k riziku a ve svém důsledku vedlo použití modelu k diverzifikaci portfolia.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "k riziku a ve svém důsledku vedlo použití modelu k diverzifikaci portfolia."

Transkript

1 MARKOWITZŮV MODEL OPTIMÁLNÍ VOLBY PORTFOLIA PŘEDPOKLADY, DATA, ALTERNATIVY Jitka Dupačová - příprava k přednášce pro ČSOB a Analýze investic Za zakladatele moderní teorie portfolia je pokládán H. Markowitz (1952, 1959). Jeho model se týká především investic do portfolia akcií a využívá celé řady zjednodušujících předpokladů: Jde o ideální trh bez transakčních nákladů, bez arbitráže, s neomezenou možností investování i vypůjčovaní za stejnou bezrizikovou úrokovou míru a obchodování s neomezeně dělitelnými dokumenty; obchodují na něm malí racionální investoři, kteří dávají přednost vyšším výnosům před nižšími a menšímu riziku před větším rizikem, využívají shodných informací, a to hodnot očekávaných výnosností akcií a rozptylů a kovariancí těchto výnosností, a investují ve stejném čase pro jedno stejně dlouhé období. Přesto šlo o průlom v tom, že kromě hlediska maximálních výnosností byl zohledněn i investorův vztah k riziku a ve svém důsledku vedlo použití modelu k diverzifikaci portfolia. 1 Odvození základního modelu Uvažujeme investici do J akcií, jednotková investice do j-té z nich dává ve zvoleném období celkovou náhodnou výnosnost ρ j. Rozdělení vektoru ρ výnosností všech uvažovaných akcií je charakterizováno známým vektorem středních hodnot Eρ = r a varianční maticí V = [cov(ρ i, ρ j ), i, j = 1,... J] která obsahuje kovariance mezi výnosnostmi všech dvojic akcií a na hlavní diagonále má rozptyly výnosností jednotlivých akcií. Složení portfolia je určeno váhami x j, j = 1,..., J, které musí splňovat podmínku j x j = 1. Výnos portfolia s váhami x budeme chápat jako střední hodnotu jeho celkové výnosnosti r(x) = x j r j = r x j a riziko tohoto portfolia bude dáno hodnotou rozptylu jeho celkové výnosnosti σ 2 (x) = i,j [cov(ρ i, ρ j )]x i x j = x Vx Podle předpokladů dávají všichni investoři přednost portfoliu s vyšším výnosem a s nižším rizikem. V souladu s tím definujeme Definice 1.1. Portfolio s váhami x je eficientní vzhledem ke střední hodnotě a rozptylu (mean-variance efficient), jestliže neexistují jiné váhy x splňující podmínku j x j = 1, pro které je r(x) r(x ) a současně σ 2 (x) σ 2 (x ) a aspoň jedna z nerovností je ostrá. 1

2 Definice zůstává v platnosti, i když omezíme volbu vah dalšími podmínkami, např. nezáporností. Portfolia, která vyhovují této definici budeme stručně nazývat eficientní portfolia. Je celá řada možností, jak hledat eficientní portfolia, např. řešením optimalizačních úloh závisejících na parametrech max x X λr x 1 2 x Vx (1) kde λ 0 je parametr modelující investorův vztah k riziku, nebo za podmínek min x X x Vx (2) r x r p kde parametrem je nastavená minimální hodnota r p přijatelné (očekávané) výnosnosti portfolia. Množina X je definována požadavkem j x j = 1 a případně dalšími podmínkami na složení portfolia; my si odvodíme jednotlivá tvrzení pouze za platnosti zmíněného základního požadavku na váhy. Pokud je matice V regulární (to mj. znamená, že žádná akcie není bezriziková) a střední výnosnosti nejsou pro všechny akcie stejné, lze pomocí známých podmínek pro vázaný extrém funkce x Vx snadno odvodit řadu výsledků. Označme jako x G váhy, které minimalizují rozptyl výnosnosti portfolia bez ohledu na jeho očekávanou výnosnost, tj. x G = V V 1 1 a r min = r(x G ) = r x G odpovídající očekávanou výnosnost portfolia s váhami x G. Tvrzení 1.2. Nechť je V regulární, nechť jsou vektory r, 1 lineárně nezávislé a 1 Vr 0. Pak při libovolně zvolené hodnotě r p r min a) existuje vždy jediný vektor vah x(r p ), který minimalizuje rozptyl výnosnosti portfolia v úloze (2) V 1 r x(r p ) = µ 1 1 V 1 r + µ V (3) 1 V 1 1 b) vektor x(r p ) nutně splňuje podmínku r x r p jako rovnost. c) hodnoty Lagrangeových multiplikátorů µ 1, µ 2 lze vypočítat vyřešením soustavy omezení r x = r p, 1 x = 1 pro x = x(r p ). Zejména platí, že µ 1 + µ 2 = 1. 2

3 d) Získané váhy x(r p ) jsou lineární funkcí r p, takže odpovídající rozptyl výnosnosti portfolia σ 2 (x(r p )) je kvadratickou funkcí r p a očekávaná výnosnost portfolia r(x(r p )) je lineární funkcí r p. Důkaz je snadný a z tvrzení 1.2 plyne celá řada známých důsledků: V rovině dvojic [r(x), σ 2 (x)] leží minimální rozptyly výnosnosti portfolia na parabole. Její větev, na které leží maximální možné očekávané výnosnosti portfolia při dané hodnotě rozptylu, je t.zv. eficientní hranice (mean-variance efficient frontier); odpovídá hledaným eficientním portfoliím, resp. optimálním řešením úlohy (2) pro různé nastavené hodnoty r p r min ; viz obrázek 1. Pro dvě eficientní portfolia s váhami x p, xˆp minimalizujícími rozptyl výnosnosti portfolia při odlišných nastavených mezích očekávaných výnosností r p, rˆp platí, že i každá jejich lineární kombinace αx p + (1 α)xˆp je eficientní, a to při parametru αr p + (1 α)rˆp. Vzorec (3) spolu s uvedeným důsledkem mají svou ekonomickou interpretaci známou jako Tobinova věta o separaci (two-fund separation theorem, Tobin 1958): Všechna eficientní portfolia lze vyjádřit jako lineární kombinaci dvou eficientních portfolií x G = V V 1 1 a x 1 = V 1 r 1 V 1 r 2 Obměny základního modelu 1. Uvažujme navíc možnost investice do bezrizikového aktiva, j = 0, s výnosností r 0 a současně i možnost neomezeného vypůjčování za bezrizikovou úrokovou míru r 0. Váha bezrizikového aktiva v portfoliu bude x 0 = 1 J j=1 x j. Stačí tedy dosadit a pracovat jenom s váhami rizikových aktiv, x j, j = 1,..., J. Zavedeme rozdíly R j = r j r 0, R p = r p r 0 a uvědomíme si, že varianční matice rozdílů ρ j r 0, j = 1,..., J je opět V. Předpokládáme, že R p r min. Váhy rizikových aktiv v portfoliu dostaneme jako řešení úlohy min x Vx za podmínek J R j x j R p (4) j=1 (Podmínka na součet vah již v úloze není a pro optimální řešení bude podmínka na očekávanou výnosnost opět splněna jako rovnost.) Výsledné váhy jsou x = R pv 1 R R V 1 R 3

4 a x 0 = 1 j x j pro investice do bezrizikového aktiva. Odpovídající minimální rozptyl výnosnosti portfolia je a poměr R p σ P (x) σ 2 p(x ) = R 2 p R V 1 R je t. zv. Sharpova míra portfolia. Řešením odpovídající úlohy (4) o vázaném extrému zjistíme, že i v tomto případě lze eficientní portfolia representovat jako lineární kombinací dvou portfolií - bezrizikového (s váhami x 0 = 1 a x j = 0 pro j 0) a t.zv. tečného eficientního portfolia složeného pouze z akcií, tedy s váhami x T, které splňují dodatečnou podmínku J j=1 x j = 1. Odpovídající hodnota očekávané výnosnosti R p (nad danou bezrizikovou výnosnost r 0 ), kterou je třeba nastavit, a výsledný minimální rozptyl vyjdou jako R p = r(x T ) r 0 = R V 1 R R V 1 1 a σ 2 p(x T ) = R V 1 R (R V 1 1) 2 Pro eficientní portfolia s váhami x se graficky znázorňuje závislost směrodatné odchylky výnosnosti portfolia na nastavené hodnotě r p jako přímka kapitálového trhu (CML - capital market line) r(x) = r 0 + r(x T ) r 0 σ(x) σ(x T ) která prochází bodem odpovídajícím bezrizikovému portfoliu a bodem pro portfolio akcií s váhami x T ; viz obrázek 2. Pro toto portfolio platí, že dává maximální možnou Sharpovu míru portfolia a v rovnovážném modelu (např. CAPM) je lze interpretovat jako tržní portfolio. 2. Podmínky nezápornosti a případná další lineární omezení znamenají pouze složitější diskusi podmínek optimality, ale povaha výsledků se nemění. Pro diskusi výsledků je výhodnější pracovat s úlohou ve tvaru (1). Váhy je možné získat numericky použitím libovolného software pro úlohu kvadratického programování. Z hlediska dimenze řešené úlohy jsou nejmenší úlohy o alokaci prostředků mezi agregované třídy aktiv, dále pak vlastní úloha o volbě portfolia a největší úlohy vznikají při sledování tržního indexu. Doporučení, jak investovat, však není jednoznačné. Konečné rozhodnutí - volba jednoho z eficientních portfolií - je v rukou investora. 3 Vstupní data Možnost úspěšného použití Markowitzova modelu závisí na tom, jsou-li splněny předpoklady modelu, a také na vstupních datech, tedy na středních hodnotách výnosností akcií a na 4

5 varianční matici výnosností. Jisté je, že nelze pracovat jenom s rozptyly výnosností jednotlivých akcií, ale že právě hodnoty kovariancí mohou podstatně přispět k účinné diversifikaci portfolia. Pokud mají investoři k disposici dosti dlouhé časové řady výnosností sledovaného souboru akcií, nabízí se použití průměrných výnosností a také odhadů rozptylů a kovariancí z těchto pozorování. Pro kvalitní odhady momentů je třeba použít dosti dlouhé řady pozorování, dlouhé historické řady však často nejsou stacionární. Pro vysvětlení kovarianční struktury výnosností se proto někdy používá faktorových modelů. V takovém případě předpokládáme, že výnosnosti jednotlivých akcií se řídí modelem ρ j = α j + β j F + ɛ j (5) kde ɛ j jsou náhodné odchylky od modelu nekorelované s faktorem F, mají nulové střední hodnoty, rozptyly σɛj 2 a náhodné odchylky pro různé dvojice akcií jsou nekorelované. Základní představa, že korelace mezi výnosnostmi jsou způsobeny odezvou na situaci na celém trhu, vede k interpretaci faktoru F jako rozdílu výnosnosti trhu akcií a výnosnosti bezrizikového aktiva F = ρ M r 0. Výnosnosti jednotlivých akcií pak mají dvě složky - systematickou danou vazbou na výnosnost trhu a specifickou. Tato představa souhlasí s modelem CAPM. Na základě modelu (5) a uvedených statistických předpokladů dostaneme snadno střední hodnoty, rozptyly a kovariance (r M, σm 2 značí střední výnosnost a rozptyl výnosnosti tržního portfolia): r j r 0 = α j + β j (r M r 0 ), σ 2 j = varρ j = β 2 j σ 2 M + σ 2 ɛj (6) kde r M r 0 se interpretuje jako prémie za riziko trhu (market risk premium) a v jk = cov(ρ j, ρ k ) = β j β k σ 2 M, cov(ρ j, ρ M ) = β j σ 2 M Odtud plyne β j = cov(ρ j, ρ M ) σ 2 M Koeficienty β j, α j a rozptyly se odhadují z dat, výnosnost trhu je representována výnosností vhodného indexu. Pro rovnovážný stav trhu jsou v (5) míry nerovnovážnosti α j = 0 pro všechny akcie a závislost středních výnosností akcie na střední výnosnosti tržního portfolia se znázorňuje graficky jako přímka trhu cenných papírů (SML - security market line). Odhadnuté hodnoty β se používají pro charakterizaci rizika akcií vzhledem k tržnímu riziku i k samotné konstrukci portfolia. Faktorový model také objasňuje, proč nelze očekávat, že diversifikace portfolia bude neomezeně snižovat riziko: na výnosnosti akcií působí také vliv trhu, tržní riziko, které Markowitzův model neeliminuje. Riziko trhu však lze snížit vhodnou volbou portfolia s ohledem na hodnoty β. Pokud dostupná informace nestačí pro dosti přesné odhady středních hodnot výnosností, jejich rozptylů a kovariancí ani pro faktorový model, navrhují se někdy zjednodušené postupy. Tak na příklad lze z předpokládaných hodnot minimálních a maximálních možných 5

6 výnosností r j,min, r j,max odhadnout střední výnosnost jako r j = 1/2[r j,min + r j,max ], rozptyl jako σj 2 = 1/16[r j,min r j,max ] 2 a kovariance spočítat z expertních odhadů korelací a z odhadnutých rozptylů. Ukazuje se však, že výsledky Markowitzova modelu jsou velmi citlivé vzhledem ke středním hodnotám výnosností, méně již vzhledem k jejich varianční matici (Chopra a Ziemba 1993, Dupačová 1996). Příčina souvisí s chováním optimálních řešení úloh kvadratického programování (1) nebo (2) v závislosti na parametrech. Uvažujme úlohu odpovídající úloze (1) max x X p x 1/2x Vx (7) kde p je parametr, V je pozitivně definitní matice a X je neprázdná polyedrická množina, např. X = { x R+ Ax J b }. (V našem speciálním případě je p = λr.) Množinu X lze rozložit na konečný počet relativně otevřených stěn, které jsou definovány množinami indexů aktivních omezení; vnitřek množiny X je chápán jako otevřená stěna odpovídající prázdné množině indexů. Parametrický prostor R J vektorů p lze odpovídajícím způsobem rozložit na konečný počet disjunktních množin stability charakterizovaních tím, že pro libovolný prvek p dané množiny stability leží optimálmí řešení x(p) úlohy (7) ve stejné stěně množiny X. Přitom v dané množině stability je x(p) lineární funkce parametru p a je diferencovatelná ve všech vnitřních bodech této množiny. Pro p, které leží na hranici některé množiny stability, optimální řešení x(p) již diferencovatelné není. Optimální hodnota ϕ(p) účelové funkce v (7) je počástech lineární a kvadratická funkce parametru p a díky předpokladu o pozitivní definitnosti matice V je i diferencovatelná s výjimkou případu, kdy by koeficienty aktivních omezení byly lineárně závislé. Tento výsledek vysvětluje relativní stabilitu optimální hodnoty i v případech, kdy je optimální řešení velmi citlivé na malé změny parametru: To jsou právě případy, kdy parametr p leží na hranici některé množiny stability. Podobnou možnost nelze vyloučit ani ve speciálním případě, kdy p = λr při pevném vektoru r a parametru λ 0, tedy při sledování eficientní hranice. Příklad 3.1. Uvažujme jednoduchou úlohu kvadratického programování max { } p 1 x 1 + p 2 x 2 1/2x 2 1 x 1 x 2 x 2 2 na množině X = {x 1, x 2 x 1 0, x 2 0, x 1 + x 2 1}. Množinu X lze rozložit na relativně otevřené stěny Σ 1,..., Σ 7, viz obrázek 3. Odpovídající množiny stability σ(σ k ), k = 1,..., 7 jsou znázorněny na obrázku 4. Uvažujme nyní p 1 = p 2 = 1. Pro tuto hodnotu parametru leží optimální řešení ve vrcholu Σ 3, ale malé změny souřadnic způsobí, že se posune do přilehlých stěn Σ 6 nebo Σ 7, případně dovnitř množiny X - tj. do stěny Σ 1. Odpovídající změny optimální hodnoty a první souřadnice x 1 (p) optimálního řešení jsou znázorněny pro p 1 = 1 a p 2 0 na obrázku 5. Podobná situace nastává i pro dvojici p 1 = 1, p 2 = 2. Z hlediska investora může jít o nestabilní chování optimálních vah - extrémní rozhodnutí investovat vše do prvního aktiva (vrchol Σ 3 nebo Σ 4 ) se může snadno změnit v investování do obou rizikových aktiv (stěna Σ 7 ) nebo v investování do obou rizikových aktiv i do bezrizikového aktiva (stěna Σ 1 ). 6

7 S ohledem na vliv výchozích předpokladů modelu a na problémy při získávání dat to znamená, že rozhodování založené na váhách získaných řešením Markowitzova modelu je třeba navíc detailně analyzovat. Problémy narůstají, pokud se podle Markowitzova modelu hledá celá posloupnost rozhodování v čase. Markowitzův model je statický a numerické studie dokumentují, že na něm založené výsledky se zhoršují s rostoucím horizontem pro rozhodování a také s rostoucím počtem časových intervalů, na které je aplikován; viz např. případová studie Cariñho et al. (1994). 4 Alternativní přístupy 1. V souvislosti s Markowitzovým modelem se často diskutují i asymetrické míry rizika, např. King (1993) nebo kvadratická semivariance. Jejich význam je zřetelný zvláště při snaze použít Markowitzův model pro rozhodování o portfoliu aktiv a pasiv, kde se za výnosnost pokládá rozdíl mezi výnosností aktiv a výnosností pasiv. Někteří autoři uvažují také aplikace podobného postupu na obligace; tam však nelze očekávat příliš velký efekt, protože trh obligací se chová odlišně; zejména lze jen stěží počítat s negativní korelací výnosností. Další zajímavou otázkou jsou důsledky investic velkých investorů, které mohou ovlivnit střední hodnoty a výnosnosti jednotlivých akcií. 2. Konno a Yamazaki (1991) navrhli a aplikovali model, který kvantifikuje riziko portfolia pomocí střední absolutní odchylky od očekávané výnosnosti a tím se mj. vyhýbá problému odhadování varianční matice. Model můžeme zapsat analogicky jako (2) (případně (4)) min E ρ j x j r j x j (8) x X j j za podmínek r j x j r p j Toto kriterium dá teoreticky shodné složení portfolia jako při minimalizaci rozptylu výnosnosti (úloha (2)), pokud se výnosnosti akcií řídí normálním rozdělením. Autoři navrhují odhadovat střední hodnoty průměry z historických pozorování; pak je možné vzniklou úlohu řešit jako úlohu lineárního programování. Situace se nezmění, ani tehdy, rozlišují-li se odchylky nad/pod střední výnosnost, platí obdoba věty o separaci a i v tomto modelu lze zkonstruovat přímku trhu cenných papírů. Jednodušší struktura vstupních dat i sama metoda řešení se zdají být velmi slibné. Dosud však zřejmě nebyla testována citlivost výsledků na vstupní data. 3. Současně s Markowitzem se zabýval zahrnutím rizika do finančních rozhodování také Roy (1952). Navrhl maximalizovat pro x X pravděpodobnost P (ρ x r p ), 7

8 kde r p značí minimální uvažovanou výnosnost portfolia. Pro ρ N (r, V) lze úlohu převést na tvar r(x) r p max ; x X σ(x) odvoďte a porovnejte s maximalizací Sharpovy míry portfolia! Další používané kriterium má tvar max {r(x) P x X (ρ x r p ) 1 α}, pro dané α (0, 1) a r p. Pro ρ N (r, V) má tato úloha tvar Kvantilové kriterium max {r(x) r(x) + x X Φ 1 (α)σ(x) r p }. maximalizovat r p za podmínek x X, P (ρ x r p ) 1 α pro zvolené α (0, 1) je příbuzné s kvantifikací rizika pomocí value at risk, VaR. Odvoďte jeho tvar za předpokladu ρ N (r, V)! 4. Konkurencí pro uvedené typy modelů jsou přístupy založené na uznávaném kriteriu maximalizace středního užitku z výnosnosti portfolia. Takový model má tvar max x X E u( j ρ j x j ) kde u je investorem zvolená užitková funkce. Maximalizace středního užitku z výnosnosti portfolia má řadu výhod před postupy, které vycházejí z Markowitzova modelu: Lze ji použít pro různá rozdělení, pro různé druhy cenných papírů, zahrnout transakční náklady, zobecnit pro dynamické modely, respektovat vazbu aktiv a pasiv, atp. Optimální portfolio zde však závisí na volbě užitkové funkce a pro její volbu nelze dát obecný návod. Pochopitelně se studovala otázka, kdy dává (8) eficientní portfolia ve smyslu Markowitzově (viz např. Elton a Gruber 1987, Müller 1994): Je tomu tak zejména v případě, že výnosnosti mají normální rozdělení a užitková funkce je neklesající a konkávní, nebo pro kvadratickou užitkovou funkci. Pokud jsou výrazné odchylky od normálního rozdělení, výsledky se liší. V takovém případě však (na rozdíl od maximalizace středního užitku z výnosnosti) Markowitzův model odhlíží od informace o momentech vyššího řádu vypovídajících např. o asymetrii rozdělení výnosností a přirozeně pak jeho výsledky nelze přeceňovat. 8

9 Literatura D. R. Cariño et al., The Russell - Yasuda Kassai model: An asset/liability model for a Japanese insurance company using multistage stochastic programming. Interfaces 24 (1994) W. K. Chopra a W. T. Ziemba, The effect of errors in means, variances and covariances on optimal portfolio choice. J. Portfolio Mgt. 19 (1993) T. Cipra, Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou, Edice HZ, Praha G. M. Constantinides a A. G. Malliaris, Portfolio theory. In: Finance, Vol 9 of Handbooks in OR & MS (ed. R. Jarrow et al.), Elsevier 1995, p J. Dupačová, Stochastické optimalizační modely v bankovnictví, Ekonomicko - Matematický Obzor 27 (1991) J. Dupačová, Uncertainty about input data in portfolio management. In: Modelling techniques for financial markets and bank management (M. Bertocchi et al., eds.), Physica Verlag 1996, pp E. J. Elton a M. J. Gruber, Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. Wiley, New York 1987 (3. vydání). A. J. King, Asymmetric risk measures and tracking models for portfolio optimization under uncertainty. Annals of Oper. Res. 45 (1993) H. Konno a H. Yamazaki, Mean-absolute deviation portfolio optimization model and its applications to Tokyo stock market. Management Sci. 37 (1991) H. M. Markowitz, Portfolio Selection. J. of Finance 7 (1952) H. M. Markowitz, Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. Wiley, New York, H. H. Müller, Modern portfolio theory: Some main results. ASTIN Bulletin 19 (1994) A. D. Roy, Safety-first and the holding of assets. Econometrica 20 (1952) J. Tobin, Liquidity preference as behavior toward risk. Review of Economic Studies 25 (1958)

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných

Více

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných

Více

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy

Více

FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 2

FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 2 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 2 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Dluhopisy a dluhopisové portfolio I. Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je popsat dluhopisy jako investiční instrumenty,

Více

Optimalizace portfolia a míry rizika. Pavel Sůva

Optimalizace portfolia a míry rizika. Pavel Sůva Základní seminář 6. října 2009 Obsah Úloha optimalizace portfolia Markowitzův model Míry rizika Value-at-Risk Conditional Value-at-Risk Drawdown míry rizika Minimalizační formule Optimalizační modely Empirická

Více

CAPM atd. Martin Šmíd, martin@klec.cz, www.klec.cz/martin. listopad 2005

CAPM atd. Martin Šmíd, martin@klec.cz, www.klec.cz/martin. listopad 2005 CAPM atd. Martin Šmíd, martin@klec.cz, www.klec.cz/martin ÚTIA AV ČR listopad 2005 Obsah 1. Výběr portfolia 2. CAPM s bezrizikovým aktivem 3. Empirické ověření CAPM Domácí úkol Literatura E. Barucci. Financial

Více

Hodnocení pomocí metody EVA - základ

Hodnocení pomocí metody EVA - základ Hodnocení pomocí metody EVA - základ 13. Metoda EVA Základní koncept, vysvětlení pojmů, zkratky Řízení hodnoty pomocí EVA Úpravy účetních hodnot pro EVA Náklady kapitálu pro EVA jsou WACC Způsob výpočtu

Více

D D P. e e e. ...požadovaná výnosová míra D...očekávané dividendy P. očekávaná prodejní cena. D n. n nekonečno. e e e e

D D P. e e e. ...požadovaná výnosová míra D...očekávané dividendy P. očekávaná prodejní cena. D n. n nekonečno. e e e e Téma 8: Chování cen akcií a investiční management Struktura přednášky: 1. Chování cen akcií fundamentální a technická analýza a teorie efektivních trhů. Riziko a výnos Markowitzův model 3. Kapitálový trh

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis

Více

Příručka k měsíčním zprávám ING fondů

Příručka k měsíčním zprávám ING fondů Příručka k měsíčním zprávám ING fondů ING Investment Management vydává každý měsíc aktuální zprávu ke každému fondu, která obsahuje základní informace o fondu, jeho aktuální výkonnosti, složení portfolia

Více

Investiční instrumenty a portfolio výnos, riziko, likvidita Úvod do finančních aktiv. Ing. Gabriela Oškrdalová e-mail: oskrdalova@mail.muni.

Investiční instrumenty a portfolio výnos, riziko, likvidita Úvod do finančních aktiv. Ing. Gabriela Oškrdalová e-mail: oskrdalova@mail.muni. Finanční trhy Investiční instrumenty a portfolio výnos, riziko, likvidita Úvod do finančních aktiv Ing. Gabriela Oškrdalová e-mail: oskrdalova@mail.muni.cz Tento studijní materiál byl vytvořen jako výstup

Více

Cvičení z optimalizace Markowitzův model

Cvičení z optimalizace Markowitzův model Cvičení z optimalizace Markowitzův model Vojtěch Franc, 29 1 Úvod V tomto cvičení se budeme zabývat aplikací kvadratického programování v ekonomii a sice v úloze, jejímž cílem bude optimalizovat portfolio

Více

Příručka k měsíčním zprávám ING fondů

Příručka k měsíčním zprávám ING fondů Příručka k měsíčním zprávám ING fondů ING Investment Management vydává každý měsíc aktuální zprávu ke každému fondu, která obsahuje základní informace o fondu, jeho aktuální výkonnosti, složení portfolia

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

KMA/MAB. Kamila Matoušková (A07142) Plzeň, 2009 EFEKTIVNÍ PORFÓLIO V MARKOWITZOVĚ SMYSLU

KMA/MAB. Kamila Matoušková (A07142) Plzeň, 2009 EFEKTIVNÍ PORFÓLIO V MARKOWITZOVĚ SMYSLU EFEKTIVNÍ PORFÓLIO V MARKOWITZOVĚ SMYSLU KMA/MAB Kamila Matoušková (A07142) Plzeň, 2009 Obsahem práce je vytvoření efektivního portfolia v Markowitzově smyslu.z akcií obchodovaných na SPADu. Dále je uvažována

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Bakalářská práce Optimální volba portfolia klasické a alternativní přístupy

Bakalářská práce Optimální volba portfolia klasické a alternativní přístupy Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Bakalářská práce Optimální volba portfolia klasické a alternativní přístupy Plzeň, 2013 Jiří Panoš (Zde bude vložené oficiální

Více

Finanční trhy. Finanční aktiva

Finanční trhy. Finanční aktiva Finanční trhy Finanční aktiva Magický trojúhelník investování (I) Riziko Výnos Likvidita Magický trojúhelník investování (II) Tři prvky magického trojúhelníku (výnos, riziko a likvidita) vytváří určitý

Více

FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Metodický list č. 1

FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Metodický list č. 1 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úroková sazba a výpočet budoucí hodnoty Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlit pojem úroku a roční úrokové

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Stochastická dominance a optimalita portfolií

Stochastická dominance a optimalita portfolií Dopravní fakulta ČVUT 2010 Obsah 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Sylabus

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

III) Podle závislosti na celkovém ekonomickém vývoji či na vývoji v jednotlivé firmě a) systematické tržní, b) nesystematické jedinečné.

III) Podle závislosti na celkovém ekonomickém vývoji či na vývoji v jednotlivé firmě a) systematické tržní, b) nesystematické jedinečné. Měření rizika Podnikatelské riziko představuje možnost, že dosažené výsledky podnikání se budou kladně či záporně odchylovat od předpokládaných výsledků. Toto riziko vzniká např. při zavádění nových výrobků

Více

Kvantitativní řízení rizik 7.11.2014

Kvantitativní řízení rizik 7.11.2014 Kvantitativní řízení rizik 7.11.2014 Ekonomický kapitál ekonomický kapitál- kapitál potřebný k zajištění schopnosti splnit v daném časovém horizontu převzaté závazky s danou pravděpodobností L- riziko,

Více

Úvod. Kapitálové statky výrobek není určen ke spotřebě, ale k další výrobě (postupná spotřeba) amortizace Finanční kapitál cenné papíry

Úvod. Kapitálové statky výrobek není určen ke spotřebě, ale k další výrobě (postupná spotřeba) amortizace Finanční kapitál cenné papíry TRH KAPITÁLU Úvod Kapitálové statky výrobek není určen ke spotřebě, ale k další výrobě (postupná spotřeba) amortizace Finanční kapitál cenné papíry Vznik díky odložené spotřebě Nutná kompenzace možnost

Více

Téma 2: Časová hodnota peněz a riziko. 2. Riziko ve finančním rozhodování. 1. Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku

Téma 2: Časová hodnota peněz a riziko. 2. Riziko ve finančním rozhodování. 1. Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku Téma 2: Časová hodnota peněz a riziko ve finančním rozhodování 1. Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku 2. Riziko ve finančním rozhodování - rizika systematická a nesystematická - podnikatelské

Více

Asset Management: smíšená portfolia

Asset Management: smíšená portfolia Asset Management: smíšená portfolia Výnos Riziko a výnos S větším potencionálním výnos vždy riziko roste Riziko se projevuje kolísáním výnosů (VOLATILITA) Riziko ALE... RIZIKO LZE STRUKTUROVAT strukturované

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Pojem investování a druhy investic

Pojem investování a druhy investic Investiční činnost Pojem investování a druhy investic Rozhodování o investicích Zdroje financování investic Hodnocení efektivnosti investic Metody hodnocení investic Ukazatele hodnocení efektivnosti investic

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Metodické listy pro kombinované studium předmětu INVESTIČNÍ A FINANČNÍ ROZHODOVÁNÍ (IFR)

Metodické listy pro kombinované studium předmětu INVESTIČNÍ A FINANČNÍ ROZHODOVÁNÍ (IFR) Metodické listy pro kombinované studium předmětu INVESTIČNÍ A FINANČNÍ ROZHODOVÁNÍ (IFR) (Aktualizovaná verze 04/05) Úvodní charakteristika předmětu: Cílem jednosemestrálního předmětu Investiční a finanční

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd Matematické modelování Náhled do ekonometrie Lukáš Frýd Výnos akcie vs. Výnos celého trhu - CAPM model r it = r ft + β 1. (r mt r ft ) r it r ft = α 0 + β 1. (r mt r ft ) + ε it Ekonomický (finanční model)

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Mnohorozměrné metody Regrese jedna náhodná veličina je vysvětlována pomocí jiných

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Chyba predikce při rezervování metodou Chain Ladder u korelovaných vývojových trojúhelníků

Chyba predikce při rezervování metodou Chain Ladder u korelovaných vývojových trojúhelníků Chyba predikce při rezervování metodou Chain Ladder u korelovaných vývojových trojúhelníků Mgr. Marcela Martinů 13. května 2016 5/13/2016 0 Obsah 1. Úvod a. Motivace a cíle b. Základní metody 2. Rozšířená

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Hodnocení ekonomické efektivnosti projektů Průměrný výnos z investice, doba návratnosti, ČSH, VVP

Hodnocení ekonomické efektivnosti projektů Průměrný výnos z investice, doba návratnosti, ČSH, VVP Hodnocení ekonomické efektivnosti projektů Průměrný výnos z investice, doba návratnosti, ČSH, VVP Investice je charakterizována jako odložená spotřeba. Podnikové investice jsou ty statky, které nejsou

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Finanční management. Nejefektivnější portfolio (leží na hranici) dle Markowitze: Přímka kapitálového trhu

Finanční management. Nejefektivnější portfolio (leží na hranici) dle Markowitze: Přímka kapitálového trhu Finanční anageent Příka kapitálového trhu, odel CAPM, systeatické a nesysteatické riziko Příka kapitálového trhu Čí vyšší e sklon křivky, tí vyšší e nechuť investora riskovat. očekávaný výnos Množina všech

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

1 Odvození poptávkové křivky

1 Odvození poptávkové křivky Odvození poptávkové křivky Optimalizační chování domácností (maximalizace užitku) vzhledem k rozpočtovému omezení. Nejprve odvodíme deterministický model, který potom rozšíříme o stochastické prvky. Odvozené

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd. Ivana Kozlová. Modely analýzy obalu dat

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd. Ivana Kozlová. Modely analýzy obalu dat Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ Ivana Kozlová Modely analýzy obalu dat Plzeň 2010 Obsah 1 Efektivnost a její hodnocení 2 2 Základní

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model klasický lineární regresní model odhad parametrů MNČ y = Xβ + ε, ε

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Vybrané poznámky k řízení rizik v bankách

Vybrané poznámky k řízení rizik v bankách Vybrané poznámky k řízení rizik v bankách Seminář z aktuárských věd Petr Myška 7.11.2008 Obsah přednášky Oceňování nestandartních instrumentů finančních trhů Aplikace analytických vzorců Simulační techniky

Více

Markowitzův model. Josef Orel, Pavel Sůva. 22. června Markowitzův model Stáhnutí a úprava dat Vstupní data a odhad parametrů 10

Markowitzův model. Josef Orel, Pavel Sůva. 22. června Markowitzův model Stáhnutí a úprava dat Vstupní data a odhad parametrů 10 Markowitzův model Optimalizace II s aplikací ve financích zápočtová úloha Josef Orel, Pavel Sůva 22. června 2010 Obsah 1 Zadání 2 2 Markowitzův model 3 2.1 Formulace základní úlohy a značení......................

Více

Determination Value at Risk via Monte Carlo simulation Stanovení Value at Risk pomocí metody simulace Monte Carlo

Determination Value at Risk via Monte Carlo simulation Stanovení Value at Risk pomocí metody simulace Monte Carlo Determination Value at Risk via Monte Carlo simulation Stanovení Value at Risk pomocí metody simulace Monte Carlo Kateřina Zelinková 1 Abstract The financial institution, namely securities firms, banks

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Charakteristika rizika

Charakteristika rizika Charakteristika rizika Riziko je možnost, že se dosažené výsledky podnikání budou příznivě či nepříznivě odchylovat od předpokládaných výsledků. Odchylky od předpokladu jsou: a) příznivé b) nepříznivé

Více

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 3 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jsou dány intervaly A = ( ; 2), B = 1; 3, C = 0;

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Markowitzův model. Optimalizace II s aplikací ve financích.

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Markowitzův model. Optimalizace II s aplikací ve financích. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Markowitzův model Optimalizace II s aplikací ve financích Lucia Jarešová léto 2006 Obsah 1 Zadání úlohy 3 2 Markowitzův model 4 3 Výběr titulů 5

Více

Pojem investování. vynakládání zdrojů podniku za účelem získání užitků které jsou očekávány v delším časovém období Investice = odložená spotřeba

Pojem investování. vynakládání zdrojů podniku za účelem získání užitků které jsou očekávány v delším časovém období Investice = odložená spotřeba Investiční činnost Pojem investování vynakládání zdrojů podniku za účelem získání užitků které jsou očekávány v delším časovém období Investice = odložená spotřeba Druhy investic 1. Hmotné investice vytvářejí

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Mezinárodní finanční trhy

Mezinárodní finanční trhy Úvod Ing. Jan Vejmělek, Ph.D., CFA jan_vejmelek@kb.cz Investiční bankovnictví Náplň kurzu Úvod do mezinárodních finančních trhů Devizový trh a jeho instrumenty Mezinárodní finanční instituce Teorie mezinárodního

Více

Poptávka po penězích

Poptávka po penězích Poptávka po penězích 1. Neoklasické teorie poptávky po penězích - tradiční: Fisherova, Marshallova, cambridgeská - moderní: Friedmanova 2. Keynesiánská teorie poptávky po penězích tradiční: Keynesova moderní:

Více

Všeobecná rovnováha 1 Statistický pohled

Všeobecná rovnováha 1 Statistický pohled Makroekonomická analýza přednáška 4 1 Všeobecná rovnováha 1 Statistický pohled Předpoklady Úspory (resp.spotřeba) a investice (resp.kapitál), kterými jsme se zabývali v minulých lekcích, jsou spolu s technologickým

Více

Základy teorie finančních investic

Základy teorie finančních investic Ing. Martin Širůček, Ph.D. Katedra financí a účetnictví sirucek.martin@svse.cz sirucek@gmail.com Základy teorie finančních investic strana 2 Úvod do teorie investic Pojem investice Rozdělení investic a)

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Ekonomická formulace. Matematický model

Ekonomická formulace. Matematický model Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest

Více

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n. 7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Aplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik

Aplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik Aplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik Ondřej Pavlačka Praha, 18. ledna 2011 Cíle projektu Vytvořit matematický model pro oceňování přijímaného

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více