Gaussovou eliminac nı metodou

Transkript

1 U stav matematiky a deskriptivnı geometrie R es enı soustav linea rnıćh algebraicky ch rovnic Gaussovou eliminac nı metodou Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2014 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.

2 Obsah Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít Obsah Existence a poc et r es enı Odvozenı metody Popis metody Pr ıḱlad - neexistence r es enı Cvic enı

3 Obsah Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít Soustavu m linea rnıćh algebraicky ch rovnic o n nezna my ch. mu z eme zapsat maticove a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b (1) a a a a a a a a a x x x = b b b nebo jes te struc ne ji a a a b a a a b a a a b (2) Řešením soustavy (1) nazy va me kaz dy syste m k, k,, k (mu z eme take r ıći kaz dou matici k = [k, k,, k ] ), takovy, z e kdyz c ıśla k, k,, k dosadıḿe za nezna me x, x,, x do levy ch stran rovnic (1), jsou vs echny tyto rovnice za roven splne ny. Řešit soustavu (1) znamena najı t všechna jejı r es enı.

4 Obsah Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít Frobeniova věta o řešení soustavy lineárních rovnic Je-li n poc et nezna my ch v soustave (1) a oznac ıḿe-li h hodnost matice soustavy (matice zcela vlevo) ve vztahu (2) a h hodnost matice rozs ıŕ ene (matice zcela vpravo), potom Nutnou a postac ujıćı podmıńkou, aby soustava linea rnıćh rovnic o n nezna my ch byla r es itelna, je, aby matice soustavy a rozs ıŕ ena matice me ly stejnou hodnost. Du sledek Frobeniovy věty: h h h = h = n h = h < n soustava nemá r es enı ; soustava ma právě jedno r es enı ; soustava ma nekonečně mnoho r es enı (n h nezna my ch mu z eme vz dy vhodne zvolit a ostatnı pomocı nich vypoc ı tat). Ne kdy se tato vy s e uvedena ve ta ¹ oznac uje take jako ve ta Kronecker Capelli. Nynı si uka z eme jednu z metod na vy poc et kor enu soustavy (1). Gaussova (Jordanova) eliminační metoda GEM Tento postup je nazva n po matematikovi, ktery ji poprve podrobne popsal ve dvou krocıćh (chodech). Jinak jiz c ıń ane hluboko pr ed nas ıḿ letopoc tem pouz ı vali podobny postup pro r es enı specia lnıćh (neu- ¹ V matematice se historicky usta lilo nazy vat podobne vy roky větou. Ovs em stejne dobr e bychom mohli pouz ı t napr ıḱlad: Frobenius řekl, tvrdil, napsal, dokázal že,

5 Obsah Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít měli použít obecně na libovolnou soustavu) soustav rovnic. Zmıńe nou metodu si odvodıḿe na na sledujıćıḿ pr ıḱladu, kdy budeme r es it soustavu tr ı linea rnıćh algebraicky ch rovnic o tr ech nezna my ch sc ı tacı metodou, kterou zna te ze str ednı s koly. Jejı princip spoc ı va v tom, z e ne kterou z rovnic vyna sobıḿe vhodny m nenulovým c ıślem a pr ic teme ji k jine rovnici tak, aby se vyrus ila (eliminovala) jedna prome nna. Napr ıḱlad poz adujeme, aby se prome nna x vyskytovala pouze v první rovnici. Tedy ji postupne vylouc ıḿe ze druhe a tr etı (zbývajících) rovnice tak, z e první rovnici budeme postupne na sobit vhodny m nenulovy m c ıślem a pr ic ı tat k ostatnıḿ rovnicıḿ. Ve druhé fa zi poz adujeme, aby se prome nna y nevyskytovala ve tr etı rovnici. Proto druhou rovnici vyna sobıḿe vhodny m c ıślem a pr ic teme Tıḿto zpu sobem ve tr etı rovnici zu stane pouze nezna ma z, takz e r es ıḿe jednu rovnici o jedne nezna me. Kdybychom místo se druhou rovnicí pracovali (přičítali její nenulový násobek) s PRVNÍ rovnicí, dostali bychom ve třetí rovnici opět proměnnou x a to nechceme. Vypoc ı tanou hodnotu nezna me z dosadıḿe zpe t do zbyly ch rovnic a tıḿ najdeme i ostatnı kor eny pu vodnı ho syste mu. Nejprve ze druhe rovnice vypoc ı ta me y a po jeho dosazenı potom z prvnı rovnice i x. Vs e si uka z eme na na sledujıćıḿ pr ıḱladu.

6 (1)

7 (1)

8 (1)

9 (1)

10 (1)

11 (1)

12 (1)

13 (1)

14 (1)

15 (1)

16 (1)

17 (1)

18 (1)

19 (1)

20 (1)

21 Obsah Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít Gaussova metoda postupných eliminací je postup, kdy rozs ıŕ enou matici soustavy (2 vpravo) pr eva dıḿe na stupn ovy (schodovity, troju helnıḱovy ) tvar nazy va me přímý chod. Pote takto upravenou matici znovu pr epıś eme jako soustavu rovnic a postupne vyc ıślujeme jednotlive nezna me. Tento proces urc ova nı nezna my ch nazy va me zpětný chod. Pokud se nespokojıḿe se stupn ovity m tvarem rozs ıŕ ene matice soustavy, ale nejenom pod ale i nad prvnıḿ nenulovy m prvkem v kaz de m r a dku u pravou zıśka me nuly a navıć kaz dy r a dek vyde lıḿe jediny m nenulovy m prvkem dane ho r a dku (v r a dku matice soustavy tak bude pouze jedna jednic ka a jinak same nuly; pr ıṕadne dals ı nenulove prvky pr evedeme do rozs ıŕ ene matice soustavy), nazy va me tento postup Jordanovou metodou. Jde vlastne o modiikaci Gaussovy eliminac nı metody, kdy pr eva dıḿe matici soustavy pomocı elementa rnıćh u prav na matici jednotkovou. Je tr eba upozornit na fakt, z e u soustavy, ktera ma nekonec ne mnoho r es enı, ne vz dy mu z eme volit parametr za libovolnou nezna mou. Napr ıḱlad r es me soustavu 2x + y 3z = 4 4x + 3y + 6z = 7 (3) Napis me rozs ıŕ enou matici soustavy (3), kterou ekvivalentnıḿi u pravami (ekvivalentnı soustavy majı stejna r es enı ) budeme pr eva de t na stupn ovy tvar. Chceme-li pr i vy poc tech souc asne prova de t i zkous ku spra vnosti prova de ny ch vy poc tu, pr ida me jes te dals ı sloupec obsahujıćı souc et dane ho r a dku. To ale v tomto jednoduche m pr ıṕade nenı nutne

22 Obsah Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít Pr epıś eme-li tuto matici nazpe t jako soustavu rovnic 2x +y 3z = 4 5y = 15 pak ze druhe rovnice plyne y = 3. Tedy za y si nemu z eme volit parametr. Ale mu z eme volit napr ıḱlad x = 3p + 2. Dosadıḿe-li za x a y do prvnı rovnice, dostaneme Pak pro kaz de rea lne 2 (3p + 2) + (3) 3z = 4 6p z = 4 6p + 7 3z = 4 + 3z 4 6p + 3 = 3z 3 2p + 1 = z Kor eny zadane soustavy rovnic jsou: x = 3p + 2 y = 3 z = 2p + 1 p, ktere si zvolıḿe, dostaneme r es enı dane soustavy. p = 0 p = 1 x = 2 y = 3 z = 1 x = 5 y = 3 z = 3

23 Obsah Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít R es me soustavu x 2y 5z = 2 2x + 3y z = 1 8x 19y 5z = 7 Maly mi r ıḿsky mi c ıślicemi budeme v dals ıḿ oznac ovat r a dky matice. Symbol ii + i. ( 2) pak popisuje, z e: první řádek vynásobíme mínus dvěma a přičteme ke druhému řádku; nebo jinak r ec eno: od druhého řádku odečteme dvojnásobek prvního řádku. (4) ii + i ( 2) iii + i (8) iii + ii (5) h = 2 < h = 3 tedy podle Frobeniovy ve ty dana soustava nemá řešení. Pokud bychom pr ıḿo prova de li zpe tny chod, tak poslednı rovnice by byla 0 x + 0 y + 0 z = coz evidentne nema r es enı.

24 Obsah Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít Cvičení 1. Řešte soustavu lineárních rovnic x + 2y = 3 4x + 5y = 6 (5) Řešení: 1. Gaussovou metodou postupny ch eliminacı Pr ıḿy chod ii i (4) Zpe tny chod x + 2y = 3 3y = 6 x + 2 (2) = 3 y = 2 x = 1 y = 2 Řešení: 2. Jordanovou metodou (modiikace Gaussovy metody) ii + i ( 4) ii ( 3) i + ii ( 2) x = 1 y = 2

25 Obsah Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 2. Řešte soustavu lineárních rovnic x + 3x 2x + x = 0 2x + 5x 3x + 3x = 0 x + 2x 2x = 9 2x x + 4x + 9x = 3 (6) Řešení: 1. Gaussovou metodou postupny ch eliminacı Pr ıḿy chod: iii + ii ( 3) iv + ii ( 7) iv + iii ( 1) ii + i ( 2) iii + i ( 1) iv + i ( 2)

26 Obsah Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít Zpe tny chod: x + 3x 2x + x = 0 x + x + x = 0 x 6x = 9 6x = 6 Z poslednı rovnice plyne x = 1. Tuto hodnotu dosadıḿe do pr edposlednı rovnice: x 6 ( 1) = 9 x = 3. Obe spoc ı tane hodnoty dosadıḿe do druhe rovnice: x + (3) + ( 1) = 0 x = 2. Vs echny hodnoty dosadıḿe do prvnı rovnice: x + 3 (2) 2 (3) + ( 1) = 0 x = 1. X = ( 1 ; 2 ; 3 ; 1 ) Řešení: 2. Jordanovou metodou Vy s e uvedeny zpe tny chod mu z eme prova de t pr ıḿo v jiz upravene matici, kterou pr evedeme na matici jednotkovou. Tento postup (modiikaci Gaussovy metody) nazy va me jak jiz bylo dr ı ve uvedeno metodou Jordanovou iii + iv (1) iv (6)

27 Obsah Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít i + iv ( 1) ii + iv ( 1) i + iii (2) ii + iii ( 1) i + ii (3) ii ( 1) X =