Raciona lnı lomena funkce, rozklad na parcia lnı zlomky

Transkript

1 U stav matematiky a deskriptivnı geometrie Raciona lnı lomena funkce, rozklad na parcia lnı zlomky Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.

2 Obsah 1. Racionální lomená funkce Parcia lnı zlomky Typy rozkladu na parcia lnı zlomky Postup rozkladu raciona lnı lomene funkce na parcia lnı zlomky Reálné jednonásobné kor eny jmenovatele Reálné vícenásobné kor eny jmenovatele Jednonásobné komplexně sdružené kor eny jmenovatele Vıćena sobne komplexne sdruz ene kor eny jmenovatele Pr ıḱlad Ryze lomena raciona lnı funkce Hleda nı kor enu jmenovatele Rozklad jmenovatele na souc in Typy parcia lnıćh zlomku Pr ıḱlad Neryze lomena raciona lnı funkce De lenı mnohoc lenu mnohoc lenem Hornerovo sche ma Rozklad jmenovatele na souc in Typy parcia lnıćh zlomku Vy sledek Za ve rec na pozna mka k rozkladu na parcia lnı zlomky

3 1. Racionální lomená funkce Funkci danou pr edpisem R(x) = P(x) Q(x), kde P, Q jsou mnohoc leny a Q je navıć nenulovy mnohoc len, nazy va me racionální (lomenou) funkcí. R ıḱa me, z e funkce R je ryze lomená jestliz e st P < st Q a neryze lomená jestliz e st P st Q. Napr ıḱlad 1. R y = 3x + 2 x 2 2. R y = 2x 5x + 7x + x 2 je neryze lomena raciona lnı funkce; je ryze lomena raciona lnı funkce. Je-li R neryze lomena raciona lnı funkce, pak lze prove st de lenı mnohoc lenu mnohoc lenem. Pr i de lenı P(x) Q(x) dostaneme podıĺ S(x) a zbytek T(x). Pr itom platı st T < st Q (de lıḿe proste tak dlouho, dokud to jde), tedy R(x) = P(x) Q(x) = S(x) + T(x) Q(x). (1)

4 U mnohoc lenu (v pr edchozı kapitole) hra l du lez itou roli rozklad na souc in (linea rnıćh c i kvadraticky ch c initelu ). Podobne u raciona lnıćh lomeny ch funkcı je v r ade aplikacı du lez ite ne co podobne ho. Na rozdıĺ od mnohoc lenu, kde jde o rozklad na souc in, pu jde zde o rozklad na součet jednodus s ıćh raciona lnıćh lomeny ch funkcı, ktere nazy va me parciální zlomky. Vlastne jde o opac ny postup, ktery m je sc ı ta nı zlomku po pr evodu na spolec ne ho jmenovatele Parciální zlomky jsou specia lnı raciona lnı lomene funkce. Rozlis ujeme dva typy parcia lnıćh zlomku : a A (x α) kde k je pr irozene c ıślo, α, A jsou rea lna c ıśla Mx + N (x + px + q) kde k je pr irozene c ıślo, M, N, p, q jsou rea lna c ıśla a navıć p 4q < 0. U prvnı ho typu je ve jmenovateli ne jaka mocnina (tr eba i prvnı ) linea rnı ho dvojc lenu tvaru x α a v c itateli je konstanta. U druhe ho typu je jmenovateli ne jaka mocnina (tr eba i prvnı ) kvadraticke ho trojc lenu tvaru x + px + q majıćı ho komplexnı kor eny (za porny diskriminant) a v c itateli je linea rnı dvojc len (nebo konstanta, pokud je M rovno nule). Parciální zlomky jsou vždy ryze lomené. A protoz e souc et ryze lomeny ch raciona lnıćh funkcı (parcia lnıćh zlomku ) nemu z e by t neryze lomena raciona lnı funkce, mu z eme na parcia lnı zlomky rozkla dat pouze ryzı raciona lnı funkce. V pr ıṕade neryzı raciona lnı funkce ji nejprve de lenıḿ pr evedeme na tvar (1) a rozkla da me funkci ( ) ( ).

5 1.2. Typy rozkladů na parciální zlomky Nynı si uka z eme, jak lze napsat v konkre tnıćh pr ıṕadech rozklady ryze lomené raciona lnı funkce R(x) = P(x) Q(x). Reálný jednonásobný kořen jmenovatele Q(x), pak: R(x) = A x a kde a je kor en jmenovatele dane raciona lnı lomene funkce, x a (x mínus kořen) je pr ıślus ny kořenový činitel a A je c ıślo (parametr), ktery hleda me. Reálný n násobný kořen jmenovatele Q(x), pak: R(x) = A x a + B (x a) + + C (x a) + D (x a) kde a je na sobny kor en jmenovatele (s na sobnostı n) dane raciona lnı lomene funkce, x a je pr ıślus ny kořenový činitel a A, B, C, D jsou c ıśla (parametry), ktera hleda me. Dvojice jednonásobných komplexně sdružených kořenů jmenovatele Q(x), pak: R(x) = Ax + B a x + b x + c kde a, b, c jsou koefecienty kvadraticke ho dvojc lenu takove, z e a 0 a b 4ac < 0, A, B jsou c ıśla (parametry), ktera hleda me.

6 Dvojice n násobných komplexně sdružených kořenů jmenovatele Q(x), pak: Ax + B R(x) = a x + b x + c + Cx + D (a x + b x + c) + + Ex + F (a x + b x + c) + Gx + H (a x + b x + c) kde a, b, c jsou koefecienty kvadraticke ho dvojc lenu takove, z e a 0 a b 4ac < 0, A, B, C, D jsou c ıśla (parametry), ktera hleda me Postup rozkladu racionální lomené funkce na parciální zlomky 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem. 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Urc ıḿe de iniční obor na ktery majı vliv pouze rea lne kor eny. Pr itom vyuz ı va me na sledujıćı vlastnost:

7 Celoc ıśelny kor en mnohoc lenu s celoc ıśelny mi koe icienty R (x) = a x + a x + + a x + a, x R, kde n je pr irozene c ıślo (1 n N), a, a,, a, a jsou celá c ıśla, (a 0, a 0) musı bezezbytku de lit (by t de litelem) jeho absolutnı c len (koe icient a u prome nne x která tam není!) Pro raciona lnı kor en α = (kde p, q jsou nesoudělná cela c ıśla pokrátit!) mnohoc lenu s celoc ıśelny mi koe icienty platı, z e: p de lı bezezbytku koe icient a a q de lı a. Tedy: α = p a q a 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Pr i urc ova nı parametru vyuz ı va me na sledujıćı dve metody (pr ıṕadne je vhodne kombinujeme) pote, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomku ) a tıḿ dostaneme rovnost dvou mnohoc lenu. Dosazujeme za x vhodná čísla, nejle pe kořeny jmenovatele. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne funkc nı hodnoty pro vs echna x. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne pr ıślus ne koe icienty.

8 Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + 2x 1 x x.

9 Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + 2x 1 x x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem..

10 Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + 2x 1 x x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Urc ıḿe de iniční obor na ktery majı vliv pouze rea lne kor eny..

11 Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + 2x 1 x x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Urc ıḿe de iniční obor na ktery majı vliv pouze rea lne kor eny. Součin kořenových činitelů: x x = x (x 1) = x (x + 1) (x 1).

12 Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + 2x 1 x x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x x = x (x 1) = x (x + 1) (x 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! (x) + 2(x) 1 Typy parciálních zlomků: R(x) = (x) [(x) + 1] [(x) 1] = A x + B x C x (x +1) (x 1) x 1 Pr i urc ova nı parametru vyuz ı va me na sledujıćı dve metody (pr ıṕadne je vhodne kombinujeme) pote, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomku ) a tıḿ dostaneme rovnost dvou mnohoc lenu. Dosazujeme za x vhodná čísla, nejle pe kořeny jmenovatele. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne funkc nı hodnoty pro vs echna x. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne pr ıślus ne koe icienty..

13 Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + 2x 1 x x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x x = x (x 1) = x (x + 1) (x 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele!. Typy parciálních zlomků: R(x) = (x) + 2(x) 1 (x) [(x) + 1] [(x) 1] = A x + B x C x 1 x (x +1) (x 1) Určení parametrů: (x) + 2(x) 1 = A [(x) + 1] [(x) 1] + B (x) [(x) 1] + C (x) [(x) + 1] x = 0 (0) + 2 (0) 1 = A [(0) + 1] [(0) 1] = A A = 1 x = 1 (1) + 2 (1) 1 = C (1) [(1) + 1] 2 = 2C C = 1 x = 1 ( 1) + 2 ( 1) 1 = 0 + B ( 1) [( 1) 1] = 2B B = 1

14 Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + 2x 1 x x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x x = x (x 1) = x (x + 1) (x 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele!. Typy parciálních zlomků: R(x) = (x) + 2(x) 1 (x) [(x) + 1] [(x) 1] = A x + B x C x 1 x (x +1) (x 1) Výsledek: R(x) = x + 2x 1 x x = 1 x + 1 x x 1 Spra vnost vy poc tu mu z eme ove r it tak, z e vs echny tr i parcia lnı zlomky sec teme (samozr ejme je pr i sc ı ta nı pr evedeme na spolec ne ho jmenovatele) a musıḿe dostat ope t zadanou funkci R(x).

15 Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci: R(x) = x + x 1 x x.

16 Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci: R(x) = x + x 1 x x. 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem.

17 Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci: R(x) = x + x 1 x x. 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Urc ıḿe de iniční obor na ktery majı vliv pouze rea lne kor eny.

18 Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci: R(x) = x + x 1 x x. 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Urc ıḿe de iniční obor na ktery majı vliv pouze rea lne kor eny. Součin kořenových činitelů: x x = x (x 1)

19 Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci: R(x) = x + x 1 x x. 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x x = x (x 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků: R(x) = (x) + (x) 1 (x) [(x) 1] = A x 1 + B x + C x x (x 1) Pr i urc ova nı parametru vyuz ı va me na sledujıćı dve metody (pr ıṕadne je vhodne kombinujeme) pote, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomku ) a tıḿ dostaneme rovnost dvou mnohoc lenu. Dosazujeme za x vhodná čísla, nejle pe kořeny jmenovatele. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne funkc nı hodnoty pro vs echna x. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne pr ıślus ne koe icienty.

20 Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci: R(x) = x + x 1 x x. 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x x = x (x 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků: R(x) = (x) + (x) 1 (x) [(x) 1] = A x 1 + B x + C x x (x 1) Určení parametrů: (x) + (x) 1 = A (x) + B (x) [(x) 1] + C [(x) 1] x = 0 (0) + (0) 1 = C [(0) 1] 1 = C C = 1 x = 1 (1) + (1) 1 = A (1) = A A = 1 x 1 = A + B 1 = 1 + B B = 0

21 Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci: R(x) = x + x 1 x x. 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x x = x (x 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků: R(x) = (x) + (x) 1 (x) [(x) 1] = A x 1 + B x + C x x (x 1) Výsledek: R(x) = x + x 1 x x = 1 x x + 1 x = 1 x x Spra vnost vy poc tu mu z eme ove r it tak, z e oba dva parcia lnı zlomky sec teme (samozr ejme je pr i sc ı ta nı pr evedeme na spolec ne ho jmenovatele) a musıḿe dostat ope t zadanou funkci R(x).

22 Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + x + 1 x + x.

23 Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + x + 1 x + x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem..

24 Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + x + 1 x + x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Urc ıḿe de iniční obor na ktery majı vliv pouze rea lne kor eny..

25 Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + x + 1 x + x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Urc ıḿe de iniční obor na ktery majı vliv pouze rea lne kor eny. Součin kořenových činitelů: x + x = x (x + 1) Kor eny za vorky jsou komplexnı. Protoz e x 0 (pro kaz de rea lne c ıślo x ), musı platit x Tedy x a proto neexistuje rea lny kor en (kvadraticke ho dvojc lenu) mnohoc lenu v za vorce..

26 Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + x + 1 x + x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x + x = x (x + 1) Kor eny za vorky jsou komplexnı. 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků: R(x) = (x) + (x) + 1 (x) [(x) + 1] = A B x + C + x x x (x + 1) + 1 Pr i urc ova nı parametru vyuz ı va me na sledujıćı dve metody (pr ıṕadne je vhodne kombinujeme) pote, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomku ) a tıḿ dostaneme rovnost dvou mnohoc lenu. Dosazujeme za x vhodná čísla, nejle pe kořeny jmenovatele. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne funkc nı hodnoty pro vs echna x. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne pr ıślus ne koe icienty..

27 Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + x + 1 x + x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x + x = x (x + 1) Kor eny za vorky jsou komplexnı. 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele!. Typy parciálních zlomků: R(x) = (x) + (x) + 1 (x) [(x) + 1] = A x + B x + C x + 1 x (x + 1) Určení parametrů: (x) + (x) + 1 = A [(x) + 1] + [B (x) + C] (x) x = 0 (0) + (0) + 1 = A [(0) + 1] = A A = 1 x 1 = A + B 1 = 1 + B B = 0 x 1 = C C = 1

28 Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + x + 1 x + x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x + x = x (x + 1) Kor eny za vorky jsou komplexnı. 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele!. Typy parciálních zlomků: R(x) = (x) + (x) + 1 (x) [(x) + 1] = A x + B x + C x + 1 x (x + 1) Výsledek: R(x) = x + x + 1 x + x = 1 x + 0 x + 1 x + 1 = 1 x + 1 x + 1 Spra vnost vy poc tu mu z eme ove r it tak, z e oba dva vy sledne parcia lnı zlomky sec teme (samozr ejme je pr i sc ı ta nı pr evedeme na spolec ne ho jmenovatele) a musıḿe dostat ope t zadanou funkci R(x).

29 Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + x + 2x + 1 x + 2x + x.

30 Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + x + 2x + 1 x + 2x + x. 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem.

31 Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + x + 2x + 1 x + 2x + x. 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (4) je mens ı nez stupen jmenovatele (7). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Urc ıḿe de iniční obor na ktery majı vliv pouze rea lne kor eny.

32 Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + x + 2x + 1 x + 2x + x. 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (4) je mens ı nez stupen jmenovatele (7). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Urc ıḿe de iniční obor na ktery majı vliv pouze rea lne kor eny. Součin kořenových činitelů x + 2x + x = x (x + 1) Kor eny za vorky jsou komplexnı. Protoz e x 0 (pro kaz de rea lne c ıślo x ), musı platit x Tedy x a proto neexistuje rea lny kor en (kvadraticke ho dvojc lenu) mnohoc lenu v za vorce.

33 Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + x + 2x + 1 x + 2x + x. 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (4) je mens ı nez stupen jmenovatele (7). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů x + 2x + x = x (x + 1) Kor eny za vorky jsou komplexnı. 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků R(x) = A x + B x + C D x + E F x + G + x x (x + 1) x (x + 1) Pr i urc ova nı parametru vyuz ı va me na sledujıćı dve metody (pr ıṕadne je vhodne kombinujeme) pote, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomku ) a tıḿ dostaneme rovnost dvou mnohoc lenu. Dosazujeme za x vhodná čísla, nejle pe kořeny jmenovatele. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne funkc nı hodnoty pro vs echna x. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne pr ıślus ne koe icienty.

34 Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + x + 2x + 1 x + 2x + x. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (4) je mens ı nez stupen jmenovatele (7). Součin kořenových činitelů x + 2x + x = x (x + 1) Kor eny za vorky jsou komplexnı. Typy parciálních zlomků R(x) = A x + B x + C D x + E + x x + 1 F x + G + (x + 1) x (x + 1) Určení parametrů: x + x + 2x + 1 = = A x (x + 1) + B x (x + 1) + C (x + 1) + (D x + E) x (x + 1) + (F x + G) x x + x + 2x + 1 = = A (x +2x +x )+B (x +2x +x)+c (x +2x +1)+D (x +x )+E (x +x )+F x +G x

35 x = 0 1 = C C = 1 x 0 = B B = 0 x 2 = A + 2C x 0 = B + E x 0 = A + D x 1 = 2A + C + D + F x 1 = 2B + E + G 2 = A + 2 A = 0 0 = 0 + E E = 0 0 = 0 + D D = 0,, 1 = F F = 0, 1 = G G = 1

36 Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + x + 2x + 1 x + 2x + x. 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (4) je mens ı nez stupen jmenovatele (7). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů x + 2x + x = x (x + 1) Kor eny za vorky jsou komplexnı. 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků R(x) = A x + B x + C D x + E + x x + 1 F x + G + (x + 1) x (x + 1) Výsledek R(x) = x + x + 2x + 1 x + 2x + x = 0 x + 0 x x x x x + 1 (x + 1) = 1 x + 1 (x + 1) Spra vnost vy poc tu mu z eme ove r it tak, z e oba dva vy sledne parcia lnı zlomky sec teme (samozr ejme je pr i sc ı ta nı pr evedeme na spolec ne ho jmenovatele) a musıḿe dostat ope t zadanou funkci R(x).

37 Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + 14x 3x 24 x x 7x + x + 6 First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

38 Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + 14x 3x 24 x x 7x + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem.

39 Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + 14x 3x 24 x x 7x + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (3) je mens ı nez stupen jmenovatele (4).

40 Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + 14x 3x 24 x x 7x + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (3) je mens ı nez stupen jmenovatele (4). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Urc ıḿe de iniční obor na ktery majı vliv pouze rea lne kor eny. Pr itom vyuz ı va me na sledujıćı vlastnost: Celoc ıśelny kor en mnohoc lenu s celoc ıśelny mi koe icienty R (x) = a x + a x + + a x + a, x R, kde n je pr irozene c ıślo (1 n N), a, a,, a, a jsou celá c ıśla, (a 0, a 0) musı bezezbytku de lit (by t de litelem) jeho absolutnı c len (koe icient a u prome nne x která tam není!) Pro raciona lnı kor en α = (kde p, q jsou nesoudělná cela c ıśla pokrátit!) mnohoc lenu s celoc ıśelny mi koe icienty platı, z e: p de lı bezezbytku koe icient a a q de lı a. Tedy: α = p a q a

41 Hledáme kořeny mnohoc lenu x x 7x + x + 6. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

42 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en

43 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en

44 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en

45 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en

46 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en

47 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en

48 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en

49 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ± (prvnı ) kor en x = 1 je jednonásobný x = 1 je (druhy ) kor en: x x 6 = 0 a b c r es ıḿe rozkladem, diskriminantem, Hornerovy m s. x ; = b ± b 4a c 2 a = ( 1) ± ( 1) 4 (1) ( 6) 2 (1) = 1 ± = 1 ± 25 2 = 1 ± 5 2 x = = 3 x = = 2 Rozklad: x P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x 7x 6) x ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) [x ( 1)] (x x 6) x ; ; ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x 3) (x + 2)

50 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ± (prvnı ) kor en x = 1 je jednonásobný x = 1 je (druhy ) kor en: x x 6 = 0 a b c r es ıḿe rozkladem, diskriminantem, Hornerovy m s. x ; = b ± b 4a c 2 a = ( 1) ± ( 1) 4 (1) ( 6) 2 (1) = 1 ± = 1 ± 25 2 = 1 ± 5 2 x = = 3 x = = 2 Rozklad: x P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x 7x 6) x ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) [x ( 1)] (x x 6) x ; ; ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x 3) (x + 2)

51 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ± (prvnı ) kor en x = 1 je jednonásobný x = 1 je (druhy ) kor en: x x 6 = 0 a b c r es ıḿe rozkladem, diskriminantem, Hornerovy m s. x ; = b ± b 4a c 2 a = ( 1) ± ( 1) 4 (1) ( 6) 2 (1) = 1 ± = 1 ± 25 2 = 1 ± 5 2 x = = 3 x = = 2 Rozklad: x P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x 7x 6) x ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) [x ( 1)] (x x 6) x ; ; ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x 3) (x + 2)

52 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ± (prvnı ) kor en x = 1 je jednonásobný x = 1 je (druhy ) kor en: x x 6 = 0 a b c r es ıḿe rozkladem, diskriminantem, Hornerovy m s. x ; = b ± b 4a c 2 a = ( 1) ± ( 1) 4 (1) ( 6) 2 (1) = 1 ± = 1 ± 25 2 = 1 ± 5 2 x = = 3 x = = 2 Rozklad: x P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x 7x 6) x ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) [x ( 1)] (x x 6) x ; ; ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x 3) (x + 2)

53 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ± (prvnı ) kor en x = 1 je jednonásobný x = 1 je (druhy ) kor en: x x 6 = 0 a b c r es ıḿe rozkladem, diskriminantem, Hornerovy m s. x ; = b ± b 4a c 2 a = ( 1) ± ( 1) 4 (1) ( 6) 2 (1) = 1 ± = 1 ± 25 2 = 1 ± 5 2 x = = 3 x = = 2 Rozklad: x P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x 7x 6) x ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) [x ( 1)] (x x 6) x ; ; ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x 3) (x + 2)

54 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ± (prvnı ) kor en x = 1 je jednonásobný x = 1 je (druhy ) kor en: x x 6 = 0 a b c r es ıḿe rozkladem, diskriminantem, Hornerovy m s. x ; = b ± b 4a c 2 a = ( 1) ± ( 1) 4 (1) ( 6) 2 (1) = 1 ± = 1 ± 25 2 = 1 ± 5 2 x = = 3 x = = 2 Rozklad: x P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x 7x 6) x ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) [x ( 1)] (x x 6) x ; ; ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x 3) (x + 2)

55 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ± (prvnı ) kor en x = 1 je jednonásobný x = 1 je (druhy ) kor en: x x 6 = 0 a b c r es ıḿe rozkladem, diskriminantem, Hornerovy m s. x ; = b ± b 4a c 2 a = ( 1) ± ( 1) 4 (1) ( 6) 2 (1) = 1 ± = 1 ± 25 2 = 1 ± 5 2 x = = 3 x = = 2 Rozklad: x P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x 7x 6) x ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) [x ( 1)] (x x 6) x ; ; ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x 3) (x + 2)

56 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ± (prvnı ) kor en x = 1 je jednonásobný x = 1 je (druhy ) kor en: x x 6 = 0 a b c r es ıḿe rozkladem, diskriminantem, Hornerovy m s. x ; = b ± b 4a c 2 a = ( 1) ± ( 1) 4 (1) ( 6) 2 (1) = 1 ± = 1 ± 25 2 = 1 ± 5 2 x = = 3 x = = 2 Rozklad: x P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x 7x 6) x ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) [x ( 1)] (x x 6) x ; ; ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x 3) (x + 2)

57 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ± (prvnı ) kor en x = 1 je jednonásobný x = 1 je (druhy ) kor en: x x 6 = 0 a b c r es ıḿe rozkladem, diskriminantem, Hornerovy m s. x ; = b ± b 4a c 2 a = ( 1) ± ( 1) 4 (1) ( 6) 2 (1) = 1 ± = 1 ± 25 2 = 1 ± 5 2 x = = 3 x = = 2 Rozklad: x P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x 7x 6) x ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) [x ( 1)] (x x 6) x ; ; ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x 3) (x + 2)

58 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ± (prvnı ) kor en x = 1 je jednonásobný x = 1 je (druhy ) kor en: x x 6 = 0 a b c r es ıḿe rozkladem, diskriminantem, Hornerovy m s. x ; = b ± b 4a c 2 a = ( 1) ± ( 1) 4 (1) ( 6) 2 (1) = 1 ± = 1 ± 25 2 = 1 ± 5 2 x = = 3 x = = 2 Rozklad: x P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x 7x 6) x ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) [x ( 1)] (x x 6) x ; ; ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x 3) (x + 2)

59 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ± (prvnı ) kor en x = 1 je jednonásobný x = 1 je (druhy ) kor en: x x 6 = 0 a b c r es ıḿe rozkladem, diskriminantem, Hornerovy m s. x ; = b ± b 4a c 2 a = ( 1) ± ( 1) 4 (1) ( 6) 2 (1) = 1 ± = 1 ± 25 2 = 1 ± 5 2 x = = 3 x = = 2 Rozklad: x P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x 7x 6) x ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) [x ( 1)] (x x 6) x ; ; ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x 3) (x + 2)

60 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x x 7x + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x x x x x HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x = 1 je kor en HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ± (prvnı ) kor en x = 1 je jednonásobný x = 1 je (druhy ) kor en: x x 6 = 0 a b c r es ıḿe rozkladem, diskriminantem, Hornerovy m s. x ; = b ± b 4a c 2 a = ( 1) ± ( 1) 4 (1) ( 6) 2 (1) = 1 ± = 1 ± 25 2 = 1 ± 5 2 x = = 3 x = = 2 Rozklad: x P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x 7x 6) x ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) [x ( 1)] (x x 6) x ; ; ; P(x) = x x 7x + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x 3) (x + 2)

61 Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + 14x 3x 24 x x 7x + x + 6 ANO, je ryzí. Stupen c itatele (3) je mens ı nez stupen jmenovatele (4). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. x x 7x + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x + 2) (x 3) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! x + 14x 3x 24 Typy parciálních zlomků: x x 7x + x + 6 = A x 1 + B x C x D x 3 Pr i urc ova nı parametru vyuz ı va me na sledujıćı dve metody (pr ıṕadne je vhodne kombinujeme) pote, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomku ) a tıḿ dostaneme rovnost dvou mnohoc lenu. Dosazujeme za x vhodná čísla, nejle pe kořeny jmenovatele. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne funkc nı hodnoty pro vs echna x. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne pr ıślus ne koe icienty.

62 Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + 14x 3x 24 x x 7x + x + 6 ANO, je ryzí. Stupen c itatele (3) je mens ı nez stupen jmenovatele (4). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. x x 7x + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x + 2) (x 3) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků: x + 14x 3x 24 x x 7x + x + 6 = A x 1 + B x C x D x 3 Určení parametrů po vyna sobenı spolec ny m jmenovatelem (dosadıḿe postupne kor eny): x + 14x 3x 24 = = A (x+1) (x+2) (x 3)+B (x 1) (x+2) (x 3)+C (x 1) (x+1) (x 3)+D (x 1) (x+1) (x+2) x = 1 ( ) ( ) ( ) [( ) ] [( ) ] [( ) ] = 12 A A = 1 x = 1 ( ) ( ) ( ) 0 [( ) ] [( ) ] [( ) ] = 8 B B = 1 x = 2 ( ) ( ) ( ) 0 0 [( ) ] [( ) ] [( ) ] 0 30 = 15 C C = 2 x = 3 ( ) ( ) ( ) [( ) ] [( ) ] [( ) ] 120 = 40D D = 3

63 Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x + 14x 3x 24 x x 7x + x + 6 ANO, je ryzí. Stupen c itatele (3) je mens ı nez stupen jmenovatele (4). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. x x 7x + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x + 2) (x 3) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků: x + 14x 3x 24 x x 7x + x + 6 = A x 1 + B x C x D x 3 do kterých dosadíme vypočtené parametry: A = 1 ; B = 1 ; C = 2 ; D = 3 Výsledek: R(x) = x + 14x 3x 24 x x 7x + x + 6 = 1 x x x x 3 Spra vnost vy poc tu mu z eme ove r it tak, z e vs echny c tyr i vy sledne parcia lnı zlomky sec teme (samozr ejme je pr i sc ı ta nı pr evedeme na spolec ne ho jmenovatele) a musıḿe dostat ope t zadanou funkci R(x)

64 Př. 2. Rozložte na parc. zlomky rac. lomenou funkci R(x) = 2 x 7x x + 20x 23x x 7x + x + 10 First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

65 Př. 2. Rozložte na parc. zlomky rac. lomenou funkci R(x) = 2 x 7x x + 20x 23x x 7x + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem.

66 Př. 2. Rozložte na parc. zlomky rac. lomenou funkci R(x) = 2 x 7x x + 20x 23x x 7x + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem. NE, není ryzí. Stupen c itatele (5) je ve ts ı nez stupen jmenovatele (3). Zadana funkce se da rozloz it: R(x) = P(x) + Q(x), kde Q(x) = zbytek po de lenı 2 x 7x + x Proto pode lıḿe c itatel jmenovatelem.

67 Př. 2. Rozložte na parc. zlomky rac. lomenou funkci R(x) = 2 x 7x x + 20x 23x x 7x + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem. NE, není ryzí. Stupen c itatele (5) je ve ts ı nez stupen jmenovatele (3). Zadana funkce se da rozloz it: R(x) = P(x) + Q(x), kde Q(x) = zbytek po de lenı 2 x 7x + x Proto pode lıḿe c itatel jmenovatelem. (2 x 7 x x + 20 x 23 x+ 28) (2 x 7x + x + 10) = x x 22x x 7x + x + 10 (2 x 7 x + x +10 x ) 2 x + 10 x 23 x+ 28 ( 2 x + 7 x x 10) 3 x 22 x+ 38 Nebo jinak: R(x) = P(x) + Q(x), kde P(x) = x 1 a Q(x) = 3 x 22x x 7x + x Tedy R(x) = 2 x 7x x + 20x 23x x 7x + x + 10 = x x 22x x 7x + x + 10 Na parcia lnı zlomky budeme rozkla dat raciona lnı lomenou funkci Q(x).

68 Př. 2. Rozložte na parc. zlomky rac. lomenou funkci R(x) = 2 x 7x x + 20x 23x x 7x + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. NE, není ryzí. Stupen c itatele (5) je ve ts ı nez stupen jmenovatele (3). Zadana funkce se da rozloz it: R(x) = P(x) + Q(x), kde P(x) = x 1 a Q(x) = 3 x 22x x 7x + x Tedy R(x) = 2 x 7x x + 20x 23x x 7x = x x 22x x x 7x + x + 10 Na parcia lnı zlomky budeme rozkla dat raciona lnı lomenou funkci Q(x). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Urc ıḿe de iniční obor na ktery majı vliv pouze rea lne kor eny. Pr itom vyuz ı va me na sledujıćı vlastnost: Celoc ıśelny kor en mnohoc lenu s celoc ıśelny mi koe icienty R (x) = a x + a x + + a x + a, x R, kde n je pr irozene c ıślo (1 n N), a, a,, a, a jsou celá c ıśla, (a 0, a 0) musı bezezbytku de lit (by t de litelem) jeho absolutnı c len (koe icient a u prome nne x která tam není!)

69 Pro raciona lnı kor en α = (kde p, q jsou nesoudělná cela c ıśla pokrátit!) mnohoc lenu s celoc ıśelny mi koe icienty platı, z e: p de lı bezezbytku koe icient a a q de lı a. Tedy: α = p a q a Hledáme kořeny mnohoc lenu 2 x 7x + x V nas em pr ıṕade a kandida ty na kor eny jsou potom α = p 10 q 2 = ±1 ; 2 ; 5 ; 10 1 ; 2 k-n-k = ±1 ; ±2 ; ±5 ; ±10 ; ± 1 2 ; ±2 2 = ±1 ± 5 2 ; ±10 2 = ±5 Zlomky, ktere jsou tvor eny soude lny mi c ıśly napr ed zkra tıḿe. Ktery ze vs ech uvedeny ch kandida tu na kor en je skutec ne kor enem, ove r ıḿe Hornerovy m sche matem. Z pr edchozı ho vıḿe (du sledky za kladnı ve ty algebry), z e mu z eme mı t buď jeden rea lny kor en nebo tr i rea lne kor eny, protoz e stupen rozkla dane ho mnohoc lenu je tr i.

70 Najděte kořeny mnohoc lenu 2 x 7x + x p 10 q 2 = ±1 ; 2 ; 5 ; 10 1 ; 2 x x x x zkous ıḿe: HS (2) + ( 7) 1 ( 5) + (1) 1 ( 4) + (10) ±1, ±2, ±5, ±10, ±, ± P(1) = 6 0 nenı kor en x = 1 je kor en a b c

71 Najděte kořeny mnohoc lenu 2 x 7x + x p 10 q 2 = ±1 ; 2 ; 5 ; 10 1 ; 2 x x x x zkous ıḿe: HS (2) + ( 7) 1 ( 5) + (1) 1 ( 4) + (10) ±1, ±2, ±5, ±10, ±, ± P(1) = 6 0 nenı kor en x = 1 je kor en a b c

72 Najděte kořeny mnohoc lenu 2 x 7x + x p 10 q 2 = ±1 ; 2 ; 5 ; 10 1 ; 2 x x x x zkous ıḿe: HS (2) + ( 7) 1 ( 5) + (1) 1 ( 4) + (10) ±1, ±2, ±5, ±10, ±, ± P(1) = 6 0 nenı kor en x = 1 je kor en a b c

73 Najděte kořeny mnohoc lenu 2 x 7x + x p 10 q 2 = ±1 ; 2 ; 5 ; 10 1 ; 2 x x x x zkous ıḿe: HS (2) + ( 7) 1 ( 5) + (1) 1 ( 4) + (10) ±1, ±2, ±5, ±10, ±, ± P(1) = 6 0 nenı kor en x = 1 je kor en a b c

74 Najděte kořeny mnohoc lenu 2 x 7x + x p 10 q 2 = ±1 ; 2 ; 5 ; 10 1 ; 2 x x x x zkous ıḿe: HS (2) + ( 7) 1 ( 5) + (1) 1 ( 4) + (10) ±1, ±2, ±5, ±10, ±, ± P(1) = 6 0 nenı kor en x = 1 je kor en a b c

75 Najděte kořeny mnohoc lenu 2 x 7x + x p 10 q 2 = ±1 ; 2 ; 5 ; 10 1 ; 2 x x x x zkous ıḿe: HS (2) + ( 7) 1 ( 5) + (1) 1 ( 4) + (10) ±1, ±2, ±5, ±10, ±, ± P(1) = 6 0 nenı kor en x = 1 je kor en a b c Další kořeny hleda me jakoukoliv metodou: rozklad, diskriminant, Hornerovo sche ma, x ; = b ± b 4a c 2 a = ( 9) ± ( 9) 4 (2) (10) 2 (2) = 9 ± = 9 ± 1 4 = 9 ± 1 4 x = = 10 4 = 5 2 x = = 8 4 = 2 Rozklad mnohoc lenu x = 1 2 x 7x + x + 10 = [x ( 1)] (2 x 9x + 10) = (x + 1) [2 (x x + 5)] x ; 2 x 7x + x + 10 = (x + 1) [2 (x ) (x 2)] = (x + 1) (2 x 5) (x 2)

76 Najděte kořeny mnohoc lenu 2 x 7x + x p 10 q 2 = ±1 ; 2 ; 5 ; 10 1 ; 2 x x x x zkous ıḿe: HS (2) + ( 7) 1 ( 5) + (1) 1 ( 4) + (10) ±1, ±2, ±5, ±10, ±, ± P(1) = 6 0 nenı kor en x = 1 je kor en a b c Další kořeny hleda me jakoukoliv metodou: rozklad, diskriminant, Hornerovo sche ma, x ; = b ± b 4a c 2 a = ( 9) ± ( 9) 4 (2) (10) 2 (2) = 9 ± = 9 ± 1 4 = 9 ± 1 4 x = = 10 4 = 5 2 x = = 8 4 = 2 Rozklad mnohoc lenu x = 1 2 x 7x + x + 10 = [x ( 1)] (2 x 9x + 10) = (x + 1) [2 (x x + 5)] x ; 2 x 7x + x + 10 = (x + 1) [2 (x ) (x 2)] = (x + 1) (2 x 5) (x 2)

77 Najděte kořeny mnohoc lenu 2 x 7x + x p 10 q 2 = ±1 ; 2 ; 5 ; 10 1 ; 2 x x x x zkous ıḿe: HS (2) + ( 7) 1 ( 5) + (1) 1 ( 4) + (10) ±1, ±2, ±5, ±10, ±, ± P(1) = 6 0 nenı kor en x = 1 je kor en a b c Další kořeny hleda me jakoukoliv metodou: rozklad, diskriminant, Hornerovo sche ma, x ; = b ± b 4a c 2 a = ( 9) ± ( 9) 4 (2) (10) 2 (2) = 9 ± = 9 ± 1 4 = 9 ± 1 4 x = = 10 4 = 5 2 x = = 8 4 = 2 Rozklad mnohoc lenu x = 1 2 x 7x + x + 10 = [x ( 1)] (2 x 9x + 10) = (x + 1) [2 (x x + 5)] x ; 2 x 7x + x + 10 = (x + 1) [2 (x ) (x 2)] = (x + 1) (2 x 5) (x 2)

78 Př. 2. Rozložte na parc. zlomky rac. lomenou funkci R(x) = 2 x 7x x + 20x 23x x 7x + x + 10 NE, není ryzí. Stupen c itatele (5) je ve ts ı nez stupen jmenovatele (3). Zadana funkce se da rozloz it: R(x) = 2 x 7x x + 20x 23x x 7x + x + 10 = x x 22x x 7x + x Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. 2 x 7x + x + 10 = (x + 1) (x 2) (2x 5) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! 3 x 22x + 38 Typy parciálních zlomků: 2 x 7x + x + 10 = A x B x 2 + C (x + 1) (x 2) (2 x 5) 2 x 5 Pr i urc ova nı parametru vyuz ı va me na sledujıćı dve metody (pr ıṕadne je vhodne kombinujeme) pote, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomku ) a tıḿ dostaneme rovnost dvou mnohoc lenu. Dosazujeme za x vhodná čísla, nejle pe kořeny jmenovatele. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne funkc nı hodnoty pro vs echna x. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne pr ıślus ne koe icienty.