c B. Patzák 2012, verze 01
|
|
- Ilona Vlčková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Úvod do nelineárních problémů c B. Patzák (borek.patzak@fsv.cvut.cz), 2012, verze 01
2 Příklady nelineárního chování Problém vedení tepla, kde vlastnosti materiálu (koeficient vedení tepla) závisí na aktuální teplotě ( ) λ(x, T ) + Q(x) = 0 d dx dt (x) dx Problém vedení tepla, radiace jako okrajová podmínka: ( ) q(x) = ε(x)σ(x) T 4 (x) T 4 Úlohy mechaniky, kde uvažujeme Nelineární chování materiálu Geometricky nelineární chování - velké deformace, podmínky rovnováhy na deformované konstukci, zatížení měnící směr s deformací konstrukce (followers load) Kontaktní problémy
3 Nelineární mechanika F int (r)r = F ext (r) Nelineární problém neumíme řešit přímo iterační řešení V nelineární oblasti neplatí princip superpozice Každý zatěžovací stav vyžaduje novou analýzu Pro určitou množinu zatížení může existovat více řešení Pokud je zatěžovací stav tvořen více zatíženími, záleží na pořadí jejich aplikace F2 F1=2*F2 σ F1, F2 F2/A σ F2, F1 A F1/A F1/A ε F2/A ε
4 Pojem zatěžovací dráhy F Reprezentativni zatizeni referencni konfigurace zatezovaci (rovnovazna) draha Representativni posun w
5 Zatěžovací dráha, základní typy FP FP LP FP (a) (b) (c) Klasifikace důležitých bodů na zatěžovací dráze LP LP FP TP LP Legenda: LP: Limitní bod (Limit Point), FP: Porušení (Failure Point), BP: Bifurkační bod (Bifurcation Point), TP: bod zvratu (Turning Point). TP LP FP BP FP
6 Kritické body Spekrální rozklad matice tuhosti K y i = λ i y i, i = 1,, N Pokud budeme předpokládat, že K je reálná, symetrická matice, potom všechna vlastní čísla jsou reálná všechny vlastní tvary y i jsou reálné, dále budeme předpokládat, že jsou ortogonalizované: y T i y j = δ ij.
7 Regulární bod: K je nesingulární Kritický bod: K je singulární, existuje jedno (izolovaný kritický bod) nebo více (násobný kritický bod) nulových vlastních čísel. Determinant matice tuhosti K je nulový v kritických bodech
8 Klasifikace izolovaných kritických bodů Limitní bod: zatěžovací dráda bez větvení, tečna dráhy má nulovou derivaci Bifurkační bod: dvě a více zatěžovacích drah, nejednoznačná derivace. Pokud označíme vlastní tvary příslušné nulovým vlastním číslům jako y c (null eigenvectors, K y c = 0 a q c je přírůstkový vektor zatížení, pak: y T c q c 0: limitní bod y T c q c = 0: bifurkační bod
9 Geometrická nelinearita Kinematika velkých posunutí Uvažujme trojrozměrný Eukleidovský prostor, kde počáteční konfigurace tělesa Ω je popsána množinou bodů, jejichž poloha je charakterizována jejich polohovým vektorem x = x i e i ; x = {x 1, x 2, x 3 } T O oblasti Ω předpokládáme, že je ohraničená (Γ = Ω), s vnější normálou n. Hranici Γ lze rozdělit na část, kde jsou předepsány kinematické okrajové podmínky Γ u a část Γ p, kde je předepsané vnější zatížení; Γ u Γ p = 0, Γ u Γ p = Γ; Γ u 0. Deformovaná konfigurace tělesa v čase t je popsána polohovým vektorem bodů deformované konfigurace x ϕ = ϕ t (x) Polohové vektory v počáteční a deformované konfiguraci můžeme vyjádřit jako x = x e ; x ϕ = x ϕ e ϕ c B. Patzák (borek.patzak@fsv.cvut.cz), 2012, verze 01
10 d(x+dx) dx d(x) dx ϕ x Ω x ϕ Ω ϕ Γ u e = e i i ϕ
11 Deformační gradient Pro každý bod tělesa můžeme definovat vektor posunutí d(x) = x ϕ x Pro definici deformace, musíme popsat nejen posun jednoho bodu, ale také posun v jeho okolí. Uvažujme posun bodu vzdáleném od referenčního bodu x o vzdálenost dx, tedy d(x + dx). Můžeme pak psát x ϕ +dx ϕ = x +dx +d(x +dx) dx ϕ = dx +d(x +dx) d(x) Poslední výraz s využitím rozvoje do Taylorovy řady d(x + dx) = d(x) + d(x)dx + o( dx ) d i (x + dx) = d i (x) + d i x j (x)dx j + o( dx ) Kombinací předchozích výrazů obdržíme výraz pro transformaci dx v počáteční konfiguraci do dx ϕ dx ϕ = (I + d) dx dx ϕ = F dx; F ij = x i + d i }{{} x j x j F }{{} δ ij c B. Patzák (borek.patzak@fsv.cvut.cz), 2012, verze 01 = ϕ i x j
12 Změna objemu dv ϕ = (x ϕ dy ϕ ) dz ϕ ; x ϕ = ϕ(x) dx ϕ = ϕdx = (F dx Fdy) F dz = det(f ) (dx dy) dz }{{}}{{} J dv
13 Polární dekompozice Vyšetřeme, jak se deformační gradient chová při rotaci tělesa jako tuhého celku. V takovém speciálním případě F = R deformační gradient by měl zachovat normu transformovaného vektoru, dx ϕ = dx dx dx = dx ϕ dx ϕ = Rdx Rdx = dx R T Rdx Odtud plyne R T R = I R 1 = R T. Deformaci elementárního objemu lze vyjádřit jako kombinaci ryzí deformace - protažení v hlavních směrech ve výchozí konfiguraci (reprezentované symetrickým, pozitivně=definitním tenzorem U, tzv. Right Strech tensor), následované rotací materiálu do finální polohy (ortogonální tenzor R): F = RU; R T = R 1 ; U T = U Alternativně, finální konfigurace lze dosáhnout inverzním pořadím transformací: rotací ve výchozí konfiguraci, následovanou ryzí deformací V (Left strech tensor): F = V R
14 R V Initial configuration F Deformed configuration ϕ x,x 3 3 ϕ x,x 1 1 ϕ x,x 2 2 U R
15 Míry deformace Můžeme definovat jiné míry deformace než U a V, pro výpočet napětí nejsou třeba rotace, jen deformace. Z důvodů výpočetní efektivity je vhodné použít jiné míry deformace, které mohou popsat deformaci bez nutnosti provést polární dekompozici. Jednou z možností je Cauchy-Green right deformation tensor (vztažený k počáteční konfiguraci, podobně jako U): C = F T F = U T R T RU = U 2 Obdobně levý Cauchy-Green deformační tenzor (vztažený k deformované konfiguraci): B = F F T = V RR T V T = V 2
16 Míry deformace Green-Lagrangeův tenzor deformace: E = 1 2 (F T F I) = 1 (C I) 2 = 1 2 ( d + d T ) d T d = 1 2 ( d i x j + d j x i + d k x i d k x j )e i e j Pro malé přírůstky deformace platí lim u 0 E = 1 2 ( u + ut ) = ε
17 Green-Lagrangeův tenzor v 1D x = {x, 0, 0} T, d(x) = x ϕ x = {d(x), 0, 0} T dx ϕ = F dx; F = I + d = µ kde µ je protažení (stretch), pro homegenní deformaci je µ = l/l; (0 < µ(x) < ). Pro Green-Lagrangeův tenzor pak můžeme psát: E = 1 2 (F T F I) = 1 2 l 2 L 2 L ,
18 Další míry deformace (v 1D) Pootočená inženýrská deformace:ε E = l L L Energeticky přidružené je nominální napětí σ E = N A Pootočená logaritmická deformace ε LN = L dl l L = ln l L = ln(1 + ε G) ε e 1 2 ε2 E a přidružené skutečné (Cauchyho) napětí σ LN = N a Green-Lagrangeova deformace: ε G = l2 L 2 2L 2 = 1 2 ((1 + ε e) 2 1) = ε E ε2 E a přidružené, druhé Piolovo-Kirchhhoffovo napětí σ LN = (σ a A )L L = σ E l l
19 Příklad: vzpěradlo F 2F l w H H β L 2D D Svislá podmínka rovnováhy (s využitím symetrie): h F = N sin β = N H + w l = N h l N H + w L Z Pythagorovy věty l 2 (H + w) 2 = L 2 H 2 plyne l 2 L 2 = 2Hw + w 2 = (l L)(l + L). Pro deformaci pak platí: ε = l L L = 2Hw + w 2 L(l + L) 2Hw + w 2 2L 2 = Hw L w 2 2 L 2
20 Podmínky rovnováhy V deformované konfiguraci necháme působit skutečná napětí (true Cauchy stress). Podmínky rovnováhy pak mají tvar: div ϕ σ ϕ + b ϕ = σϕ ij x ϕ e ϕ i + b ϕ i e ϕ i = 0 j σ ϕ,t = σ ϕ in Ωϕ (1) Nevýhodou je, že deformovaná konfigurace (a souřadnice x ϕ ) jsou známy až když je problém vyřešen, deformovaná konfigurace se navíc stále mění.. Proto se snažíme vyjádřit podmínky rovnováhy ve známé (počáteční) konfiguraci. Nejprve vyjádříme externí zatížení: b ϕ dv ϕ = bdv dv ϕ = JdV } b ϕ J = b (2)
21 Pro napětí působící na jednotkové plošce deformované konfigurace: σ ϕ n ϕ da ϕ = σ ϕ det[f ]F T nda P = Jσ ϕ F T = PndA, kde P je první Piola-Kirchhoffův tenzor napětí a využili jsme fakt, že da ϕ n ϕ = dx ϕ dy ϕ = (F dx) (F dy ϕ ) = (det[f ]F T )(dx dy) = cof [F ]da n. Tenzor P také nahradí skutečný Cauchyho tenzor napětí v podmínkách rovnováhy: J div ϕ σ ϕ = J σ ϕ ϕ = J σ ϕ (F T ) = (J σ ϕ F T ) = P = divp
22 Podmínky rovnováhy zapsané v počáteční konfiguraci můžeme tedy zapsat ve tvaru: J div ϕ σ ϕ + J b ϕ = 0 divp + b = 0 Momentové podmínky rovnováhy potom mají tvar: J σ ϕ,t = J σ ϕ F P T = PF T První Piola-Kirchhoffův tenzor je tedy nesymetrický.
23 Slabá formulace podmínek rovnováhy - PVP V deformované konfiguraci: ˆε ϕ σ ϕ dv ϕ Ω ϕ w ϕ b ϕ dv ϕ Ω ϕ Γ ϕ σ w ϕ t ϕ da ϕ = 0, kde w je vektor testovacích funkcí (vektor virtuálních posunutí), ˆε je tenzor virtuálních deformací, který je v souladu s předpokladem, že virtuální posunutí jsou infinetizimálmí, definován jako tenzor pro malé deformace: ˆε ϕ (w ϕ ) = 1 2 ( w ϕ i x ϕ j + w ϕ j x ϕ i ) e ϕ i e ϕ j.
24 Vyjádřeme nyní princip virtuálních prací vzhledem k počáteční konfiguraci: ˆε ϕ (w ε ) σ(x ϕ ) ϕ dv ϕ = ˆε ϕ (w ε ) J(x)σ ϕ (ϕ(x)) dv Ω ϕ Ω = ˆε ϕ (w ε ) τ (x) dv Vyjádřeme nyní tenzor virtuální deformace jako funkci souřednic počáteční konfigurace: ˆε ϕ (w ε ) = 1 ϕ 2 ( w i x ϕ j Ω + w ϕ j x ϕ )e ϕ i e ϕ j i = 1 2 (w ϕ ϕ + ϕ w ϕ ) = 1 2 (w F T + F T w) = 1 2 ( wf 1 + F T w)
25 = = = = = ˆε ϕ (w ε ) σ(x ϕ ) ϕ dv ϕ = ˆε ϕ (w ε ) τ (x) dv Ω ϕ Ω 1 Ω 2 ( wf 1 + F T w) τ dv 1 Ω 2 (F T F T w τ F T + w T F F 1 F 1 τ ) dv 1 Ω 2 (F T w F 1 τ F T + w T F F 1 τ F T ) dv 1 Ω 2 (F T w + w T F ) F 1 τ F T dv Γ S dv, Ω
26 kde Γ je derivace Green-Lagrangeova tenzoru deformace ve směru virtuálních posunů, odpovídající variaci tenzoru deformace E: Γ = d dε [1 2 (F T F I)] ε=0 = 1 2 (F T w + w T F ) a S = F 1 τ F T = JF 1 σf T je tzv. druhý Piola-Kirchhofův tenzor napětí A tedy PVP vyjádřené prostřednictvím Green-Lagrangeova tenzoru deformace a druhého Piola-Kirchhoffova napětí: Γ S dv w b dv w t da = 0 Ω Ω Γ σ
27 Příklad: tažený-tlačený prvek ve 2D x ϕ (ξ) = ϕ(x) = x(ξ) + u(ξ) Definujme vektor souřadnic uzlů X = {x 1, x 2, z 1, z 2 } T a vektor uzlových posunů r = {u 1, u 2, w 1, w 2 } T. Odtud x ϕ (x) = ϕ 1 (x) = N 1 (x)(x 1 + u 1 ) + N 2 (x)(x 2 + u 2 ) y ϕ (x) = ϕ 2 (x) = N 1 (x)(y 1 + v 1 ) + N 2 (x)(y 2 + v 2 ) a pro jejich derivace: dϕ 1 dx dϕ 2 dx = dn 1(x) dx = dn 1(x) dx } {{ } 1/L (x 1 + u 1 ) + dn 2(x) (x 2 + u 2 ) dx (y 1 + v 1 ) + dn 2(x) (y 2 + v 2 ) } dx {{ } 1/L
28 Nenulová složka tenzoru deformace E = (1/2)(F T F I) (F = dϕ/dx) je tedy E 11 = = = = 1 [ ( dϕ 1 ] dx )2 1 2 dx )2 + ( dϕ 2 [ 1 ( dn 1 2 dx (x 1 + u 1 ) + dn 2 dx (x 2 + u 2 )) 2 + ( dn 1 dx (y 1 + v 1 ) + dn ] 2 dx (y 2 + v 2 )) [ 2L 2 L 2 + (2(x 1 x 2 )u 1 + 2(x 2 x 1 )u 2 2(y 1 y 2 )v 1 + 2(y 2 y 1 )v 2 ) + ( u u2 2 2u 1u 2 2v 1 v 2 + v 2 ) 1 + v2 2 L 2] 1 L 2 X T Hr + 1 2L 2 rt Hr kde X = x 1 y 1 x 2 y 2 r = u 1 v 1 u 2 v 2 H =
29 Pak můžeme psát E 11 = 1 L 2 X T Hr + 1 }{{} 2L 2 r T Hr = B 1 r + 1 }{{} 2 r T Ar E (L) 11 E (NL) 11 S 11 = E( 1 L 2 X T Hr + 1 2L 2 r T Hr) = E(B 1 r r T Ar) δe 11 = 1 L 2 (X T + r T )Hδr = (B 1 + r T A)δr
30 δr T f int = L δe 11 S 11 dv = δr T 1 L 2 HT (X + r)s 11 }{{} = δr T (H T 1 L 2 (X + r)s 11) dv }{{} AL Linearizací vektoru vnitřních sil f int const. dv = δr T (H T A L (X + r)s 11) }{{} f int f int r r = A HT L S 11 + H T A L (X + r)e 1 L L (X T + r T )H = K r kde můžeme identifikovat následující členy: K m = H T A L (X + r)e 1 L L (X T + r T )H = (K 1 + K 2 (r)) K σ = H T A L ES 11 = AS 11 L H
31 Linearizace PVP v přírůstkovém tvaru Předpokládejme, že známe deformovanou konfiguraci (f int (r), f ext ) Uvažujme dále malou (diferenciální) změnu konfigurace ( r, f ext ) ( ) 0 = δr T f int (r + r) (f ext + f ext ) ( ) δr T f int int f (r) + r r f ext f ext Linearizovaný PVP na konci přírůstku tedy můžeme psát (K m + K σ ) r = f ext + (f ext f int (r))
32 Členy tvořící tečnou matici tuhosti jsou tedy postupně: lineární matice tuhosti K 1 = EA L = EA L 3 1 L 2 HT XX T H x 12 x 12 x 12 y 12 x 12 x 21 x 12 y 21 y 12 x 12 y 12 y 12 y 12 x 21 y 12 y 21 x 21 x 12 x 21 y 12 x 21 x 21 x 21 y 21 y 21 x 12 y 21 y 12 y 21 x 21 y 21 y 21
33 matice počáteční deformace K 2 (r) = EA L 3 (HT } Xr {{ T H} + } H T rx {{ T H} + H} T rr {{ T H} ) k 21 k T K kde K 21 = EA L 3 HT Xr T H = EA L 3 x 12 u 12 x 12 v 12 x 12 u 21 x 12 v 21 y 12 u 12 y 12 v 12 y 12 u 21 y 12 v 21 x 21 u 12 x 21 v 12 x 21 u 21 x 21 v 21 y 21 u 12 y 21 v 12 y 21 u 21 y 21 v 21 K 22 = EA L 3 HT rr T H = EA L 3 c B. Patzák (borek.patzak@fsv.cvut.cz), 2012, verze 01 u 12 u 12 u 12 v 12 u 12 u 21 u 12 v 21 v 12 u 12 v 12 v 12 v 12 u 21 v 12 v 21 u 21 u 12 u 21 v 12 u 21 u 21 u 21 v 21 v 21 u 12 v 21 v 12 v 21 u 21 v 21 v 21
34 matice počátečních napětí K σ = A L S 11H = S 11A L
35 Příklad: vzpěradlo 2F H 2D Geometrie Zatěžovací dráha (osa x: svislý posun ve vrcholu, osa y: síla)
36 Příklad: vzpěradlo Příklad konvergence (osa x: počet iterací, osa y: chyba řešení) Konvergence s počáteční maticí tuhosti Konvergence s tečnou maticí tuhosti
37 Literatura: 1. Nonlinear Finite Element Methods (ASEN 6107) - Spring 2012, Department of Aerospace Engineering Sciences University of Colorado at Boulder, 2. Adnan Ibrahimbegovic, Nonlinear Solid Mechanics (Theoretical Formulations and Finite Element Solution Methods, Springer, A. Bittnar, J. Šejnoha, Numerické metody mechaniky 2, Vydavatelství ČVUT, 1992.
Biomechanika srdečněcévnísoustavy a konstitutivnímodelování
Biomechanika srdečněcévnísoustavy a konstitutivnímodelování Biomechanika a lékařsképřístroje Biomechanika I LukášHorný Laboratoř biomechaniky člověka Ústavu mechaniky Fakulty strojní ČVUT v Praze M Konstitutivní
VíceNapěťový vektor 3d. Díky Wikipedia za obrázek. n n n
Míry napětí Napěťový vektor 3d n n2 2 n,. n n n Zatížené těleso rozdělíme myšleným řezem na dvě části. Na malou plošku v okolí materiálového bodu P působí napěťový vektor (n) (n, x, t), který je spojitou
VíceTENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému
TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -
VíceRozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.
Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí
VíceRovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w
Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,
VícePolární rozklad deformačního gradientu a tenzory přetvoření
Polární rozklad deformačního gradientu a tenzory přetvoření https://en.wikipedia.org/wiki/finite_strain_theory Deformační gradient Musí tedy existovat jednoznačné zobrazení konfigurace : 1 t t x X, a inversní
VíceNosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)
Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek
Více1 Ohyb desek - mindlinovské řešení
1 OHYB DESEK - MINDLINOVSKÉ ŘEŠENÍ 1 1 Ohyb desek - mindlinovské řešení Kinematika přemístění Posun w se po tloušťce desky mění málo (vzhledem k hodnotě průhybu) w(x, y, z) = w(x, y) Normály ke střednicové
VícePružnost a plasticita II CD03
Pružnost a plasticita II CD3 uděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanik tel: 5447368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah
VícePřednáška 08. Obecná trojosá napjatost
Přednáška 8 Obecná trojosá napjatost Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Objemový modul pružnosti Oedometrický modul pružnosti Hlavní napětí, hlavní deformace
VícePrincip virtuálních prací (PVP)
Zatěžujme pružinu o tuhosti k silou F k ū F Princip virtuálních prací (PVP) 1 ū u Energie pružné deformace W ext (skalár) je definována jako součin konstantní síly a posunu. Protože se zde síla během posunu
VíceZáklady matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice. Geometrické rovnice
Přednáška 1 Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice Rozšířený Hookův zákon Geometrické rovnice Ondřej Jiroušek Ústav mechaniky a materiálů Fakulta
VíceNelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků
Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceNelineární problémy a MKP
Nelineární problémy a MKP Základní druhy nelinearit v mechanice tuhých těles: 1. materiálová (plasticita, viskoelasticita, viskoplasticita,...) 2. geometrická (velké posuvy a natočení, stabilita konstrukcí)
VíceKontraktantní/dilatantní
Kontraktantní/dilatantní plasticita - úhel dilatance směr přírůstku plastické deformace Na základě experimentálního měření dospěl St. Venant k závěru, že směry hlavních napětí jsou totožné se směry přírůstku
VíceLineární stabilita a teorie II. řádu
Lineární stabilita a teorie II. řádu Sestavení podmínek rovnováhy na deformované konstrukci Konstrukce s a bez počáteční imperfekce Výpočet s malými vs. s velkými deformacemi ANKC-C 1 Zatěžovacídráhy [Šejnoha,
VíceFAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ ZÁKLADY METODY KONEČNÝCH PRVKŮ Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/
VícePRUŽNOST A PEVNOST II
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ PRUŽNOST A PEVNOST II Navazující magisterské studium, 1. ročník Alois Materna (přednášky) Jiří Brožovský (cvičení) Kancelář: LP C 303/1
VíceFAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA Bakalářské studium, 4. ročník Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz
VíceGlobální matice konstrukce
Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{
VíceAnalýza napjatosti PLASTICITA
Analýza napjatosti PLASTICITA TENZOR NAPĚTÍ Teplota v daném bodě je skalár, je to tenzor nultého řádu, který nezávisí na změně souřadného systému Síla je vektor, je to tenzor prvního řádu, v trojrozměrném
VíceKLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceVícerozměrné úlohy pružnosti
Přednáška 07 Rovinná napjatost nosné stěny Rovinná deformace Hlavní napětí Mohrova kružnice Metoda konečných prvků pro rovinnou napjatost Laméovy rovnice Příklady Copyright (c) 011 Vít Šmilauer Czech Technical
Vícevztažný systém obecné napětí předchozí OBSAH další
p05 1 5. Deformace těles S deformací jako složkou mechanického pohybu jste se setkali už ve statice. Běžně je chápána jako změna rozměrů a tvaru tělesa. Lze ji popsat změnami vzdáleností různých dvou bodů
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceObecný Hookeův zákon a rovinná napjatost
Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou
VíceNumerické metody. Numerické modelování v aplikované geologii. David Mašín. Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky
Numerické modelování v aplikované geologii David Mašín Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Přírodovědecká fakulta Karlova Univerzita v Praze Přednášky pro obor Geotechnologie David
VíceDvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace
Rovinný problém Řešíme plošné konstrukce zatížené a uložené v jejich střednicové rovině. Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost rovinná deformace 17 Rovinná deformace 1 Obsahuje složky deformace
VícePřednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla
Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla Motivace Diferenciální rovnice problému Gradient teploty Energetická bilance Fourierův zákon Diferenciální rovnice vedení tepla Slabé řešení Diskretizace
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Více1 Vedení tepla stacionární úloha
1 VEDENÍ TEPLA STACIONÁRNÍ ÚLOHA 1 1 Vedení tepla stacionární úloha Typický představitel transportních jevů Obdobným způsobem možno řešit například Fyzikální jev Neznámá Difuze koncentrace [3] Deformace
VíceOTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6
OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti
VícePřednáška 08. Obecná trojosá napjatost. Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Příklad zemní tlak v klidu
Přednáška 08 Obecná trojosá napjatost Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův ákon Příklad emní tlak v klidu Copyright (c) 2011 Vít Šmilauer Cech Technical University in
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
Vícegeologie a užité geofyziky Karlova Univerzita, Praha v geomechanice I
1 Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Karlova Univerzita, Praha Přednášky pro předmět Matematické modelování v geomechanice I 3. část numerické metody David Mašín 2 Obsah Výstavba
Více1 Stabilita prutových konstrukcí
1 STABLTA PRUTOVÝCH KONSTRUKCÍ 1 1 Stabilita prutových konstrukcí Pod účinky tlakových sil dochází u štíhlých prutů k vybočení stabilitní problém Posuny ve směru střednice u a rotace ϕ y zůstávají malé,
VíceROVINNÁ ÚLOHA. Všechny veličiny (geometrie, materiálové vlastnosti, zatížení) jsou nezávislé na jedné prostorové proměnné
ROVINNÁ ÚLOHA Rovinná úloha Všechny veličiny (geometrie, materiálové vlastnosti, zatížení) jsou nezávislé na jedné prostorové proměnné Rovinná napjatost Rovinná deformace Rotačně symetrická úloha Rovinná
VíceNELINEÁRNÍ MECHANIKA
VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V BRNĚ FAKULA SAVEBNÍ Doc.Ing.Ivan Němec, CSc. NELINEÁRNÍ MECHANIKA MODUL D7 M1 ZÁKLADY NELINEÁRNÍ MECHANIKY SUDIJNÍ OPORY PRO SUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU SUDIA Doc.Ing.Ivan
Více4. Napjatost v bodě tělesa
p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
Více8. Základy lomové mechaniky. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík
Únava a lomová mechanika Koncentrace napětí nesingulární koncentrátor napětí singulární koncentrátor napětí 1 σ = σ + a r 2 σ max = σ 1 + 2( / ) r 0 ; σ max Nekonečný pás s eliptickým otvorem [Pook 2000]
VíceMODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS
MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS Michal HAJŽMAN Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Vyšetřování pohybu vybraných mechanismů v systému ADAMS
VíceMFT - Matamatika a fyzika pro techniky
MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P01 KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P01 KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceNelineární optimalizace a numerické metody (MI NON)
Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON) Magisterský program: Informatika Obor: Teoretická informatika Katedra: 18101 Katedra teoretické informatiky Jaroslav Kruis Evropský sociální fond Praha
Více7. Základní formulace lineární PP
p07 1 7. Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceTutoriál programu ADINA
Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Tutoriál programu ADINA Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2010 1 Výstupy programu ADINA: Preprocesor
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
Více1 Přesnost metody konečných prvků
1 PŘESNOST METODY KONEČNÝCH PRVKŮ 1 1 Přesnost metody konečných prvků Metoda konečných prvků je založena na diskretizaci původní spojité konstrukce soustavou prvků (nebo obecněji na diskretizaci slabé
Vícel, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky
Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení
VíceAutor: Vladimír Švehla
Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 55 Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Autor: Vladimír Švehla České vysoké učení technické, akulta
Vícegeologie a užité geofyziky Karlova Univerzita, Praha v geomechanice I
1 Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Karlova Univerzita, Praha Přednášky pro předmět Matematické modelování v geomechanice I 1. část David Mašín 2 Obsah Úvod do matematického modelování
VíceMetoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)
Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.
Více1 Modelování pružného podloží
1 MODELOVÁNÍ PRUŽNÉHO PODLOŽÍ 1 1 Modelování pružného podloží Úloha mechaniky zemin Modely pružného podloží interakce podloží se základovými konstrukcemi Boussinesqův model (pružný poloprostor) [2]: homogenní
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VícePrincip virtuálních posunutí (obecný princip rovnováhy)
SMA2 Přednáška 05 Princip virtuálních posunutí Deformační metoda Matice tuhosti prutu pro tah/tlak Matice tuhosti prutu pro ohyb Program EduBeam Příklady Copyright (c) 2012 Vít Šmilauer Czech Technical
VíceNelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP Obsah přednášky Lineární a nelineární úlohy Typy nelinearit (geometrická, materiálová, kontakt,..) Příklady nelineárních problémů Teorie kontaktu,
VíceZjednodušená deformační metoda (2):
Stavební mechanika 1SM Přednášky Zjednodušená deformační metoda () Prut s kloubově připojeným koncem (statická kondenzace). Řešení rovinných rámů s posuvnými patry/sloupy. Prut s kloubově připojeným koncem
Vícekteré charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic.
1. Přednáška Obsah: Úvod do tvorby matematických modelů jako okrajové úlohy pro diferenciální rovnici. Příklad 1D vedení tepla a lineární pružnost. Diferenciální, variační, energetická formulace úloh.
Více1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
VíceNOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)
NOSNÍK NA PRUŽNÉ PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉ) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceStatika. fn,n+1 F = N n,n+1
Statika Zkoumá síly a momenty působící na robota v klidu. Uvažuje tíhu jednotlivých ramen a břemene. Uvažuje sílu a moment, kterou působí robot na okolí. Uvažuje konečné tuhosti ramen a kloubů. V našem
VíceObr. 0.1: Nosník se spojitým zatížením.
Každý test obsahuje jeden příklad podobný níže uvedeným tpovým příkladům a několik otázek vbraných z níže uvedených testových otázek. Za příklad je možno získat maimálně bodů, celkový počet bodů z testu
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
VíceAproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy
Aproimace posuvů Pro každý prvek se musí nalézt vztahy kde jsou prozatím neznámé transformační matice. Neznámé funkce posuvů se obvykle aproimují ve formě mnohočlenů kartézských souřadnic. Například 1.
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceKinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb
Kinematika tuhého tělesa Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Úvod Tuhé těleso - definice všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti těleso se nedeformuje, nemění tvar počet
VíceMechanika s Inventorem
Mechanika s Inventorem 2. Základní pojmy CAD data FEM výpočty Petr SCHILLING, autor přednášky Ing. Kateřina VLČKOVÁ, obsahová korekce Optimalizace Tomáš MATOVIČ, publikace 1 Obsah přednášky: Lagrangeův
VíceTvorba výpočtového modelu MKP
Tvorba výpočtového modelu MKP Jaroslav Beran (KTS) Modelování a simulace Tvorba výpočtového modelu s využitím MKP zahrnuje: Tvorbu (import) geometrického modelu Generování sítě konečných prvků Definování
VíceMartin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017
Martin NESLÁDEK Faculty of mechanical engineering, CTU in Prague 14. listopadu 2017 1 / 22 Poznámky k úlohám řešeným MKP Na přesnost simulace pomocí MKP a prostorové rozlišení výsledků má vliv především:
VíceKap. 3 Makromechanika kompozitních materiálů
Kap. Makromechanika kompozitních materiálů Informační a vzdělávací centrum kompozitních technologií & Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky FS ČVU v Praze. listopadu 7 Základní pojmy a vztahy Notace
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceELIMINACE VLIVU DRUHÉ ROTACE PŘI AFINNĚ INVARIANTNÍM 2D ROZPOZNÁVÁNÍ
ELIMINACE VLIVU DRUHÉ ROTACE PŘI AFINNĚ INVARIANTNÍM 2D ROZPOZNÁVÁNÍ K. Nováková 1, J. Kukal 1,2 1 Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská, ČVUT v Praze 2 Ústav počítačové a řídicí techniky, VŠCHT Praha
VíceNumerické modelování v aplikované geologii
Numerické modelování v aplikované geologii David Mašín Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Přírodovědecká fakulta Karlova Univerzita v Praze Přednášky pro obor Geotechnologie David
Více12. Prostý krut Definice
p12 1 12. Prostý krut 12.1. Definice Prostý krut je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže jsou splněny prutové předpoklady, příčné průřezy se nedeformují, pouze se vzájemně natáčejí
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceDrsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura
VíceVlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti
Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceFYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D.
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VícePružnost a pevnost I
Stránka 1 teoretické otázk 2007 Ing. Tomáš PROFANT, Ph.D. verze 1.1 OBSAH: 1. Tenzor napětí 2. Věta o sdruženosti smkových napětí 3. Saint Venantův princip 4. Tenzor deformace (přetvoření) 5. Geometrická
Více1. Řešená konstrukce Statické řešení Výpočet průhybové čáry Dynamika Vlastní netlumené kmitání...
. Řešená konstrukce.... Statické řešení.... Výpočet průhybové čáry... 5. Dynamika.... Vlastní netlumené kmitání..... Jacobiho metoda rovinné rotace... 4.. Popis algoritmu... 4. Vynucené kmitání... 5 4.
Více2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2
Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací
VíceMATEMATICKÝ MODEL CÉVNÍ STĚNY DVOUŠKÁLOVÁ METODA HOMOGENIZACE S UVAŽOVÁNÍM VELKÝCH DEFORMACÍ
MATEMATICKÝ MODEL CÉVNÍ STĚNY DVOUŠKÁLOVÁ METODA HOMOGENIZACE S UVAŽOVÁNÍM VELKÝCH DEFORMACÍ Vladimír LUKEŠ, Eduard ROHAN 2 Abstract: Cévní stěna je modelována pomocí dvouškálové metody homogenizace, která
Více