Biomechanika srdečněcévnísoustavy a konstitutivnímodelování
|
|
- Rostislav Kolář
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Biomechanika srdečněcévnísoustavy a konstitutivnímodelování Biomechanika a lékařsképřístroje Biomechanika I LukášHorný Laboratoř biomechaniky člověka Ústavu mechaniky Fakulty strojní ČVUT v Praze
2 M Konstitutivní modelování Hyperelasticita Teorie M Deformace M Napětí M3 Jak zahrnout nelinearitu M4 Jak zahrnout anisotropii M5 Jak zahrnout viskoelasticitu
3 Deformace Konfigurace Referenční konfigurace (materiálové souřadnice) (,, ) X = XE + X E + XE X = X X X E, e 3 3 E, e E, e Zdeformovanáneboli průběžnákonfigurace (prostorové souřadnice) (,, ) x = xe + xe + xe x = x x x 3 3 3
4 Deformace Konfigurace x = x(x) x = x (X,X,X 3 ) x = x (X,X,X 3 ) x 3 = x 3 (X,X,X 3 ) E, e 3 3 E, e E, e Vyjadřujeme souřadnice po deformaci x pomocí souřadnic před deformací X (Lagrange).
5 Deformace Konfigurace Deformace je zobrazení, které převádí materiálové body z prostoru referenční konfigurace do prostoru průběžné konfigurace. deformace : X x E, e 3 3 E, e E, e Uvědomme si, že zatímco materiálový bod je unikátní (je to jeden a tentýž bod v celém průběhu deformace), způsobů vyjádření jeho souřadnic je nekonečně mnoho.
6 Deformace Deformačnígradient V matematikcé analýze při zkoumání lokálního chování funkcí (čili zobrazení z R do R) jste se omezili na zkoumání diferenciálu. Totéž provedeme při zkoumání deformace. deformace : X x čili deformace : R 3 R 3 Deformační gradient F dx = FdX Deformační gradient převádí referenční diferenciální vektor zdeformovaný diferenciální vektor, vyjadřuje tak derivaci dx/dx.
7 Deformačnígradient Deformace dx = FdX F ik = x i / X K Čili rozepsáno po složkách derivujeme tři složky souřadnic podle dalších třech složek souřadnic; celkem tedy devětkrát. Deformační gradient je tenzor druhého řádu definovaný nad tenzorovou bází, která vznikne složením báze počáteční konfigurace a zdeformované. F = F e E + F e E F e E + F e E x x x x F = e E + e E e E + e E X X X X
8 Deformačnígradient Deformace F = F e E + F e E F e E + F e E F = F F F F F F F F 3 = F F F 3 F F F Zápis báze často vynecháváme a tenzor reprezentujeme maticí jeho složek.
9 Deformačnígradient Deformace Deformační gradient v sobě nese informaci o pohybu kontinua v bodě. Tato informace se skládá z takzvaných strečů a rotace elementu jako tuhého celku. Polární rozklad F = RU = vr
10 Deformace Příklad Homogenní deformace Uvažujme objekt tvaru krychle, který se deformuje do kvádru tak, že x = λ X x = λ X x 3 = λ 3 X 3 X 3 x 3 F ik = x i / X K F = x / X = λ F = x / X = λ F 33 = x 3 / X 3 = λ 3 F λ 0 0 = 0 λ λ 3 λ 3 E e E 3 e 3 F = F 3 = F 3 = F = F 3 = F 3 = 0 X x λ λ E e X x
11 Velkédeformace Odvozujeme několik měr deformace (a každá je energeticky konjugovaná s nějakou mírou napětí) C = F T F E = ½(F T F I) U F =RU lnu b = FF T pravý Cauchy-Greenův tenzor deformace Green-Lagrangeův Pravý tenzor strečů Henckyho tenzor deformace levý Cauchy-Greenův e = ½(I F -T F - ) Euler-Almansiho
12 Velkédeformace Příklad Homogenní deformace Tenzory deformace pak mají tvar: F λ 0 0 = 0 λ λ 3 λ 0 0 ε = 0 λ λ 3 C λ 0 0 = 0 λ λ 3 lnu ln λ 0 0 = 0 lnλ lnλ 3 ( λ ) 0 0 E = 0 ( λ ) ( λ 3 ) e ( λ ) 0 0 = 0 ( λ ) ( λ3 )
13 Velkédeformace Pozor! C λ 0 0 = 0 λ λ 3 λ λ 0 b = 0 0 λ 3 Maticová reprezentace totiž neukazuje bázové vektory C b λ 0 0 = 0 λ 0 = λ E E + λ E E + λ E E + 0 E E + E E + E E 0 0 λ 3 ( ) λ 0 0 = 0 λ 0 = λ e e + λ e e + λ e e + 0 e e + e e + e e 0 0 ( ) λ 3 Referenční báze {E,E,E 3 } Průběžná báze {e, e, e 3 }
14 Velkédeformace Pozor také na nesymetrické tenzory! Obecně totiž neplatí u v = v u Uvažujme prostý smyk podle obrázku X x k x = X + kx x = X x 3 = X 3 X x F k 0 = C k 0 = k + k Tenzory obsahující v názvu slovo deformace jsou symetrické. Proč?
15 Deformace Míry deformace při jednoosém tahu True scale C = F T F F Míry deformace E = ½(F T F I) ε lnu e = ½(I F -T F - )
16 Různémíry deformace dávajírůznémíry napětí Referenční konfigurace L A = BH AE x Průběžná konfigurace l a = bh ae x ae x f σ = a ( e e ) ( e e ) xx x x x x Průběžná konfigurace Skutečné napětí σ = f/a P AE x ( e E ) = ( e E ) xx x X x X f A Smíšená konfigurace Smluvní napětí P = f/a S ( E ) σ ( ) P XX X X xx X X xx ( X X ) AE E = E x λ E = E λ E xx Referenční konfigurace Druhé Piola-Kirchhoffovo napětí S = σ/λ x xx
17 Různémíry deformace dávajírůznémíry napětí Ještě jednou! Abychom získali druhé Piola-Kirchhoffovo napětí S, transformuje skutečnénapětí σinverznítransformacík transformaci, kteráproběhla, kdyžsíla deformovala průřez do průběžné konfigurace; čili A a: a = λ x A Druhé Piola-Kirchhoffovo napětí tedy je S XX = (λ x ) - σ xx
18 Napětí Transformace mezi tenzory napětí Znovu připomeňme, že deformační gradient F převádí referenční vektor na zdeformovaný vektor x =FX S = F σf -T J σ = T J FSF P FS = S = F P P = JσF T σ = T J PF
19 Hyperelasticita Připomeňme si tíhový a elektrický potenciál Potenciál je měrná energie (v případě tíhy na jednotku hmotnosti). Představuje tedy práci, kterou by mohl vykonat jednotkový hmotný bod dík působení tíhového pole. V = U/m = mgh/m = gh Intenzita tíhového pole je pak dána: V/ h = g Potenciál elektrického pole náboje q je V = /(4πε)q /r když potenciální energie přenesená na částici s nábojem q ve vzdálenosti rje U = /(4πε)q q /r Intenzita elektrického pole je pak dána: E = - V/ r = /(4πε)q /r
20 Hyperelasticita Elastická potenciální energie U = ρw Hustota deformační energie (elastický potenciál) W = ½σ ij ε ij D formulace Hookeův zákon σ = Eε W = ½Eε W/ ε = Eε = σ
21 Hyperelasticita 3D zobecněný Hookeův zákon µ µ µ σ µ µ µ ε σ ε σ µ µ µ E ε 33 = σ 3 ( + µ )( µ ) µ ε σ ε 3 3 σ µ ε µ σ = Cε W = ½Cεε σ ij = W/ ε ij Ověřte si alespoň pro jednu složku
22 Hyperelasticita Elastický potenciál: Zajišťuje Implicitní splnění. zákona termodynamiky Zjednodušuje práci s nelineární materiálovou závislostí - mocninná, exponenciální, logaritmická Umožňuje snadnou implementaci anisotropie Ve forměvolnéenergie lze snadno rozšířit pro nevratnéděje (viskoelastický potenciál) Implementováno v MKP balících
23 Napětía elastický potenciál Míry napětí a deformace jsou konjugovány tak, že práce vnitřních sil (skalár) při deformaci je vždy stejná P = W F ( F) σ = ( ) F J W F F T σ = W J F C ( C) F T S W = = C ( C) W ( E) E
24 Nestlačitelný materiál Deformace elastomerůa měkkých tkáníjsou často modelovány jako isochorické děje dv J = = detf = I = I = λ λ λ = dv C b V takovém případěse na objemových složkách tenzoru deformace nekonána práce vnitřních sil. Takže odpovídající složky napětí nelze přímo určit z W. Zavádíme tudíž je jako neurčitý Lagrangeův multiplikátor p a určujeme z okrajových podmínek. W ( F) T ( C) ( ) W = W + p J P = pf F W ( F) W T ( C) T σ = F pi = F F pi F C W ( C) S = pc C
25 Tvary konstitutivních modelů Fungův exponenciální tvar (967, 979, 983) Lineární závislost mezi tuhostí a napětím E dσ a = = a + bσ ( e bε σ = ) dε b W µ = α ( ( I ) ) 3 e α ( ) W = µ e α λ λ λ α ( ) + p J
26 Tvary konstitutivních modelů Jednoosý tah W = p σ λ λ σ σ W = λ p λ 33 3 W = λ p λ 3 ( ) W = µ e α λ λ λ α W λ = µλ ( ) e α λ λ λ σ = 0 λ = λ λ λ λ = µ= 0 α= 0 µ= 0 α= λ = λ = 3 µ= α= λ 3 e α λ + λ = λ µ= α= σ µ λ
27 Tvary konstitutivních modelů Gentův logaritmický tvar (996) Large strain stiffening je převeden na limitovanou průtažnost. W µ J 3 m ln I = Jm µ= J m = 0.5 λ 46 max. I 3 I 3 > > + > 0 J 3 m J J m m I
28 Tvary konstitutivních modelů Jednoosý tah W = p σ λ λ σ W = λ p λ W = p σ λ 33 3 λ 3 σ = J µ Jmλ λ λ + 3 λ m µ J 3 m 3 W ln λ + λ + λ = Jm W µ J λ m = σ = 0 λ = λ λ λ λ = λ λ λ J I m σ = = µ = J m = 0.4 µ = J m = 0.7 µ = J m = µ = J m = 0 λ λ
Modelovánía experimentální zjišťovánímechanických vlastností nelineárních materiálů
Modelovánía experimentální zjišťovánímechanických vlastností nelineárních materiálů Biomechanika a lékařsképřístroje Projekt II LukášHorný Laboratoř biomechaniky člověka Ústavu mechaniky Fakulty strojní
VícePolární rozklad deformačního gradientu a tenzory přetvoření
Polární rozklad deformačního gradientu a tenzory přetvoření https://en.wikipedia.org/wiki/finite_strain_theory Deformační gradient Musí tedy existovat jednoznačné zobrazení konfigurace : 1 t t x X, a inversní
Vícec B. Patzák 2012, verze 01
Úvod do nelineárních problémů c B. Patzák (borek.patzak@fsv.cvut.cz), 2012, verze 01 Příklady nelineárního chování Problém vedení tepla, kde vlastnosti materiálu (koeficient vedení tepla) závisí na aktuální
VíceTENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému
TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -
VíceNelineární problémy a MKP
Nelineární problémy a MKP Základní druhy nelinearit v mechanice tuhých těles: 1. materiálová (plasticita, viskoelasticita, viskoplasticita,...) 2. geometrická (velké posuvy a natočení, stabilita konstrukcí)
VíceRozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.
Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí
VíceRovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w
Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,
VíceModelovánía experimentální zjišťovánímechanických vlastností nelineárních materiálů
Modelovánía experimentální zjišťovánímechanických vlastností nelineárních materiálů Biomechanika a lékařsképřístroje Projekt II LukášHorný Laboratoř biomechaniky člověka Ústavu mechaniky Fakulty strojní
VíceÚvod do nelineární pružnosti
Úvod do nelineární pružnosti Lukáš Horný lukas.horny@fs.cvut.cz Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky, ČVUT FS Verze 05.05.09 Proč nelineární pružnost? Zdroje nelinearit Velké posuvy Velká natočení
VíceNapěťový vektor 3d. Díky Wikipedia za obrázek. n n n
Míry napětí Napěťový vektor 3d n n2 2 n,. n n n Zatížené těleso rozdělíme myšleným řezem na dvě části. Na malou plošku v okolí materiálového bodu P působí napěťový vektor (n) (n, x, t), který je spojitou
Vícegeologie a užité geofyziky Karlova Univerzita, Praha v geomechanice I
1 Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Karlova Univerzita, Praha Přednášky pro předmět Matematické modelování v geomechanice I 1. část David Mašín 2 Obsah Úvod do matematického modelování
VíceNelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků
Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy
VíceObr. 0.1: Nosník se spojitým zatížením.
Každý test obsahuje jeden příklad podobný níže uvedeným tpovým příkladům a několik otázek vbraných z níže uvedených testových otázek. Za příklad je možno získat maimálně bodů, celkový počet bodů z testu
VíceNelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP Obsah přednášky Lineární a nelineární úlohy Typy nelinearit (geometrická, materiálová, kontakt,..) Příklady nelineárních problémů Teorie kontaktu,
VíceNELINEÁRNÍ MECHANIKA
VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V BRNĚ FAKULA SAVEBNÍ Doc.Ing.Ivan Němec, CSc. NELINEÁRNÍ MECHANIKA MODUL D7 M1 ZÁKLADY NELINEÁRNÍ MECHANIKY SUDIJNÍ OPORY PRO SUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU SUDIA Doc.Ing.Ivan
VíceVáclav Uruba home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF
Václav Uruba uruba@fst.zcu.cz home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF 13.10.2014 Mechanika tekutin 1/13 1 Mechanika tekutin - přednášky 1. Úvod, pojmy,
VíceNumerické metody. Numerické modelování v aplikované geologii. David Mašín. Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky
Numerické modelování v aplikované geologii David Mašín Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Přírodovědecká fakulta Karlova Univerzita v Praze Přednášky pro obor Geotechnologie David
VíceCAD/CAE. Fyzikální model. (fyzikální podstata problémů, počáteční a okrajové podmínky, materiálové modely)
CAD/CAE ÚNOD: Jan Tippner, Václav Sebera, Miroslav Trcala, Eva Troppová. Fyzikální model (fyzikální podstata problémů, počáteční a okrajové podmínky, materiálové modely) Podpořeno projektem Průřezová inovace
VíceVlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti
Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze
VíceKontraktantní/dilatantní
Kontraktantní/dilatantní plasticita - úhel dilatance směr přírůstku plastické deformace Na základě experimentálního měření dospěl St. Venant k závěru, že směry hlavních napětí jsou totožné se směry přírůstku
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin
Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování
VíceELT1 - Přednáška č. 6
ELT1 - Přednáška č. 6 Elektrotechnická terminologie a odborné výrazy, měřicí jednotky a činitelé, které je ovlivňují. Rozdíl potenciálů, elektromotorická síla, napětí, el. napětí, proud, odpor, vodivost,
VíceAutor: Vladimír Švehla
Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 55 Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Autor: Vladimír Švehla České vysoké učení technické, akulta
VíceFAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ ZÁKLADY METODY KONEČNÝCH PRVKŮ Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/
VíceU218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze
Seminář z PHTH 3. ročník Fakulta strojní ČVUT v Praze U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky 1 Přenos tepla 2 Mechanismy přenosu tepla Vedení (kondukce) Fourierův zákon homogenní izotropní prostředí
VíceDynamika tekutin popisuje kinematiku (pohyb částice v času a prostoru) a silové působení v tekutině.
Dynamika tekutin popisuje kinematiku (pohyb částice v času a prostoru) a silové působení v tekutině. Přehled proudění Vazkost - nevazké - vazké (newtonské, nenewtonské) Stlačitelnost - nestlačitelné (kapaliny
Vícevztažný systém obecné napětí předchozí OBSAH další
p05 1 5. Deformace těles S deformací jako složkou mechanického pohybu jste se setkali už ve statice. Běžně je chápána jako změna rozměrů a tvaru tělesa. Lze ji popsat změnami vzdáleností různých dvou bodů
VícePřednáška 08. Obecná trojosá napjatost
Přednáška 8 Obecná trojosá napjatost Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Objemový modul pružnosti Oedometrický modul pružnosti Hlavní napětí, hlavní deformace
VíceMartin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017
Martin NESLÁDEK Faculty of mechanical engineering, CTU in Prague 14. listopadu 2017 1 / 22 Poznámky k úlohám řešeným MKP Na přesnost simulace pomocí MKP a prostorové rozlišení výsledků má vliv především:
Více2 Odvození pomocí rovnováhy sil
Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy
VíceMetoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)
Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.
VíceÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE
ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE PRUŽNOST A PEVNOST Přednáška č. 5 Prof. Ing. Vladislav Laš. CSc. MECHANIKA PODDAJNÝCH TĚLES Úkolem PP z inženýrského hlediska je navrhnout součásti nebo konstrukce, které
VícePružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14
Pružnost a pevnost zimní semestr 2013/14 Organizace předmětu Přednášející: Prof. Milan Jirásek, B322 Konzultace: pondělí 10:00-10:45 nebo dle dohody E-mail: Milan.Jirasek@fsv.cvut.cz Webové stránky předmětu:
VíceNosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)
Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek
VícePRUŽNOST A PEVNOST II
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ PRUŽNOST A PEVNOST II Navazující magisterské studium, 1. ročník Alois Materna (přednášky) Jiří Brožovský (cvičení) Kancelář: LP C 303/1
VíceObecný Hookeův zákon a rovinná napjatost
Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou
Vícegeologie a užité geofyziky Karlova Univerzita, Praha v geomechanice I
1 Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Karlova Univerzita, Praha Přednášky pro předmět Matematické modelování v geomechanice I 3. část numerické metody David Mašín 2 Obsah Výstavba
VíceČVUT UPM 6/2013. Eliška Bartůňková
ČUT UPM 6/2013 Eliška Bartůňková Úvod 1. Motivace PMPD 1.1 Jednoosá napjatost Obsah 1.2 Zobecnění jednoosé napjatosti pro ohýbaný prut 2. Důkaz základní věty mezní analýzy pro diskrétní modely 3. Formulace
VíceNumerické modelování v aplikované geologii
Numerické modelování v aplikované geologii David Mašín Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Přírodovědecká fakulta Karlova Univerzita v Praze Přednášky pro obor Geotechnologie David
VíceCAD/CAE. Fyzikální model. (fyzikální podstata problémů, počáteční a okrajové podmínky, materiálové modely)
CAD/CAE ÚNOD: Jan Tippner, Václav Sebera, Miroslav Trcala, Eva Troppová. Fyzikální model (fyzikální podstata problémů, počáteční a okrajové podmínky, materiálové modely) Podpořeno projektem Průřezová inovace
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceUrčení faktoru koncentrace napětí pro nelineární materiál. Jan Kopačka
České vysoké učení technické v Praze Fakulta strojní Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Bakalářská práce Určení faktoru koncentrace napětí pro nelineární materiál Jan Kopačka Vedoucí práce: doc
VíceMATEMATICKÝ MODEL CÉVNÍ STĚNY DVOUŠKÁLOVÁ METODA HOMOGENIZACE S UVAŽOVÁNÍM VELKÝCH DEFORMACÍ
MATEMATICKÝ MODEL CÉVNÍ STĚNY DVOUŠKÁLOVÁ METODA HOMOGENIZACE S UVAŽOVÁNÍM VELKÝCH DEFORMACÍ Vladimír LUKEŠ, Eduard ROHAN 2 Abstract: Cévní stěna je modelována pomocí dvouškálové metody homogenizace, která
Více12. Prostý krut Definice
p12 1 12. Prostý krut 12.1. Definice Prostý krut je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže jsou splněny prutové předpoklady, příčné průřezy se nedeformují, pouze se vzájemně natáčejí
VícePATOBIOMECHANIKA SRDEČNĚCÉVNÍHO SYSTÉMU
PATOBIOMECHANIKA SRDEČNĚCÉVNÍHO SYSTÉMU LUKÁŠ HORNÝ Stejnojmenný studijní text k předmětu Fakulty strojní ČVUT v Praze. Kapitola I Kinematika kontinua verze V Praze 03 Tento studijní text vzniká pro potřeby
VíceFAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA Bakalářské studium, 4. ročník Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz
VíceMechanika kontinua - napětí
Mechanika kontinua - napětí pojité protředí kontinuum objemové íl půobí oučaně na všechn čátice kontinua (např. tíhová íla) plošné íl půobí na povrch tudované čáti kontinua a půobují jeho deformaci napětí
Více2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.
Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n
VíceSkalární a vektorový popis silového pole
Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma
Více1 Zatížení konstrukcí teplotou
1 ZATÍŽENÍ KONSTRUKCÍ TEPLOTOU 1 1 Zatížení konstrukcí teplotou Časově proměnné nepřímé zatížení Klimatické vlivy, zatížení stavebních konstrukcí požárem Účinky zatížení plynou z rozšířeného Hookeova zákona
VíceAnalýza napjatosti PLASTICITA
Analýza napjatosti PLASTICITA TENZOR NAPĚTÍ Teplota v daném bodě je skalár, je to tenzor nultého řádu, který nezávisí na změně souřadného systému Síla je vektor, je to tenzor prvního řádu, v trojrozměrném
Více1.1 Shrnutí základních poznatků
1.1 Shrnutí základních poznatků Pojmem nádoba obvykle označujeme součásti strojů a zařízení, které jsou svým tvarem a charakterem namáhání shodné s dutými tělesy zatíženými vnitřním, popř. i vnějším tlakem.sohledemnatopovažujemezanádobyrůznápotrubíakotlovátělesa,alenapř.i
VíceZde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu
index 1 Rejstřík Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu Pružnost a pevnost. U každého termínu je uvedeno označení kapitoly a čísla obrazovek, na nichž lze pojem nalézt.
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceKONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška
1. Tahová zkouška Tahová zkouška se provádí dle ČSN EN ISO 6892-1 (aktualizována v roce 2010) Je nejčastější mechanickou zkouškou kovových materiálů. Zkoušky se realizují na trhacích strojích, kde se zkušební
VíceÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE
ÚVO O MOELOVÁNÍ V MECHNICE MECHNIK KOMPOZITNÍCH MTERIÁLŮ 2 Přednáška č. 7 Robert Zemčík 1 Zebry normální Zebry zdeformované 2 Zebry normální Zebry zdeformované 3 Zebry normální 4 Zebry zdeformované protažené?
VíceMFT - Matamatika a fyzika pro techniky
MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů
VíceTechnologie a procesy sušení dřeva
strana 1 Technologie a procesy sušení dřeva 5. Deformačně-napěťové pole ve dřevě během sušení Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v
VíceZáklady matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice. Geometrické rovnice
Přednáška 1 Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice Rozšířený Hookův zákon Geometrické rovnice Ondřej Jiroušek Ústav mechaniky a materiálů Fakulta
VíceAproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy
Aproimace posuvů Pro každý prvek se musí nalézt vztahy kde jsou prozatím neznámé transformační matice. Neznámé funkce posuvů se obvykle aproimují ve formě mnohočlenů kartézských souřadnic. Například 1.
VíceMechanika s Inventorem
Mechanika s Inventorem 2. Základní pojmy CAD data FEM výpočty Petr SCHILLING, autor přednášky Ing. Kateřina VLČKOVÁ, obsahová korekce Optimalizace Tomáš MATOVIČ, publikace 1 Obsah přednášky: Lagrangeův
VíceOTÁZKY KE STÁTNÍ ZÁVĚREČNÉ ZKOUŠCE (NAVAZUJÍCÍ STUDIUM) OBOR 3901T APLIKOVANÁ MECHANIKA. Teorie pružnosti
OTÁZKY KE STÁTNÍ ZÁVĚREČNÉ ZKOUŠCE (NAVAZUJÍCÍ STUDIUM) OBOR 3901T003-00 APLIKOVANÁ MECHANIKA Teorie pružnosti 1. Geometrie polohových změn a deformace tělesa. Tenzor přetvoření Green-Lagrangeův, Cauchyho.
Více10. Elasto-plastická lomová mechanika
(J-integrál) Únava a lomová mechanika J-integrál je zobecněním hnací síly trhliny a umožňuje použití i v případech plastické deformace většího rozsahu: d J = A U da ( ) A práce vnějších sil působících
Více8 Elasticita kaučukových sítí
8 Elasticita kaučukových sítí Elastomerní polymerní látky (např. kaučuky) tvoří ze / chemické příčné vazby a / fyzikální uzly. Vyznačují se schopností deformovat se již malou silou nejméně o 00 % své původní
VíceTermodynamicky kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu
Termodynamicky kompatibilní viskoelastické modely rychlostního typu Karel Tůma Jednoocí slepým 14. května 2012 podpora GAUK-152010, GACR 201/09/0917 Karel Tůma TD kompatibilní viskoelastické modely rychlostního
VícePřednáška 01 Úvod + Jednoosá napjatost
Přednáška 01 Úvod + Jednoosá napjatost Pružnost a pevnost A (PRA) Přednášející: Doc. Ing. Vít Šmilauer, Ph.D., B312 Konzultační hodiny St 9.15-11.30 Webové stránky předmětu https://mech.fsv.cvut.cz/student/
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceGlobální matice konstrukce
Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{
Více4. Napjatost v bodě tělesa
p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.
VíceReologické modely technických materiálů při prostém tahu a tlaku
. lekce Reologické modely technických materiálů při prostém tahu a tlaku Obsah. Základní pojmy Vnitřní síly napětí. Základní reologické modely technických materiálů 3.3 Elementární reologické modely creepu
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceOTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6
OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti
Více1 Vedení tepla stacionární úloha
1 VEDENÍ TEPLA STACIONÁRNÍ ÚLOHA 1 1 Vedení tepla stacionární úloha Typický představitel transportních jevů Obdobným způsobem možno řešit například Fyzikální jev Neznámá Difuze koncentrace [3] Deformace
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceKap. 3 Makromechanika kompozitních materiálů
Kap. Makromechanika kompozitních materiálů Informační a vzdělávací centrum kompozitních technologií & Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky FS ČVU v Praze. listopadu 7 Základní pojmy a vztahy Notace
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceVysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
Více12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
VíceBiomechanika a lékařské přístroje
Biomechanika a lékařské přístroje Projekt II Lukáš Horný lukas.horny@fs.cvut.cz Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky, ČVUT FS 2018 Projekt II: O co nám půjde? Otázky odpovědi Konstrukce model konstrukce
VíceTenzorový popis fyzikálních vlastností
Tenzorový popis fyzikálních vlastností Typ veličin skalární - hmotnost, objem, energie, teplo,... vektorové - intenzita elektrického a magnetického pole, gradient teploty a koncentrace, difúzní tok,...
VícePATOBIOMECHANIKA SRDEČNĚCÉVNÍHO SYSTÉMU
PATOBIOMECHANIKA SRDEČNĚCÉVNÍHO SYSTÉMU LUKÁŠ HORNÝ Stejnojmenný studijní text k předmětu Fakulty strojní ČVUT v Praze. Kapitola I Tenzor napětí v různých popisech verze 1 V Praze 2013 Tento studijní text
VíceNauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti
Nauka o materiálu Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze kluzu R e, odpovídající
Více2. Dynamika hmotného bodu
. Dynamika hmotného bodu Syllabus:. Dynamika hmotného bodu. Newtonovy zákony. Síly působící při známém druhu pohybu. Pohybová rovnice hmotného bodu, vrhy, harmonický pohyb. Inerciální a neinerciální soustavy
VíceÚVOD DO PROBLEMATIKY LOMOVÉ MECHANIKY KVAZIKŘEHKÝCH MATERIÁLŮ. Zbyněk Keršner Ústav stavební mechaniky FAST VUT v Brně
ÚVOD DO PROBLEMATIKY LOMOVÉ MECHANIKY KVAZIKŘEHKÝCH MATERIÁLŮ Zbyněk Keršner Ústav stavební mechaniky FAST VUT v Brně 1 Motivace: trhliny v betonu mikrostruktura Vyhojování trhlin konstrukce Pražec po
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Více8. Základy lomové mechaniky. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík
Únava a lomová mechanika Koncentrace napětí nesingulární koncentrátor napětí singulární koncentrátor napětí 1 σ = σ + a r 2 σ max = σ 1 + 2( / ) r 0 ; σ max Nekonečný pás s eliptickým otvorem [Pook 2000]
VícePřednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla
Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla Motivace Diferenciální rovnice problému Gradient teploty Energetická bilance Fourierův zákon Diferenciální rovnice vedení tepla Slabé řešení Diskretizace
VíceMechanika nenewtonských tekutin. Josef Málek
Mechanika nenewtonských tekutin Josef Málek 1 Otázky: 1. přednáška, 5. října 2011 Q1) Co se rozumí mechanikou? Q2) Co je tekutina? Q3) Co je newtonská tekutina? Q4) Co je nenewtonská tekutina? Q5) Proč
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Více7. Základní formulace lineární PP
p07 1 7. Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceLineární stabilita a teorie II. řádu
Lineární stabilita a teorie II. řádu Sestavení podmínek rovnováhy na deformované konstrukci Konstrukce s a bez počáteční imperfekce Výpočet s malými vs. s velkými deformacemi ANKC-C 1 Zatěžovacídráhy [Šejnoha,
VíceApriorní rozdělení. Jan Kracík.
Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.
Více