Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice. Geometrické rovnice

Transkript

1 Přednáška 1 Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice Rozšířený Hookův zákon Geometrické rovnice Ondřej Jiroušek Ústav mechaniky a materiálů Fakulta dopravní ČVUT O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

2 Teorie inženýrských konstrukcí (18TIK) Teorie inženýrských konstrukcí (18TIK) zimní semestr 2016/2017 přednášky: prof. Ing. Ondřej Jiroušek, Ph.D. cvičení: Ing. Daniel Kytýř, Ph.D. Ing. Petr Zlámal, Ph.D. 2 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

3 Podmínky udělení zápočtu 1 Aktivní účast na cvičeních. Každé cvičení bude zahájeno pětiminutovým písemným testem obsahujícím jednoduchý příklad, obvykle tématicky zaměřený na látku předchozího cvičení. Podmínka aktivní účasti je splněna překročením 50 % hranice obdržených bodů. Maximální bodový zisk z každého cvičení jsou 2 body. Pokud se student nemůže dostavit na své cvičení, může si tématicky shodné cvičení nahradit s jiným kruhem. Obdržené bodové zisky budou průběžně zveřejňovány na serveru 2 Splnění podmínek zápočtového testu, tj. získat více než 50 % bodů z tohoto testu. Řádný termín zápočtového testu se uskuteční v čase přednášky určené pro jednotlivé kruhy. Dále se uskuteční nejvýše dva opravné termíny pro studenty, jež se z vážných důvodů nemohli dostavit na termín řádný, nebo nesplnili podmínky zápočtového testu při prvním pokusu. Celkem má student právo na dva pokusy o splnění zápočtového testu v rámci vypsaných tří termínů ( , a ). Výsledky zápočtového testu budou zveřejněny na serveru 3 Všechny požadavky k udělení zápočtu musí být splněny nejpozději do konce prvního týdne zkouškového období, tj. do O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

4 1 Získání zápočtu je nutnou podmínkou pro možnost přihlášení se na zkoušku. 2 Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Pro postup k ústní části je potřebné splnit podmínky písemné části. V případě prokázání základních neznalostí v průběhu ústní části zkoušky je výsledek zkoušky hodnocen jako F - nedostatečný bez ohledu na bodový zisk v písemné části. 3 Maximální zisk z písemné části je 80 bodů. 4 K bodovému zisku z písemné části se připočítávají body získané na přednáškách.body získané na cvičeních nad hranicí nutného minima a získané body ze zápočtového testu nad hranicí nutného minima. 5 K bodovému zisku z písemné části se připočítávají body získané na cvičeních nad hranicí nutného minima. 6 K bodovému zisku z písemné části se připočítávají body získané ze zápočtového testu nad hranicí nutného minima. 7 Při získání více než 91 bodů získává student automaticky hodnocení A - výborně. 4 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

5 Skripta, další studijní materiál S. Timošenko: Pružnost a pevnost II, Technicko-vědecké vydavatelství, Praha, 1951 R. Halama et al.: Pružnost a pevnost, 2011, online: J. Brožovský, A. Materna: Základy matematické teorie pružnosti, 2012, online: zaklady-matematicke-teorie-pruznosti V. Salajka: Pružnost a plasticita, 2011, online: J. Case: Strength of Materials and Structures, Hodder & Stoughton Edu., čtvrté vydání 1999 F. Beer et al.: Mechanics of Materials, McGraw-Hill, šesté vydání, 2011 R. Taylor: Classical Mechanics, University Science Books, O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

6 Plán přednášek 1 ( ) Tenzor deformace, tenzor napětí. Základní rovnice matematické teorie pružnosti. 2 ( ) Rovinné problémy. Základní předpoklady, geometrické rovnice, fyzikální rovnice a statické rovnice. 3 ( ) Rovinná deformace, rovinná napjatost. Matice materiálové poddajnosti, matice materiálové tuhosti. 4 ( ) Axisymetrická úloha. Rotačně symetrické problémy. 5 ( ) Deskové konstrukce. Rovnice desky. Kirchhoffova teorie tenkých desek. Desková tuhost. Okrajové podmínky a řešení průhybu obdélníkových desek. 6 ( ) Mindlinova teorie tlustých desek. Výpočet přibližného tvaru průhybu desky a ohybových momentů. 7 ( ) Přibližné metody pro řešení průhybu desky. Metoda sítí. Diferenční vztahy. Speciální okrajové podmínky. 8 ( ) Skořepinové konstrukce. Kinematické rovnice. Zápis rovnic v křivočarých souřadnicích. 9 ( ) Rotačně symetrická tenká (membránová) skořepina. Řešení pro kulovou a válcovou skořepinu. 10 ( ) Reissner-Mindlinova teorie skořepin. 11 Zápočtový test. ( ) 12 ( ) Modelování interakce konstrukce s podložím. Modely pružného podloží interakce podloží se základovými konstrukcemi. Winklerův model. 13 Opravný zápočtový test. ( ) 14 ( ) Nedostatky Winklerova modelu. Model pružného (Bussinesqova) poloprostoru. Dvouparametrický Winkler-Pasternakův model podloží. 6 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

7 Body za aktivitu Na přednáškách bude možno získat body za aktivitu (za správně odpovězené otázky). Maximální počet bodů, které student má možnost takto získat na přednáškách je O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

8 Plán cvičení 1 Mechanické napětí, hlavní napětí, Mohrova kružnice 2 Rovinná deformace, rovinná napjatost, osová symetrie 3 Ritzova metoda řešení průhybu nosníku 4 Ritzova metoda řešení průhybu desky 5 Výpočet deformace a napětí na skořepinách (membránová teorie) 6 Winklerův model podloží 7 Rezerva, opakování 8 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

9 Prerequisities aneb co máte znát Matematika, Statika - co byste měli znát Základní algebra (např. maticový počet) Infinitesimální počet (derivace funkce, diferenciál, řešení základních diferenciálních rovnic) Výpočet těžiště Momenty setrvačnosti Steinerova věta Výpočet reakcí (SUK SNK) Průběhy vnitřních sil na nosníku (N, T, M) Princip virtuálních prací (PVp, PVs) 9 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

10 Prerequisities aneb co máte znát Pružnost - co byste měli znát Analýza prutových konstrukcí Napětí při různých způsobech namáhání přímého prutu (tah/tlah, ohyb, krut, vzpěr) Diferenciální rovnice ohybové čáry a její řešení Rovinná napjatost, hlavní napětí. Mohrova kružnice. Přetvárná práce. 10 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

11 Prerequisities aneb co máte znát Teorie konstrukcí - co byste měli znát Staticky neurčité prutové konstrukce Silová metoda. Výpočet rámu silovou metodou. Deformační metoda. Výpočet rámu deformační metodou. Nosník na pružném Winklerově podloží Diferenciální rovnice ohybové čáry a její řešení Přetvoření rovinného prvku, virtuální práce 11 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

12 Motivace v obrazech Motivace v obrazech - porus enı dopravnı ch prostr edku, konstrukcı 12 O. Jirous ek (K618) 01 Za klady matematicke teorie pruz nosti

13 Motivace v obrazech Motivace v obrazech - porušení dopravních prostředků, konstrukcí 13 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

14 Motivace v obrazech Motivace v obrazech - výpočet dle normy, numerické metody (FEM), vždy ověřit ručním výpočtem 14 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

15 Motivace Motivace v obrazech Koncept napětí jako intenzity vnitřních sil v tělese Na těleso (konstrukci) působí vnější síly zatížení silové {F i } a momentové {M i } reakce ve vazbách (podporách) - opět síly a momenty vnitřní síly vznikají v libovolném řezu tělesa (konstrukce) dle principu akce a reakce posouvající (tečné) síly T y,z, normálové síly N, ohybové momenty M y,z a kroutící moment M x na (prostorovém) prutu {N x, T y, T z, M x, M y, M z} 15 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

16 Motivace v obrazech Prutové konstrukce Výpočet vnitřních sil - pouze osově namáhané pruty (spojené v kloubech, nepřenáší se ohybový moment) uvolnění konstrukce ve vazbách výpočet reakcí A x, A y, C x, C y 16 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

17 Motivace v obrazech Prutové konstrukce - pokračování výpočet reakcí výpočet normálových sil N 17 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

18 Motivace v obrazech Prutové konstrukce - pokračování posouzení? Určitě ne: F max,i < F lim (jak stanovit F lim?) koncept napětí v bodě, max. dovolené namáhání (pevnost, mez kluzu, součinitel bezpečnosti,...) σ i = N i < σ A dov i 18 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

19 Motivace v obrazech posouzení? Určitě ne: F max,i < F lim (jak stanovit F lim?) koncept napětí v bodě, max. dovolené namáhání (pevnost, mez kluzu, součinitel bezpečnosti,...) σ i = N i < σ A dov i 19 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

20 Základní rovnice matematické teorie pružnosti Základní rovnice 3D elasticity (15 rovnic pro 15 neznámých) u u = v w ε ε = z γ xy ε x ε y γ yz γ zx σ σ = z τ xy σ x σ y τ yz τ zx 20 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

21 Základní rovnice matematické teorie pružnosti Geometrické rovnice v maticovém zápise: ε x = a'b' AB AB ε y = a'c' AC AC = = u (dx+(u+ x dx) u) dx dx = u x v (dy+(v+ y dy) v) dy dy = v y ε x = u x x ε y = u y y ε z = u z z (1) 21 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

22 Základní rovnice matematické teorie pružnosti Geometrické rovnice (smyková deformace) Smyková deformace γ xy je součet úhlů mezi úsečkami AC a AB: γ xy = α + β: tan α = tan β = u y x dx u y dx + ux x dx = x 1 + ux x u x y dy dy + uy y dy = u x y 1 + uy y Pro malou hodnotu gradientu posunutí: u x x 1 ; u y y 1 Pro malé rotace, t.j. α a β 1 dostáváme: tan α α, tan β β Tudíž: α u y x ; β u x y γ xy = α + β = u y x + u x y γ xy = u y x + u x y γ xz = u z x + u x z γ yz = u z y + u y z 22 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti (2) (3) (4)

23 Základní rovnice matematické teorie pružnosti Výsledné rovnice ε x = u x ε y = v y ε z = w z γ xy = u y + v x γ yz = v z + w y γ zx = u z + w x Potom můžeme geometrické rovnice zapsat v maticovém tvaru: ε = u 23 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

24 Základní rovnice matematické teorie pružnosti Statické podmínky rovnováhy (Cauchyho rovnice) v maticovém zápise: Podmínky rovnováhy na infinitesimálním objemu dv, náznakem: Fix = σ x dydz + τ xy dydz + τ xz dxdz Fiy = σ y dxdz + τ yx dxdz + τ yz dxdy Fiz = σ z dxdy + τ zx dxdz + τ xz dxdz 24 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

25 Základní rovnice matematické teorie pružnosti Tenzor napětí σ: σ 11 σ 12 σ 13 σ xx σ xy σ xz σ x τ xy τ xz σ = σ 21 σ 22 σ 23 σ yx σ yy σ yz τ yx σ y τ yz σ 31 σ 32 σ 33 σ zx σ zy σ zz τ zx τ zy σ z Zákon o sdružených smykových napětí Z momentových podmínek rovnováhy kolem těžišťových os plyne: τ xy = τ yx τ xz = τ zx Obecně lze zapsat: τ yz = τ zy τ ij = τ ji i, j (5) Tenzor napětí σ pak můžeme zapsat jako sloupcový vektor σ: σ = { σ x σ y σ z τ yz τ xz τ xy } T 25 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

26 Základní rovnice matematické teorie pružnosti Rozšířený Hookův zákon: ε 1 x = 1 E σ x ε 1 y = µε x = µ E σ x ε 1 z = µε x = µ E σ x ε 2 x = µε y = µ E σ y ε 2 y = 1 E σ y ε 2 z = µε y = µ E σ y ε 3 x = µε x = µ E σ z ε 3 y = µε x = µ E σ z ε 3 z = 1 E σ z ε x = ε 1 x + ε 2 x + ε 3 x ε y = ε 1 y + ε 2 y + ε 3 y ε z = ε 1 z + ε 2 z + ε 3 z ε x = 1 E σ x µ E σ y µ E σ z ε y = 1 E σ y µ E σ x µ E σ z ε z = 1 E σ z µ E σ x µ E σ y ε x = 1 [ σx µ(σ y + σ z ) ] E ε y = 1 [ σy µ(σ x + σ z ) ] E ε z = 1 [ σz µ(σ x + σ y ) ] E (6) (7) (8) 26 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti

27 Základní rovnice matematické teorie pružnosti Rozšířený Hookův zákon (fyzikální rovnice) zapsat maticově takto: 1 ε x E µ E µ E σ x ε y µ 1 E E µ E ε z = µ E µ σ y 1 E E σ z γ yz G 0 0 τ yz γ xz G 0 τ xz γ 1 xy τ G xy Matice materiálové poddajnosti [C] pro izotropní materiál: 1 E µ E µ E µ 1 E E µ E [C] = µ E µ 1 E E G G G Fyzikální rovnice v maticovém tvaru: {ɛ} = [C] {σ} = {σ} = [C] 1 {ε} = [D] {ε} 27 O. Jiroušek (K618) 01 Základy matematické teorie pružnosti