Kapitola 1. Teorie užitku. 1.1 Vyjádření preferencí

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kapitola 1. Teorie užitku. 1.1 Vyjádření preferencí"

Transkript

1 Kapitola 1 Teorie užitku V této kapitole se budeme věnovat problémům rozhodování v situacích, kdy se rozhodujeme jen na základě jednoho kritéria. Obecně můžeme tyto problémy popsat následovně: rozhodovatel (jednotlivec, instituce) vybírá z určité množiny variant (to mohou být výrobní či investiční plány, projekty, strategie rozvoje, nákupu,... ), které se od sebe liší v jednom kritériu. Jednotlivé varianty musí rozhodovatel ohodnotit, označit, jakým jsou pro něho přínosem (zadá preference) a úkolem analytika je rozhodnout, jaká varianta je pro něho nejlepší. Nejprve se zamysleme nad následujícími otázkami: 1. Jaké vlastnosti musí mít zadávané preference, aby úloha měla smysl? 2. Jak reprezentovat preference číselně? (Jinak problém nedokážeme sepsat.) 1.1 Vyjádření preferencí Předpokládejme množinu objektů, mezi nimiž se rozhodujeme. Tuto množinu označme A. Jednotlivé prvky této množiny značme malými písmeny, tj. a, b, c A. A zaveďme následující vztah mezi objekty a, b A: a b, který bude vyjadřovat (ostře) preferuji variantu a před variantou b. Poněvadž se může stát, že rozhodovatel se nedokáže mezi dvěma objekty rozhodnout, který preferuje, jsou pro něho tyto objekty tzv. indiferentní. Musíme zavést značení i pro takovouto situaci. Jsou-li tedy dvě varianty pro rozhodovatele indiferentní, značíme: a b, tj. rozhodovatel nedává žádné z těchto variant přednost. Matematici takováto uspořádání (ostré preference, indiference) nazývají obecně relace. Relací na množině A rozumí každou množinu uspořádaných dvojic prvků této množiny. Uveďme si příklad, jak lze pomocí relace zapsat preference příloh k obědu slečny Hladové. Řešený příklad 1. Slečna Hladová mívá k obědu nejčastěji následující přílohy: rýži, brambory, těstoviny a knedlíky. Byla požádána, aby uvedla svou preferenční relaci k těmto přílohám. Slečna tedy uvedla následující relaci jako svou relaci preferuji. R P = {[rýže, brambory], [těstoviny, brambory], [brambory, knedlíky], [těstoviny, knedlíky], [rýže, knedlíky]}. Řešení. Nejprve poznamenejme, že množina A, množina objektů mezi nimiž se rozhoduje, je v našem případě následující A = {rýže, brambory, těstoviny, knedlíky}. Dále se vraťme k uvedené relaci. Z této relace lze vyčíst, že slečna preferuje rýži před brambory, těstoviny před brambory a brambory před knedlíky. Na základě takto zadané relace nelze rozhodnout, zda slečna preferuje rýži či těstoviny. 1

2 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU 2 Řešený příklad 2. Požádali jsme naši slečnu, aby ještě navíc uvažovala přílohy čočka a fazole a uvedla svou indiferenční relaci. Slečna uvedla následující relaci R I = {[čočka, fazole], [rýže, těstoviny]}. Řešení. A získali jsme dodatečnou informaci, že slečně je jedno, zda bude jako příloha čočka či fazole, a také se neumí rozhodnout, zda má raději těstoviny či rýži. Ovšem nevíme, zda má slečna raději čočku a fazole nebo rýži či brambory. My tedy budeme používat relaci lepší (nebo preferuji), kterou budeme značit a relaci nerozlišuji (jsou mi indiferentní), značíme. Máme-li tedy soubor prvků, můžeme někoho požádat (rozhodovatele), aby nám určil relaci preferuji tím, že nám zadá množinu uspořádaných dvojic, kde první prvek preferuje před druhým. Nebo aby nám zadal svou relaci indiference, to znamená uvedl nám množinu uspořádaných dvojic (ve skutečnosti v tomto případě nezávisí na uspořádání), kde budou ve dvojici prvky, které jsou mu indiferentní (mezi nimiž se nemůže rozhodnout). Vraťme se k otázce, kterou jsme již zmínili výše jaké vlastnosti musí mít zadávané preferenční uspořádání, aby úloha měla smysl? Aby preferenční uspořádání bylo racionální, měla by relace preference splňovat následující dvě vlastnosti. Úplnost relace Tato vlastnost relace požaduje, aby rozhodovatel byl schopen porovnat touto relací každé dva objekty. Budeme-li tedy uvažovat například relaci preferuji ( ), potom tato relace bude úplná, pokud pro libovolné dva objekty z množiny A, a, b A, bude platit buď a b a nebo b a. Tranzitivita relace Vlastnost tranzitivita požaduje, aby pro každé tři prvky množiny A, pro které platí, že a je v relaci s b a zároveň b je v relaci s c také platilo, že a je v relaci s c. Konkrétně pro relaci preferuji tedy požadujeme, aby pokud a b a zároveň b c, také platilo a c. Nebo-li, pokud rozhodovatel preferuje variantu a před variantou b a variantu b preferuje před variantou c, pak má také preferovat variantu a před variantou c. V podstatě to znamená, že rozhodovatel má ve svých preferencích jasno. Ačkoliv tento požadavek vypadá naprosto přirozeně, někdy přece jen bývá porušen, a to například v případě, že mezi porovnáváními je delší časový interval nebo rozhodovatel nemá preference příliš vyhraněné (varianty jsou pro rozhodovatele podobné, zaměnitelné) a nebo preference určuje více jedinců. Příkladem porušení tranzitivity mohou být společenské preference, založené na většinovém principu. Nejprve problém s požadavkem na tranzitivitu relace ukažme pro relaci. Řešený příklad 3. Organizace, která má 600 členů, se rozhoduje, který plán (A, B, C) přijmout. Všichni členové mají hlasovací právo a předběžný průzkum ukazuje následující stav: A B C B C A C A B 220 členů, 200 členů, 180 členů. Řešení. Pokud porovnáváme všechny dvojice, zjistíme následující: A B v poměru 400 : 200, B C v poměru 420 : 180, C A v poměru 380 : 220. Tranzitivita relace není splněna, neboť ať je přijat jakýkoliv plán, vždy se najde zhruba dvojnásobná většina, která bude preferovat jiný plán. Požadavek tranzitivnosti je kladen i na relaci indiference. Problém s tranzitivitou u této relace vyplývá z konečné rozlišovací schopnosti rozhodovatele.

3 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU 3 Příklad 1. Dostáváte-li k obědu polévku, je vám lhostejné (indiferentní), zda má 50, 000 C nebo 50, 001 C. Budeme-li ovšem takto pokračovat dále, potom dostáváme: 50, 000 C 50, 001 C, 50, 001 C 50, 002 C, C 100, 000 C. A pokud předpokládáme tranzitivitu relace indiference, získáme s čímž už jen tak někdo souhlasit nebude. 50, 000 C 100, 000 C, Proto je mnohdy zapotřebí si upravit zadání, v posledním uvedeném příkladu postačí, budeme-li vědět, že rozhodovatel nejvíce preferuje polévku o 50 C, předpokládat, že má nekonečnou rozlišovací schopnost, a tedy, čím blíže je teplota 50 C, tím větší preference jí přiřadit. Vraťme se zpět k uvažovaným relacím preference a indiference. Poněvadž tyto dvě relace nebývají úplné (často se v množině objektů najdou dva, které jsou rozhodovateli indiferentní, a tedy rozhodovatel nedokáže určit, který z nich preferuje), je vhodné nahradit dvě právě zavedené relace relaci ostré preference a relaci indiference jedinou relací, a to relací tzv. neostré preference. Tuto relaci značíme a b, která vyjadřuje, že buď ostře preferuji objekt a před objektem b nebo jsou mi objekty a a b indiferentní. Pokud byly dvě původní relace tranzitivní, potom také nová relace bude tranzitivní. 1.2 Užitková funkce za jistoty Cílem užitkové funkce je číselně vyjádřit preference. Ty můžeme vyjádřit dvojím způsobem ordinálním nebo kardinálním. Pokud nás zajímá pouze pořadí objektů (z hlediska preferencí), potom sestrojujeme ordinální užitkovou funkci. Druhý typ užitkové funkce kardinální užitková funkce nám dává mnohem více informací, udává nám nejen pořadí objektů vzhledem k preferencím, ale také jak moc preferuji jednu variantu před druhou. Někteří ekonomové zastávají názor, že kardinální užitková funkce neexistuje. Jsou přesvědčeni, že užitek nelze nijak explicitně měřit, že lze pouze rozlišovat, co přináší větší a co menší užitek. Jsou tedy zastánci pouze ordinální užitkové funkce a kardinální užitkovou funkci neuznávají Ordinální užitková funkce Definice 1. Zobrazení u : A R nazveme ordinální užitkovou funkcí, jestliže pro libovolné a, b A platí: u(a) u(b) a b. Máme-li tedy nějakou množinu objektů A, pro kterou chceme sestrojit ordinální užitkovou funkci, potom každému objektu přiřadíme nějaké číslo tak, aby čím bude číslo větší, tím více bude objekt preferován. Nebo-li seřadíme jednotlivé varianty dle preferencí, a poté jim přiřadíme jakákoliv čísla od nejmenšího k největšímu.

4 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU 4 Řešený příklad 4. Vzpomeňme si na slečnu Hladovou a její relaci preferuji: R P = {[rýže, brambory], [těstoviny, brambory], [brambory, knedlíky], [těstoviny, knedlíky], [rýže, knedlíky]}. A uvažujme následující čtyři funkce. u 1 (rýže) = 12, u 1 (těstoviny) = 80, u 1 (brambory) = 6, u 1 (knedlíky) = 5, u 2 (rýže) = 8, u 2 (těstoviny) = 7, u 2 (brambory) = 6, u 2 (knedlíky) = 5, 9, u 3 (rýže) = 30, u 3 (těstoviny) = 30, u 3 (brambory) = 2, u 3 (knedlíky) = 1, u 4 (rýže) = 4, u 4 (těstoviny) = 3, u 4 (brambory) = 3, 5, u 4 (knedlíky) = 1. Otázkou je, které z těchto čtyř funkcí mohou být a které nemohou být ordinálními užitkovými funkcemi slečny Hladové. Řešení. Jak už jsme zmínili, na základě takto zadané relace nelze rozhodnout, zda slečna preferuje rýži či těstoviny, ale ostatní preference jsou známy, a tedy musí být v ordinální užitkové funkci dodrženy. Z hodnot funkce u 1 můžeme vyčíst, že slečna má nejraději těstoviny, poté následuje rýže, pak brambory a nakonec knedlíky. V tomto případě je dodržena zadaná relace, a tedy tato funkce je ordinální užitkovou funkcí slečny Hladové. Podobné je to u funkce u 2 (s tím rozdílem, že v ní slečna preferuje rýži a až poté těstoviny) a u funkce u 3 (v níž jsou slečně těstoviny a rýže indiferentní). Také obě tyto funkce jsou ordinálními užitkovými funkcemi slečny Hladové. Jinak je tomu u funkce u 4, kde je porušena preference těstovin před brambory, a tedy tato funkce není ordinální užitkovou funkcí slečny Hladové. Přidáme-li ještě k našim znalostem o slečně Hladové také její relaci indiference R I = {[čočka, fazole], [rýže, těstoviny]}, potom jedinou možnou ordinální užitkovou funkcí z předchozích je u 3, v níž jako jediné jsou slečně těstoviny a rýže indiferentní. Všimněte si, že u ordinální užitkové funkce vůbec nezávisí na hodnotách v jednotlivých variantách (jen na pořadí těchto hodnot). Právě proto, že u ordinální užitkové funkce nezávisí na hodnotách funkce, ale pouze na pořadí hodnot, nelze s touto funkcí nikterak dále matematicky počítat. (Tedy nelze počítat nějaké průměry apod.) Na následujícím příkladu budeme ilustrovat, že nelze s ordinální užitkovou funkcí provádět žádné matematické operace. Řešený příklad 5. Škole se podařilo zajistit pro studenty navazujícího magisterského studia týdenní pobyt v zahraničí. Bohužel kapacita této akce je omezená, a tak se musí škola rozhodnout, pro který ze dvou blízkých studijních oborů bude tato akce určena. Vedení se rozhodlo, že vybere obor dle výsledků studentů u bakalářské zkoušky. U bakalářské zkoušky mohli studenti dosáhnout čtyř možných výsledků A výborně, B velmi dobře, C dobře a D nevyhověl. V jednotlivých studijních oborech byly výsledky následující: obor I obor II A 5% 20% B 70% 20% C 20% 50% D 5% 10%. Řešení. O rozhodnutí byly požádány dvě nezávislé osoby. První osoba si položila u(a) = 4, u(b) = 3, u(c) = 2 a u(d) = 1.

5 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU 5 A spočítala průměrný prospěch studentů jednotlivých oborů následovně u(obori) = 0, , , , 05 1 = 2, 75, u(oborii) = 0, , , , 1 1 = 2, 41. Doporučila tedy určit akci pro první obor. Druhá osoba určila užitky z jednotlivých známek následovně u(a) = 50, u(b) = 30, u(c) = 25 a u(d) = 10. A spočítala průměrný prospěch studentů jednotlivých oborů následovně u(obori) = 0, , , , = 29, u(oborii) = 0, , , , 1 10 = 29, 5. Tentokrát lépe vyšlo hodnocení pro druhý obor. V tomto příkladě jsme tedy demonstrovali, že nelze využívat ordinální užitkovou funkci k výpočtu průměru. Obě osoby použily správné ordinální funkce a přesto dostaly opačné výsledky. Z tohoto zadání nelze určit, které řešení je správné a které nikoliv. K tomu by bylo zapotřebí od zadavatele dostat ještě dodatečné informace, pomocí níž by již bylo možné sestrojit kardinální užitkovou funkci Kardinální užitková funkce Při konstrukci této funkce nás kromě pořadí ještě zajímají rozdíly v užitcích jednotlivých variant. Nebo-li předpokládáme, že dokážeme užitek měřit, že dokážeme určit, zda více preferejume variantu a před variantou b nebo více preferujeme variantu c před variantou d. Definice 2. Zobrazení v : A R nazveme kardinální užitkovou funkcí, jestliže pro libovolné a, b, c, d A platí: v(a) v(b) a b v(a) u(b) v(c) u(d) a preferuji před b více než preferujic před d, tj. rozhodovatel preferuje výměnu b za a, více než výměnu d za c. Příklad 2. Na základě zadaných preferencí slečny Hladové, viz řešené příklady 1 a 2, nedokážeme určit její kardinální užitkovou funkci. Nevíme totiž, zda raději zvolí rýži před brambory, či více ocení volbu brambor před knedlíky. Kdyby nám ale slečna Hladová řekla, že nemá ráda knedlíky, a tedy cokoliv upřednostní před knedlíky velmi ráda. Brambory má celkem ráda, ale něco raději má těstoviny či rýži, potom již můžeme sestrojit její kardinální užitkovou funkci například následovně: v(rýže) = 5, v(těstoviny) = 5, v(brambory) = 4, v(knedlíky) = 1 nebo v(rýže) = 50, v(těstoviny) = 50, v(brambory) = 45, v(knedlíky) = 1. I tentokrát je možné sestrojit více kardinálních užitkových funkcí, ale volnost již není taková jako u ordinálních funkcí. V případě, že máme k dispozici informace, ze kterých lze sestrojit kardinální užitkovou funkci, lze z těchto informací sestrojit i ordinální užitkovou funkci, ne však naopak. Řešený příklad 6. Uvažujme řešený příklad 6. Mějme dodatečnou informaci, že rozdíly mezi jednotlivými známkami jsou stejné.

6 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU 6 Řešení. V takovém případě je správné řešení první osoby, která uvažovala užitkovou funkci u(a) = 4, u(b) = 3, u(c) = 2 a u(d) = 1. Také by bylo správné napsat si užitkovou funkci například nebo u(a) = 50, u(b) = 40, u(c) = 30 a u(d) = 20, u(a) = 50, u(b) = 48, u(c) = 46 a u(d) = 44. Ve všech těchto případech vyjde, po dopočtení průměrné známky, lépe druhá škola. Ani kardinální funkce není jediná. Každá její lineární funkce s kladným argumentem je také kardinální užitkovou funkcí (pro tytéž preference). Každá kardinální užitková funkce je zároveň ordinální užitkovou funkcí. Opačné tvrzení neplatí Mezní užitek V případě, že je užitek dobře měřitelný, a tedy je možné sestrojit kardinální užitkovou funkci, hovoříme o mezním užitku. Mezním užitkem rozumíme změnu užitku při jednotkové změnně vstupu. Matematicky vyjádřeno je mezní užitek derivací celkového užitku, zapisujeme MU(x) = du(x) dx. Pokud předpokládáme, že funkce celkového užitku (ve výše popsaném kardinální užitková funkce) je konkávní, potom předpokládáme, že mezní užitek je klesající (viz Matematika funkce je konkávní, je-li její 2. derivace záporná (a tedy první derivace klesající)). Ekonomové tento předpoklad označují jako zákon klesajícího mezního užitku. Obrázek 1.1: Graf celkového a mezního užitku Příklad 3. Pepa Kulička dostal na konci roku velké prémie, a tak se rozhodl, že jako dárek k Vánocům pořídí pro sebe a pro ženu zájezd do Hurghády na příští léto. Zvažuje, jak dlouhý zájezd má vybrat. Ví, že první den bude nadšen Rudým mořem, které ještě nikdy neviděl. Druhý den bude stále ještě co obdivovat, a tedy užitek z druhého dne sice bude o trochu menší než z prvního, ale stále velký. Třetí den už budou kemp znát, a tak by se mohli vypravit na šnorchlovací výlet, užitek tedy bude

7 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU 7 opět o trochu menší než z předchozího dne, ale stále celkem vysoký. Čtvrtý den už budou mít prošlé a probádané všechno v okolí, tak snad si trochu odpočinou. Pátý den bude podobný jako čtvrtý, a tak už ke konci dne to asi nebude příliš bavit. Šestý den už Pepu odpočívání nebude příliš bavit a už asi nebude co nového by poznával, tento den mu asi žádný užitek nepřinese. Sedmý den už se Pepovi začne stýskat po jeho firmě a bude stále přemýšlet, jak mu chybí, také mu začne vadit to věčné vedro. Osmý den, už bude vedro nesnesitelné a pro firmu bude nepostradatelný. Když se pokusíme Pepovy preference vyjádřit číselně, můžeme dostat například následující hodnoty mezní užitek z prvního dne je 10, ze druhého dne 9, z třetího dne 8, ze čtvrtého dne 4, z pátého 2, ze šestého 0. Ze sedmého dne stráveného v Hurghádě by byl jeho mezní užitek 2 a z osmého 5. Pokud tedy Pepovi nezáleží na penězích nebo jsou zájezdy přibližně stejně drahé s různým počtem dnů (což v tomto případě bývá), potom zvolí buď pěti či šesti denní pobyt. Pokud by ceny pobytu byly cenově odstupňovány, musel by svůj mezní užitek z jednotlivých dní vyjádřit peněžně (tedy udat, kolik je ochoten za tento další den zaplatit) a porovnat tento mezní užitek se skutečnými náklady na tento den. 1.3 Užitková funkce za rizika V textu jsme zatím uvažovali užitkovou funkci jen z hlediska kvantity komodity. Někdy ale (např. ve finančnictví) s kvantem komodity roste také riziko s tím spojené. Např. cenné papíry s vyšší střední hodnotou výnosů mají též větší variabilitu výnosu, vklady úročené vyšší úrokovou mírou mají větší riziko nestability (viz kampeličky),.... Chceme-li znázornit užitkovou funkci za rizika, potřebujeme nejprve rozumět pojmu jistotní ekvivalent a pro studium různých typů užitkových funkcí za rizika znát různé postoje rozhodovatele k riziku. Jak již bylo řečeno, v této kapitole se bude pracovat s pojmem rizika. K této práci je zapotřebí znát základní pojmy z teorie pravděpodobnosti. Pro připomenutí viz kapitola??. Jistotní ekvivalent Představme si následující situaci. Vlastníte los, který může vyhrát s pravděpodobností 1 : částku 10 miliónů Kč. Kamarád chce od vás tento los odkoupit, jaká je minimální cena, za jakou jste ochotni mu tento los přenechat? Do jaké částky raději zkusíte štěstí a od jaké částky už budete preferovat přímou výplatu? Právě tato vámi zvolená zlomová částka je vaším jistotním ekvivalentem. Petrohradský paradox: Představme si následující situaci. Někdo vám nabídne následující hru. Bude házet korunou a počítat, kolikrát za sebou padne panna (do prvního orla). Poté vám vyplatí částku, kterou určí dle vzorce 2 p, kde p je počet panen, který napočítal. Jakou částku jste ochotni zaplatit za tuto hru? Na této hře je zajímavé (proto se také nazývá paradoxem), že střední hodnota výhry je neomezená. Spočítejme si střední hodnotu výhry. Označíme-li X hodnotu výhry (náhodná veličina), potom tato veličina může nabývat hodnot x 0, x 1, x 2,..., kde x i = 2 i (x 0 = 2 0 = 1, x 1 = 2 1 = 2,... ). Každé této hodnoty nabyde náhodná veličina X s pravděpodobností p i = 1/2 i+1. (Pravděpodobnost, že nepadne žádná panna (výplata bude x 0 ) je 1/2, pravděpodobnost, že padne právě jedna panna (výplata x 1 ), je 1/2 1/2 = 1/4,....)) A tedy pro střední hodnotu výhry dostáváme E X = + i=0 x i p i = + i=0 2 i 1 2 = + 1 i+1 2 = +. i=0 Z tohoto výpočtu vyplývá, že člověk neutrální k riziku by měl být ochoten za danou hru zaplatit libovolnou částku. Přesto je málokdo ochoten zaplatit více než 50 Kč.

8 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU 8 Definice 3. Uvažujme situaci (hru), ve které můžeme získat množství x 1,..., x k nějaké komodity a každé toto množství s pravděpodobností postupně p 1,..., p k, potom jistotním ekvivalentem k této hře je takové množství dané komodity ˆx, pro které platí, že užitek z něj je stejný jako střední hodnota užitku při hře, nebo-li k u(ˆx) = p i u(x i ). Nebo-li je to minimální částka, za kterou jste ochotni vyměnit hru. i=1 Příklad 4. Podnikatel má možnost realizovat projekt, který mu může přinést zisk 10 milionů Kč s pravděpodobností 0, 6 a s pravděpodobností 0, 4 může mít ztrátu 1 milion Kč. Střední hodnota zisku je 5,6 milionu Kč. Kdyby měl možnost získat 3 miliony bez realizace projektu, byl by spokojený. Jistotní ekvivalent je v tomto případě 3 miliony (rozhodovatel s averzí k riziku). Někdo jiný by požadoval např. 7 milionů jistých, jinak by raději realizoval projekt. Jistotní ekvivalent u tohoto rozhodovatele je 7 milionů Kč a můžeme říci, že tento rozhodovatel má sklon k riziku. Pokud by jistotní ekvivalent byl shodný se střední hodnotou výnosů projektu, pak by se jednalo o rozhodovatele s neutrálním vztahem k riziku. Riziková prémie V případě, že je jistotní ekvivalent rozhodovatele nižší než střední hodnota výnosu rizikového projektu, pak částka, kterou je rozhodovatel ochoten obětovat za jistotu se vypočte podle vztahu P = E(X) ˆx. Příklad 5. K narozeninám jste dostali los, o kterém víte, že na něj můžete vyhrát s pravděpodobností 1/ miliónů Kč. Kamarád by tento los rád získal a přesvědčuje vás, ať mu ho prodáte, nakonec se dohodnete na ceně 200 Kč. Střední hodnota výnosu losu je 1000 Kč. A tedy riziková prémie je v tomto případě 800 Kč Postoj rozhodovatele k riziku Postoj rozhodovatele k riziku hraje významnou roli při výběru varianty určené k realizaci. Rozhodovatel může mít averzi k riziku, neutrální postoj k riziku, sklon k riziku. Rozhodovatel s averzí k riziku dává přednost méně rizikovým variantám, které mu přináší uspokojivé výsledky s vysokou pravděpodobností. Pro rozhodovatel s neutrálním postojem k riziku jsou stejně přitažlivé varianty s vysokým i nízkým rizikem, mají stejnou střední hodnotu užitku. Rozhodovatel se sklonem k riziku realizuje i varianty s vysokým rizikem, které mohou být hodně výnosné, ale mohou být i hodně prodělečné. Jinými slovy, pokud porovnáváme jistotní ekvivalent se střední hodnotou hry, potom rozlišujeme rozhodovatele s averzí k riziku, neutrálního k riziku a rozhodovatele se sklonem k riziku, a to následovně: ˆx < E(X) averze k riziku (rozhodovatel se spokojí s jistou částkou, která je menší než očekávaná hodnota výhry) ˆx = E(X) neutrální vztah k riziku (rozhodovateli je jedno, zda hraje loterii nebo zda dostane částku rovnající se očekávané hodnotě výhry) ˆx > E(X) sklon k riziku (rozhodovatel dá přednost hraní loterie před výplatou očekávané hodnoty výhry, popřípadě by jistá částka musela být vyšší než očekávaná střední hodnota)

9 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU 9 Tyto vztahy platí pouze u výnosového typu kritéria, v případě nákladového jsou vztahy opačné. (Jinou možností je uvažovat náklad jako ztrátu, potom nerovnosti zůstanou zachovány.) Tvar užitkové funkce za rizika Otázkou je, jak se změní užitková funkce, pokud budeme uvažovat, že s rostoucím kvantem komodity také roste riziko s tím spojené. Tvar užitkové funkce se liší podle vztahu rozhodovatele k riziku, viz obr.?? užitková funkce výnosového typu. Příklad 6. Rozhodujeme se mezi dvěma investičními záměry (A a B), přičemž úspěšnost varianty A je odhadována na 60% a úspěšnost varianty B na 80%. V případě úspěchu varianta A přinese zisk 10 milionů Kč, varianta B přinese zisk 7,125 milionů. Neúspěch záměru A přinese ztrátu 1 milion Kč, neúspěch záměru B ztrátu 500 tisíc Kč. V obou případech je střední hodnota očekávaného výnosu stejná, 5,6 milionů Kč. Pokud máme averzi k riziku, zřejmě vybereme variantu B, pokud máme sklon k riziku, vybereme variantu A, jsme-li k riziku neutrální, budou nám obě varianty indiferentní.

10 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU Cvičení Cvičení 1. Sestavte si vlastní relaci ostré preference na množině ovoce (jablka, hrušky, broskve, pomeranče, víno). Pokud s relací ostré preference nevystačíte, zapište i relaci indiference. Cvičení 2. Vyměňte si své relace se spolužákem a napište jeho preferenční uspořádání. Cvičení 3. Určete, zda zapsaná relace je tranzitivní a úplná. Cvičení 4. Je možné na základě zadaných preferencí sestrojit ordinální či kardinální užitkovou funkci? Je-li to možné, udělejte to. Pokud ne, zajistěte si dodatečné informace, a poté funkce sestavte. Cvičení 5. Pro následující výrobky sestavte ordinální i kardinální užitkovou funkci. Výrobky: HIFI věž, CD přehrávač, PC, video, DVD přehrávač, magnetofon, televize. Podívejte se na užitkové funkce spolužáků a porovnejte s kým máte stejné preference. Cvičení 6. Zakreslete funkci vašeho užitku v závislosti na počtu vlastněných svetrů: Prvního svetru si ceníte nejvíce (přináší vám největší užitek). Druhý, třetí a čtvrtý svetr jsou pro vás stejně užitečné (ale méně než první svetr). Pátý svetr je méně užitečný než 2., 3. a 4., šestý méně než 5., sedmý vám nepřinese žádný užitek a osmý svetr nemáte kam dát, překáží vám, jeho užitek je záporný. (Jedná se o mezní užitky). Cvičení 7. Najděte ještě další možné kardinální účelové funkce v řešeném příkladu 6. Cvičení 8. Podnikatel má možnost uložit své peníze v bance a za rok dostat na úrocích 50 tis.kč, nebo investovat do jedné firmy s nadějí, že za rok získá 100 tis.kč, ale s rizikem, že nezíská nic. Jaký má vztah k riziku, jestliže dá přednost investování peněz do uvažované firmy před jejich uložením do banky teprve v případě, že pravděpodobnost úspěchu firmy bude alespoň 0, 8? Cvičení 9. Podnikatel se rozhoduje, zda si má vzít půjčku 100 tis.kč a peníze investovat do nemovitosti, kterou by za rok prodal. S přihlédnutím k nejistému vývoji cen nemovitostí podnikatel odhaduje, že 100 tis.kč investovaných by po odečtení úroku z půjčky mohlo mít na konci roku hodnoty uvedené v tab.9 (v tis.kč). Hodnota na konci roku Pravděpodobnost 0,3 0,4 0,1 0,2 a) Měl by podnikatel investovat, jestliže usiluje o maximální zisk a je neutrální vůči riziku? b) Měl by podnikatel investovat, jestliže usiluje o maximální zisk a má averzi k riziku? c) Měl by podnikatel investovat, jestliže usiluje o maximální zisk a má sklon k riziku? Cvičení 10. Majitel firmy uvažuje o rozšíření svého výrobního programu, a proto si objednal marketingové studie pro zjištění pravděpodobnosti nezměněné, mírně vyšší a značně vyšší poptávky po vyráběných produktech. Současně získal pro uvažované situace na trhu odhady zisku při původním a při rozšířeném rozsahu výroby. Zjištěné údaje jsou uvedeny v tab. 10. Poptávka Zisk (mil.k) Pravděpodobnost Rozšíření výroby Nerozšíření výroby Nezměněná 0,8 1 0,4 Mírně vyšší 1,3 1,4 0,4 Značně vyšší 2,4 1,6 0,2 Ověřte, že rozšíření výroby dává vyšší očekávaný zisk, ale je spojeno s větším rizikem.

11 KAPITOLA 1. TEORIE UŽITKU Otázky Je každá ordinální užitková funkce zároveň kardinální užitkovou funkcí? Je tomu naopak? Může tomu tak být? Je možné, že vaše ordinální užitková funkce je/není ordinální užitkovou funkcí vašeho kolegy? Znáte-li nějakou (ordinální či kardinální) užitkovou funkci dokážete napsat jinou funkci, která je také (ordinální či kardinální) užitkovou funkcí? Proč se požaduje tranzitivita? Proč se požaduje úplnost relace? Uveďte nějaký jiný příklad relace.

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Kapitálový trh (finanční trh)

Kapitálový trh (finanční trh) Mikroekonomie bakalářský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 9 Kapitálový trh (finanční trh) Obsah 1. Podstata kapitálového trhu 2. Volba mezi současnou a budoucí

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

Test obecné finanční gramotnosti

Test obecné finanční gramotnosti Test obecné finanční gramotnosti Finanční inteligence je něco, co se ve škole nenaučíte. A přitom je to obor stejně důležitý ne-li důležitější než algebra v matematice nebo historie literatury v češtině.

Více

Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy

Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 1. Firmy působí: a) na trhu výrobních faktorů b) na trhu statků a služeb c) na žádném z těchto trhů d) na obou těchto trzích Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 2. Firma na trhu statků a služeb

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Časová hodnota peněz (2015-01-18)

Časová hodnota peněz (2015-01-18) Časová hodnota peněz (2015-01-18) Základní pojem moderní teorie financí. Říká nám, že peníze svoji hodnotu v čase mění. Díky časové hodnotě peněz jsme schopni porovnat různé investiční nebo úvěrové nabídky

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Numerace. Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo.

Numerace. Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo. Numerace Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo. Numerace má tyto dílčí úkoly: 1) Naučit žáky číst číslice a správně vyslovovat názvy čísel. 2) Naučit žáky zapisovat čísla v

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

FAKULTA EKONOMICKÁ ZČU PLZEŇ. Katedra ekonomie a financí. Mikroekonomie cvičení 3

FAKULTA EKONOMICKÁ ZČU PLZEŇ. Katedra ekonomie a financí. Mikroekonomie cvičení 3 FAKULTA EKONOMICKÁ ZČU PLZEŇ Katedra ekonomie a financí Mikroekonomie cvičení 3 3. NÁKLADY OBĚTOVANÉ PŘÍLEŽITOSTI PŘÍKLAD Č. 1 Dnešní večer máte tyto možnosti: a) sledovat TV Nova, b) učit se na eventuální

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Obsah Předmluva Finanční kritéria efektivnosti investičních projektů Investiční a finanční rozhodování Grafická analýza investičních projektů

Obsah Předmluva Finanční kritéria efektivnosti investičních projektů Investiční a finanční rozhodování Grafická analýza investičních projektů Obsah Předmluva............................................. 7 1. Finanční kritéria efektivnosti investičních projektů...... 9 1.1 Doba návratnosti.................................. 12 1.2 Čistá současná

Více

3 Elasticita nabídky. 3.1 Základní pojmy. 3.2 Grafy. 3.3 Příklady

3 Elasticita nabídky. 3.1 Základní pojmy. 3.2 Grafy. 3.3 Příklady 3 Elasticita nabídky 3.1 Základní pojmy Vysvětlete následující pojmy: 1. cenová elasticita nabídky, 2. cenově elastická nabídka, 3. cenově neelastická nabídka, 4. jednotkově elastická nabídka, 5. dokonale

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Ing. Vlastimil Vala, CSc. Předmět : Ekonomická efektivnost LH

Ing. Vlastimil Vala, CSc. Předmět : Ekonomická efektivnost LH Téma 3 Faktor času Ing. Vlastimil Vala, CSc. Předmět : Ekonomická efektivnost LH Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/28.0018 Čas- ve

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D.

ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. Časová hodnota peněz Každou peněžní operaci prováděnou v současnosti a zaměřenou do budoucnosti

Více

N i investiční náklady, U roční úspora ročních provozních nákladů

N i investiční náklady, U roční úspora ročních provozních nákladů Technicko-ekonomická optimalizace cílem je určení nejvýhodnějšího řešení pro zamýšlenou akci Vždy existují nejméně dvě varianty nerealizace projektu nulová varianta realizace projektu Konstrukce variant

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Edgeworthův diagram směny. Přínosy plynoucí ze směny

Edgeworthův diagram směny. Přínosy plynoucí ze směny Mařenčino množství jídla Mařenčino množství jídla Mikroekonomie a chování JEB060 Přednáška 10 PhDr. Jiří KAMENÍČEK, CSc. Edgeworthův diagram směny Obrázek 1 130 75 25 R S 70 Bod R vyjadřuje původní vybavení

Více

HODNOCENÍ INVESTIC. Postup hodnocení investic (investičních projektů) obvykle zahrnuje následující etapy:

HODNOCENÍ INVESTIC. Postup hodnocení investic (investičních projektů) obvykle zahrnuje následující etapy: HODNOCENÍ INVESTIC Podstatou hodnocení investic je porovnání vynaloženého kapitálu (nákladů na investici) s výnosy, které investice přinese. Jde o rozpočtování jednorázových (investičních) nákladů a ročních

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D. Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti Ing. Michael Rost, Ph.D. Co je to Statistika? Statistiku lze definovat jako vědní obor, zabývající se hromadnými jevy a procesy. Statistika zahrnuje jak

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Náklady obětované příležitosti (opportunity cost) I. Rozhodujeme se vždy mezi alternativami. Pokud se pro

Náklady obětované příležitosti (opportunity cost) I. Rozhodujeme se vždy mezi alternativami. Pokud se pro Náklady obětované příležitosti (opportunity cost) I Rozhodujeme se vždy mezi alternativami. Pokud se pro jednu z nich rozhodneme, ostatní alternativy zpravidla nemůžeme realizovat užitek/výnos/příjem,

Více

15 Poptávka na nedokonale konkurenčním trhu práce

15 Poptávka na nedokonale konkurenčním trhu práce 15 Poptávka na nedokonale konkurenčním trhu práce Existuje-li na trhu výstupu omezený počet firem nabízejících svou produkci, hovoříme o nedokonalé konkurenci, jejíž jednotlivé formy (monopol, oligopol

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA. PŘEDNÁŠEJÍCÍ: Jarmila Radová

FINANČNÍ MATEMATIKA. PŘEDNÁŠEJÍCÍ: Jarmila Radová FINANČNÍ MATEMATIKA PŘEDNÁŠEJÍCÍ: Jarmila Radová Radová Tel: 224 095 102 E-mail: radova@vse.cz Kontakt Jednoduché úročení Diskontování krátkodobé cenné papíry Složené úrokování Budoucí hodnota anuity spoření

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc tř.17. listopadu 49. Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc tř.17. listopadu 49. Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Střední průmyslová škola strojnická Olomouc tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: VI/2 Sada: 2 Číslo

Více

Teorie her. RNDr. Magdalena Hykšová, Ph.D. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Teorie her. RNDr. Magdalena Hykšová, Ph.D. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Teorie her RNDr. Magdalena Hykšová, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,

Více

Téma č. 2: Trh, nabídka, poptávka

Téma č. 2: Trh, nabídka, poptávka Téma č. 2: Trh, nabídka, poptávka Obsah 1. Dělba práce 2. Směna, peníze 3. Trh 4. Cena a směnná hodnota 5. Nabídka 6. Poptávka 7. Tržní rovnováha 8. Konkurence Dělba práce Dělba práce Jednotliví lidé se

Více

Investičníčinnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic

Investičníčinnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic Investičníčinnost Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie Podnikové pojetí investic Klasifikace investic v podniku 1) Hmotné (věcné, fyzické, kapitálové) investice 2) Nehmotné

Více

13 Specifika formování poptávky firem po práci a kapitálu

13 Specifika formování poptávky firem po práci a kapitálu 13 Specifika formování poptávky firem po práci a kapitálu Na rozdíl od trhu finálních statků, kde stranu poptávky tvořili jednotlivci (domácnosti) a stranu nabídky firmy, na trhu vstupů vytvářejí jednotlivci

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií 5 Informace o aspiračních úrovních kritérií Aspirační úroveň kritérií je minimální (maximální) hodnota, které musí varianta pro dané maximalizační (minimalizační) kritérium dosáhnout, aby byla akceptovatelná.

Více

Tab. č. 1 Druhy investic

Tab. č. 1 Druhy investic Investiční činnost Investice představuje vydání peněz dnes s představou, že v budoucnosti získáme z uvedených prostředků vyšší hodnotu. Vzdáváme se jisté spotřeby dnes, ve prospěch nejistých zisků v budoucnosti.

Více

Investiční výdaje (I)

Investiční výdaje (I) Investiční výdaje Investiční výdaje (I) Zkoumáme, co ovlivňuje kolísání I. I = výdaje (firem) na kapitálové statky (stroje, budovy) a změna stavu zásob. Firmy si kupují (pronajímají) kapitálové statky.

Více

Číselné soustavy a převody mezi nimi

Číselné soustavy a převody mezi nimi Číselné soustavy a převody mezi nimi Základní požadavek na počítač je schopnost zobrazovat a pamatovat si čísla a provádět operace s těmito čísly. Čísla mohou být zobrazena v různých číselných soustavách.

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Investiční rozhodování, přehled metod a jejich využití v praxi

Investiční rozhodování, přehled metod a jejich využití v praxi PE 301 Eva Kislingerová Investiční rozhodování, přehled metod a jejich využití v praxi Eva Kislingerová 4-2 Struktura přednášky Základní pojmy NPV a její konkurenti Metoda doby splacení (The Payback Period)

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Ekonomie 1 Magistři Čtvrtá přednáška Analýza trhu zápůjčních fondů

Ekonomie 1 Magistři Čtvrtá přednáška Analýza trhu zápůjčních fondů Ekonomie 1 Magistři Čtvrtá přednáška Analýza trhu zápůjčních fondů Investiční příležitosti Investiční příležitost = jakákoliv příležitost přinášející výnos Projevem investičních schopností Primární Sekundární

Více

2.9.3 Exponenciální závislosti

2.9.3 Exponenciální závislosti .9.3 Eponenciální závislosti Předpoklady: 9 Pedagogická poznámka: Látka připravená v této hodině zabere tak jeden a půl vyučovací hodiny. Proč probíráme tak eotickou funkci jako je eponenciální? V životě

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

0 z 25 b. Ekonomia: 0 z 25 b.

0 z 25 b. Ekonomia: 0 z 25 b. Ekonomia: 1. Roste-li mzdová sazba,: nabízené množství práce se nemění nabízené množství práce může růst i klesat nabízené množství práce roste nabízené množství práce klesá Zvýšení peněžní zásoby vede

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVD11C0T04 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ

Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ Matematika a byznys Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ Alena Švédová A07146 Investice do akcií společnosti ČEZ ÚVOD Tímto tématem, které jsem si pro tuto práci zvolila, bych chtěla poukázat na to,

Více

Při přípravě odpovědí na níže uvedené otázky berte v úvahu, že pole pro odpověď v odpovědním formuláři je omezeno na 1.000 znaků.

Při přípravě odpovědí na níže uvedené otázky berte v úvahu, že pole pro odpověď v odpovědním formuláři je omezeno na 1.000 znaků. Při přípravě odpovědí na níže uvedené otázky berte v úvahu, že pole pro odpověď v odpovědním formuláři je omezeno na 1.000 znaků. 1. (Max. 15 bodů) Vypočítejte Liquidity coverage ratio banky Velmi likvidní

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

4 Rozhodování spotřebitele v podmínkách rizika

4 Rozhodování spotřebitele v podmínkách rizika 4 Rozhodování spotřebitele v podmínkách rizika V tradičním modelu rozhodování spotřebitele není brána v úvahu informační bariéra lidé maximalizují svůj užitek za podmínek jistoty a dokonalých znalostí

Více

Spolupráce? Umění vzájemného porozumění, respektu a tolerance.

Spolupráce? Umění vzájemného porozumění, respektu a tolerance. Spolupráce? Umění vzájemného porozumění, respektu a tolerance. Jitka Pešková (Jihočeské muzeum v Českých Budějovicích) Příspěvek pro seminář Spolupráce? Spolupráce!, 24. 3. 2014, Moravské zemské muzeum

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

Obsah. Poptávka spotřebitele - 1 - Petr Voborník

Obsah. Poptávka spotřebitele - 1 - Petr Voborník Obsah Obsah... Poptávka spotřebitele.... ndividuální poptávka (po statku ).... Vliv změny důchodu spotřebitele na poptávku..... Důchodová spotřební křivka..... Druhy statků... 3 CC, kde je určitým druhem

Více

Seminární práce ze Základů firemních financí

Seminární práce ze Základů firemních financí Seminární práce ze Základů firemních financí Téma: Analýza vývoje zisku Zpracovaly: Veronika Kmoníčková Jana Petrčková Dominika Sedláčková Datum prezentace: 24.3. 2004...... V Brně dne...... P o d p i

Více

Měli byste vědět. Může být výhodné změnit stávající životní pojistku? Lze využít finanční prostředky ze současné pojistky k financování nové?

Měli byste vědět. Může být výhodné změnit stávající životní pojistku? Lze využít finanční prostředky ze současné pojistky k financování nové? Prosinec 2010 Měli byste vědět Může být výhodné změnit stávající životní pojistku? Lze využít finanční prostředky ze současné pojistky k financování nové? POJIŠŤOVNA AEGON A JEJÍ ODBORNÍCI VÁM DOBŘE PORADÍ

Více

Moderní žena myslí na budoucnost. Jan Diviš Kateřina Dalecká

Moderní žena myslí na budoucnost. Jan Diviš Kateřina Dalecká Moderní žena myslí na budoucnost Jan Diviš Kateřina Dalecká Na úvod pár zajímavých statistik Data z r. 2004 Naděje dožití věk Muži Ženy 30 43,66 49,67 40 34,21 39,92 50 25,32 30,51 60 17,59 21,64 - střední

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA. Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Rozvrh. Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo ZS 2009/2010

FINANČNÍ MATEMATIKA. Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Rozvrh. Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo ZS 2009/2010 Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo FINANČNÍ MATEMATIKA ZS 2009/2010 Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Kontakt: e-mail: oldrich.soba@mendelu.cz ICQ: 293-727-477 GSM: +420 732 286 982 http://svse.sweb.cz web

Více

Tak je možno sestavit poptávkovou funkci, která tuto závislost vyjadřuje, a zabývat se vlivem jednotlivých faktorů. X 2 = f 2 (P 1, P 2,, P n, I)

Tak je možno sestavit poptávkovou funkci, která tuto závislost vyjadřuje, a zabývat se vlivem jednotlivých faktorů. X 2 = f 2 (P 1, P 2,, P n, I) 3 Poptávka 3.1 Individuální poptávka V předcházející kapitole jsme se zabývali rozhodováním spotřebitele, který maximalizuje užitek při daném rozpočtovém omezení. Určením optimální kombinace statků jsme

Více

1 Umořovatel, umořovací plán, diskont směnky

1 Umořovatel, umořovací plán, diskont směnky 1 Umořovatel, umořovací plán, diskont směnky Umořovatel je párovým vzorcem k zásobiteli (viz kapitola č. 5), využívá se pro určení anuity, nebo-li pravidelné částky, kterou musím splácet bance, pokud si

Více

Zhodnocení dopadů inovace na studijní výsledky

Zhodnocení dopadů inovace na studijní výsledky Zhodnocení dopadů inovace na studijní výsledky Zpracoval: doc. Ing. Josef Weigel, CSc. hlavní řešitel projektu Hodnocené studijní programy: - Bakalářský studijní program Geodézie a kartografie v prezenční

Více

1 Cash Flow. Zdroj: Vlastní. Obr. č. 1 Tok peněžních prostředků

1 Cash Flow. Zdroj: Vlastní. Obr. č. 1 Tok peněžních prostředků 1 Cash Flow Rozvaha a výkaz zisku a ztráty jsou postaveny na aktuálním principu, tj. zakládají se na vztahu nákladů a výnosů k časovému období a poskytují informace o finanční situaci a ziskovosti podniku.

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Dotazník Osobní finanční plán. Diskrétní

Dotazník Osobní finanční plán. Diskrétní Dotazník Osobní finanční plán Diskrétní Osobní informace Celá jména Klient Partner/ka Pohlaví muž žena muž žena Rodné číslo Datum narození / / / / Rodinný stav svobodn(ý/á) rozvoden(ý/á) ženat(ý/á) vdov(ec/a)

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o v é h o k n i h k u p e c t v í w w w. k o s m a s. c z, U I D : K O S 1 8 7 6 2 Edice Osobní a rodinné

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

PILOTNÍ ZKOUŠKOVÉ ZADÁNÍ

PILOTNÍ ZKOUŠKOVÉ ZADÁNÍ INSTITUT SVAZU ÚČETNÍCH KOMORA CERTIFIKOVANÝCH ÚČETNÍCH CERTIFIKACE A VZDĚLÁVÁNÍ ÚČETNÍCH V ČR ZKOUŠKA ČÍSLO 11 FINANČNÍ ŘÍZENÍ PILOTNÍ ZKOUŠKOVÉ ZADÁNÍ ÚVODNÍ INFORMACE Struktura zkouškového zadání: 1

Více

Krátkodobá rovnováha na trhu peněz

Krátkodobá rovnováha na trhu peněz Makroekonomická analýza přednáška 9 1 Krátkodobá rovnováha na trhu peněz Funkce poptávky po penězích Poptávka po penězích je úměrná cenové hladině (poptávka po penězích je poptávka po reálných penězích).

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál)

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál) Skupinová práce. Zadání skupinové práce Síťová analýza metoda CPM Dáno: Výstavba skladu zásob obilí představuje následující činnosti: Tabulka Název činnosti Délka (dny) Optimální projekt. Optimální dělníků

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.0/1.5.00/4.018 Šablona III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY INOVACE_Hor015 Vypracoval(a), dne Mgr.

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

4.5 Stanovení hodnoticích kritérií a požadavky na jejich obsah

4.5 Stanovení hodnoticích kritérií a požadavky na jejich obsah nadhodnocením ukazatele výkonu). Současně se objektivností rozumí, že technické podmínky nebyly nastaveny diskriminačně, tedy tak, aby poskytovaly některému uchazeči konkurenční výhodu či mu bránily v

Více

Varianta Pravděpodobnost Výnos A 1 Výnos A 2 1 0,1 1% 0,1 3% 0,3 2 0,2 12% 2,4 28% 5,6 3 0,3 6% 1,8 14% 4,2

Varianta Pravděpodobnost Výnos A 1 Výnos A 2 1 0,1 1% 0,1 3% 0,3 2 0,2 12% 2,4 28% 5,6 3 0,3 6% 1,8 14% 4,2 Dobrý den. Kladno, 22. 3. 2007 21:35 Chtěl bych se všem omluvit za ten závěr přednášky. Bohužel mě chyba v jednom z příkladů vykolejila natolik, že jsem se již velice těžko soustředil na svůj výkon. Chtěl

Více

Investiční rozhodování (vliv inflace a rizika)

Investiční rozhodování (vliv inflace a rizika) Masarykova univerzita v Brně Ekonomicko správní fakulta Seminární práce ze Základů firemních financí Téma: Investiční rozhodování (vliv inflace a rizika) Zpracovali: Lukáš Poľaško Vendula Martínková Datum

Více