k riziku a ve svém důsledku vedlo použití modelu k diverzifikaci portfolia.
|
|
- Vladimíra Sedláková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MARKOWITZŮV MODEL OPTIMÁLNÍ VOLBY PORTFOLIA PŘEDPOKLADY, DATA, ALTERNATIVY Jitka Dupačová - příprava k přednášce pro ČSOB a Analýze investic Za zakladatele moderní teorie portfolia je pokládán H. Markowitz (1952, 1959). Jeho model se týká především investic do portfolia akcií a využívá celé řady zjednodušujících předpokladů: Jde o ideální trh bez transakčních nákladů, bez arbitráže, s neomezenou možností investování i vypůjčovaní za stejnou bezrizikovou úrokovou míru a obchodování s neomezeně dělitelnými dokumenty; obchodují na něm malí racionální investoři, kteří dávají přednost vyšším výnosům před nižšími a menšímu riziku před větším rizikem, využívají shodných informací, a to hodnot očekávaných výnosností akcií a rozptylů a kovariancí těchto výnosností, a investují ve stejném čase pro jedno stejně dlouhé období. Přesto šlo o průlom v tom, že kromě hlediska maximálních výnosností byl zohledněn i investorův vztah k riziku a ve svém důsledku vedlo použití modelu k diverzifikaci portfolia. 1 Odvození základního modelu Uvažujeme investici do J akcií, jednotková investice do j-té z nich dává ve zvoleném období celkovou náhodnou výnosnost ρ j. Rozdělení vektoru ρ výnosností všech uvažovaných akcií je charakterizováno známým vektorem středních hodnot Eρ = r a varianční maticí V = [cov(ρ i, ρ j ), i, j = 1,... J] která obsahuje kovariance mezi výnosnostmi všech dvojic akcií a na hlavní diagonále má rozptyly výnosností jednotlivých akcií. Složení portfolia je určeno váhami x j, j = 1,..., J, které musí splňovat podmínku j x j = 1. Výnos portfolia s váhami x budeme chápat jako střední hodnotu jeho celkové výnosnosti r(x) = x j r j = r x j a riziko tohoto portfolia bude dáno hodnotou rozptylu jeho celkové výnosnosti σ 2 (x) = i,j [cov(ρ i, ρ j )]x i x j = x Vx Podle předpokladů dávají všichni investoři přednost portfoliu s vyšším výnosem a s nižším rizikem. V souladu s tím definujeme Definice 1.1. Portfolio s váhami x je eficientní vzhledem ke střední hodnotě a rozptylu (mean-variance efficient), jestliže neexistují jiné váhy x splňující podmínku j x j = 1, pro které je r(x) r(x ) a současně σ 2 (x) σ 2 (x ) a aspoň jedna z nerovností je ostrá. 1
2 Definice zůstává v platnosti, i když omezíme volbu vah dalšími podmínkami, např. nezáporností. Portfolia, která vyhovují této definici budeme stručně nazývat eficientní portfolia. Je celá řada možností, jak hledat eficientní portfolia, např. řešením optimalizačních úloh závisejících na parametrech max x X λr x 1 2 x Vx (1) kde λ 0 je parametr modelující investorův vztah k riziku, nebo za podmínek min x X x Vx (2) r x r p kde parametrem je nastavená minimální hodnota r p přijatelné (očekávané) výnosnosti portfolia. Množina X je definována požadavkem j x j = 1 a případně dalšími podmínkami na složení portfolia; my si odvodíme jednotlivá tvrzení pouze za platnosti zmíněného základního požadavku na váhy. Pokud je matice V regulární (to mj. znamená, že žádná akcie není bezriziková) a střední výnosnosti nejsou pro všechny akcie stejné, lze pomocí známých podmínek pro vázaný extrém funkce x Vx snadno odvodit řadu výsledků. Označme jako x G váhy, které minimalizují rozptyl výnosnosti portfolia bez ohledu na jeho očekávanou výnosnost, tj. x G = V V 1 1 a r min = r(x G ) = r x G odpovídající očekávanou výnosnost portfolia s váhami x G. Tvrzení 1.2. Nechť je V regulární, nechť jsou vektory r, 1 lineárně nezávislé a 1 Vr 0. Pak při libovolně zvolené hodnotě r p r min a) existuje vždy jediný vektor vah x(r p ), který minimalizuje rozptyl výnosnosti portfolia v úloze (2) V 1 r x(r p ) = µ 1 1 V 1 r + µ V (3) 1 V 1 1 b) vektor x(r p ) nutně splňuje podmínku r x r p jako rovnost. c) hodnoty Lagrangeových multiplikátorů µ 1, µ 2 lze vypočítat vyřešením soustavy omezení r x = r p, 1 x = 1 pro x = x(r p ). Zejména platí, že µ 1 + µ 2 = 1. 2
3 d) Získané váhy x(r p ) jsou lineární funkcí r p, takže odpovídající rozptyl výnosnosti portfolia σ 2 (x(r p )) je kvadratickou funkcí r p a očekávaná výnosnost portfolia r(x(r p )) je lineární funkcí r p. Důkaz je snadný a z tvrzení 1.2 plyne celá řada známých důsledků: V rovině dvojic [r(x), σ 2 (x)] leží minimální rozptyly výnosnosti portfolia na parabole. Její větev, na které leží maximální možné očekávané výnosnosti portfolia při dané hodnotě rozptylu, je t.zv. eficientní hranice (mean-variance efficient frontier); odpovídá hledaným eficientním portfoliím, resp. optimálním řešením úlohy (2) pro různé nastavené hodnoty r p r min ; viz obrázek 1. Pro dvě eficientní portfolia s váhami x p, xˆp minimalizujícími rozptyl výnosnosti portfolia při odlišných nastavených mezích očekávaných výnosností r p, rˆp platí, že i každá jejich lineární kombinace αx p + (1 α)xˆp je eficientní, a to při parametru αr p + (1 α)rˆp. Vzorec (3) spolu s uvedeným důsledkem mají svou ekonomickou interpretaci známou jako Tobinova věta o separaci (two-fund separation theorem, Tobin 1958): Všechna eficientní portfolia lze vyjádřit jako lineární kombinaci dvou eficientních portfolií x G = V V 1 1 a x 1 = V 1 r 1 V 1 r 2 Obměny základního modelu 1. Uvažujme navíc možnost investice do bezrizikového aktiva, j = 0, s výnosností r 0 a současně i možnost neomezeného vypůjčování za bezrizikovou úrokovou míru r 0. Váha bezrizikového aktiva v portfoliu bude x 0 = 1 J j=1 x j. Stačí tedy dosadit a pracovat jenom s váhami rizikových aktiv, x j, j = 1,..., J. Zavedeme rozdíly R j = r j r 0, R p = r p r 0 a uvědomíme si, že varianční matice rozdílů ρ j r 0, j = 1,..., J je opět V. Předpokládáme, že R p r min. Váhy rizikových aktiv v portfoliu dostaneme jako řešení úlohy min x Vx za podmínek J R j x j R p (4) j=1 (Podmínka na součet vah již v úloze není a pro optimální řešení bude podmínka na očekávanou výnosnost opět splněna jako rovnost.) Výsledné váhy jsou x = R pv 1 R R V 1 R 3
4 a x 0 = 1 j x j pro investice do bezrizikového aktiva. Odpovídající minimální rozptyl výnosnosti portfolia je a poměr R p σ P (x) σ 2 p(x ) = R 2 p R V 1 R je t. zv. Sharpova míra portfolia. Řešením odpovídající úlohy (4) o vázaném extrému zjistíme, že i v tomto případě lze eficientní portfolia representovat jako lineární kombinací dvou portfolií - bezrizikového (s váhami x 0 = 1 a x j = 0 pro j 0) a t.zv. tečného eficientního portfolia složeného pouze z akcií, tedy s váhami x T, které splňují dodatečnou podmínku J j=1 x j = 1. Odpovídající hodnota očekávané výnosnosti R p (nad danou bezrizikovou výnosnost r 0 ), kterou je třeba nastavit, a výsledný minimální rozptyl vyjdou jako R p = r(x T ) r 0 = R V 1 R R V 1 1 a σ 2 p(x T ) = R V 1 R (R V 1 1) 2 Pro eficientní portfolia s váhami x se graficky znázorňuje závislost směrodatné odchylky výnosnosti portfolia na nastavené hodnotě r p jako přímka kapitálového trhu (CML - capital market line) r(x) = r 0 + r(x T ) r 0 σ(x) σ(x T ) která prochází bodem odpovídajícím bezrizikovému portfoliu a bodem pro portfolio akcií s váhami x T ; viz obrázek 2. Pro toto portfolio platí, že dává maximální možnou Sharpovu míru portfolia a v rovnovážném modelu (např. CAPM) je lze interpretovat jako tržní portfolio. 2. Podmínky nezápornosti a případná další lineární omezení znamenají pouze složitější diskusi podmínek optimality, ale povaha výsledků se nemění. Pro diskusi výsledků je výhodnější pracovat s úlohou ve tvaru (1). Váhy je možné získat numericky použitím libovolného software pro úlohu kvadratického programování. Z hlediska dimenze řešené úlohy jsou nejmenší úlohy o alokaci prostředků mezi agregované třídy aktiv, dále pak vlastní úloha o volbě portfolia a největší úlohy vznikají při sledování tržního indexu. Doporučení, jak investovat, však není jednoznačné. Konečné rozhodnutí - volba jednoho z eficientních portfolií - je v rukou investora. 3 Vstupní data Možnost úspěšného použití Markowitzova modelu závisí na tom, jsou-li splněny předpoklady modelu, a také na vstupních datech, tedy na středních hodnotách výnosností akcií a na 4
5 varianční matici výnosností. Jisté je, že nelze pracovat jenom s rozptyly výnosností jednotlivých akcií, ale že právě hodnoty kovariancí mohou podstatně přispět k účinné diversifikaci portfolia. Pokud mají investoři k disposici dosti dlouhé časové řady výnosností sledovaného souboru akcií, nabízí se použití průměrných výnosností a také odhadů rozptylů a kovariancí z těchto pozorování. Pro kvalitní odhady momentů je třeba použít dosti dlouhé řady pozorování, dlouhé historické řady však často nejsou stacionární. Pro vysvětlení kovarianční struktury výnosností se proto někdy používá faktorových modelů. V takovém případě předpokládáme, že výnosnosti jednotlivých akcií se řídí modelem ρ j = α j + β j F + ɛ j (5) kde ɛ j jsou náhodné odchylky od modelu nekorelované s faktorem F, mají nulové střední hodnoty, rozptyly σɛj 2 a náhodné odchylky pro různé dvojice akcií jsou nekorelované. Základní představa, že korelace mezi výnosnostmi jsou způsobeny odezvou na situaci na celém trhu, vede k interpretaci faktoru F jako rozdílu výnosnosti trhu akcií a výnosnosti bezrizikového aktiva F = ρ M r 0. Výnosnosti jednotlivých akcií pak mají dvě složky - systematickou danou vazbou na výnosnost trhu a specifickou. Tato představa souhlasí s modelem CAPM. Na základě modelu (5) a uvedených statistických předpokladů dostaneme snadno střední hodnoty, rozptyly a kovariance (r M, σm 2 značí střední výnosnost a rozptyl výnosnosti tržního portfolia): r j r 0 = α j + β j (r M r 0 ), σ 2 j = varρ j = β 2 j σ 2 M + σ 2 ɛj (6) kde r M r 0 se interpretuje jako prémie za riziko trhu (market risk premium) a v jk = cov(ρ j, ρ k ) = β j β k σ 2 M, cov(ρ j, ρ M ) = β j σ 2 M Odtud plyne β j = cov(ρ j, ρ M ) σ 2 M Koeficienty β j, α j a rozptyly se odhadují z dat, výnosnost trhu je representována výnosností vhodného indexu. Pro rovnovážný stav trhu jsou v (5) míry nerovnovážnosti α j = 0 pro všechny akcie a závislost středních výnosností akcie na střední výnosnosti tržního portfolia se znázorňuje graficky jako přímka trhu cenných papírů (SML - security market line). Odhadnuté hodnoty β se používají pro charakterizaci rizika akcií vzhledem k tržnímu riziku i k samotné konstrukci portfolia. Faktorový model také objasňuje, proč nelze očekávat, že diversifikace portfolia bude neomezeně snižovat riziko: na výnosnosti akcií působí také vliv trhu, tržní riziko, které Markowitzův model neeliminuje. Riziko trhu však lze snížit vhodnou volbou portfolia s ohledem na hodnoty β. Pokud dostupná informace nestačí pro dosti přesné odhady středních hodnot výnosností, jejich rozptylů a kovariancí ani pro faktorový model, navrhují se někdy zjednodušené postupy. Tak na příklad lze z předpokládaných hodnot minimálních a maximálních možných 5
6 výnosností r j,min, r j,max odhadnout střední výnosnost jako r j = 1/2[r j,min + r j,max ], rozptyl jako σj 2 = 1/16[r j,min r j,max ] 2 a kovariance spočítat z expertních odhadů korelací a z odhadnutých rozptylů. Ukazuje se však, že výsledky Markowitzova modelu jsou velmi citlivé vzhledem ke středním hodnotám výnosností, méně již vzhledem k jejich varianční matici (Chopra a Ziemba 1993, Dupačová 1996). Příčina souvisí s chováním optimálních řešení úloh kvadratického programování (1) nebo (2) v závislosti na parametrech. Uvažujme úlohu odpovídající úloze (1) max x X p x 1/2x Vx (7) kde p je parametr, V je pozitivně definitní matice a X je neprázdná polyedrická množina, např. X = { x R+ Ax J b }. (V našem speciálním případě je p = λr.) Množinu X lze rozložit na konečný počet relativně otevřených stěn, které jsou definovány množinami indexů aktivních omezení; vnitřek množiny X je chápán jako otevřená stěna odpovídající prázdné množině indexů. Parametrický prostor R J vektorů p lze odpovídajícím způsobem rozložit na konečný počet disjunktních množin stability charakterizovaních tím, že pro libovolný prvek p dané množiny stability leží optimálmí řešení x(p) úlohy (7) ve stejné stěně množiny X. Přitom v dané množině stability je x(p) lineární funkce parametru p a je diferencovatelná ve všech vnitřních bodech této množiny. Pro p, které leží na hranici některé množiny stability, optimální řešení x(p) již diferencovatelné není. Optimální hodnota ϕ(p) účelové funkce v (7) je počástech lineární a kvadratická funkce parametru p a díky předpokladu o pozitivní definitnosti matice V je i diferencovatelná s výjimkou případu, kdy by koeficienty aktivních omezení byly lineárně závislé. Tento výsledek vysvětluje relativní stabilitu optimální hodnoty i v případech, kdy je optimální řešení velmi citlivé na malé změny parametru: To jsou právě případy, kdy parametr p leží na hranici některé množiny stability. Podobnou možnost nelze vyloučit ani ve speciálním případě, kdy p = λr při pevném vektoru r a parametru λ 0, tedy při sledování eficientní hranice. Příklad 3.1. Uvažujme jednoduchou úlohu kvadratického programování max { } p 1 x 1 + p 2 x 2 1/2x 2 1 x 1 x 2 x 2 2 na množině X = {x 1, x 2 x 1 0, x 2 0, x 1 + x 2 1}. Množinu X lze rozložit na relativně otevřené stěny Σ 1,..., Σ 7, viz obrázek 3. Odpovídající množiny stability σ(σ k ), k = 1,..., 7 jsou znázorněny na obrázku 4. Uvažujme nyní p 1 = p 2 = 1. Pro tuto hodnotu parametru leží optimální řešení ve vrcholu Σ 3, ale malé změny souřadnic způsobí, že se posune do přilehlých stěn Σ 6 nebo Σ 7, případně dovnitř množiny X - tj. do stěny Σ 1. Odpovídající změny optimální hodnoty a první souřadnice x 1 (p) optimálního řešení jsou znázorněny pro p 1 = 1 a p 2 0 na obrázku 5. Podobná situace nastává i pro dvojici p 1 = 1, p 2 = 2. Z hlediska investora může jít o nestabilní chování optimálních vah - extrémní rozhodnutí investovat vše do prvního aktiva (vrchol Σ 3 nebo Σ 4 ) se může snadno změnit v investování do obou rizikových aktiv (stěna Σ 7 ) nebo v investování do obou rizikových aktiv i do bezrizikového aktiva (stěna Σ 1 ). 6
7 S ohledem na vliv výchozích předpokladů modelu a na problémy při získávání dat to znamená, že rozhodování založené na váhách získaných řešením Markowitzova modelu je třeba navíc detailně analyzovat. Problémy narůstají, pokud se podle Markowitzova modelu hledá celá posloupnost rozhodování v čase. Markowitzův model je statický a numerické studie dokumentují, že na něm založené výsledky se zhoršují s rostoucím horizontem pro rozhodování a také s rostoucím počtem časových intervalů, na které je aplikován; viz např. případová studie Cariñho et al. (1994). 4 Alternativní přístupy 1. V souvislosti s Markowitzovým modelem se často diskutují i asymetrické míry rizika, např. King (1993) nebo kvadratická semivariance. Jejich význam je zřetelný zvláště při snaze použít Markowitzův model pro rozhodování o portfoliu aktiv a pasiv, kde se za výnosnost pokládá rozdíl mezi výnosností aktiv a výnosností pasiv. Někteří autoři uvažují také aplikace podobného postupu na obligace; tam však nelze očekávat příliš velký efekt, protože trh obligací se chová odlišně; zejména lze jen stěží počítat s negativní korelací výnosností. Další zajímavou otázkou jsou důsledky investic velkých investorů, které mohou ovlivnit střední hodnoty a výnosnosti jednotlivých akcií. 2. Konno a Yamazaki (1991) navrhli a aplikovali model, který kvantifikuje riziko portfolia pomocí střední absolutní odchylky od očekávané výnosnosti a tím se mj. vyhýbá problému odhadování varianční matice. Model můžeme zapsat analogicky jako (2) (případně (4)) min E ρ j x j r j x j (8) x X j j za podmínek r j x j r p j Toto kriterium dá teoreticky shodné složení portfolia jako při minimalizaci rozptylu výnosnosti (úloha (2)), pokud se výnosnosti akcií řídí normálním rozdělením. Autoři navrhují odhadovat střední hodnoty průměry z historických pozorování; pak je možné vzniklou úlohu řešit jako úlohu lineárního programování. Situace se nezmění, ani tehdy, rozlišují-li se odchylky nad/pod střední výnosnost, platí obdoba věty o separaci a i v tomto modelu lze zkonstruovat přímku trhu cenných papírů. Jednodušší struktura vstupních dat i sama metoda řešení se zdají být velmi slibné. Dosud však zřejmě nebyla testována citlivost výsledků na vstupní data. 3. Současně s Markowitzem se zabýval zahrnutím rizika do finančních rozhodování také Roy (1952). Navrhl maximalizovat pro x X pravděpodobnost P (ρ x r p ), 7
8 kde r p značí minimální uvažovanou výnosnost portfolia. Pro ρ N (r, V) lze úlohu převést na tvar r(x) r p max ; x X σ(x) odvoďte a porovnejte s maximalizací Sharpovy míry portfolia! Další používané kriterium má tvar max {r(x) P x X (ρ x r p ) 1 α}, pro dané α (0, 1) a r p. Pro ρ N (r, V) má tato úloha tvar Kvantilové kriterium max {r(x) r(x) + x X Φ 1 (α)σ(x) r p }. maximalizovat r p za podmínek x X, P (ρ x r p ) 1 α pro zvolené α (0, 1) je příbuzné s kvantifikací rizika pomocí value at risk, VaR. Odvoďte jeho tvar za předpokladu ρ N (r, V)! 4. Konkurencí pro uvedené typy modelů jsou přístupy založené na uznávaném kriteriu maximalizace středního užitku z výnosnosti portfolia. Takový model má tvar max x X E u( j ρ j x j ) kde u je investorem zvolená užitková funkce. Maximalizace středního užitku z výnosnosti portfolia má řadu výhod před postupy, které vycházejí z Markowitzova modelu: Lze ji použít pro různá rozdělení, pro různé druhy cenných papírů, zahrnout transakční náklady, zobecnit pro dynamické modely, respektovat vazbu aktiv a pasiv, atp. Optimální portfolio zde však závisí na volbě užitkové funkce a pro její volbu nelze dát obecný návod. Pochopitelně se studovala otázka, kdy dává (8) eficientní portfolia ve smyslu Markowitzově (viz např. Elton a Gruber 1987, Müller 1994): Je tomu tak zejména v případě, že výnosnosti mají normální rozdělení a užitková funkce je neklesající a konkávní, nebo pro kvadratickou užitkovou funkci. Pokud jsou výrazné odchylky od normálního rozdělení, výsledky se liší. V takovém případě však (na rozdíl od maximalizace středního užitku z výnosnosti) Markowitzův model odhlíží od informace o momentech vyššího řádu vypovídajících např. o asymetrii rozdělení výnosností a přirozeně pak jeho výsledky nelze přeceňovat. 8
9 Literatura D. R. Cariño et al., The Russell - Yasuda Kassai model: An asset/liability model for a Japanese insurance company using multistage stochastic programming. Interfaces 24 (1994) W. K. Chopra a W. T. Ziemba, The effect of errors in means, variances and covariances on optimal portfolio choice. J. Portfolio Mgt. 19 (1993) T. Cipra, Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou, Edice HZ, Praha G. M. Constantinides a A. G. Malliaris, Portfolio theory. In: Finance, Vol 9 of Handbooks in OR & MS (ed. R. Jarrow et al.), Elsevier 1995, p J. Dupačová, Stochastické optimalizační modely v bankovnictví, Ekonomicko - Matematický Obzor 27 (1991) J. Dupačová, Uncertainty about input data in portfolio management. In: Modelling techniques for financial markets and bank management (M. Bertocchi et al., eds.), Physica Verlag 1996, pp E. J. Elton a M. J. Gruber, Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. Wiley, New York 1987 (3. vydání). A. J. King, Asymmetric risk measures and tracking models for portfolio optimization under uncertainty. Annals of Oper. Res. 45 (1993) H. Konno a H. Yamazaki, Mean-absolute deviation portfolio optimization model and its applications to Tokyo stock market. Management Sci. 37 (1991) H. M. Markowitz, Portfolio Selection. J. of Finance 7 (1952) H. M. Markowitz, Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. Wiley, New York, H. H. Müller, Modern portfolio theory: Some main results. ASTIN Bulletin 19 (1994) A. D. Roy, Safety-first and the holding of assets. Econometrica 20 (1952) J. Tobin, Liquidity preference as behavior toward risk. Review of Economic Studies 25 (1958)
Rovnovážné modely v teorii portfolia
3. září 2013, Podlesí Obsah Portfolio a jeho charakteristiky Definice portfolia Výnosnost a riziko aktiv Výnosnost a riziko portfolia Klasická teorie portfolia Markowitzův model Tobinův model CAPM - model
VíceZměna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.
Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných
VíceZměna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.
Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných
VíceÚvod do teorie portfolia. CAPM model. APT model Výhody vs. nevýhody modelů CML SML. Beta faktor
Radka Domanská 1 Úvod do teorie portfolia CML CAPM model SML Beta faktor APT model Výhody vs. nevýhody modelů 2 Množina dostupných portfolií Všechna možná portfolia, která mohou být vytvořena ze skupiny
Více1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA
N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy
VíceFINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 2
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 2 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Dluhopisy a dluhopisové portfolio I. Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je popsat dluhopisy jako investiční instrumenty,
Více3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
VíceOptimalizace portfolia a míry rizika. Pavel Sůva
Základní seminář 6. října 2009 Obsah Úloha optimalizace portfolia Markowitzův model Míry rizika Value-at-Risk Conditional Value-at-Risk Drawdown míry rizika Minimalizační formule Optimalizační modely Empirická
VíceHodnocení pomocí metody EVA - základ
Hodnocení pomocí metody EVA - základ 13. Metoda EVA Základní koncept, vysvětlení pojmů, zkratky Řízení hodnoty pomocí EVA Úpravy účetních hodnot pro EVA Náklady kapitálu pro EVA jsou WACC Způsob výpočtu
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
VíceValue at Risk. Karolína Maňáková
Value at Risk Karolína Maňáková Value at risk Historická metoda Model-Building přístup Lineární model variance a kovariance Metoda Monte Carlo Stress testing a Back testing Potenciální ztráta s danou pravděpodobností
VíceCAPM atd. Martin Šmíd, martin@klec.cz, www.klec.cz/martin. listopad 2005
CAPM atd. Martin Šmíd, martin@klec.cz, www.klec.cz/martin ÚTIA AV ČR listopad 2005 Obsah 1. Výběr portfolia 2. CAPM s bezrizikovým aktivem 3. Empirické ověření CAPM Domácí úkol Literatura E. Barucci. Financial
VíceD D P. e e e. ...požadovaná výnosová míra D...očekávané dividendy P. očekávaná prodejní cena. D n. n nekonečno. e e e e
Téma 8: Chování cen akcií a investiční management Struktura přednášky: 1. Chování cen akcií fundamentální a technická analýza a teorie efektivních trhů. Riziko a výnos Markowitzův model 3. Kapitálový trh
VícePříručka k měsíčním zprávám ING fondů
Příručka k měsíčním zprávám ING fondů ING Investment Management vydává každý měsíc aktuální zprávu ke každému fondu, která obsahuje základní informace o fondu, jeho aktuální výkonnosti, složení portfolia
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VícePříručka k měsíčním zprávám ING fondů
Příručka k měsíčním zprávám ING fondů ING Investment Management vydává každý měsíc aktuální zprávu ke každému fondu, která obsahuje základní informace o fondu, jeho aktuální výkonnosti, složení portfolia
VíceObecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
VíceInvestiční instrumenty a portfolio výnos, riziko, likvidita Úvod do finančních aktiv. Ing. Gabriela Oškrdalová e-mail: oskrdalova@mail.muni.
Finanční trhy Investiční instrumenty a portfolio výnos, riziko, likvidita Úvod do finančních aktiv Ing. Gabriela Oškrdalová e-mail: oskrdalova@mail.muni.cz Tento studijní materiál byl vytvořen jako výstup
VíceCvičení z optimalizace Markowitzův model
Cvičení z optimalizace Markowitzův model Vojtěch Franc, 29 1 Úvod V tomto cvičení se budeme zabývat aplikací kvadratického programování v ekonomii a sice v úloze, jejímž cílem bude optimalizovat portfolio
VíceANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceNáhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.
1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,
VíceKMA/MAB. Kamila Matoušková (A07142) Plzeň, 2009 EFEKTIVNÍ PORFÓLIO V MARKOWITZOVĚ SMYSLU
EFEKTIVNÍ PORFÓLIO V MARKOWITZOVĚ SMYSLU KMA/MAB Kamila Matoušková (A07142) Plzeň, 2009 Obsahem práce je vytvoření efektivního portfolia v Markowitzově smyslu.z akcií obchodovaných na SPADu. Dále je uvažována
VíceStochastická dominance a optimalita portfolií
Dopravní fakulta ČVUT 2010 Obsah 1 Stochastická dominance 2 Zavedení pojmů Dosavadní výsledky 3 4 Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Předpoklady Konvexita množiny optimálních
VíceFinanční trhy. Finanční aktiva
Finanční trhy Finanční aktiva Magický trojúhelník investování (I) Riziko Výnos Likvidita Magický trojúhelník investování (II) Tři prvky magického trojúhelníku (výnos, riziko a likvidita) vytváří určitý
VíceFINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Metodický list č. 1
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úroková sazba a výpočet budoucí hodnoty Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlit pojem úroku a roční úrokové
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceEkonomické modelování pro podnikatelskou praxi
pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Sylabus
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceBakalářská práce Optimální volba portfolia klasické a alternativní přístupy
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Bakalářská práce Optimální volba portfolia klasické a alternativní přístupy Plzeň, 2013 Jiří Panoš (Zde bude vložené oficiální
Více2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
Více4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceKvantitativní řízení rizik 7.11.2014
Kvantitativní řízení rizik 7.11.2014 Ekonomický kapitál ekonomický kapitál- kapitál potřebný k zajištění schopnosti splnit v daném časovém horizontu převzaté závazky s danou pravděpodobností L- riziko,
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceÚvod. Kapitálové statky výrobek není určen ke spotřebě, ale k další výrobě (postupná spotřeba) amortizace Finanční kapitál cenné papíry
TRH KAPITÁLU Úvod Kapitálové statky výrobek není určen ke spotřebě, ale k další výrobě (postupná spotřeba) amortizace Finanční kapitál cenné papíry Vznik díky odložené spotřebě Nutná kompenzace možnost
VíceÚvod do analýzy cenných papírů. Dagmar Linnertová 5. Října 2009
Úvod do analýzy cenných papírů Dagmar Linnertová 5. Října 2009 Investice a investiční rozhodování Každý je potenciální investor Nevynaložením prostředků na svou současnou potřebu se jí tímto vzdává Mít
VíceUniverzita Karlova v Praze. Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Jan Šmejkal. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Jan Šmejkal Teorie portfolia při náhodných cenách spotřebovávaných statků Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky RDr.
VíceTéma 2: Časová hodnota peněz a riziko. 2. Riziko ve finančním rozhodování. 1. Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku
Téma 2: Časová hodnota peněz a riziko ve finančním rozhodování 1. Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku 2. Riziko ve finančním rozhodování - rizika systematická a nesystematická - podnikatelské
VíceHodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií
Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
Více4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
VíceIII) Podle závislosti na celkovém ekonomickém vývoji či na vývoji v jednotlivé firmě a) systematické tržní, b) nesystematické jedinečné.
Měření rizika Podnikatelské riziko představuje možnost, že dosažené výsledky podnikání se budou kladně či záporně odchylovat od předpokládaných výsledků. Toto riziko vzniká např. při zavádění nových výrobků
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VícePojem investování a druhy investic
Investiční činnost Pojem investování a druhy investic Rozhodování o investicích Zdroje financování investic Hodnocení efektivnosti investic Metody hodnocení investic Ukazatele hodnocení efektivnosti investic
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceFRP 6. cvičení Měření rizika
FRP 6. cvičení Měření rizika Podnikatelské riziko představuje možnost, že dosažené výsledky podnikání se budou kladně či záporně odchylovat od předpokládaných výsledků. Toto riziko vzniká např. při zavádění
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme
Více4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceMetodické listy pro kombinované studium předmětu INVESTIČNÍ A FINANČNÍ ROZHODOVÁNÍ (IFR)
Metodické listy pro kombinované studium předmětu INVESTIČNÍ A FINANČNÍ ROZHODOVÁNÍ (IFR) (Aktualizovaná verze 04/05) Úvodní charakteristika předmětu: Cílem jednosemestrálního předmětu Investiční a finanční
VíceStatistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup
Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceHodnocení ekonomické efektivnosti projektů Průměrný výnos z investice, doba návratnosti, ČSH, VVP
Hodnocení ekonomické efektivnosti projektů Průměrný výnos z investice, doba návratnosti, ČSH, VVP Investice je charakterizována jako odložená spotřeba. Podnikové investice jsou ty statky, které nejsou
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,
VíceMatematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd
Matematické modelování Náhled do ekonometrie Lukáš Frýd Výnos akcie vs. Výnos celého trhu - CAPM model r it = r ft + β 1. (r mt r ft ) r it r ft = α 0 + β 1. (r mt r ft ) + ε it Ekonomický (finanční model)
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO
VíceTestování statistických hypotéz
Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceAVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace
AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Mnohorozměrné metody Regrese jedna náhodná veličina je vysvětlována pomocí jiných
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceLWS při heteroskedasticitě
Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009 Obsah 1 2 3 4 5 47 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceFinanční management. Nejefektivnější portfolio (leží na hranici) dle Markowitze: Přímka kapitálového trhu
Finanční anageent Příka kapitálového trhu, odel CAPM, systeatické a nesysteatické riziko Příka kapitálového trhu Čí vyšší e sklon křivky, tí vyšší e nechuť investora riskovat. očekávaný výnos Množina všech
VíceLineární klasifikátory
Lineární klasifikátory Lineární klasifikátory obsah: perceptronový algoritmus základní verze varianta perceptronového algoritmu přihrádkový algoritmus podpůrné vektorové stroje Lineární klasifikátor navrhnout
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceSimulace. Simulace dat. Parametry
Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,
VíceChyba predikce při rezervování metodou Chain Ladder u korelovaných vývojových trojúhelníků
Chyba predikce při rezervování metodou Chain Ladder u korelovaných vývojových trojúhelníků Mgr. Marcela Martinů 13. května 2016 5/13/2016 0 Obsah 1. Úvod a. Motivace a cíle b. Základní metody 2. Rozšířená
Více