Viskoelastická deformace v geofyzikálních aplikacích

Transkript

1 Viskoelastická deformace v geofyzikálních aplikacích Řešitel: Kateřina Sládková Vedoucí: doc. RNDr. Ondřej Čadek, CSc. (KG) Konzultant: RNDr. Ondřej Souček, Ph.D. (MÚ)

2 Termální konvekce v zemském plášti

3 PLÁN

4 ROVNICE A MODELY PLÁN

5 PLÁN ROVNICE A MODELY CÍL A MOTIVACE

6 PLÁN ROVNICE A MODELY CÍL A MOTIVACE NUMERICKÉ METODY

7 PLÁN ROVNICE A MODELY CÍL A MOTIVACE NUMERICKÉ METODY POSTUP PRÁCE

8 PLÁN ROVNICE A MODELY CÍL A MOTIVACE NUMERICKÉ METODY POSTUP PRÁCE PŘIDÁVÁNÍ VISKOELASTICKÝCH ČLENŮ

9 PLÁN ROVNICE A MODELY CÍL A MOTIVACE NUMERICKÉ METODY POSTUP PRÁCE PŘIDÁVÁNÍ VISKOELASTICKÝCH ČLENŮ TESTOVÁNÍ KÓDU

10 PLÁN ROVNICE A MODELY CÍL A MOTIVACE NUMERICKÉ METODY POSTUP PRÁCE PŘIDÁVÁNÍ VISKOELASTICKÝCH ČLENŮ TESTOVÁNÍ KÓDU VIZUALIZACE

11 Zákony zachování

12 Zákony zachování hmoty: d dt + divv =0

13 Zákony zachování hmoty: hybnosti: d dt + divv =0 dv dt = div T+ f

14 Zákony zachování hmoty: hybnosti: momentu hybnosti: d dt + divv =0 dv dt = div T+ f T=T T

15 Zákony zachování hmoty: hybnosti: momentu hybnosti: energie: d dt + divv =0 dv dt = div T+ f T=T T de dt =T D div q

16

17 Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0

18 Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f

19 Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f 0 c p dt dt = k4t

20 Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f 0 c p dt dt = k4t S=2 D viskózní reologie

21 Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f 0 c p dt dt = k4t S=2 D viskózní reologie = (p, T, D, r)

22 Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f 0 c p dt dt = k4t O t relaxs+ S=2 D = (p, T, D, r) Maxwellovská reologie

23 Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f 0 c p dt dt = k4t t S=2 D Maxwellovská + = (p, T, D, r)

24 Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f 0 c p dt dt = k4t S 2( )D = 2D 2 O D D O S Oldroyd-B reologie

25 Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f 0 c p dt dt = k4t O O S 2( )D = 2D 2D DS Oldroyd-B reologie +(v r) (W W) + a(d + D), a2 [ 1, 1] t

26 Oberbeck-Boussinesqova aproximace div v =0 0 dv dt = rp + div S+ 0(1 (T T 0 ))f 0 c p dt dt = k4t O O S 2( )D = 2D 2D DS Oldroyd-B reologie +(v r) (W W) + a(d + D), a2 [ 1, 1] t a = 1 := + v r rv

27

28 MOTIVACE A CÍL MODELOVÁNÍ GEOMATERIÁLŮ

29 MOTIVACE A CÍL MODELOVÁNÍ GEOMATERIÁLŮ dosud: viskózní kapaliny Maxwell, většinou pouze + S=2 D

30 MOTIVACE A CÍL MODELOVÁNÍ GEOMATERIÁLŮ dosud: viskózní kapaliny Maxwell, většinou pouze + S=2 D skutečnost: viskoelastické kapaliny

31 MOTIVACE A CÍL MODELOVÁNÍ GEOMATERIÁLŮ dosud: viskózní kapaliny Maxwell, většinou pouze + S=2 D skutečnost: viskoelastické kapaliny CÍL: srovnání viskózní a viskoelastické deformace

32 MOTIVACE A CÍL MODELOVÁNÍ GEOMATERIÁLŮ dosud: viskózní kapaliny Maxwell, většinou pouze + S=2 D skutečnost: viskoelastické kapaliny CÍL: srovnání viskózní a viskoelastické deformace VÝSLEDEK: role elasticity

33 Oldroydův-B model 1) Rovnice 3 4 R 2 2 1

34 Oldroydův-B model 1) Rovnice rovnice kontinuity: div v =0 3 4 R 2 2 1

35 Oldroydův-B model 1) Rovnice 3 rovnice kontinuity: div v =0 přírůstková pohybová rovnice: 4 R rp + div S=RaT e z

36 Oldroydův-B model 1) Rovnice 3 rovnice kontinuity: div v =0 přírůstková pohybová rovnice: 4 R reologický vztah: rp + div S=RaT e z S 2( )D = 2D 2 O D D O S

37 Oldroydův-B model 1) Rovnice rovnice kontinuity: div v =0 3 4 R 2 2 přírůstková pohybová rovnice: 1 reologický vztah: rp + div S=RaT e z S 2( )D = 2D 2 O D D O S rovnice = 4T v rt

38 Oldroydův-B model 2) Okrajové a počáteční podmínky 3 4 R 2 2 1

39 Oldroydův-B model 2) Okrajové a počáteční podmínky 3 free-slip: v n =0 S n =((S n) n)n 4 R 2 2 1

40 Oldroydův-B model 2) Okrajové a počáteční podmínky free-slip: konstantní teplota: v n =0 S n =((S n) n)n 3 4 R T 1 T 3 = T bot = T top

41 Oldroydův-B model 2) Okrajové a počáteční podmínky free-slip: konstantní teplota: v n =0 S n =((S n) n)n 3 4 R T 1 T 3 = T bot = T top zrcadlové podmínky: q n 2 =0 q n 4 =0

42 Oldroydův-B model 2) Okrajové a počáteční podmínky free-slip: konstantní teplota: v n =0 S n =((S n) n)n 3 4 R T 1 T 3 = T bot = T top zrcadlové podmínky: q n 2 =0 q n 4 =0 počáteční podmínka T (t 0 )=T 0

43 Numerické metody

44 Numerické metody počáteční teplota T 0

45 Numerické metody počáteční teplota T 0 Stokes

46 Numerické metody počáteční teplota T 0 Stokes rychlost v

47 Numerické metody počáteční teplota T 0 Stokes rychlost v teplotní rovnice

48 Numerické metody počáteční teplota T 0 Stokes rychlost v teplotní rovnice teplota T

49 Numerické metody počáteční teplota T 0 Stokes rychlost v teplotní rovnice teplota T

50 Numerické metody prostorová diskretizace: konečné diference počáteční teplota T 0 Stokes rychlost v teplotní rovnice teplota T

51 Numerické metody prostorová diskretizace: konečné diference časová diskretizace počáteční teplota T 0 Stokes teplotní rovnice: Adams-Bashfortovo schéma reologický vztah: zpětná Eulerova metoda rychlost v teplotní rovnice teplota T

52 Numerické metody prostorová diskretizace: konečné diference časová diskretizace počáteční teplota T 0 Stokes teplotní rovnice: Adams-Bashfortovo schéma reologický vztah: zpětná Eulerova metoda implementace: rychlost v teplotní rovnice teplota T vlastní program v jazyce Fortran 90

53 Konečné diference - síť

54 Konečné diference - proč?

55 Konečné diference - proč? pravidelná oblast

56 Konečné diference - proč? pravidelná oblast stabilní schéma i pro velké kontrasty viskozit

57 Konečné diference - proč? pravidelná oblast stabilní schéma i pro velké kontrasty viskozit i v nejjednodušším provedení, poměrně přesné: O(h 2 )

58 Konečné diference - proč? pravidelná oblast stabilní schéma i pro velké kontrasty viskozit i v nejjednodušším provedení, poměrně přesné: O(h 2 ) standardně používané

59 Konečné diference - proč? pravidelná oblast stabilní schéma i pro velké kontrasty viskozit i v nejjednodušším provedení, poměrně přesné: standardně používané náš úkol: O(h 2 ) nadstavba nad standardními geofyzikálními kódy

60 Numerické knihovny

61 Numerické knihovny počáteční teplota T 0 Stokes rychlost v teplotní rovnice teplota T

62 Numerické knihovny Stokes

63 Numerické knihovny Ax=b Stokes

64 Numerické knihovny Ax=b knihovna LAPACK Stokes

65 Numerické knihovny Ax=b knihovna LAPACK Stokes subroutiny DGBTRF, DGBTRS

66 Numerické knihovny Ax=b knihovna LAPACK Stokes subroutiny DGBTRF, DGBTRS DGBTRF: LU rozklad pásové matice A částečné pivotování se záměnou řádků

67 Numerické knihovny Ax=b knihovna LAPACK Stokes subroutiny DGBTRF, DGBTRS DGBTRF: LU rozklad pásové matice A částečné pivotování se záměnou řádků DGBTRS: řeší systém Ax=b

68 Numerické knihovny

69 Numerické knihovny počáteční teplota T 0 Stokes rychlost v teplotní rovnice teplota T

70 Numerické knihovny teplotní rovnice

71 Numerické knihovny teplotní rovnice

72 Numerické knihovny časová integrace teplotní rovnice

73 Numerické knihovny časová integrace explicitně - Adams-Bashfortova metoda: metoda řádu k silně stabilní teplotní rovnice 1x vyhodnocování funkce za krok

74 Numerické knihovny časová integrace explicitně - Adams-Bashfortova metoda: metoda řádu k silně stabilní teplotní rovnice 1x vyhodnocování funkce za krok knihovna IMSL

75 Numerické knihovny časová integrace explicitně - Adams-Bashfortova metoda: metoda řádu k silně stabilní teplotní rovnice 1x vyhodnocování funkce za krok knihovna IMSL subroutina DIVPAG

76 Časový krok

77 Časový krok omezení pro zaručení stability kontrolujeme Courrantovým kritériem

78 Časový krok omezení pro zaručení stability kontrolujeme Courrantovým kritériem dt konv = min i,j dxi v x (i, j), dz j v z (i, j)

79 Časový krok omezení pro zaručení stability kontrolujeme Courrantovým kritériem dt konv = min i,j dxi v x (i, j), dz j v z (i, j) dt dif = dx2 apple, apple = k 0 c p

80 Časový krok omezení pro zaručení stability kontrolujeme Courrantovým kritériem dt konv = min i,j dxi v x (i, j), dz j v z (i, j) dt dif = dx2 apple, apple = k 0 c p dt cour = c min(dt cour,dt dif ),c2 (0, 1)

81 -2D\eta_2\Big(\nabla\mathbf{v}\dot \epsilon + \dot \epsilon(\nabla\mathbf{v})^t \Big) + D\Big(\nabla\mathbf{v}\sigma+ \sigma (\nabla\mathbf{v})^t \Big)

82 Postup práce S=2 1 D -2D\eta_2\Big(\nabla\mathbf{v}\dot \epsilon + \dot \epsilon(\nabla\mathbf{v})^t \Big) + D\Big(\nabla\mathbf{v}\sigma+ \sigma (\nabla\mathbf{v})^t \Big) 1. Oberbeck-Boussinesq pro newtonovskou tekutinu

83 Postup práce S = 2( )D @t -2D\eta_2\Big(\nabla\mathbf{v}\dot \epsilon + \dot \epsilon(\nabla\mathbf{v})^t \Big) + D\Big(\nabla\mathbf{v}\sigma+ \sigma (\nabla\mathbf{v})^t \Big) 1. Oberbeck-Boussinesq pro newtonovskou tekutinu 2. + časová parciální derivace

84 Postup S = 2( )D +2D 2 +2D 2 v rd -2D\eta_2\Big(\nabla\mathbf{v}\dot \epsilon + \dot \epsilon(\nabla\mathbf{v})^t \Big) + D\Big(\nabla\mathbf{v}\sigma+ \sigma (\nabla\mathbf{v})^t \Big) 1. Oberbeck-Boussinesq pro newtonovskou tekutinu 2. + časová parciální derivace 3. + advekční členy

85 Postup S = 2( )D +2D 2 +2D 2 v rd 2D 2 rv D+D(rv) T + D rv S+S(rv) T -2D\eta_2\Big(\nabla\mathbf{v}\dot \epsilon + \dot \epsilon(\nabla\mathbf{v})^t \Big) + D\Big(\nabla\mathbf{v}\sigma+ \sigma (\nabla\mathbf{v})^t \Big) 1. Oberbeck-Boussinesq pro newtonovskou tekutinu 2. + časová parciální derivace 3. + advekční členy 4. + korotační členy

86 @D S = 2( +2D )D +2D 2 v rd 2D 2 rv D+D(rv) T + D rv S+S(rv) T

87 @D S = 2( +2D )D +2D 2 v rd 2D 2 rv D+D(rv) T + D rv S+S(rv) T

88

89 zpětné Eulerovo schéma členy v aktuálním čase převedem na LS rovnice, tedy do matice zbylé členy zůstanou na PS

90 S = 2( )D + @t

91 S = 2( )D + @t D= 1 2 rv = D n D n 1 dt, = S n S n 1 dt

92 S = 2( )D + @t D= 1 2 rv = D n D n 1 dt, = S n S n 1 dt S n =( ) rv n +(rv n ) T + D 2 rv n +(rv n ) T rv n 1 (rv n 1 ) T D dt dt (S n S n 1 )

93 S = 2( )D + @t D= 1 2 rv = D n D n 1 dt, = S n S n 1 dt S n =( ) rv n +(rv n ) T + D 2 rv n +(rv n ) T rv n 1 (rv n 1 ) T D dt dt (S n S n 1 ) S n 1+ D dt =( D 2 dt ) rv n +(rv n ) T D 2 dt rv n 1 +(rv n 1 ) T + D dt S n 1

94 S = 2( )D + @t D= 1 2 rv = D n D n 1 dt, = S n S n 1 dt S n =( ) rv n +(rv n ) T + D 2 rv n +(rv n ) T rv n 1 (rv n 1 ) T D dt dt (S n S n 1 ) S n 1+ D dt =( D 2 dt ) rv n +(rv n ) T D 2 dt rv n 1 +(rv n 1 ) T + D dt S n 1 S n dt rv n +(rv n ) T = dt + D D 2 rv n 1 +(rv n 1 ) T + D dt + D dt + D S n 1

95 dt rv n +(rv n ) T = dt + D D 2 rv n 1 +(rv n 1 ) T + D dt + D dt + D S n 1 virtuální viskozita

96 dt rv n +(rv n ) T = dt + D D 2 rv n 1 +(rv n 1 ) T + D dt + D dt + D S n 1 w = virtuální viskozita dt dt + D v

97 dt rv n +(rv n ) T = dt + D D 2 rv n 1 +(rv n 1 ) T + D dt + D dt + D S n 1 w = virtuální viskozita dt dt + D v n rw n +(rw n ) T = D 2 rw n 1 +(rw n 1 ) T + D dt + 2 dt + D dt + D S n 1

98 dt rv n +(rv n ) T = dt + D D 2 rv n 1 +(rv n 1 ) T + D dt + D dt + D S n 1 w = virtuální viskozita dt dt + D v n rw n +(rw n ) T = D 2 rw n 1 +(rw n 1 ) T + D dt + 2 dt + D dt + D S n 1 levá strana rovnice zavedeme do viskózní části

99 dt rv n +(rv n ) T = dt + D D 2 rv n 1 +(rv n 1 ) T + D dt + D dt + D S n 1 w = virtuální viskozita dt dt + D v n rw n +(rw n ) T = D 2 rw n 1 +(rw n 1 ) T + D dt + 2 dt + D dt + D S n 1 levá strana rovnice zavedeme do viskózní části pravá strana rovnice přidáme k silám z viskózního modelu

100

101 @D S = 2( +2D )D +2D 2 v rd 2D 2 rv D+D(rv) T + D rv S+S(rv) T

102 @D S = 2( +2D )D +2D 2 v rd 2D 2 rv D+D(rv) T + D rv S+S(rv) T

103 2D 2 v rd Dv rs

104 2D 2 v rd Dv rs řešíme explicitně výpočet derivací pomocí Fornbergova schématu 2.řádu

105 2D 2 v rd D 2 v n 1 r rv n 1 +(rv n 1 ) T Dv rs řešíme explicitně výpočet derivací pomocí Fornbergova schématu 2.řádu

106 2D 2 v rd D 2 v n 1 r rv n 1 +(rv n 1 ) T Dv rs Dv n 1 rs n 1 řešíme explicitně výpočet derivací pomocí Fornbergova schématu 2.řádu

107 2D 2 v rd D 2 v n 1 r rv n 1 +(rv n 1 ) T Dv rs Dv n 1 rs n 1 řešíme explicitně výpočet derivací pomocí Fornbergova schématu 2.řádu převedeme na škálované rychlosti dt + D v n = dt + 2 (dt + D) w n w n

108 2D 2 v rd D 2 D 2 v n 1 r rv n 1 +(rv n 1 ) T 2wn 1 rw n 1 +(rw n 1 ) T dt + D dt + 2 (dt + D) Dv rs Dv n 1 rs n 1 řešíme explicitně výpočet derivací pomocí Fornbergova schématu 2.řádu převedeme na škálované rychlosti dt + D v n = dt + 2 (dt + D) w n w n

109 2D 2 v rd D 2 řešíme explicitně D 2 v n 1 r rv n 1 +(rv n 1 ) T 2wn 1 rw n 1 +(rw n 1 ) T dt + D dt + 2 (dt + D) Dv rs Dv n 1 rs n 1 dt + D D dt + 2 (dt + D) w n 1rS n 1 výpočet derivací pomocí Fornbergova schématu 2.řádu převedeme na škálované rychlosti dt + D v n = dt + 2 (dt + D) w n w n

110

111 Fornbergovo schéma pseudospektrální metoda 2.řád - jako ve viskózním případě

112 Fornbergovo schéma pseudospektrální metoda 2.řád - jako ve viskózním případě k d f x= k dx i X j=0 cki,j f (xj ), k = 0, 1,, m; i = k, k + 1,, n

113 Fornbergovo schéma pseudospektrální metoda 2.řád - jako ve viskózním případě d k f dx k x= ix c k i,jf(x j ),k=0, 1,,m; i = k, k +1,,n j=0

114 Testování kódu - Newton

115 Testování kódu - Newton Blankenbachův benchmark 2D teplotní konvekce tekutiny Boussinesqova typu v obdelníkové oblasti R qz dx kontrola Nusseltova čísla: Nu = R apple dx T d

116 Testování kódu - Newton Blankenbachův benchmark 2D teplotní konvekce tekutiny Boussinesqova typu v obdelníkové oblasti R qz dx kontrola Nusseltova čísla: Nu = R apple dx energetický test, tj. platnost vychází s přesností nejméně 0,1% Z T d dx = q nds

117

118 Blankenbachův benchmark výpočty pro různá Rayleighova čísla a různá rozlišení Ra = Tgd3 1

119 Blankenbachův benchmark výpočty pro různá Rayleighova čísla a různá rozlišení Ra = Tgd3 1 D. Moore (Courrantovo kritérium, konečné diference, rovnoměrné posunuté sítě, T explicitně)

120 Blankenbachův benchmark výpočty pro různá Rayleighova čísla a různá rozlišení Ra = Tgd3 1 D. Moore (Courrantovo kritérium, konečné diference, rovnoměrné posunuté sítě, T explicitně) Rayleigh rozlišení Moore výpočet Moore výpočet Moore výpočet 48x48 4,870 4,870 10,423 10,409 21,078 20,950 96x96 4,881 4,881 10,507 10,504 21,759 21,729

121 Testování kódu - Oldroyd-B

122 Testování kódu - Oldroyd-B zatím implementovaná parciální časová derivace

123 Testování kódu - Oldroyd-B zatím implementovaná parciální časová derivace testujeme limity jdoucí k viskóznímu případu

124 Testování kódu - Oldroyd-B zatím implementovaná parciální časová derivace testujeme limity jdoucí k viskóznímu případu 1) D<<1, 2 << 1

125 Testování kódu - Oldroyd-B zatím implementovaná parciální časová derivace testujeme limity jdoucí k viskóznímu případu 1) D<<1, 2 << 1 2) běh s parciální časovou derivací - konečné ustálený stav 2! 0 D, 2

126 VIZUALIZACE

127 VIZUALIZACE 1) viskózní model s různými Rayleighovými čísly: Ra= 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 ; Ra = Tgd3 1

128 VIZUALIZACE 1) viskózní model s různými Rayleighovými čísly: Ra= 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 ; Ra = Tgd3 1 2) běhy s parciální časovou derivací, pro různá Deborah čísla a 2 D= D = , 10 1 ; ; 2 = 10 4, 10 3 µ 1

129 VISKÓZNÍ BĚHY

130 Rayleighovo číslo 1e4

131 Rayleighovo číslo 1e4

132 Rayleighovo číslo 1e5

133 Rayleighovo číslo 1e5

134 Rayleighovo číslo 1e6

135 Rayleighovo číslo 1e6

136 Rayleighovo číslo 1e7

137 Rayleighovo číslo 1e7

138 VISKOELASTICKÉ BĚHY

139 Ra = 10 4,D= 10 2, 2 = 10 4, 60x60 Nu=4,3879 Nu(visko)=4,8757

140 Ra = 10 4,D= 10 2, 2 = 10 4, 60x60 Nu=4,3879 Nu(visko)=4,8757

141 Nusselt: Nu(visko)=10,4548 Ra = 10 5,D= 10 2, 2 = 10 4, 60x60

142 Nusselt: Nu(visko)=10,4548 Ra = 10 5,D= 10 2, 2 = 10 4, 60x60

143 Ra = 10 4,D= 10 1, 2 = 10 3, 60x60 Nu: Nu(visko)=4,8757

144 Ra = 10 4,D= 10 1, 2 = 10 3, 60x60 Nu: Nu(visko)=4,8757

145 Ra = 10 5,D= 10 1, 2 = 10 3, 60x60 Nu: Nu: 10,4542 D! 0, 2! 0 Nu(visko)=10,4548

146 Ra = 10 5,D= 10 1, 2 = 10 3, 60x60 Nu: Nu: 10,4542 D! 0, 2! 0 Nu(visko)=10,4548

147 Ra = 10 6,D= 10 1, 2 = 10 3, 60x60 Nu: D! 0, 2! 0 Nu: 21,69 Nu(visko)=21,6943

148 Ra = 10 6,D= 10 1, 2 = 10 3, 60x60 Nu: D! 0, 2! 0 Nu: 21,69 Nu(visko)=21,6943

149 Ra = 10 4,D= 10 2, 2 = 10 3, 60x60 Nu=4,3851 Nu(visko)=4,8757

150 Ra = 10 4,D= 10 2, 2 = 10 3, 60x60 Nu=4,3851 Nu(visko)=4,8757

151 Ra = 10 5,D= 10 2, 2 = 10 3, 60x60 Nu= Nu(visko)=10,4548

152 Ra = 10 5,D= 10 2, 2 = 10 3, 60x60 Nu= Nu(visko)=10,4548

153 Ra = 10 6,D= 10 2, 2 = 10 3, 60x60 Nu= Nu(visko)=21,6943

154 Ra = 10 6,D= 10 2, 2 = 10 3, 60x60 Nu= Nu(visko)=21,6943

155 Děkuji za pozornost.