Kapitola 1. Teorie užitku. 1.1 Vyjádření preferencí

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kapitola 1. Teorie užitku. 1.1 Vyjádření preferencí"

Transkript

1 Kapitola 1 Teorie užitku V této kapitole se budeme věnovat problémům rozhodování v situacích, kdy se rozhodujeme jen na základě jednoho kritéria. Obecně můžeme tyto problémy popsat následovně: rozhodovatel (jednotlivec, instituce) vybírá z určité množiny variant (to mohou být výrobní či investiční plány, projekty, strategie rozvoje, nákupu,... ), které se od sebe liší v jednom kritériu. Jednotlivé varianty musí rozhodovatel ohodnotit, označit, jakým jsou pro něho přínosem (zadá preference) a úkolem analytika je rozhodnout, jaká varianta je pro něho nejlepší. Nejprve se zamysleme nad následujícími otázkami: 1. Jaké vlastnosti musí mít zadávané preference, aby úloha měla smysl? 2. Jak reprezentovat preference číselně? (Jinak problém nedokážeme sepsat.) 1.1 Vyjádření preferencí Předpokládejme množinu objektů, mezi nimiž se rozhodujeme. Tuto množinu označme A. Jednotlivé prvky této množiny značme malými písmeny, tj. a, b, c A. A zaveďme následující vztah mezi objekty a, b A: a b, který bude vyjadřovat (ostře) preferuji variantu a před variantou b. Poněvadž se může stát, že rozhodovatel se nedokáže mezi dvěma objekty rozhodnout, který preferuje, jsou pro něho tyto objekty tzv. indiferentní. Musíme zavést značení i pro takovouto situaci. Jsou-li tedy dvě varianty pro rozhodovatele indiferentní, značíme: a b, tj. rozhodovatel nedává žádné z těchto variant přednost. Matematici takováto uspořádání (ostré preference, indiference) nazývají obecně relace. Relací na množině A rozumí každou množinu uspořádaných dvojic prvků této množiny. Uveďme si příklad, jak lze pomocí relace zapsat preference příloh k obědu slečny Hladové. Řešený příklad 1. Slečna Hladová mívá k obědu nejčastěji následující přílohy: rýži, brambory, těstoviny a knedlíky. Byla požádána, aby uvedla svou preferenční relaci k těmto přílohám. Slečna tedy uvedla následující relaci jako svou relaci preferuji. R P = {[rýže, brambory], [těstoviny, brambory], [brambory, knedlíky], [těstoviny, knedlíky], [rýže, knedlíky]}. Řešení. Nejprve poznamenejme, že množina A, množina objektů mezi nimiž se rozhoduje, je v našem případě následující A = {rýže, brambory, těstoviny, knedlíky}. Dále se vraťme k uvedené relaci. Z této relace lze vyčíst, že slečna preferuje rýži před brambory, těstoviny před brambory a brambory před knedlíky. Na základě takto zadané relace nelze rozhodnout, zda slečna preferuje rýži či těstoviny. 1

2 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU 2 Řešený příklad 2. Požádali jsme naši slečnu, aby ještě navíc uvažovala přílohy čočka a fazole a uvedla svou indiferenční relaci. Slečna uvedla následující relaci R I = {[čočka, fazole], [rýže, těstoviny]}. Řešení. A získali jsme dodatečnou informaci, že slečně je jedno, zda bude jako příloha čočka či fazole, a také se neumí rozhodnout, zda má raději těstoviny či rýži. Ovšem nevíme, zda má slečna raději čočku a fazole nebo rýži či brambory. My tedy budeme používat relaci lepší (nebo preferuji), kterou budeme značit a relaci nerozlišuji (jsou mi indiferentní), značíme. Máme-li tedy soubor prvků, můžeme někoho požádat (rozhodovatele), aby nám určil relaci preferuji tím, že nám zadá množinu uspořádaných dvojic, kde první prvek preferuje před druhým. Nebo aby nám zadal svou relaci indiference, to znamená uvedl nám množinu uspořádaných dvojic (ve skutečnosti v tomto případě nezávisí na uspořádání), kde budou ve dvojici prvky, které jsou mu indiferentní (mezi nimiž se nemůže rozhodnout). Vraťme se k otázce, kterou jsme již zmínili výše jaké vlastnosti musí mít zadávané preferenční uspořádání, aby úloha měla smysl? Aby preferenční uspořádání bylo racionální, měla by relace preference splňovat následující dvě vlastnosti. Úplnost relace Tato vlastnost relace požaduje, aby rozhodovatel byl schopen porovnat touto relací každé dva objekty. Budeme-li tedy uvažovat například relaci preferuji ( ), potom tato relace bude úplná, pokud pro libovolné dva objekty z množiny A, a, b A, bude platit buď a b a nebo b a. Tranzitivita relace Vlastnost tranzitivita požaduje, aby pro každé tři prvky množiny A, pro které platí, že a je v relaci s b a zároveň b je v relaci s c také platilo, že a je v relaci s c. Konkrétně pro relaci preferuji tedy požadujeme, aby pokud a b a zároveň b c, také platilo a c. Nebo-li, pokud rozhodovatel preferuje variantu a před variantou b a variantu b preferuje před variantou c, pak má také preferovat variantu a před variantou c. V podstatě to znamená, že rozhodovatel má ve svých preferencích jasno. Ačkoliv tento požadavek vypadá naprosto přirozeně, někdy přece jen bývá porušen, a to například v případě, že mezi porovnáváními je delší časový interval nebo rozhodovatel nemá preference příliš vyhraněné (varianty jsou pro rozhodovatele podobné, zaměnitelné) a nebo preference určuje více jedinců. Příkladem porušení tranzitivity mohou být společenské preference, založené na většinovém principu. Nejprve problém s požadavkem na tranzitivitu relace ukažme pro relaci. Řešený příklad 3. Organizace, která má 600 členů, se rozhoduje, který plán (A, B, C) přijmout. Všichni členové mají hlasovací právo a předběžný průzkum ukazuje následující stav: A B C B C A C A B 220 členů, 200 členů, 180 členů. Řešení. Pokud porovnáváme všechny dvojice, zjistíme následující: A B v poměru 400 : 200, B C v poměru 420 : 180, C A v poměru 380 : 220. Tranzitivita relace není splněna, neboť ať je přijat jakýkoliv plán, vždy se najde zhruba dvojnásobná většina, která bude preferovat jiný plán. Požadavek tranzitivnosti je kladen i na relaci indiference. Problém s tranzitivitou u této relace vyplývá z konečné rozlišovací schopnosti rozhodovatele.

3 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU 3 Příklad 1. Dostáváte-li k obědu polévku, je vám lhostejné (indiferentní), zda má 50, 000 C nebo 50, 001 C. Budeme-li ovšem takto pokračovat dále, potom dostáváme: 50, 000 C 50, 001 C, 50, 001 C 50, 002 C, C 100, 000 C. A pokud předpokládáme tranzitivitu relace indiference, získáme s čímž už jen tak někdo souhlasit nebude. 50, 000 C 100, 000 C, Proto je mnohdy zapotřebí si upravit zadání, v posledním uvedeném příkladu postačí, budeme-li vědět, že rozhodovatel nejvíce preferuje polévku o 50 C, předpokládat, že má nekonečnou rozlišovací schopnost, a tedy, čím blíže je teplota 50 C, tím větší preference jí přiřadit. Vraťme se zpět k uvažovaným relacím preference a indiference. Poněvadž tyto dvě relace nebývají úplné (často se v množině objektů najdou dva, které jsou rozhodovateli indiferentní, a tedy rozhodovatel nedokáže určit, který z nich preferuje), je vhodné nahradit dvě právě zavedené relace relaci ostré preference a relaci indiference jedinou relací, a to relací tzv. neostré preference. Tuto relaci značíme a b, která vyjadřuje, že buď ostře preferuji objekt a před objektem b nebo jsou mi objekty a a b indiferentní. Pokud byly dvě původní relace tranzitivní, potom také nová relace bude tranzitivní. 1.2 Užitková funkce za jistoty Cílem užitkové funkce je číselně vyjádřit preference. Ty můžeme vyjádřit dvojím způsobem ordinálním nebo kardinálním. Pokud nás zajímá pouze pořadí objektů (z hlediska preferencí), potom sestrojujeme ordinální užitkovou funkci. Druhý typ užitkové funkce kardinální užitková funkce nám dává mnohem více informací, udává nám nejen pořadí objektů vzhledem k preferencím, ale také jak moc preferuji jednu variantu před druhou. Někteří ekonomové zastávají názor, že kardinální užitková funkce neexistuje. Jsou přesvědčeni, že užitek nelze nijak explicitně měřit, že lze pouze rozlišovat, co přináší větší a co menší užitek. Jsou tedy zastánci pouze ordinální užitkové funkce a kardinální užitkovou funkci neuznávají Ordinální užitková funkce Definice 1. Zobrazení u : A R nazveme ordinální užitkovou funkcí, jestliže pro libovolné a, b A platí: u(a) u(b) a b. Máme-li tedy nějakou množinu objektů A, pro kterou chceme sestrojit ordinální užitkovou funkci, potom každému objektu přiřadíme nějaké číslo tak, aby čím bude číslo větší, tím více bude objekt preferován. Nebo-li seřadíme jednotlivé varianty dle preferencí, a poté jim přiřadíme jakákoliv čísla od nejmenšího k největšímu.

4 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU 4 Řešený příklad 4. Vzpomeňme si na slečnu Hladovou a její relaci preferuji: R P = {[rýže, brambory], [těstoviny, brambory], [brambory, knedlíky], [těstoviny, knedlíky], [rýže, knedlíky]}. A uvažujme následující čtyři funkce. u 1 (rýže) = 12, u 1 (těstoviny) = 80, u 1 (brambory) = 6, u 1 (knedlíky) = 5, u 2 (rýže) = 8, u 2 (těstoviny) = 7, u 2 (brambory) = 6, u 2 (knedlíky) = 5, 9, u 3 (rýže) = 30, u 3 (těstoviny) = 30, u 3 (brambory) = 2, u 3 (knedlíky) = 1, u 4 (rýže) = 4, u 4 (těstoviny) = 3, u 4 (brambory) = 3, 5, u 4 (knedlíky) = 1. Otázkou je, které z těchto čtyř funkcí mohou být a které nemohou být ordinálními užitkovými funkcemi slečny Hladové. Řešení. Jak už jsme zmínili, na základě takto zadané relace nelze rozhodnout, zda slečna preferuje rýži či těstoviny, ale ostatní preference jsou známy, a tedy musí být v ordinální užitkové funkci dodrženy. Z hodnot funkce u 1 můžeme vyčíst, že slečna má nejraději těstoviny, poté následuje rýže, pak brambory a nakonec knedlíky. V tomto případě je dodržena zadaná relace, a tedy tato funkce je ordinální užitkovou funkcí slečny Hladové. Podobné je to u funkce u 2 (s tím rozdílem, že v ní slečna preferuje rýži a až poté těstoviny) a u funkce u 3 (v níž jsou slečně těstoviny a rýže indiferentní). Také obě tyto funkce jsou ordinálními užitkovými funkcemi slečny Hladové. Jinak je tomu u funkce u 4, kde je porušena preference těstovin před brambory, a tedy tato funkce není ordinální užitkovou funkcí slečny Hladové. Přidáme-li ještě k našim znalostem o slečně Hladové také její relaci indiference R I = {[čočka, fazole], [rýže, těstoviny]}, potom jedinou možnou ordinální užitkovou funkcí z předchozích je u 3, v níž jako jediné jsou slečně těstoviny a rýže indiferentní. Všimněte si, že u ordinální užitkové funkce vůbec nezávisí na hodnotách v jednotlivých variantách (jen na pořadí těchto hodnot). Právě proto, že u ordinální užitkové funkce nezávisí na hodnotách funkce, ale pouze na pořadí hodnot, nelze s touto funkcí nikterak dále matematicky počítat. (Tedy nelze počítat nějaké průměry apod.) Na následujícím příkladu budeme ilustrovat, že nelze s ordinální užitkovou funkcí provádět žádné matematické operace. Řešený příklad 5. Škole se podařilo zajistit pro studenty navazujícího magisterského studia týdenní pobyt v zahraničí. Bohužel kapacita této akce je omezená, a tak se musí škola rozhodnout, pro který ze dvou blízkých studijních oborů bude tato akce určena. Vedení se rozhodlo, že vybere obor dle výsledků studentů u bakalářské zkoušky. U bakalářské zkoušky mohli studenti dosáhnout čtyř možných výsledků A výborně, B velmi dobře, C dobře a D nevyhověl. V jednotlivých studijních oborech byly výsledky následující: obor I obor II A 5% 20% B 70% 20% C 20% 50% D 5% 10%. Řešení. O rozhodnutí byly požádány dvě nezávislé osoby. První osoba si položila u(a) = 4, u(b) = 3, u(c) = 2 a u(d) = 1.

5 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU 5 A spočítala průměrný prospěch studentů jednotlivých oborů následovně u(obori) = 0, , , , 05 1 = 2, 75, u(oborii) = 0, , , , 1 1 = 2, 41. Doporučila tedy určit akci pro první obor. Druhá osoba určila užitky z jednotlivých známek následovně u(a) = 50, u(b) = 30, u(c) = 25 a u(d) = 10. A spočítala průměrný prospěch studentů jednotlivých oborů následovně u(obori) = 0, , , , = 29, u(oborii) = 0, , , , 1 10 = 29, 5. Tentokrát lépe vyšlo hodnocení pro druhý obor. V tomto příkladě jsme tedy demonstrovali, že nelze využívat ordinální užitkovou funkci k výpočtu průměru. Obě osoby použily správné ordinální funkce a přesto dostaly opačné výsledky. Z tohoto zadání nelze určit, které řešení je správné a které nikoliv. K tomu by bylo zapotřebí od zadavatele dostat ještě dodatečné informace, pomocí níž by již bylo možné sestrojit kardinální užitkovou funkci Kardinální užitková funkce Při konstrukci této funkce nás kromě pořadí ještě zajímají rozdíly v užitcích jednotlivých variant. Nebo-li předpokládáme, že dokážeme užitek měřit, že dokážeme určit, zda více preferejume variantu a před variantou b nebo více preferujeme variantu c před variantou d. Definice 2. Zobrazení v : A R nazveme kardinální užitkovou funkcí, jestliže pro libovolné a, b, c, d A platí: v(a) v(b) a b v(a) u(b) v(c) u(d) a preferuji před b více než preferujic před d, tj. rozhodovatel preferuje výměnu b za a, více než výměnu d za c. Příklad 2. Na základě zadaných preferencí slečny Hladové, viz řešené příklady 1 a 2, nedokážeme určit její kardinální užitkovou funkci. Nevíme totiž, zda raději zvolí rýži před brambory, či více ocení volbu brambor před knedlíky. Kdyby nám ale slečna Hladová řekla, že nemá ráda knedlíky, a tedy cokoliv upřednostní před knedlíky velmi ráda. Brambory má celkem ráda, ale něco raději má těstoviny či rýži, potom již můžeme sestrojit její kardinální užitkovou funkci například následovně: v(rýže) = 5, v(těstoviny) = 5, v(brambory) = 4, v(knedlíky) = 1 nebo v(rýže) = 50, v(těstoviny) = 50, v(brambory) = 45, v(knedlíky) = 1. I tentokrát je možné sestrojit více kardinálních užitkových funkcí, ale volnost již není taková jako u ordinálních funkcí. V případě, že máme k dispozici informace, ze kterých lze sestrojit kardinální užitkovou funkci, lze z těchto informací sestrojit i ordinální užitkovou funkci, ne však naopak. Řešený příklad 6. Uvažujme řešený příklad 6. Mějme dodatečnou informaci, že rozdíly mezi jednotlivými známkami jsou stejné.

6 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU 6 Řešení. V takovém případě je správné řešení první osoby, která uvažovala užitkovou funkci u(a) = 4, u(b) = 3, u(c) = 2 a u(d) = 1. Také by bylo správné napsat si užitkovou funkci například nebo u(a) = 50, u(b) = 40, u(c) = 30 a u(d) = 20, u(a) = 50, u(b) = 48, u(c) = 46 a u(d) = 44. Ve všech těchto případech vyjde, po dopočtení průměrné známky, lépe druhá škola. Ani kardinální funkce není jediná. Každá její lineární funkce s kladným argumentem je také kardinální užitkovou funkcí (pro tytéž preference). Každá kardinální užitková funkce je zároveň ordinální užitkovou funkcí. Opačné tvrzení neplatí Mezní užitek V případě, že je užitek dobře měřitelný, a tedy je možné sestrojit kardinální užitkovou funkci, hovoříme o mezním užitku. Mezním užitkem rozumíme změnu užitku při jednotkové změnně vstupu. Matematicky vyjádřeno je mezní užitek derivací celkového užitku, zapisujeme MU(x) = du(x) dx. Pokud předpokládáme, že funkce celkového užitku (ve výše popsaném kardinální užitková funkce) je konkávní, potom předpokládáme, že mezní užitek je klesající (viz Matematika funkce je konkávní, je-li její 2. derivace záporná (a tedy první derivace klesající)). Ekonomové tento předpoklad označují jako zákon klesajícího mezního užitku. Obrázek 1.1: Graf celkového a mezního užitku Příklad 3. Pepa Kulička dostal na konci roku velké prémie, a tak se rozhodl, že jako dárek k Vánocům pořídí pro sebe a pro ženu zájezd do Hurghády na příští léto. Zvažuje, jak dlouhý zájezd má vybrat. Ví, že první den bude nadšen Rudým mořem, které ještě nikdy neviděl. Druhý den bude stále ještě co obdivovat, a tedy užitek z druhého dne sice bude o trochu menší než z prvního, ale stále velký. Třetí den už budou kemp znát, a tak by se mohli vypravit na šnorchlovací výlet, užitek tedy bude

7 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU 7 opět o trochu menší než z předchozího dne, ale stále celkem vysoký. Čtvrtý den už budou mít prošlé a probádané všechno v okolí, tak snad si trochu odpočinou. Pátý den bude podobný jako čtvrtý, a tak už ke konci dne to asi nebude příliš bavit. Šestý den už Pepu odpočívání nebude příliš bavit a už asi nebude co nového by poznával, tento den mu asi žádný užitek nepřinese. Sedmý den už se Pepovi začne stýskat po jeho firmě a bude stále přemýšlet, jak mu chybí, také mu začne vadit to věčné vedro. Osmý den, už bude vedro nesnesitelné a pro firmu bude nepostradatelný. Když se pokusíme Pepovy preference vyjádřit číselně, můžeme dostat například následující hodnoty mezní užitek z prvního dne je 10, ze druhého dne 9, z třetího dne 8, ze čtvrtého dne 4, z pátého 2, ze šestého 0. Ze sedmého dne stráveného v Hurghádě by byl jeho mezní užitek 2 a z osmého 5. Pokud tedy Pepovi nezáleží na penězích nebo jsou zájezdy přibližně stejně drahé s různým počtem dnů (což v tomto případě bývá), potom zvolí buď pěti či šesti denní pobyt. Pokud by ceny pobytu byly cenově odstupňovány, musel by svůj mezní užitek z jednotlivých dní vyjádřit peněžně (tedy udat, kolik je ochoten za tento další den zaplatit) a porovnat tento mezní užitek se skutečnými náklady na tento den. 1.3 Užitková funkce za rizika V textu jsme zatím uvažovali užitkovou funkci jen z hlediska kvantity komodity. Někdy ale (např. ve finančnictví) s kvantem komodity roste také riziko s tím spojené. Např. cenné papíry s vyšší střední hodnotou výnosů mají též větší variabilitu výnosu, vklady úročené vyšší úrokovou mírou mají větší riziko nestability (viz kampeličky),.... Chceme-li znázornit užitkovou funkci za rizika, potřebujeme nejprve rozumět pojmu jistotní ekvivalent a pro studium různých typů užitkových funkcí za rizika znát různé postoje rozhodovatele k riziku. Jak již bylo řečeno, v této kapitole se bude pracovat s pojmem rizika. K této práci je zapotřebí znát základní pojmy z teorie pravděpodobnosti. Pro připomenutí viz kapitola??. Jistotní ekvivalent Představme si následující situaci. Vlastníte los, který může vyhrát s pravděpodobností 1 : částku 10 miliónů Kč. Kamarád chce od vás tento los odkoupit, jaká je minimální cena, za jakou jste ochotni mu tento los přenechat? Do jaké částky raději zkusíte štěstí a od jaké částky už budete preferovat přímou výplatu? Právě tato vámi zvolená zlomová částka je vaším jistotním ekvivalentem. Petrohradský paradox: Představme si následující situaci. Někdo vám nabídne následující hru. Bude házet korunou a počítat, kolikrát za sebou padne panna (do prvního orla). Poté vám vyplatí částku, kterou určí dle vzorce 2 p, kde p je počet panen, který napočítal. Jakou částku jste ochotni zaplatit za tuto hru? Na této hře je zajímavé (proto se také nazývá paradoxem), že střední hodnota výhry je neomezená. Spočítejme si střední hodnotu výhry. Označíme-li X hodnotu výhry (náhodná veličina), potom tato veličina může nabývat hodnot x 0, x 1, x 2,..., kde x i = 2 i (x 0 = 2 0 = 1, x 1 = 2 1 = 2,... ). Každé této hodnoty nabyde náhodná veličina X s pravděpodobností p i = 1/2 i+1. (Pravděpodobnost, že nepadne žádná panna (výplata bude x 0 ) je 1/2, pravděpodobnost, že padne právě jedna panna (výplata x 1 ), je 1/2 1/2 = 1/4,....)) A tedy pro střední hodnotu výhry dostáváme E X = + i=0 x i p i = + i=0 2 i 1 2 = + 1 i+1 2 = +. i=0 Z tohoto výpočtu vyplývá, že člověk neutrální k riziku by měl být ochoten za danou hru zaplatit libovolnou částku. Přesto je málokdo ochoten zaplatit více než 50 Kč.

8 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU 8 Definice 3. Uvažujme situaci (hru), ve které můžeme získat množství x 1,..., x k nějaké komodity a každé toto množství s pravděpodobností postupně p 1,..., p k, potom jistotním ekvivalentem k této hře je takové množství dané komodity ˆx, pro které platí, že užitek z něj je stejný jako střední hodnota užitku při hře, nebo-li k u(ˆx) = p i u(x i ). Nebo-li je to minimální částka, za kterou jste ochotni vyměnit hru. i=1 Příklad 4. Podnikatel má možnost realizovat projekt, který mu může přinést zisk 10 milionů Kč s pravděpodobností 0, 6 a s pravděpodobností 0, 4 může mít ztrátu 1 milion Kč. Střední hodnota zisku je 5,6 milionu Kč. Kdyby měl možnost získat 3 miliony bez realizace projektu, byl by spokojený. Jistotní ekvivalent je v tomto případě 3 miliony (rozhodovatel s averzí k riziku). Někdo jiný by požadoval např. 7 milionů jistých, jinak by raději realizoval projekt. Jistotní ekvivalent u tohoto rozhodovatele je 7 milionů Kč a můžeme říci, že tento rozhodovatel má sklon k riziku. Pokud by jistotní ekvivalent byl shodný se střední hodnotou výnosů projektu, pak by se jednalo o rozhodovatele s neutrálním vztahem k riziku. Riziková prémie V případě, že je jistotní ekvivalent rozhodovatele nižší než střední hodnota výnosu rizikového projektu, pak částka, kterou je rozhodovatel ochoten obětovat za jistotu se vypočte podle vztahu P = E(X) ˆx. Příklad 5. K narozeninám jste dostali los, o kterém víte, že na něj můžete vyhrát s pravděpodobností 1/ miliónů Kč. Kamarád by tento los rád získal a přesvědčuje vás, ať mu ho prodáte, nakonec se dohodnete na ceně 200 Kč. Střední hodnota výnosu losu je 1000 Kč. A tedy riziková prémie je v tomto případě 800 Kč Postoj rozhodovatele k riziku Postoj rozhodovatele k riziku hraje významnou roli při výběru varianty určené k realizaci. Rozhodovatel může mít averzi k riziku, neutrální postoj k riziku, sklon k riziku. Rozhodovatel s averzí k riziku dává přednost méně rizikovým variantám, které mu přináší uspokojivé výsledky s vysokou pravděpodobností. Pro rozhodovatel s neutrálním postojem k riziku jsou stejně přitažlivé varianty s vysokým i nízkým rizikem, mají stejnou střední hodnotu užitku. Rozhodovatel se sklonem k riziku realizuje i varianty s vysokým rizikem, které mohou být hodně výnosné, ale mohou být i hodně prodělečné. Jinými slovy, pokud porovnáváme jistotní ekvivalent se střední hodnotou hry, potom rozlišujeme rozhodovatele s averzí k riziku, neutrálního k riziku a rozhodovatele se sklonem k riziku, a to následovně: ˆx < E(X) averze k riziku (rozhodovatel se spokojí s jistou částkou, která je menší než očekávaná hodnota výhry) ˆx = E(X) neutrální vztah k riziku (rozhodovateli je jedno, zda hraje loterii nebo zda dostane částku rovnající se očekávané hodnotě výhry) ˆx > E(X) sklon k riziku (rozhodovatel dá přednost hraní loterie před výplatou očekávané hodnoty výhry, popřípadě by jistá částka musela být vyšší než očekávaná střední hodnota)

9 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU 9 Tyto vztahy platí pouze u výnosového typu kritéria, v případě nákladového jsou vztahy opačné. (Jinou možností je uvažovat náklad jako ztrátu, potom nerovnosti zůstanou zachovány.) Tvar užitkové funkce za rizika Otázkou je, jak se změní užitková funkce, pokud budeme uvažovat, že s rostoucím kvantem komodity také roste riziko s tím spojené. Tvar užitkové funkce se liší podle vztahu rozhodovatele k riziku, viz obr.?? užitková funkce výnosového typu. Příklad 6. Rozhodujeme se mezi dvěma investičními záměry (A a B), přičemž úspěšnost varianty A je odhadována na 60% a úspěšnost varianty B na 80%. V případě úspěchu varianta A přinese zisk 10 milionů Kč, varianta B přinese zisk 7,125 milionů. Neúspěch záměru A přinese ztrátu 1 milion Kč, neúspěch záměru B ztrátu 500 tisíc Kč. V obou případech je střední hodnota očekávaného výnosu stejná, 5,6 milionů Kč. Pokud máme averzi k riziku, zřejmě vybereme variantu B, pokud máme sklon k riziku, vybereme variantu A, jsme-li k riziku neutrální, budou nám obě varianty indiferentní.

10 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU Cvičení Cvičení 1. Sestavte si vlastní relaci ostré preference na množině ovoce (jablka, hrušky, broskve, pomeranče, víno). Pokud s relací ostré preference nevystačíte, zapište i relaci indiference. Cvičení 2. Vyměňte si své relace se spolužákem a napište jeho preferenční uspořádání. Cvičení 3. Určete, zda zapsaná relace je tranzitivní a úplná. Cvičení 4. Je možné na základě zadaných preferencí sestrojit ordinální či kardinální užitkovou funkci? Je-li to možné, udělejte to. Pokud ne, zajistěte si dodatečné informace, a poté funkce sestavte. Cvičení 5. Pro následující výrobky sestavte ordinální i kardinální užitkovou funkci. Výrobky: HIFI věž, CD přehrávač, PC, video, DVD přehrávač, magnetofon, televize. Podívejte se na užitkové funkce spolužáků a porovnejte s kým máte stejné preference. Cvičení 6. Zakreslete funkci vašeho užitku v závislosti na počtu vlastněných svetrů: Prvního svetru si ceníte nejvíce (přináší vám největší užitek). Druhý, třetí a čtvrtý svetr jsou pro vás stejně užitečné (ale méně než první svetr). Pátý svetr je méně užitečný než 2., 3. a 4., šestý méně než 5., sedmý vám nepřinese žádný užitek a osmý svetr nemáte kam dát, překáží vám, jeho užitek je záporný. (Jedná se o mezní užitky). Cvičení 7. Najděte ještě další možné kardinální účelové funkce v řešeném příkladu 6. Cvičení 8. Podnikatel má možnost uložit své peníze v bance a za rok dostat na úrocích 50 tis.kč, nebo investovat do jedné firmy s nadějí, že za rok získá 100 tis.kč, ale s rizikem, že nezíská nic. Jaký má vztah k riziku, jestliže dá přednost investování peněz do uvažované firmy před jejich uložením do banky teprve v případě, že pravděpodobnost úspěchu firmy bude alespoň 0, 8? Cvičení 9. Podnikatel se rozhoduje, zda si má vzít půjčku 100 tis.kč a peníze investovat do nemovitosti, kterou by za rok prodal. S přihlédnutím k nejistému vývoji cen nemovitostí podnikatel odhaduje, že 100 tis.kč investovaných by po odečtení úroku z půjčky mohlo mít na konci roku hodnoty uvedené v tab.9 (v tis.kč). Hodnota na konci roku Pravděpodobnost 0,3 0,4 0,1 0,2 a) Měl by podnikatel investovat, jestliže usiluje o maximální zisk a je neutrální vůči riziku? b) Měl by podnikatel investovat, jestliže usiluje o maximální zisk a má averzi k riziku? c) Měl by podnikatel investovat, jestliže usiluje o maximální zisk a má sklon k riziku? Cvičení 10. Majitel firmy uvažuje o rozšíření svého výrobního programu, a proto si objednal marketingové studie pro zjištění pravděpodobnosti nezměněné, mírně vyšší a značně vyšší poptávky po vyráběných produktech. Současně získal pro uvažované situace na trhu odhady zisku při původním a při rozšířeném rozsahu výroby. Zjištěné údaje jsou uvedeny v tab. 10. Poptávka Zisk (mil.k) Pravděpodobnost Rozšíření výroby Nerozšíření výroby Nezměněná 0,8 1 0,4 Mírně vyšší 1,3 1,4 0,4 Značně vyšší 2,4 1,6 0,2 Ověřte, že rozšíření výroby dává vyšší očekávaný zisk, ale je spojeno s větším rizikem.

11 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU Otázky Je každá ordinální užitková funkce zároveň kardinální užitkovou funkcí? Je tomu naopak? Může tomu tak být? Je možné, že vaše ordinální užitková funkce je/není ordinální užitkovou funkcí vašeho kolegy? Znáte-li nějakou (ordinální či kardinální) užitkovou funkci dokážete napsat jinou funkci, která je také (ordinální či kardinální) užitkovou funkcí? Proč se požaduje tranzitivita? Proč se požaduje úplnost relace? Uveďte nějaký jiný příklad relace.

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

6 Ordinální informace o kritériích

6 Ordinální informace o kritériích 6 Ordinální informace o kritériích Ordinální informací o kritériích se rozumí jejich uspořádání podle důležitosti. Předpokládejme dále standardní značení jako v předchozích cvičeních. Existují tři základní

Více

EKONOMETRIE 4. přednáška Modely chování spotřebitele

EKONOMETRIE 4. přednáška Modely chování spotřebitele EKONOMETRIE 4. řednáška Modely chování sotřebitele Rozočtové omezení Sotřebitel ři svém rozhodování resektuje tzv. rozočtové omezení x + x y, kde x i množství i-té sotřební komodity, i cena i-té sotřební

Více

Preference Jan Čadil FNH VŠE 2014

Preference Jan Čadil FNH VŠE 2014 Preference Jan Čadil FNH VŠE 2014 Footer Text 3/24/2014 1 Racionalita Chování spotřebitele je založeno na předpokladu racionality. Tento předpoklad znamená, že spotřebitel volí neoptimálnější, resp. nejvíce

Více

SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY

SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY PETROHRADSKÝ PARADOX TEREZA KIŠOVÁ 4.B 28.10.2016 MOTIVACE: K napsání této práce mě inspiroval název tématu. Když jsem si o petrohradském paradoxu zjistila nějaké informace

Více

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

Časová hodnota peněz (2015-01-18)

Časová hodnota peněz (2015-01-18) Časová hodnota peněz (2015-01-18) Základní pojem moderní teorie financí. Říká nám, že peníze svoji hodnotu v čase mění. Díky časové hodnotě peněz jsme schopni porovnat různé investiční nebo úvěrové nabídky

Více

Máte 1000 Kč a jdete si koupit svoji oblíbenou knihu?

Máte 1000 Kč a jdete si koupit svoji oblíbenou knihu? Volba a projevené preference Varian, Mikroekonomie: moderní přístup, kapitola 5 a oddíly 7.1 7.7 Varian, Intermediate Microeconomics, Chapter 5 and Sections 7.1 7.7 () 1 / 1 EXPERIMENT: Neúspěšný nákup

Více

12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ

12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ 12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ 543 Ne v každé hře mají všichni hráči úplné informace o výplatních funkcích ostatních. Ve skutečnosti je většina situací s informací neúplnou. Například: V aukcích zpravidla

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Kapitálový trh (finanční trh)

Kapitálový trh (finanční trh) Mikroekonomie bakalářský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 9 Kapitálový trh (finanční trh) Obsah 1. Podstata kapitálového trhu 2. Volba mezi současnou a budoucí

Více

ÚVOD. Dokonalé informace známe všechny možné stavy světa Nereálné

ÚVOD. Dokonalé informace známe všechny možné stavy světa Nereálné RIZIKO ÚVOD Dokonalé informace známe všechny možné stavy světa Nereálné Rozhodování v nejistotě Známe všechny možné situace a jejich pravděpodobnosti Známe všechny možné situace, ale ne jejich pravděpodobnosti

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 11. Aukce

Teorie her a ekonomické rozhodování. 11. Aukce Teorie her a ekonomické rozhodování 11. Aukce 11. Aukce Příklady tržních mechanismů prodej s pevnou cenou cenové vyjednávání aukce Využití aukcí prodej uměleckých předmětů, nemovitostí, prodej květin,

Více

Křivka investičních příležitostí (CIO)

Křivka investičních příležitostí (CIO) Kapitálový trh Křivka investičních příležitostí (CIO) Říká, jaké má jednotlivec objektivní možnosti jaké kombinace současného (PE) a budoucího příjmu (FE) může dosáhnout Pokud se vzdá nějaké částky současného

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí

Více

Rozpočtové omezení, preference a užitek

Rozpočtové omezení, preference a užitek Rozpočtové omezení, preference a užitek Varian, Mikroekonomie: moderní přístup, kapitoly 2, 3 a 4 Varian, Intermediate Microeconomics, 8e, Chapters 2, 3 a 4 1 / 43 Teorie spotřebitele Spotřebitelé si volí

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1

Více

Mikroekonomie. Opakování - příklad. Řešení. Příklad - opakování. Příklad. Řešení Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky, JČU

Mikroekonomie. Opakování - příklad. Řešení. Příklad - opakování. Příklad. Řešení Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky, JČU Opakování - příklad Mikroekonomie Máte danou funkci celkového užitku TU ve tvaru: 300X - 10X 2 (X značí spotřebované množství statku). Určete interval spotřeby (množství statku X) v kterém TU bude mít

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Statistická teorie učení

Statistická teorie učení Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální

Více

Všeobecná rovnováha 1 Statistický pohled

Všeobecná rovnováha 1 Statistický pohled Makroekonomická analýza přednáška 4 1 Všeobecná rovnováha 1 Statistický pohled Předpoklady Úspory (resp.spotřeba) a investice (resp.kapitál), kterými jsme se zabývali v minulých lekcích, jsou spolu s technologickým

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

RELACE, OPERACE. Relace

RELACE, OPERACE. Relace RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Test obecné finanční gramotnosti

Test obecné finanční gramotnosti Test obecné finanční gramotnosti Finanční inteligence je něco, co se ve škole nenaučíte. A přitom je to obor stejně důležitý ne-li důležitější než algebra v matematice nebo historie literatury v češtině.

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 (FIT ČVUT) BI-PST, Cvičení č. 1 ZS 2014/2015

Více

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace 2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

Užitek a užitkové funkce Jan Čadil FNH VŠE

Užitek a užitkové funkce Jan Čadil FNH VŠE Užitek a užitkové funkce Jan Čadil FNH VŠE Footer Text 3/24/2014 1 Užitek a preference Užitek je subjektivní pocit uspokojení potřeb (v našem případě pomocí spotřeby určitého statku/služby), v zásadě vyjadřuje

Více

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204 9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými

Více

PR5 Poptávka na trhu výrobků a služeb

PR5 Poptávka na trhu výrobků a služeb PR5 Poptávka na trhu výrobků a služeb 5.1. Rovnováha spotřebitele 5.2. Indiferenční analýza od kardinalismu k ordinalismu 5.3. Poptávka, poptávané množství a jejich změny 5.4. Pružnost tržní poptávky Poptávka

Více

Připomeňme, že naším cílem je tvorba nástroj, pro zjištění stavu světa případně

Připomeňme, že naším cílem je tvorba nástroj, pro zjištění stavu světa případně Umělá inteligence II Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Racionální rozhodování Připomeňme, že naším cílem je tvorba racionálních agentů maximalizujících očekávanou

Více

CVIČNÝ TEST 42. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 42. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 42 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na číselné ose jsou zakresleny obrazy čísel

Více

Náklady obětované příležitosti (opportunity cost) I. Rozhodujeme se vždy mezi alternativami. Pokud se pro

Náklady obětované příležitosti (opportunity cost) I. Rozhodujeme se vždy mezi alternativami. Pokud se pro Náklady obětované příležitosti (opportunity cost) I Rozhodujeme se vždy mezi alternativami. Pokud se pro jednu z nich rozhodneme, ostatní alternativy zpravidla nemůžeme realizovat užitek/výnos/příjem,

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je:

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je: 9. Soustavy rovnic Správný nadpis této kapitoly by měl znít soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých, z důvodu přehlednosti jsem jej zkrátil. Hned v úvodu čtenáře potěším teorie bude tentokrát krátká.

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

FAKULTA EKONOMICKÁ ZČU PLZEŇ. Katedra ekonomie a financí. Mikroekonomie cvičení 5

FAKULTA EKONOMICKÁ ZČU PLZEŇ. Katedra ekonomie a financí. Mikroekonomie cvičení 5 FAKULTA EKONOMICKÁ ZČU LZEŇ Katedra ekonomie a financí Mikroekonomie cvičení 5 5. CHOVÁNÍ SOTŘEBITELE A FORMOVÁ- NÍ OTÁVKY ŘÍKLAD Č. 1 V rámci kardinalistické teorie užitku definujte pojmy: užitek, celkový

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 8. Vyjednávací hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 8. Vyjednávací hry Teorie her a ekonomické rozhodování 8. Vyjednávací hry 8. Vyjednávání Teorie her Věda o řešení konfliktů Ale také věda o hledání vzájemně výhodné spolupráce Teorie vyjednávání Odvětví teorie her dohoda

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií 5 Informace o aspiračních úrovních kritérií Aspirační úroveň kritérií je minimální (maximální) hodnota, které musí varianta pro dané maximalizační (minimalizační) kritérium dosáhnout, aby byla akceptovatelná.

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry)

Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) Teorie her a ekonomické rozhodování 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) 3.1 Neantagonistický konflikt Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada

Více

Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy

Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 1. Firmy působí: a) na trhu výrobních faktorů b) na trhu statků a služeb c) na žádném z těchto trhů d) na obou těchto trzích Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 2. Firma na trhu statků a služeb

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná

Více

CVIČNÝ TEST 25. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 25. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 25 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V lidové výkupně barevných kovů vykoupili

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

Mikroekonomie Nabídka, poptávka

Mikroekonomie Nabídka, poptávka Téma cvičení č. 2: Mikroekonomie Nabídka, poptávka Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky, JČU Podstatné z minulého cvičení Matematický pojmový aparát v Mikroekonomii Důležité minulé cvičení kontrolní

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A AKM - 1-2 CVIČENÍ Opakování maticové algebry Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A 1 1 ( A ) = ( A ) ( A ) = A ( A + B) = A + B 1 1 1 ( AB) = B A, kde A je řádu mxn a B nxk Čtvercová matice

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých

Více

Tab. č. 1 Druhy investic

Tab. č. 1 Druhy investic Investiční činnost Investice představuje vydání peněz dnes s představou, že v budoucnosti získáme z uvedených prostředků vyšší hodnotu. Vzdáváme se jisté spotřeby dnes, ve prospěch nejistých zisků v budoucnosti.

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 4. Hry v rozvinutém tvaru

Teorie her a ekonomické rozhodování. 4. Hry v rozvinutém tvaru Teorie her a ekonomické rozhodování 4. Hry v rozvinutém tvaru 4.1 Hry v rozvinutém tvaru Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada po sobě následujících

Více

5. Rozdílné preference dvou spotřebitelů

5. Rozdílné preference dvou spotřebitelů Mikroekonomie bakalářský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 2 Teorie chování spotřebitele Obsah. 1. Měření užitku 2. Indiferenční křivka 3. Indiferenční mapa 4.

Více

UŢITEK, PREFERENCE A OPTIMUM SPOTŘEBITELE

UŢITEK, PREFERENCE A OPTIMUM SPOTŘEBITELE UŢITEK, PREFERENCE A OPTIMUM SPOTŘEBITELE PŘEDPOKLADY RACIONÁLNÍHO CHOVÁNÍ SPOTŘEBITELE Budeme se zabývat jak má spotřebitel rozdělit svůj důchod mezi různé statky Racionálně jednající spotřebitel maximalizuje

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Studijní program Matematika, bakalářské studium Studijní program Informatika, bakalářské studium 2014, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a,

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

Ot O e t vř e e vř n e á n á eko e n ko o n m o i m ka Pavel Janíčko

Ot O e t vř e e vř n e á n á eko e n ko o n m o i m ka Pavel Janíčko Otevřená ekonomika Pavel Janíčko Mezinárodní obchod Otevřená ekonomika - mezinárodní obchod a mezinárodní kapitálové trhy Míra otevřenosti ekonomiky bývá nejčastěji vyjádřena pomocí poměru exportu výrobků

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

3 Elasticita nabídky. 3.1 Základní pojmy. 3.2 Grafy. 3.3 Příklady

3 Elasticita nabídky. 3.1 Základní pojmy. 3.2 Grafy. 3.3 Příklady 3 Elasticita nabídky 3.1 Základní pojmy Vysvětlete následující pojmy: 1. cenová elasticita nabídky, 2. cenově elastická nabídka, 3. cenově neelastická nabídka, 4. jednotkově elastická nabídka, 5. dokonale

Více