12. Prostý krut Definice

Transkript

1 p Prostý krut Definice Prostý krut je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže jsou splněny prutové předpoklady, příčné průřezy se nedeformují, pouze se vzájemně natáčejí kolem střednice prutu, jedinou nenulovou složkou VVÚ je kroutící moment M k, deformace prutu jsou z hlediska statické rovnováhy prvku nepodstatné, příčný průřez je kruhový nebo mezikruhový. Poznámky k definici Na počátku vývoje pružnosti se neomezoval tvar příčného průřezu u prutů zatížených krutem. Se zvyšováním rozlišovací úrovně (rozvoj měření) se ukázalo, že pouze pro kruhový a mezikruhový průřez je s dostatečnou přesností splněn předpoklad o zachování rovinnosti příčných průřezů, u ostatních tvarů příčných průřezů dochází k jejich deplanaci. Vztahy pro prostý krut pak neplatí; nekruhové průřezy můžeme řešit metodami obecné PP (pruty průřezu tvaru rovnostranného trojúhelníka, elipsy, kruhu s excentrickým kruhovým otvorem), analyticky (obdélník, čtverec), metodou konečných prvků (jakékoliv tvary). Na rozdíl od tahu, kdy jsme podle orientace normálové síly N rozlišovali tah a tlak, u krutu na znaménku kroutícího momentu nezáleží, těleso z izotropního materiálu se chová stejně pro obě orientace kroutícího momentu. OBSAH prostá pružnost prutové předpoklady další

2 p Geometrické vztahy Protože vyšetřujeme výhradně pruty rotačně symetrických průřezů, budeme používat válcový souřadnicový systém se souřadnicemi x, r, ϕ v axiálním, radiálním a obvodovém směru. Z hlediska deformace elementárních prvků Ω 1 a Ω 3 v průběhu zatěžování lze konstatovat: vzdálenost dx průřezů 1, 2 zůstane zachována, délkové přetvoření ve směru střednice prutu je tedy nulové ε x = 0 (za předpokladu malých deformací), příčné průřezy se rozměrově nemění, takže jsou nulová i délková přetvoření v radiálním (ε r = 0) a obvodovém směru (ε ϕ = 0), v důsledku zachování rovinnosti příčných průřezů zůstává zachován pravý úhel mezi radiálním a axiálním směrem (γ xr = 0), prvek přetvoření

3 p12 3 v důsledku rotačně symetrického charakteru deformace jsou nulová úhlová přetvoření γ ϕr = 0, čela prvku Ω 3 se vzájemně natočí o úhel dϕ, čímž vznikne nenulové úhlové přetvoření γ xϕ, jehož rozložení po průřezu získáme z vyjádření posuvu ÂA obecného bodu A na obecném válcovém řezu s poloměrem ρ : ÂA = dxγ xϕ a při vyjádření parametry v příčném průřezu: ÂA = ρdϕ. γ xϕ dx = ρdϕ γ xϕ = ρ dϕ γ xϕ = γ = ρϑ, dx kde ϑ = dϕ dx je poměrný úhel zkroucení konstantní pro daný průřez. U prostého krutu je jediným nenulovým přetvořením úhlové přetvoření γ xϕ = γ, které je po příčném průřezu rozloženo lineárně, s nulovou hodnotou na střednici (γ = ρϑ). V prutu vzniká specifický stav deformace, označovaný jako smyková deformace, 0 γ 2 0 popsaný tenzorem přetvoření T ε = γ T ε

4 p Rozložení napětí v příčném průřezu Rozložení napětí v příčném průřezu získáme pomocí konstitutivních vztahů, které pro hookovský materiál (homogenní, lineárně pružný) mají tvar σ = Eε pro jednoosou napjatost a τ = Gγ pro napjatost smykovou. Pro prostý krut platí ε x = ε r = ε ϕ = 0 σ = 0, γ xr = γ ϕr = 0 τ xr = τ ϕr = 0, γ xϕ = γ 0 τ xϕ (ρ) = τ(ρ) = Gγ = Gρϑ. geometrické vztahy U prostého krutu vznikají v příčném průřezu smyková napětí, která jsou po průřezu rozložena lineárně, s nulovou hodnotou na střednici prutu. Normálová napětí jsou nulová.

5 p12 5 Napjatost v bodě tělesa, určená pouze jediným smykovým napětím, se označuje jako smyková napjatost. Smykovému napětí τ xϕ v příčném průřezu odpovídá stejně velké smykové napětí τ ϕx v řezu procházejícím osou prutu (věta o sdruženosti smykových napětí): τ xϕ = τ ϕx = τ Smykovou napjatost lze popsat tenzorem napětí T σ, znázornit na elementárním prvku a v Mohrově rovině. T σ = 0 τ 0 τ napjatost sdruženost smykových napětí tenzor napětí Mohrova rovina

6 p Závislost mezi VVÚ a napětím Závislost napětí v příčném průřezu na geometrických charakteristikách průřezu a na VVÚ určíme z jediné použitelné podmínky statické ekvivalence mezi soustavou vnitřních elementárních sil v příčném průřezu danou smykovým napětím τ a jejich výslednicí Mk : Mx : M k = dm x = τdsρ = kde J P je polární kvadratický moment. Z rovnice dále plyne Gϑρ 2 ds = Gϑ - poměrný úhel zkroucení ϑ = M k GJ P - úhlové přetvoření γ = ρϑ = M k GJ ρ P ρ 2 ds = GϑJ P, statická ekvivalence J P geometrické vztahy napětí - smykové napětí τ(ρ) = Gγ τ(ρ) = M k J P ρ

7 p Extrémní napětí Smykové napětí τ(ρ) = M k J ρ bude maximální na největším poloměru příčného průřezu, P tedy na vnějším obvodě: τ ex = M k ρ ex = M k = M k, J P J Pρ W k ex τ(ρ) kde jsme zavedli modul průřezu v krutu W k = J P ρ ex. Modul průřezu v krutu pro kruhový průřez W k = J P = J πr4 P ρ ex R = 2 R = πr3 2 = πd3 16 mezikruhový průřez W k = π 2 (R 4 r 4 ) R = πr3 2 [ 1 ( r R ) 4 ] = πd ( ) 4 d D POZOR! W k není aditivní veličina na rozdíl od kvadratických momentů (ve jmenovateli je stále ρ ex = R, nelze odečíst modul průřezu v krutu W k2 malého kruhu od W k1 velkého kruhu). kvadratický moment

8 p Energie napjatosti V lineární pružnosti se celá deformační práce mění na pružnou energii napjatosti A = W. Na trojnásobně elementární prvek Ω 3 délky dx působí vnitřní elementární smyková síla τ ds j, která při natočení prvku Ω 3 o úhel dϕ vykoná práci A τds = 1 2 τdsâa = 1 2 τdsγdx. Energie napjatosti W Ω3 prvku Ω 3 (po dosazení konstitutivního vztahu γ = G τ ) a měrná energie napjatosti Λ (vztažená na jednotkový objem dsdx): lineární pružnost prvek geometrické vztahy Hookův zákon W Ω3 = A τds = τ 2 2G dsdx, Λ = W Ω 3 dsdx = τ 2 2G Λ = 1 2 τγ = 1 2 Gγ2. Poznámka: vztah pro měrnou energii napjatosti je analogický vztahu odvozenému u prostého tahu. tah

9 p12 9 Vztahy platí obecně pro smykovou napjatost. Energie napjatosti W Ω1 jednonásobně elementárního prvku se pak určí integrací přes příčný průřez (a dosazením τ = M k J ρ, P J P = ρ 2 ds) podle vztahu W Ω1 = W Ω3 = τ 2 2G dsdx = M 2 k 2GJP 2 ρ 2 dxds = M 2 k 2GJ 2 P dx ρ 2 ds = M 2 k 2GJ P dx, V prutu o délce l se pak akumuluje energie napjatosti W (l) = l 0 W Ω1 = l 0 M 2 k 2GJ P dx.

10 p Vyjádření deformační charakteristiky střednice Deformace je popsána vzájemným úhlem natočení (zkroucení) dϕ dvou limitně blízkých příčných průřezů 1 a 2 elementárního prvku Ω 1 dϕ = ϑdx = M k GJ dx. P Úhel natočení ϕ průřezu, oddělujícího konečný prvek Ω 0, je dán integrálem po délce tohoto prvku ϕ(x R ) = x R x m M k (x) GJ P (x) dx, kde x R je souřadnice těžiště průřezu, jehož natočení počítáme, x m je souřadnice těžiště vztažného průřezu (obvykle s nulovým natočením). Je-li v určitém úseku střednice M k (x) =konst., GJ P (x) =konst. a umístíme-li počátek souřadnicového systému do těžiště průřezu s nulovým natočením (x m = 0), pak ϑ(ϕ) ϑ(m k ) ϕ(x R ) = M kx R GJ P, kde GJ P se označuje jako tuhost příčného průřezu v krutu Deformace příčného průřezu U prostého krutu se rozměry ani tvar příčných průřezů nemění. Pokud by k tomu došlo, jedná se o porušení prutových předpokladů a teorie prostého krutu neplatí (např. zborcení příčného průřezu ztrátou tvarové stability při kroucení tenkostěnné trubky). prutové předpoklady stabilita

11 p Řešení úlohy PP u prutů namáhaných krutem Volný prut Odvodili jsme vztahy pro napětí, deformaci a energii napjatosti u prutu namáhaného krutem při splnění prutových předpokladů. Pro pruty s kruhovým a mezikruhovým příčným průřezem platí: τ = M k(x R ) J P (x R ) ρ; τ ex = M k(x R ) W k (x R ) ; ϕ(x R) = x R Je-li M k (x) a S(x) nebo G podél střednice proměnný (ovšem tak, že namáhání lze považovat za prosté), pak je nutno i u krutu (podobně jako u namáhání tahem) rozdělit střednici prutu na intervaly, v nichž každá veličina je vyjádřena jediným funkčním vztahem. Hranice těchto intervalů jsou pak v těch bodech střednice, v nichž dochází ke změně materiálových charakteristik nebo funkcí popisujících průběh M k (x) a příčný průřez. U krutu jsou smyková napětí rozložena po průřezu lineárně s extrémní hodnotou na vnějším obvodě. Nebezpečné body jsou tedy všechny body vnějšího obvodu v nebezpečném průřezu. 0 M k (x) dx; W (l) = GJ P (x) l 0 M 2 k (x) 2GJ P (x) dx. prutové předpoklady τ ϕ W tah střednice τ ex nebezpečný průřez

12 p12 12 Úhel natočení příčného průřezu stanovíme z odvozeného vztahu pro úhel natočení průřezu, jehož těžiště má souřadnici x R : ϕ(x R ) = x R 0 M k (x) GJ P (x) dx z Castiglianovy věty úhel natočení ϕ B působiště osamělé silové dvojice M B v rovině působení této silové dvojice je ϕ B = W l = M B 0 M k (x) GJ P (x) M k (x) dx. M B Oba vztahy jsou rovnocenné, derivace M k(x) M má obvykle hodnotu ±1, takže výsledky B se mohou lišit pouze znaménkem. Mezní stav deformace je dán dosažením funkčně nepřípustné hodnoty úhlu natočení ϕ M, bezpečnost vůči němu určíme ze vztahu k ϕ = ϕ M ϕ max. Bezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti se určí ze vztahu k K =. Zde nemůžeme τ max jako mezní hodnotu použít mez kluzu v tahu σ K, ale mez kluzu ve smyku. Tato hodnota se v praxi neměří, ale určuje se na základě Trescovy podmínky plasticity (max τ), ze které plyne τ K = σ K 2. τ K natočení Castiglianova věta MS deformace bezpečnost max τ

13 p Vázaný prut Prut namáhaný krutem bude uložen staticky určitě, jestliže je omezeno natočení příčného Příklad 501 průřezu v jednom bodě střednice. Z úplného uvolnění (pro oba uvedené případy uložení prutu je při zatížení pouze silovými dvojicemi Mi jediným nenulovým vazebným účinkem složka stykového momentu M A ) vidíme, že je pouze jedna použitelná podmínka statické rovnováhy statický rozbor Mx = 0 : n M A M i = 0 i=1 s = µ ν = 1 1 = 0 uložení staticky určité. Ve všech ostatních případech uložení jsou pruty namáhané krutem uloženy staticky neurčitě.

14 p12 14 K řešení vázaných prutů namáhaných krutem můžeme použít algoritmus uvedený v kapitole Vázaný prut. Jen je potřeba si uvědomit, že u tohoto případu je jedinou použitelnou podmínkou statické rovnováhy momentová podmínka k ose x, tedy M x = 0, vazbová deformační podmínka je určena úhlem natočení příčného průřezu kolem střednice prutu, a to v tolika jejích bodech, kolikrát je uložení staticky neurčité. Deformační podmínka opět může být homogenní, nehomogenní nebo podmíněná. algoritmus Příklad 507 Příklad 503 Příklad 505 Poznámka: V případě kombinace tuhých a pružných vazeb je třeba při částečném uvolnění zachovat tuhou vazbu (těleso zůstává jako celek vázáno nepohyblivě) a pro sestavení nehomogenních deformačních podmínek uvolňovat vazby pružné; jinak by těleso nebylo vázáno nepohyblivě a nastal by problém s odlišením deformačních posuvů od pohybu tělesa jako celku. Deformační podmínky vyjadřujeme pouze pomocí silového působení, neobjeví se v nich vliv teploty a obvykle ani výrobních tolerancí. Vyskytne-li se u staticky neurčitě uloženého prutu namáhaného krutem významná změna teploty nebo nepřesnost délky, vyvolá vznik normálové síly a z jednoduchého namáhání se stane kombinované (krut+tah nebo tlak).

15 p12 15 I u prutů namáhaných krutem nesmíme zapomenout na problematiku vrubů, kde dochází ke koncentraci napětí a přetvoření. Extrémní hodnotu napětí v kořeni vrubu určíme ze vztahu τ ex = ατ n, Příklad 502 Příklad 504 Příklad 506 kde α je součinitel koncentrace napětí určený z grafů, které byly vytvořeny pomocí výpočtových (MKP), resp. experimentálních (fotoelasticimetrie) metod pro různé tvary vrubů, τ n je nominální napětí v místě vrubu určené pomocí teorie prostého krutu. α grafy Příklady k procvičování látky

16 p12 16 Řešené příklady Příklad 507 Neřešené příklady Příklad 501 Příklad 502 Příklad 503 Příklad 504 Příklad 505 Příklad 506 předchozí OBSAH následující kapitola