin sin sin 5 sin 7 cos cos cos5 cos7 Určete cos, víte-li: 6 sin 5 cos sin cos 5 Vypočtěte sin + cos, je-li: 8 cot g 5 6 Určete cos, víte-li: tg Určete hodnotu výrzu log log log pk určete, pro jké reálné číslo je hodnot tohoto výrzu rovn Pro kterou hodnotu R je hodnot výrzu Určete definiční obor grf funkce y Uprvte pro všechny přípustné hodnoty výrz sin sin cos cos : cos cos sin sin cos cos rovn třem? 5 Určete člen binomického rozvoje výrzu log z 0 z z z Orientce ) Definujte pojem rozdíl množin A, B ) Nčrtněte do jednoho obrázku grfy funkcí ) Určete v rovnici log 5 y, y ) Která shodná zobrzení v rovině či prostoru znáte? Určete jejich smodružné body či útvry 5) O jkou kuželosečku se jedná, má-li rovnici -y ++y-5=0? 5log z 0 tříd B školní rok 005/006

7 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 7 Rovnice Řešte v R rovnici s prmetrem R Stnovte hodnotu prmetru R v rovnici tk, by rovnice měl ob kořeny kldné 0 Proveďte úplnou diskusi řešení rovnice m m 0 s prmetrem m R V množině R řešte rovnici R je prmetr 5 Řešte v R rovnici 6 Řešte v R rovnici 6 p p p s prmetrem p R b b s prmetry, b R, kde vyučující:vítězslv Pěničk Aniž byste řešili rovnici 0, sestvte rovnici, jejímiž kořeny jsou druhé mocniny kořenů dné rovnice Řešte v R rovnici 5 s prmetrem R Řešte v R početně nerovnici 0 5 Řešte v R rovnici 0 5 Definujte pojmy bsolutní hodnot reálného čísl, ircionální rovnice 6 Řešte v R rovnici Řešte v R rovnici Orientce Definujte pojem krtézský součin množin AB Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y = -+5, y = +5 Pomocí Pythgorovy věty zkonstruujte úsečku 7 Uprvte n! n! 5 Vypočtěte d tříd B školní rok 005/006

8 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 8 Nerovnice vyučující:vítězslv Pěničk 6 7 Řešte v R nerovnici V množině R řešte nerovnici 6 Řešte v R nerovnici Řešte v R nerovnici V intervlu 0 ; řešte nerovnici cos 5cos 0 6 Řešte v R nerovnici 7 7 Řešte v R nerovnici log log 8 Řešte v R nerovnici Řešte nerovnici v Z Řešte nerovnici v Z ( ) ( ) 0 V Gussově rovině vyznčte množinu řešení rovnice z i 5 Řešte v R nerovnici 5 Řešte v R nerovnici Orientce Ndefinujte pojem posloupnost, chrkterizujte ritmetickou geometrickou posloupnost Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y=tg, y=rctg Pomocí Vennov digrmu znázorněte množiny A B C, A B C Určete počet úhlopříček součet vnitřních úhlů v konvením osmiúhelníku n 5 Zkrťte kombinční číslo n tříd B školní rok 005/006

9 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 9 Soustvy rovnic nerovnic vyučující:vítězslv Pěničk Rozdíl druhé mocniny dvojciferného čísl dvdvcetinásobku jeho ciferného součinu se rovná 00 Změníme-li pořdí cifer od druhé mocniny tkto vzniklého opět dvojciferného čísl odečteme jeho ciferný součin vynásobený 08, dostneme číslo 00 Určete toto číslo Užitím mtic vyřešte v R soustvu rovnic: y z u 0 y z u Řešte v R soustvu nerovnic: y z u 5 y z u Řešte v R soustvu rovnic s prmetrem R y y 5 Řešte v R soustvu rovnic s prmetrem br b y b y 6 Řešte v R soustvu rovnic s prmetrem R určete, pro která má soustv kldné kořeny y y 5 9 Vypočtěte neurčitý integrál d Řešte grficky i početně soustvu nerovnic 6 0, 6 Ze 6ti změstnnců jistého podniku cestuje do práce 9 vlkem Autobusem určitě necestuje změstnnců Právě jedním z doprvních prostředků cestuje rovněž změstnnců Kolik jich cestuje jen vlkem, jen utobusem, kolik oběm prostředky? Určete vzájemnou polohu přímky AB A 5;, B ; 7 p, kružnice k : y 6y 0 5 Součet převrácených hodnot dvou čísel je roven pěti, součet čtverců těchto převrácených hodnot je roven třinácti Určete tto čísl Orientce Usměrněte zlomek 5 Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y sin, y sin Definujte pojem zobrzení Určete průsečík funkce y=- s osou grf této funkce nčrtněte 5 Pro jké pltí rovnost tg =? tříd B školní rok 005/006

10 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 0 Zákldní vlstnosti funkcí vyučující:vítězslv Pěničk ln Vyšetřete průběh funkce f určete její zákldní vlstnosti (symetrie, monotonie, etrémy, konvenost, konkávnost, inflení body), nčrtněte její grf Vyšetřete průběh funkce f určete její zákldní vlstnosti (symetrie, monotonie, etrémy, konvenost, konkávnost, inflení body), nčrtněte její grf Vyšetřete průběh funkce f e určete její zákldní vlstnosti (symetrie, monotonie, etrémy, konvenost, konkávnost, inflení body), nčrtněte její grf Sestrojte grf funkce f určete její vlstnosti 5 Je dán funkce f log Určete její definiční obor obor hodnot nčrtněte její grf Rozhodněte, zd k funkci f eistuje inverzní funkce pokud no, určete ji, stnovte její definiční obor obor hodnot nčrtněte její grf 6 Sestrojte grf funkce f určete její vlstnosti Vysvětlete význm symptot způsob jejich určování Ukžte n průběhu funkce f Vysvětlete pojem inverzní funkce, určete inverzní funkci k funkci f Vysvětlete rozdíl mezi funkcemi f g n tomto příkldě pojem funkce spojitá v bodě Vyšetřete pro funkci f 5 Vysvětlete limity v krjních bodech definičního oboru monotonii Nčrtněte n zákldě těchto výsledků přibližný průběh této funkce 5 Řešte nerovnici Orientce Co rozumíte pod pojmem prvděpodobnost jevu A? Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y, y Rozložte dvojčlen n součin dvou lineárních dvojčlenů ) v oboru reálných čísel, b) v oboru kompleních čísel Dokžte, že pro všechn přirozená čísl pltí / 5 Odvoďte, jkou délku má výšk v rovnostrnném trojúhelníku o strně tříd B školní rok 005/006

11 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Polynomická, rcionální mocninná funkce vyučující:vítězslv Pěničk Sestrojte grf určete vlstnosti funkce Sestrojte grf funkce inverzní Sestrojte grf funkce Nčrtněte grf funkce f f určete, zd k ní eistuje funkce f určete inverzní funkci f Vysvětlete, jk můžeme g určit vrchol (všechny možnosti) Nčrtněte grf funkce 5 Sestrojte grf funkce : y 6 Zobrzte množinu bodů, jejichž souřdnice vyhovují nerovnosti: y 7 Zobrzte množinu bodů, jejichž souřdnice vyhovují nerovnostem: y y 0 Vyšetřete kvdrtickou funkci, jejíž grf prochází body A[0;], B[-;0], C[;] Zkreslete do jednoho obrázku dvojice funkcí: f, g k, l m, n Užitím diferenciálního počtu vyšetřete průběh funkce f 6 Užitím diferenciálního počtu vyšetřete průběh funkce f 6 Orientce Definujte pojem funkce (reálná funkce reálné proměnné) Nčrtněte do jednoho obrázku grfy funkcí y, y log Nčrtněte kuželosečku o rovnici y Jk získáme v trojúhelníku následující body: těžiště, ortocentrum, střed kružnice opsné vepsné? 5 Npište komplení číslo z=+i v goniometrickém tvru tříd B školní rok 005/006

12 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Eponenciální funkce, rovnice, nerovnice vyučující:vítězslv Pěničk Řešte v R rovnici 8 8 Řešte v Z rovnici Řešte v R rovnici 5 Řešte v R rovnici 8 9 log 7 5 Řešte v R rovnici 5 6 Řešte v R rovnici Pomocí limit derivce vyšetřete zhrub průběh funkce y e Určete obsh rovinného obrzce ohrničeného křivkmi y=e, y=e - přímkou = Řešte v R rovnici Řešte v R rovnici 5 Řešte v R rovnici 5 6 Řešte v R rovnici 9 8 Orientce Ndefinujte pojem inverzní funkce Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y=, y= Určete strnu komolého kuželu o poloměrech podstv r = 6cm, r = cm výšce v = cm Co je Psclův trojúhelník, jk vypdá, co z něj umíte vyčíst? 5 Jsou dány vektory ;0;0, b0;;0 tyto vektory kolmý Npište libovolný vektor n ob tříd B školní rok 005/006

13 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Logritmická funkce, rovnice, nerovnice vyučující:vítězslv Pěničk Řešte v R rovnici log log 8 log 6 V množině R řešte rovnici log log V množině R řešte rovnici log log V množině R řešte rovnici 0 5 Řešte v N rovnici log 8 log 5 0log Řešte v N rovnici loglog log( log ) Definujte pojmy eponenciální logritmická funkce, uveďte jejich vlstnosti grfy Řešte nerovnici log log 0 5log log 5 Řešte rovnici log log Řešte rovnici log log log 5 Řešte rovnici log log Řešte v N rovnici log ( ) log 5 0, 9 Orientce Definujte pojem primitivní funkce F () k funkci f () n intervlu (, b) Nčrtněte do jednoho obrázku grfy funkcí y = -, y = (-) Určete typ chrkteristiky posloupnosti členů,,, Zderivujte funkci y sin, Určete zákldní prmetry prboly o rovnici (y-) =+6 nčrtněte ji tříd B školní rok 005/006

14 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Goniometrická funkce, rovnice, nerovnice vyučující:vítězslv Pěničk Řešte v R rovnici: 6 sin 7 sin 8 cos 0 Řešte v R rovnici: sin cos Řešte v R rovnici: sin cos tg 0 Uprvte výrz určete, z jkých podmínek má smysl: sin sin sin5 cos cos cos5 5 tg Řešte rovnici tg tg, 0; tg 6 Řešte v R rovnici 6sin 7sin 8cos 0 7 Řešte v R: tg tg 0 Určete definiční obor funkce f tg tg Řešte v R rovnici sin tg Nčrtněte grf funkce f sin určete její vlstnosti sin Vypočtěte lim 0 cos 5 Dokžte Moivreovu větu (mtemtickou indukcí) 6 Vypočtěte lim 0 sin Orientce Ndefinujte pojem prvočíslo Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y=(-), y=(-) Uprvte výrz y Pomocí Vennových digrmů znázorněte množinu A B', A B, 5 Která shodná zobrzení znáte? tříd B školní rok 005/006

15 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 5 Trigonometrie vyučující:vítězslv Pěničk Topol vrhá 7,7m dlouhý stín n stráň, která stoupá od pty stromu ve směru stínu pod úhlem 5 o Určete, jk vysoký je topol, je-li výšk Slunce nd obzorem 7 o ' Určete výšku mrku nd hldinou jezer, jestliže ho vidíme z míst A pod výškovým úhlem ze stejného míst vidíme jeho obrz v jezeře pod hloubkovým úhlem Výšk míst A nd rovinou hldiny jezer je d Řešte obecně Pt C rozhledny míst A, B, ze kterých rozhlednu pozorujeme, jsou vrcholy trojúhelníku, ve kterém AB c 80 m, CAB 60, ABC 8 Určete výšku rozhledny, víte-li, že z míst A je vidět vrchol rozhledny pod výškovým úhlem 50 Z okn domu stojícího těsně nd řekou vidíme kámen n protějším břehu v hloubkovém úhlu 6 Z jiného okn, které je m nd prvním oknem, vidíme stejný kámen v hloubkovém úhlu Jk široká je řek? 5 Vypočtěte strny prvoúhlého trojúhelník, má-li výšku cm poloměr opsné kružnice 5cm 6 Letdlo letí ve výšce 00 m k pozorovtelně V okmžiku prvního měření je bylo vidět pod výškovým úhlem, při druhém měření pod výškovým úhlem 58 Vypočítej vzdálenost, kterou letdlo proletělo mezi oběm měřeními Tři kružnice o poloměrech r =6mm, r =mm, r =8mm se nvzájem dotýkjí Jk vypočítáte velikosti úhlů, které svírjí jejich středné? Dokžte pltnost Euklidovy věty o výšce Sestrojte třemi způsoby 5 Koule o poloměru 0j je osvětlen z bodu, jehož vzdálenost od středu je 50j Vypočtěte obsh osvětlené části 5 Řešte ABC, je-li dáno +b=00, c=80, =70 o (Není nutné počítt číselně ž do konce, stčí postup) 6 Tři síly, jejichž velikosti jsou v poměru :7:9, působí v rovině v témže bodě tk, že jsou v rovnováze Určete velikosti úhlů, které tyto síly svírjí Orientce Co rozumíte pod pojmem vrice (bez opkování s opkováním)? Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y, y Určete definiční obor funkce y Je dáno komplení číslo z=-+i Npište ho v goniometrickém tvru 5 Vypočtěte sin d tříd B školní rok 005/006

16 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 6 Posloupnosti řdy vyučující:vítězslv Pěničk V dném rovnostrnném trojúhelníku ABC sestrojte kolmici z vrcholu C n strnu AB, ptu kolmice oznčte B Bodem B veďte rovnoběžku se strnou AC, průsečík této rovnoběžky se strnou BC oznčte C Ptu kolmice z bodu C n strnu AB oznčte B, průsečík strny BC rovnoběžky se strnou AC vedené bodem B oznčte C Ptu kolmice z bodu C n strnu AB oznčte B, průsečík strny BC rovnoběžky s AC vedené bodem B oznčte C Tento postup neustále opkujte Vypočtěte délku nekonečné lomené čáry AC B C B C B C, která vznikne uvedeným postupem Povrch kvádru je 78 cm Součet délek hrn vycházejících z jednoho vrcholu je cm Určete objem kvádru, víte-li, že délky hrn kvádru jsou tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti Drát má průměr 5 mm Jedním protžením se průměr drátu zmenší o 0% Jký bude průměr drátu po deseti protženích? Po kolik protženích bude průměr drátu menší než mm? V obci je 000 obyvtel, roční přírůstek je 7% obyvtel Kolik obyvtel bude mít obec z 9 let? Z kolik let bude mít obec obyvtel? Při jkém ročním přírůstku by obec měl z 5 let obyvtel? 5 Řešte v R rovnici Menší kořen rovnice 0 0 je prvním členem geometrické posloupnosti větší kořen je jejím koeficientem Kolik členů je třeb sečíst, by jejich součet byl větší než 50? 7 Z jednoho bodu rmene ostrého úhlu = 60 o, který je od vrcholu vzdálen cm, veďte kolmici n druhé rmeno, pk opět zpět td Určete délku tkto vzniklé čáry 8 Kolik členů ritmetické posloupnosti určené 0 =8, 5 =8 je nutno sečíst, by součet byl větší než 00 menší než 0? Definujte pojmy posloupnost nekonečná řd Vypočtěte součet s= i, kde Npište rekurentní vyjádření posloupnosti zd je konvergentní Při průchodu sklem se pohltí 5 průchodu pěti skleněnými deskmi? n n n 5 Řešte v R rovnici log log log 6 Zpište ve tvru zlomku číslo,00 Orientce Jká je definice kombinčního čísl? Nčrtněte grf funkce y Rozdělte úsečku AB v poměru :7 Řešte nerovnici 5 rozhodněte, světl Jká část světl zůstne po 5 K přímce p: +y-=0 npište rovnici přímky kolmé, procházející počátkem tříd B školní rok 005/006

17 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 7 Spojitost limit funkce vyučující:vítězslv Pěničk Vyšetřete pouze s užitím limit průběh funkce (včetně symptot) 7 f Vypočtěte cos tg lim 0 sin Vyšetřete jen n zákldě limit průběh funkce (včetně symptot) y Vypočtěte lim Vyšetřete jen n zákldě limit průběh funkce (včetně symptot) y 6 Vypočtěte lim Objsněte pojem limit posloupnosti Vysvětlete, co je L Hospitlovo prvidlo použijte ho při odvození lim sin Vypočtěte bez použití L Hospitlov prvidl lim n n n Vypočtěte lim n 0 tg 5 Nčrtněte grf libovolné funkce f, která splňuje tyto podmínky: lim f, lim f, lim f, lim f, 0 lim f, lim f Vypočtěte lim Orientce tříd B školní rok 005/006 ) Uveďte geometrickou definici prboly ) Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y, y 5 ) Njděte všechn řešení rovnice sin v R ) V rovnici - + = 0 určete hodnotu prmetru tk, by rovnice měl ) jeden dvojnásobný kořen b) jeden nulový kořen 5) Kolik přímek lze proložit devíti různými body v rovině, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce?

18 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 8 Derivce funkce vyučující:vítězslv Pěničk Njděte kužel, který má při dném povrchu mimální objem ln Vyšetřete průběh funkce f, nčrtněte její grf Npište rovnici normály grfu funkce f ln v bodě dotyku T[e;y 0 ] Muž v loďce vzdálené 0km od pobřeží se chce dostt do míst A n pobřeží, které je vzdálené 6km Zjistěte, kde se musí vylodit, by dosáhl cíle v co nekrtší době, když vesluje rychlostí,km/h jde rychlostí 9,6km/h 5 Npište rovnici tečny ke křivce y 5 v bodě dotyku T[;?] 6 Uprostřed nd kruhovou deskou stolu o poloměru R = m je zvěšený zdroj světl Vypočítejte, do jké výšky je ho třeb posunout, by intenzit osvětlení okrje stolu byl největší Objsněte pojem derivce funkce Jký je její geometrický fyzikální význm? Derivujte implicitně zdnou funkci y 0 Určete derivci funkce f rcsin Dokžte, že 5 Derivujte funkci y sin 6 Vypočtěte lim 0 sin Orientce Uveďte geometrickou definici hyperboly Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y, y Njděte všechn řešení nerovnice log 5 V Gussově rovině zobrzte všechn komplení čísl, pro něž pltí z i 5 Nčrtněte trojúhelník, jehož vrcholy tvoří body, které n ciferníku znázorňují,7,9 Určete jeden z vnitřních úhlů tohoto trojúhelník tříd B školní rok 005/006

19 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 9 Primitivní funkce vyučující:vítězslv Pěničk 8 sin Vypočtěte: ) d, b) cos cos d Vypočtěte: ) d 5cos cos, b) d cos Vypočtěte: ) sin d, b) d cos Vypočtěte: ) rcsin d, b) cos d 5 Vypočtěte: ) d, 5 b) d cos 6 Vypočtěte: ) tg d, b) d Vysvětlete pojem primitivní funkce K funkci f cos určete primitivní funkci tk, by procházel bodem A ; Rozhodněte o metodě řešení vypočtěte neurčitý integrál cos sin d Rozhodněte o metodě řešení vypočtěte neurčitý integrál 5 9 d 5 5 Rozhodněte o metodě řešení vypočtěte integrál cos sin d 6 Rozhodněte o metodě řešení vypočtěte neurčitý integrál ln d, 0, 7 Určete křivku procházející bodem [-,], která má tu vlstnost, že směrnice její tečny v libovolném jejím bodě se rovná druhé mocnině -ové souřdnice dotykového bodu Orientce tříd B školní rok 005/006 Uveďte klsickou definici prvděpodobnosti jevu A Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y, y t Jkou vzájemnou polohu mjí přímky p:, t ; y t 5 s q:, s ; y s Rozhodněte, o jký typ složeného výroku se jedná: Je-li číslo zkončeno cifrou, je i jeho druhá mocnin zkončen cifrou Vyslovte obměnu negci tohoto výroku 5 Řešte nerovnici 5 0

20 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 0 Aplikce určitého integrálu vyučující:vítězslv Pěničk Vypočtěte obsh útvru, který je ohrničen grfy funkcí f g, Vypočtěte obsh útvru, který je ohrničen grfy funkcí f g přímkmi o rovnicích 0 y,, Vypočtěte obsh útvru, který je ohrničen grfy funkcí e g e, e h Určete délku křivky y f, v levé polorovině vyťté přímkou = 5 Vypočtěte obsh oblsti omezené křivkmi y, y 0 6 Nádob ve tvru polokoule s poloměrem 0 m je nplněná vodou Jká práce je nutná je její vyčerpání? Určete objem těles, které vznikne rotcí křivky f sin v intervlu 0 ; kolem osy Odvoďte vzth pro výpočet objemu rotčního kuželu s poloměrem podstvy r výškou v Odvoďte vzth pro výpočet objemu koule o poloměru r Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného křivkmi y, y 5 5 Odvoďte vzth pro výpočet obshu kruhu o poloměru r (Nznčte postup) 6 Odvoďte vzth pro výpočet délky křivky, která je grfem funkce y=f() n intervlu <,b> Orientce Uveďte geometrickou definici elipsy Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y e, y Je dáno komplení číslo z Npište jeho lgebrický tvr do Gussovy roviny zkreslete číslo z = -z Jestliže dnes úspěšně odmturuji, budu zítr oslvovt Vyslovte negci obměnu tohoto výroku 5 Určete definiční obor funkce y log tříd B školní rok 005/006

21 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Kombintorik prvděpodobnost vyučující:vítězslv Pěničk Kolik různých nejvýše pěticiferných přirozených čísel lze vytvořit z cifer 0,, 5? Kolik z nich je větších než ? Určete počet všech přímek určených pěti různými body v rovině, z nichž právě leží v jedné přímce V obchodě mjí čtyři druhy jogurtů (jhodový, čokoládový, oříškový, meruňkový) Určete, kolik je možností n nákup 5 libovolných jogurtů Pro která přirozená čísl n pltí rovnost n n n n 88? 5 Pro která přirozená čísl n > pltí nerovnost n n n 6 7? 6 Řešte v N rovnici 5 y y 7 Lékř úspěšně léčí v 80% přípdů Určete prvděpodobnost, že z 0 vyšetřovných pcientů vyléčí lespoň sedm 8 Do cukrárny bylo dodáno náhodně 0 věnečků z várky, ve které bylo celkem 0 věnečků 8 z nich bylo bez cukrové polevy Určete prvděpodobnost, že v cukrárně dostli lespoň věnečky bez polevy 9 Kolik čtyřciferných čísel vytvořených z číslic,, 5, 6, v nichž se cifry mohou opkovt, je dělitelných devíti? tříd B školní rok 005/006 6 y 6 y 0 Řešte rovnici Kolik způsoby můžeme vytvořit ze 7 chlpců dívek volejblové družstvo o šesti členech, mjí-li v něm hrát spoň dívky? V účetních dokldech je chyb Kontrolují je nezávisle dv kontroloři První njde chybu s prvděpodobností 0,9, druhý s prvděpodobností 0,95 Jká je prvděpodobnost, že chybu njde spoň jeden z nich? V urně je 7 bílých 9 modrých kuliček Vybereme jednu z nich Pk vybereme druhou Jká je prvděpodobnost, že první vybrná kuličk bude bílá druhá modrá, když ) první vybrnou kuličku vrátíme zpět do urny, b) první vybrnou kuličku nevrátíme zpět do urny Kolik různých (i nesmyslných) slov lze vytvořit z písmen slov MISSISSIPPI (z použití všech písmen)? 5 Užitím Moivreovy věty binomické věty vyjádřete sin, cos pomocí sin, cos 6 Řešte v N rovnici n! n! n 7 Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet kombincí třetí třídy o Kolik je dáno prvků? 8 Určete bsolutní člen rozvoje výrzu Orientce 6 Definujte pojem shodné zobrzení v rovině Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y rc cot g, y cot g Pro jké pltí rovnost log 9? Určete všechn řešení rovnice v oboru reálných čísel 5 Nčrtněte křivku o rovnici y

22 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Geometrická zobrzení v rovině i v prostoru vyučující:vítězslv Pěničk k ; její vnější přímk t, n níž leží bod A Sestrojte kružnici, která se dotýká dné přímky t v bodě A dné kružnice k Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno : b :, =60, t c 5 j Jsou dány dvě různoběžky, b bod M ( M, M b ) Sestrojte kružnici, která prochází bodem M dotýká se přímek, b Jsou dány dvě rovnoběžné přímky, b bod C, který neleží v rovinném pásu (, b) Sestrojte všechny rovnostrnné trojúhelníky ABC tk, by A, Bb 5 Je dán rovnostrnný trojúhelník ABC, jehož strn má délku Vepište do něj co největší čtverec vypočtěte délku jeho strny Npište postup konstrukce 6 Jsou dány různoběžky p, q mimo ně bod A Sestrojte čtverec Je dán kružnice O r ABCD, by B p, D q Co je to zobrzení v rovině, jká znáte shodná zobrzení, mezi jká zobrzení ptří stejnolehlost? V rovině je sestrojen kruhový oblouk Střed kružnice, jejíž je součástí, chybí Sestrojte ho Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno : c = : 7, = 5, t c =,5 cm Proveďte jen rozbor Jká zobrzení určují rovnice mezi kompleními čísly, jestliže z z, z z, z iz? Z : je z z 5 V rovině jsou dány dvě kružnice k, l, které se protínjí Jedním jejich společným bodem veďte všechny přímky, které vytínjí n kružnicích ) shodné tětivy, b) tětivy o poměru délek : Orientce Co se rozumí pod pojmem derivce funkce y=f() v bodě 0, jký je její geometrický fyzikální význm? Sečtěte všechn lichá čísl od do 99 Nčrtněte do jednoho obrázku grfy funkcí y, y Nčrtněte křivku o rovnici y 5 5 Řešte nerovnici sin pro 0; tříd B školní rok 005/006

23 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Konstrukční úlohy v plnimetrii vyučující:vítězslv Pěničk Je dán úsečk AB, AB = 5 cm Sestrojte všechny tětivové čtyřúhelníky ABCD, v nichž je dáno e = 8 cm, = 0, AEB = 05, kde E je průsečík úhlopříček Sestrojte všechny tečnové čtyřúhelníky ABCD, je-li dáno = 7,5 cm, b =,5 cm, = 5, = cm Sestrojte všechny rovnoběžníky ABCD, je-li dáno = 6 cm, v = cm, 0;, AEB, kde E je průsečík úhlopříček Proveďte diskusi pro prmetr Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, ve kterých je v c = cm, b = cm, = cm 5 Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dán úsečk AB, AB = cm, ve kterých = vc = v cm, v > 0 Proveďte diskuzi pro v c 6 Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno = 75, v =,5 cm, r =,5 cm Obdélník má strny o délkách, b Sestrojte čtverec o stejném obshu Sestrojte kružnici k (S; r), která je soustředná s dnými dvěm soustřednými kružnicemi dělí n dvě části se stejným obshem mezikruží se středem S poloměry cm cm Co je tečnový tětivový čtyřúhelník jké mjí vlstnosti? Sestrojte rovnostrnný trojúhelník ABC, je-li dán poloměr r jeho opsné kružnice Nd výškou tohoto trojúhelníku sestrojte dlší rovnostrnný trojúhelník stejným způsobem pokrčujte dále Určete součet obshů těchto trojúhelníků, jestliže jejich počet neomezeně roste 5 Je dán úsečk AC její vnitřní bod B úhly, Sestrojte množinu všech bodů, z nichž je vidět úsečk AB pod úhlem úsečk BC pod úhlem Orientce Které složené výroky znáte? Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y, y Řešte nerovnici 5 0 Je dán přímk v rovině o rovnici y 8 Npište rovnici přímky s ní rovnoběžné procházející počátkem 5 Určete směrnici tečny k funkci y v bodě = tříd B školní rok 005/006

24 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Polohové vlstnosti v rovině vyučující:vítězslv Pěničk Úhlopříčky deltoidu mjí velikosti v poměru :, obsh deltoidu je 96 cm Jk dlouhé jsou strny úhlopříčky deltoidu, protíná-li jedn druhou ve třech osminách její délky? Kosočtverec je dán svým obshem S = 50 cm poměrem úhlopříček e: f = : Vypočítejte jeho výšku, délky strny úhlopříček Do kružnice o poloměru 9 mm je vepsán prvidelný šestiúhelník Vypočítejte obsh kruhové úseče ohrničené strnou šestiúhelníku kružnicí Do rovnostrnného trojúhelníku o strně je vepsán kruh, nd něj dlší kruh, pk znovu dlší, td Určete součet obshů všech těchto kruhů Do jkých dlších témt byste úlohu tké zřdili? 5 Dokžte, že průsečíky úhlopříček prvidelného pětiúhelníku ABCDE jsou vrcholy prvidelného pětiúhelníku Kolikrát je obsh tohoto pětiúhelníku menší, než obsh pětiúhelníku ABCDE 6 Dokžte, že se osy strn trojúhelníku se protínjí v jednom bodě Totéž pro osy úhlů těžnice Diskutujte Apoiloniovu úlohu ppp Řešte Pppovu úlohu (Bp)k Diskutujte Apolloniovu úlohu BBp Rozdělte trojúhelník n tři části stejného obshu 5 Euklidov Lobčevskeho geometrie Sestrojte euklidovsky úhel o velikosti 8 6 Diskutujte vzájemnou polohu p,p p, k Orientce Uveďte geometrickou definici vektorového součinu Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y, A y B C Pomocí Vennov digrmu znázorněte množinu Pro funkci y určete definiční obor, obor hodnot, derivci, primitivní funkci, limity v krjních bodech definičního oboru 5 Určete řez krychle rovinou (,, jsou středy AB, CB GH) tříd B školní rok 005/006

25 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 5 Polohové vlstnosti v prostoru vyučující:vítězslv Pěničk Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM, kde K leží n polopřímce DH tk, že H je středem úsečky DK, L leží n úsečce AF, přičemž AL FL, M je bodem hrny FG, přitom FM GM Nerýsujte, vše přehledně nčrtněte! Sestrojte řez libovolného pětibokého jehlnu ABCDEV rovinou KLM, kde K je střed hrny AB, L leží n hrně CV, přičemž VL CL, M je bod hrny EV, přitom VM ME Nerýsujte, vše přehledně nčrtněte! Je dán prvidelný čtyřboký jehln ABCDV rovin PHE, kde P leží n 5 polopřímce DC tk že DP DC, H leží n hrně DV, přičemž VH DV, bod E je střed hrny AB Sestrojte řez jehlnu rovinou PHE průnik výšky jehlnu roviny PHE Nerýsujte, vše přehledně nčrtněte! Je dán prvidelný čtyřboký jehln ABCDV (viz příloh) Sestrojte řez jehlnu rovinou MNP, kde PDV, MVB, NVC (dle obrázku) sestrojte průsečík této roviny s přímkou RS, kde RAB, AR = RB, SCV, CS = VS 5 Je dán pětiboký jehln ABCDEV (viz příloh) Sestrojte řez jehlnu rovinou KLM, kde KAB, LCV, MEV (dle obrázku) 6 Je dán krychle ABCDEFGH (viz příloh) Sestrojte řez krychle rovinou OPR, kde ODH, PEF, RBC (dle obrázku) rovinou KLM, kde KAE, LAB, MCG (dle obrázku) sestrojte průsečnici obou rovin Rýsujte přesně! Jkou vzájemnou polohu může mít přímk rovin, resp přímky v prostoru, roviny? Nčrtněte krychli ABCDEFGH, zvolte body KAB, LEF, MEH, určete řez KLM Určete vzájemnou polohu přímek XY UV v obrázcích v příloze Je dán jednotková krychle ABCDEFGH Určete početně i konstrukčně vzdálenost bodu E od roviny AFH (Konstrukční řešení pouze nčrtněte vysvětlete) 5 Určete průsečíky přímky KL s tělesem n obrázku v příloze Orientce Definujte pojmy ritmetická geometrická posloupnost y, y Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí Njděte všechn řešení rovnice cos Délky strn obdélník se zvětší v poměru tři ku dvěm V jkém poměru se zvětší poloměr kružnice obdélníku opsné? 5 Nčrtněte funkci f: y=f(), která má následující vlstnosti: ; ; D ( f ) ; pltí lim f ( ) lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ) lim f ( ) 0 tříd B školní rok 005/006

26 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 6 Metrické vlstnosti v rovině vyučující:vítězslv Pěničk Je dán čtverec ABCD o strně = 5 cm, ze středů strn jsou opsány půlkružnice s poloměrem Vypočtěte obsh plochy obrzce, jež omezují (Části kruhu jejich plošné obshy) V rovnormenném trojúhelníku ABC: AB j, AC BC 6 j jsou sestrojeny kružnice, jejichž středy jsou po řdě A, B, C nvzájem se dotýkjí vně Vypočtěte obsh plochy mezi nimi ležící Vypočtěte tíhu plechové desky tvru prvidelného šestiúhelník o strně dm, v níž je vyříznut kruhový otvor o průměru dm, má-li dm plechu tíhu N Je dán prvoúhlý trojúhelník ABC s prvým úhlem při vrcholu C Polokružnice nd odvěsnmi AC, BC ležící v polorovinách opčných k polorovinám ACB BCA vytvoří spolu s polokružnicí nd průměrem AB procházející bodem C dv měsíčky Vypočtěte jejich obshy 5 Určete v prvidelném pětiúhelníku kolikrát je menší obsh pětiúhelníku, který vznikne z průsečíků úhlopříček, než obsh původního pětiúhelníku 6 Kružnici k(s,r) je vepsán rovnostrnný trojúhelník Dokžte, že pro libovolný bod kružnice pltí: Největší se vzdáleností bodu od vrcholů trojúhelníku je rovn součtu vzdáleností bodu od zbývjících vrcholů Určete obsh mezikruží určeného kružnicí vepsnou kružnicí opsnou dnému trojúhelníku o strnách, b, c Rozdělte kruh dvěm soustřednými kružnicemi n tři části o stejném obshu Vyjádřete obvod obsh prvidelného n-úhelníku pomocí n poloměru kružnice mu vepsné Dokžte grficky vzth, který pltí mezí geometrickým ritmetickým průměrem Čísel, b (i pomocí lichoběžníku) Orientce Definujte pojem velikost (modul) kompleního čísl Nčrtněte grf funkce y rcsin Odvoďte metodu per prtés vysvětlete, k čemu slouží Je dán posloupnost {-5,-,,, } Určete její typ zákldní chrkteristiky 5 5 Npište bez záporných lomených eponentů výrz 5, určete jeho definiční obor tříd B školní rok 005/006

27 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 7 Metrické vlstnosti v prostoru vyučující:vítězslv Pěničk Nkloníme-li nádobu tvru polokoule, která byl zcel nplněná vodou, o 0, vyteče z ní l vody Určete poloměr koule, ze které nádob vznikl Kulová ploch je rozdělen dvěm rovnoběžnými rovinmi n tři díly o stejném obshu Jkou částí objemu koule je objem příslušné kulové vrstvy? Vypočtěte objem komolého rotčního kužele o strně 0 cm, která svírá s podstvou úhel 60; úhlopříčky osového řezu jsou n sebe kolmé Vypočtěte objem povrch prvidelného komolého čtyřbokého jehlnu, jehož podstvné hrny mjí délku 8 cm 6 cm odchylk boční stěny od podstvy je 60 Vypočtěte tké odchylku boční hrny komolého jehlnu od podstvy 5 Určete objem povrch komolého rotčního kužele, jehož podstvy jsou kruh opsný kruh vepsný protilehlým stěnám krychle s hrnou délky 6 Kouli je opsán rotční kužel, jehož výšk se rovná šestinásobku poloměru R koule V jkém poměru jsou povrchy obou těles? 7 Do nádoby tvru rovnostrnného válce výšky 0 cm, která je po okrj nplněná vodou, ponoříme míč o poloměru 5 cm Kolik vody z nádoby po vnoření míče vyteče? Do jké výšky bude sht hldin vody po vyjmutí míče z nádoby? 8 Částečně nplněný brel tvru rotčního válce výšky m plve n vodě tk, že jeho os je rovnoběžná s vodní hldinou Délk tětivy, kterou n podstvě brelu vyznčuje povrch vodní hldiny, je 0 cm Výšk kruhové úseče podstvy vyčnívjící nd hldinu je 0 cm Vypočítejte objem brelu Odvoďte vzth pro výpočet objemu koule (pomocí integrálního počtu) Velikosti hrn kvádru jsou tři po sobě jdoucí členy ritmetické posloupnosti Součet délek všech jeho hrn je 96 cm Povrch kvádru je cm Určete objem kvádru Určete odchylku tělesových úhlopříček krychle ) Zvolte vhodně soustvu souřdnic užijte nlytické geometrie b) Použijte stereometrickou metodu Koule o poloměru 8 j je osvětlen z bodu, jehož vzdálenost od středu koule je 0 j Určete obsh osvětlené části koule Orientce Definujte pojem výrok Které zákldní složené výroky znáte? Nčrtněte grf funkce y Určete definiční obor funkce y log Jký úhel spolu svírjí vektory,, b,? Proč? 5 Npište komplení číslo z i v goniometrickém tvru tříd B školní rok 005/006

28 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 8 Zákldy vektorové lgebry vyučující:vítězslv Pěničk Zjistěte, zd body A[;7], B[5;-], C[-;5] tvoří trojúhelník Pk vypočtěte průsečík výšky n strnu s úsečkou BC, pokud eistuje (Vysvětlete pojmy vektor, kolmost, úhel vektorů) Jsou dány body A[-;0], B[;6], C[;-], D[-;5] Zjistěte, zd polopřímk CD protíná úsečku AB určete souřdnice průsečíku, pokud eistuje (Vysvětlete pojmy součet vektorů, rovnoběžnost vektorů) V rovnoběžníku ABCD, kde A[-;-], B[;-], C[;], stnovte souřdnice vrcholu D délku úhlopříčky BD (Vysvětlete pojem kolmost vektorů) N ciferníku hodin je bod A obrzem čísl, bod B obrzem čísl 8, bod C obrzem čísl D obrzem čísl 0 Dokžte (oběm způsoby), že přímky AB CD jsou nvzájem kolmé 5 Bodem A[6, -,9] vektorem (,,) je určen přímk p Njděte Q p tk, by p bylo kolmé n přímku QP, kde P[, -,] 6 V ABC je AB, 6,, AC,, Vypočítejte souřdnice ) vektorů, které splývjí s těžnicemi, b) těžiště, je-li A[0,0,0], c) obsh ABC Definujte sklární vektorový součin vektorů uveďte jejich vlstnosti Rozhodněte, zd vektor w 7; ; je lineární kombincí vektorů u ;;, v ;; Dokžte, že body A[0;;6], B[;-;], C[;-;] určují rovinu určete její normálový vektor Určete velikost vnitřního úhlu trojúhelníku ABC, A[;-;], B[;;], C[0;0;5] 5 Vypočtěte objem rovnoběžnostěnu, jehož hrny tvoří vektory u ; ;0, v ;;6, w ; ;5 6 Jk určíte souřdnice těžiště trojúhelníku Dokžte jednoduchý postup Orientce Definujte pojem inverzní funkce Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y e, y ln Řešte nerovnici v oboru reálných čísel Řešte v N rovnici!! 8 5 Sestrojte úsečku o délce 5 tříd B školní rok 005/006

29 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 9 Anlytická geometrie lineárních útvrů vyučující:vítězslv Pěničk Určete rovnici přímky, jež prochází bodem A[ ; ] od přímky +y+6=0 má odchylku 5 Určete průsečnici rovin,, pro které pltí: : t p, : r s y 6t y s z t p, t, p R z r s, r, s R Určete ptu kolmice vedené z bodu H[;;5] k přímce p: t y t z t, t R určete vzdálenost pty P od bodu H Určete rovnici roviny, která prochází body A[;;5], B[;7;0] je kolmá k rovině : y z V trojúhelníku ABC jsou dány strny b: +y+=0, c: y =0 pt výšky n strnu P[ ;] Nlezněte rovnici strny 6 Bodem A[;5] veďte přímku, která je rovnoběžná s přímkou BC, B[; -], C[ ;] 7 Jsou dány body A[;;0], B[;;0], C[;;0], D[;;] ) Npište prmetrické rovnice přímky AD b) Npište obecnou rovnici roviny ACD c) Určete objem čtyřstěnu ABCD d) Určete velikost výšky čtyřstěnu ABCD n stěnu ACD Určete vzájemnou polohu rovin : y 7z 0 : 8y z 0 Jsou-li rovnoběžné, určete jejich vzdálenost; jsou-li různoběžné, určete jejich odchylku průsečnici Určete vzájemnou polohu přímek AB CD, je-li A[;-;5], B[0;-0;7], C[;-;], D[;-;] Jk byste určili obecnou rovnici roviny určené těmito dvěm přímkmi? Určete hodnotu směrnice k přímky p: y k 5 tk, by přímk p měl od bodu P[0;0] vzdálenost d 5 Zvolte libovolnou rovinu, která není rovnoběžná se žádnou souřdnicovou osou npište rovnici přímky, která je s touto rovinou různoběžná Orientce Ndefinujte pojem n fktoriál Nčrtněte grf funkce y rctg Npište bez záporných lomených eponentů výrz y Je dáno komplení číslo z Nkreslete do Gussovy roviny číslo z =iz 5 5 Zderivujte funkci y cos 8 V krtézské soustvě souřdnic je umístěn prvidelný čtyřboký jehln ABCDV tk, že A[;;0], B[;;0], C[;;0], D[;;0], V[;;] ) Npište prmetrické rovnice přímky AV b) Npište obecnou rovnici roviny ADV c) Určete vzdálenost středu S podstvné hrny BC od přímky AV d) Určete vzdálenost středu S od roviny ADV tříd B školní rok 005/006

30 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky 0 Anlytická geometrie kvdrtických útvrů vyučující:vítězslv Pěničk Nčrtněte grf elipsy 6 5y 6 50y 0 Dále určete všechny přímky, které procházejí bodem Q[5;0] mjí s elipsou 9y 6 jeden společný bod Nčrtněte elipsu 9y 8y 9 0 v jejích průsečících s osou určete tečny Q ; mjí Určete všechny přímky, které procházejí bodem s hyperbolou 9y právě jeden společný bod Rozhodněte, zd rovnice y 0 0 je rovnicí prboly Pokud no, určete tečnu této prboly, která je kolmá k přímce y Je dán prbol y přímk p: y 5 0 )dokžte, že přímk p nemá s prbolou žádný společný bod b)určete souřdnice bodu, který leží n prbole od přímky p má nejmenší vzdálenost 6 Určete kuželosečku, jejíž rovnice je 6y 0, nčrtněte ji npište rovnici její tečny kolmé n přímku p: y Určete rovnici kružnice, která prochází bodem A[;], dotýká se osy y má střed n přímce p: y 8 Nčrtněte kuželosečku, jejíž rovnice je y 6 určete rovnici její tečny, která svírá s kldnou poloosou úhel 0 Npište rovnici kružnice k, která prochází body Q[;5] R[;6] má střed n přímce o rovnici y 0 Vyšetřete množinu všech bodů v rovině, jejichž souřdnice vyhovují rovnici y 7 6 Určete druh kuželosečky její prmetry, má-li rovnici 9 6y 5 6y 7 0 Je dán kuželosečk y 8y 0 Určete rovnici její tečny normály v jejím bodě T[0; y 0 < 0] Orientce Definujte pojmy prvočíslo složené číslo Do jednoho obrázku nčrtněte grfy funkcí y cos, y cos Zjednodušte výrz určete, pro která má tto úprv smysl y ln Určete definiční obor funkce 5 Sestrojte geometricky úsečku tříd B školní rok 005/006

31 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky vyučující:vítězslv Pěničk tříd B školní rok 005/006

32 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky vyučující:vítězslv Pěničk tříd B školní rok 005/006

33 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky vyučující:vítězslv Pěničk tříd B školní rok 005/006

34 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky vyučující:vítězslv Pěničk tříd B školní rok 005/006

35 Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky vyučující:vítězslv Pěničk tříd B školní rok 005/006