příklad 1 Častým námětem katastrofických filmů je dopad komet na povrch Země. Hypoteticky předpokládejte pád jádra komety do Tichého oceánu rychlostí

Transkript

1 příklad 1 Častým námětem katastrofických filmů je dopad komet na povrch Země. Hypoteticky předpokládejte pád jádra komety do Tichého oceánu rychlostí 10 km s 1. Nechť má sférický tvar o průměru 3 km a hustotě 10 3 kg m 3. Určete velikost uvolněné energie. Jak velké množství vody se při pádu vypaří? (5 bodů) Původ: Štefl, Korčáková, Krtička: Úlohy z astrofyziky, Úloha 2.23, upravil Filip Murár Určíme hmotnost jádra komety M = ρv = 1, kg; kinetická energie uvolněná při dopadu je E k = 1 2 Mv2 = J. Množství vypařené vody stanovíme ze vztahu m = E k /l v, kde l v = 2, J kg je měrné skupenské teplo varu vody. Po dosazení a za (zjednodušeného) předpokladu ρ V = 1000 kg m 3 dostaneme V = 300 km 3. příklad 2 Astronom z Bruntálu, zeměpisná šířka φ = 50, pozoroval hvězdu, která má při horní kulminaci zenitovou vzdálenost z = 20. a) Určete deklinaci této hvězdy. b) Náš astronom na hvězdu namířil svůj dalekohled. Hvězdě trvalo přesně 3 minuty, než (v důsledku zemské rotace) přešla napříč zorným polem dalekohledu. Spočtěte velikost tohoto zorného pole. Původ: Filip Murár, inspirace IOAA 2009, úloha 7 (10 bodů) a) Úloha má dvě řešení: buď hvězda kulminuje mezi zenitem a pólem, nebo mezi zenitem a nebeským rovníkem. V prvním případě z nákresu najdeme δ 1 = z + φ = 70, ve druhém případě δ 2 = φ z = 30. Řešení 1

2 Řešení 2 b) Úhlová rychlost hvězdy na obloze je ω = 360 cos δ. Pohyb hvězdy s v zorném poli dalekohledu můžeme považovat za úsečku, velikost zorného pole je pak buď α 1 = 360 cos s = 15, nebo α s 2 = 360 cos s 180 s = 39. příklad 3 Pro pozorovatele poblíž Slunce se hvězdná velikost planetky může měnit maximálně o m = 5,0 mag. O kolik magnitud se může měnit hvězdná velikost Slunce pro pozorovatele na povrchu planetky? Uvažujte, že planetka má tvar koule bez jakýchkoli povrchových útvarů a že obíhá kolem Slunce po elipse. (10 bodů) Původ: upravil Jakub Vošmera Hustota světelného toku F je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti od zdroje. Pro pozorovatele poblíž Slunce tedy pro světelný tok přicházející od planetky máme F~I/r 2, kde I je intenzita světla odraženého povrchem planetky a r je vzdálenost planetky od Slunce. Zároveň ale I~LR 2 /r 2, kde L je zářivý výkon Slunce a R je poloměr planetky. Máme tedy F = K/r 4, kde koeficient úměrnosti K se nemění v čase. Označme r p, resp. r a minimální, resp. maximální vzdálenost planetky od Slunce. Z odvozené úměrnosti pro hustotu světelného toku od planetky a Pogsonovy rovnice je zřejmé, že můžeme psát m = 2,5 log r a 4 r4 = 10 log r a. p r p Víme také, že pro hustotu světelného toku F přicházejícího od Slunce k planetce můžeme psát F ~LR 2 /r 2, takže F = K /r 2, kde K se nemění v čase. Pro maximální

3 velikost m intervalu, ve kterém se může hvězdná velikost Slunce pro pozorovatele na povrchu planetky měnit, tedy máme m = 2,5 log r a 2 r2 = 5 log r a = 1 m = 2,5 mag. p r p 2 příklad 4 Máme k dispozici refraktor Keplerovy konstrukce s objektivem o průměru D = 6 cm, ohniskovou vzdáleností f = 80 cm a okulárem s ohniskovou vzdáleností f = 20 mm. Nedaleko od nás se nachází vysílač, na který dalekohled zaostříme. Spočtěte, jak daleko se od nás vysílač nachází, víte-li, že chceme-li následně zaostřit na Měsíc, musíme okulárový výtah posunout o d = 0,5 cm. (10 bodů) Původ: Jakub Vošmera Označme x neznámou vzdálenost vysílače. Keplerův dalekohled je zaostřen právě tehdy, když se obraz získaný objektivem promítá do ohniskové roviny okuláru. Vzdálenost d tedy odpovídá změně obrazové vzdálenosti (při zobrazení objektivem) po přeostření z vysílače na Měsíc, jehož (předmětovou) vzdálenost můžeme s velkou přesností nahradit nekonečnem (a obrazová vzdálenost pak bude přesně rovna f). Ze zobrazovací rovnice pro vysílač tedy plyne odkud vyjádříme x jako 1 f = 1 x + 1 f + d, Číselně x = 161f = 129 m. x = f 1 + f d. příklad 5 Astronomové z planety Gallifrey objevili novou planetární soustavu, v jejímž středu leží hvězda o teplotě T = 0,5T G, poloměru R = 10R G a hmotnosti M = 5M G, kde T G, R G a M G značí teplotu, poloměr a hmotnost hvězdy, kolem které Gallifrey obíhá ve vzdálenosti 1 gu (Gallifreyan Unit) s periodou 1 grok. Určete (v grocích) periodu oběhu hypotetické planety obíhající kolem objevené hvězdy, na jejímž povrchu by panovaly podobné klimatické podmínky jako na Gallifrey. Ignorujte vliv atmosféry na rovnovážnou povrchovou teplotu na obou tělesech. (15 bodů) Původ: Jakub Vošmera Abychom dosáhli podobných klimatických podmínek, musíme porovnat hustoty zářivých toků přicházející k hypotetické planetě od centrální hvězdy a ke Gallifrey od

4 její centrální hvězdy. Označíme-li r poloměr oběžné dráhy hypotetické planety, plyne ze Stefanova-Boltzmannova zákona (a faktu, že hustota zářivého toku ubývá se čtvercem vzdálenosti od zdroje), že T 4 R 2 Z 3. Keplerova zákona rovněž víme, že a tedy (dosadíme za r/1 gu) r 1 gu 3 4 R G 2 r 2 = T G (1 gu) 2. P M = 1 grok 2, M G T 6 R 3 T P = G R G 1 groků = M groků = 1,77 groku. M G příklad 6 (teorie) Uvažujme, že Galaxie má přibližně tvar koule o poloměru 15 kpc. Její hmotnost je rovna násobku hmotnosti Slunce a je rozprostřena po celém objemu Galaxie rovnoměrně s výjimkou malého kompaktního jádra o hmotnosti násobku hmotností Slunce. Dvě hvězdy obíhají okolo středu Galaxie po kruhových drahách ve stejném směru a ve stejné rovině, jedna po dráze o poloměru 5 kpc, druhá po dráze o poloměru 10 kpc. Najděte synodickou oběžnou dobu jedné hvězdy při pozorování z okolí hvězdy druhé. Při řešení můžete použít Gaussův zákon gravitace: máme-li situaci, kdy je hmota rozložena v prostoru sféricky symetricky, spočteme gravitační pole ve vzdálenosti r od středu symetrie jako gravitační pole hmotného bodu o hmotnosti rovné celkové hmotnosti hmoty uzavřené v kouli o poloměru r, umístěného ve středu symetrie (hmota vně této koule nemá na situaci vliv). (15 bodů) Původ: Russian Open School Astronomical Olympiad by Correspondence 2005, upravil Filip Murár a Jakub Vošmera Hustota hmoty rozložené v Galaxii je (velikost jádra zanedbáme) ρ = 3(M M 0) 4πR 3, kde M = M S je hmotnost Galaxie, M 0 = M S a R = 15 kpc její poloměr. Hmotnost je rozložena sféricky symetricky, oběžná doba hvězd je tedy ovlivněna pouze hmotností uvnitř jejich oběžné dráhy a je stejná, jako kdyby všechna hmota byla koncentrována ve středu Galaxie. První hvězda je tedy ke středu Galaxie přitahována hmotností m(r 1 ) = M πr 1 3 ρ = M 0 + r 1 3 R 3 (M M 0),

5 kde r 1 = 5 kpc. Její oběžná doba je dle 3. Keplerova zákona a úhlová rychlost P 1 = 2π r 1 3 Gm(r 1 ) ω 1 = 2π P 1 = G (M M 0) R 3 + M 0 r 1 3 = 6, rad s 1. Úhlová rychlost druhé hvězdy je obdobně ω 2 = 2π P 2 = G (M M 0) R 3 + M 0 r 2 3 = 4, rad s 1. Synodická oběžná doba S je doba, za kterou rychlejší hvězda předběhne pomalejší hvězdu přesně o jeden oběh, tedy o úhel 2π. Máme tedy S = 2π = 2, s = 700 mil. let. ω 1 ω 2 příklad 7 (rozcvička) Jaká bude maximální doba trvání zákrytu hvězdy Měsícem? (Siderická oběžná doba Měsíce je 27,321 6 dne a úhlový průměr Měsíce je ) (5 bodů) Původ: Damir Hržina Siderickou periodu si převedeme na sekundy. Pokud vydělíme 360 touto hodnotou, zjistíme úhlovou rychlost pohybu Měsíce po hvězdné obloze. v M = 360 = 1, /s. Poloměr Měsíce vynásobíme 2 a převedeme na úhlové stupně. Pak vypočteme čas maximálního zákrytu: t = Φ M = 0,5583 v M 1, = 3661 [s], tedy 1 hodina 1 minuta 1 sekunda. příklad 8 (praktická úloha) Máte k dispozici spektrofotometrická data z pozorování hvězdy HD , u níž byla detekována tranzitující exoplaneta. Konkrétně na obr. 1 vidíte změřenou závislost velikosti radiální rychlosti hvězdy na fázi oběhu planety (opraveno o vlastní pohyb hmotného středu) a na obr. 2 světelnou křivku tranzitu, kde je na svislé ose vynesena relativní hustota světelného toku (vztažená ke stavu mimo tranzit). Rovněž znáte periodu oběhu planety P = 2,2 d, hmotnost hvězdy M = 0,85 M S a poloměr hvězdy R = 0,78 R S. a) Pomocí vhodných obrázků vysvětlete tvar světelné křivky (včetně specifického zaobleného tvaru dna světelné křivky) a křivky radiálních rychlostí. Pokuste se rovněž o vysvětlení anomálie na křivce radiálních rychlostí okolo fáze 0

6 (tranzit): obíhá planeta ve směru či proti směru rotace hvězdy kolem její osy? (5 bodů) b) Na základě předložených dat dopočítejte poloměr dráhy planety a p v astronomických jednotkách, hmotnost planety M p v jednotkách hmotnosti Jupitera M J = 1, kg, poloměr planety R p v jednotkách poloměru Jupitera R J = 6, m a střední hustotu planety ρ p. Uvažujte, že úhel i, který svírá oběžná dráha planety se směrem k pozorovateli je velmi malý, ale že zákryt nemusí být centrální (tj. průmět trajektorie planety na disk hvězdy nemusí procházet středem disku). (10 bodů) c) Uvážením časových intervalů mezi jednotlivými kontakty tranzitu a geometrie tranzitu (polohy průmětu trajektorie planety na disk hvězdy) spočtěte úhel i. Může vám pomoci nákres (obr. 3) zachycující polohu planety v okamžiku prvního a druhého kontaktu. Můžete předpokládat, že R p R. (5 bodů) (20 bodů)

7 Obrázek 1 Obrázek 2

8 Obrázek 3 Původ: data převzata z Sing et al., 2009, A&A 505, a Exoplanet Orbit Database, zadání sestavil Jakub Vošmera a) Charakteristické zaoblení dna světelné křivky je způsobeno efektem okrajového ztemnění disku hvězdy.

9 Hvězda a planeta obíhají kolem společného hmotného středu. Hvězda se tedy od nás periodicky přibližuje a vzdaluje, což typicky detekujeme pomocí Dopplerovského posuvu spektrálních čar. Je-li navíc oběžná dráha kruhová, má křivka radiálních rychlostí tvar sinusoidy, což jasně pozorujeme na obr. 1. Předpokládejme, že planeta obíhá ve stejném směru, jako hvězda rotuje. Vstoupí-li planeta na disk, zastíní nejprve tu část, která se k nám vlivem rotace přibližuje a v záření bude více zastoupen červený posuv z části, která se od nás vlivem rotace vzdaluje. Na křivce radiálních rychlostí pozorujeme náhlý vzrůst. Poté, co planeta přejde na druhou stranu disku, bude naopak v záření více zastoupen modrý posuv z části disku, která se k nám přibližuje, což se projeví na křivce radiálních rychlostí jako náhlý pokles (jedná se o tzv. Rossiter-McLaughlinův jev). V případě, že by planeta obíhala v opačném směru, pozorovali bychom nejdříve pokles a až pak vzrůst. Planeta tedy obíhá ve stejném směru, jako hvězda rotuje. b) Zřejmě M M p a a a p, takže z 3. Keplerova zákona máme 3 a p = GM P 2 4π 2. Dále, M a = M p a p a cos i 1 (exoplaneta tranzituje), takže K = 2πa P, kde K je amplituda radiální rychlosti hvězdy, a tedy M p = KPM = PM K. 2πa p 2πG Konečně, označme χ minimum relativní hustoty světelného toku. Potom zřejmě (zde pro jednoduchost neuvažujeme okrajové ztemnění) χ = R 2 R p 2 R = 1 R 2 p R2 a tedy R p = R 1 χ. Číselně K = 210 m s 1, χ = 0,975, a p = 0,031 au, M p = 1,2 M J, R p = 1,2 R J a ρ p = 0,65ρ J = 860 kg m 3. c) (jeden z několika možných postupů, nutno procházet řešení individuálně)

10 Obecně planeta nemusí procházet skrz střed disku hvězdy. Označme φ úhel, který svírá průmět trajektorie exoplanety na disk hvězdy s poloměrem vytyčeným do místa vstupu planety na disk (viz obrázek). Potom zřejmě (zanedbáváme zakřivení okraje disku hvězdy v místě vstupu planety na disk, protože R p R ) R cos φ + R p cos φ = πa p P T a R cos φ cos φ = πa p P t a rovněž a p sin i = R sin φ, kde t je interval mezi 2. a 3. kontaktem a T je interval mezi 1. a 4. kontaktem. Máme tedy R cos 2 φ R p R cos 2 = cos2 φ 1 χ φ + R p cos 2 φ + 1 χ = t T neboli a tedy R p sin φ = t T 1 t 1 χ T sin i = R t T a p 1 t 1 χ. T Číselně t = 10 a tedy sin i = 0,077 neboli i = 4,4. T 18