Hodnost matice. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen.

Transkript

1 U stav matematiky a deskriptivnı geometrie Hodnost matice Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2014 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.

2 Matice ve schodovitém (stupňovém, trojúhelníkovém) tvaru ma vz dy pod prvnıḿ nenulovy m prvkem (bra no zleva) v dane m sloupci a vs ech pr edchozıćh same nuly. Napr ıḱlad A = je matice ve schodovite m tvaru. Hodnost matice Hodnost matice je poc et nenulovy ch r a dku (tj. r a dku, ve ktery se vyskytuje alespon jeden prvek ru zny od nuly) matice ve schodovite m tvaru. Tedy uvedena matice A ma hodnost: h = 3. Coz zapisujeme h (A) = 3 nebo jenom h A = 3. Elementární úpravy matice jsou takove, pr i ktery ch se neme nı hodnost matice. Elementa rnı u pravy matice nazy va me te z Ekvivalentní operace s maticemi. Jsou analogicke s u pravami prova de ny mi pr i r es enı soustavy rovnic sc ı tacı (souc tovou) metodou.

3 Hodnost matice se nemění: 1. vyme nıḿe-li v matici r a dky za sloupce transponova nı matice; 2. vyme nıḿe-li navza jem dva r a dky, vyměníme-li navzájem dva sloupce; 3. vyna sobıḿe-li ktery koliv r a dek nenulovy m c ıślem k 0, vynásobíme-li kterýkoliv sloupec nenulovým číslem k 0 ; 4. pr ic teme-li nenulovy k na sobek (k 0) libovolne ho r a dku k jine mu r a dku, přičteme-li nenulový k násobek (k 0) libovolného sloupce k jinému sloupci; 5. pr ida me-li novy r a dek, ktery je nenulovy m na sobkem libovolne ho r a dku, přidáme-li nový sloupec, který je nenulovým násobkem libovolného sloupce; 6. vynecha me-li r a dek, ktery je nenulovy m na sobkem libovolne ho r a dku, vynecháme-li sloupec, který je nenulovým násobkem libovolného sloupce; Provedeme-li s maticı A libovolnou elementa rnı (ekvivalentnı ) u pravu, dostaneme novou matici B, coz zapıś eme A B. Pr ic ı ta nı nenulove ho na sobku libovolne ho r a dku k jine mu r a dku mu z eme zobecnit na sledujıćıḿ zpu - sobem. Vezmeme nenulové násobky libovolných řádků (každý řádek může být násoben jiným nenulovým číslem). Jejich součet, který nazýváme lineární kombinací těchto řádků vytvoří nový řádek, který teprve přičteme k jinému řádku.

4 Poznámka: Ve smyslu pr edchozı ho zobecne nı, mu z eme ne ktere z uvedeny ch elementa rnıćh operacı rozs ıŕ it na sledovne : 4. pr ic teme-li k libovolne mu r a dku linea rnı kombinaci ostatnıćh r a dku, přičteme-li k libovolnému sloupci lineární kombinaci ostatních sloupců; 5. pr ida me-li novy r a dek, ktery je linea rnı kombinacı libovolny ch r a dku, přidáme-li nový sloupec, který je lineární kombinací libovolných sloupců; 6. vynecha me-li r a dek, ktery je linea rnı kombinacı ostatnıćh r a dku, vynecháme-li sloupec, který je lineární kombinací ostatních sloupců; Pr i urc ova nı hodnosti matice A postupujeme tak, z e matici A za pouz itı elementa rnıćh u prav s r a dky pr evedeme na matici B (A B), ktera je ve stupn ove m (schodovite m) tvaru. Vypustıḿe r a dky obsahujıćı same nuly a poc et zbyly ch r a dku pak odpovı da hodnosti matice A. 1. pozn. Na r a dky se dobrovolne omezıḿe pouze z du vodu analogie r es enı soustavy linea rnıćh rovnic sc ı tacı (souc tovou) metodou. Pr i urc ova nı hodnosti matice mu z eme samozr ejme pracovat i s jejı mi sloupci, coz ale pr ina s ı zvy s ene riziko zavlec enı chyb pr i vy poc tu. 2. pozn. Zobecne nı na linea rnı kombinace lze nahradit ne kolika postupny mi kroky, kdy budeme na sobit pouze jediny r a dek. Pro ve ts ı pr ehlednost na prave strane matice budeme zaznamena vat prova de ne operace, kdy maly mi r ıḿsky mi c ıślicemi oznac ujeme pr ıślus ny r a dek. Za pis ii + i ( 2) potom znamena, z e první řádek vynásobíme mínus dvěma a přičteme ke druhému řádku nebo jinak od druhého (ii) řádku odečteme dvojnásobek ( 2) prvního (i) řádku.

5 Cvičení 1. Vypoc te te hodnost matice A = Řešení: ii + i ( 2) iii + i ( 1) iv + i ( 5) [ h (A) = 2. iii + ii iv + ii ( 1)

6 2. Stanovte hodnost matice B = Řešení: [ ii + i ( 2) iii + i (2) iv + i ( 1) iii ii iv + iii ( 1) h (B) = Pr ıṕadne mu z eme pouz ı t take na sledujıćı naznac enı prova de ny ch operacı : ii + i ( 2) iii + i (2) iv + i ( 1) ( 2) (2) ( 1)

7 3. Urc ete hodnost matice C = Řešení: [ ii + i ( 2) iii + i ( 3) iv + i ( 1) iii + ii ( 2) iv + ii ( 3) h (C) = 2.

8 4. Urc ete hodnost matice D = [ Řešení: [ iii ii i [ ii + i ( 1) iii + i ( 2) [ iii + ii (3) [ [ h (D) = 2.

9 5. Urc ete hodnost matice A = Řešení: ii + i ( 3) iii + ii ( 4) iv + ii ( 5) ii + iii ( 1) iv ( 45) ii + iv ( 30) iii + ii (8)

10 iii iv ii + iii ( 2) iv + iii ( 67) h (A) = 4.

11 6. Urc ete hodnost matice B = [ λ Řešení: [ λ iii + i ( 1) [ λ 1 iii + ii ( 2) [ λ 5 { λ = 5 h (B) = 2 λ 5 h (B) = 3